Ejercicio Resuelto Vector Propio y Valor Propio

Para el caso de u.

$A=\left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 5 & 2\end{array}\right], \quad u=\left[\begin{array}{r}6 \\ -5\end{array}\right]$

Para que u sea vector propio de A, debe existir un escalar tal que $A \cdot u= \lambda \cdot u$.

$A \cdot u=\left[\begin{array}{ll} 1 & 6 \\ 5 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{r} 6 \\ -5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} -24 \\ 20 \end{array}\right]=-4\left[\begin{array}{r} 6 \\ -5 \end{array}\right]=-4 u$

Y por tanto, como existe ese escalar $\lambda =4$, u es vector propio de A.

En el caso de v, se tiene que:

$A=\left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 5 & 2\end{array}\right], \quad v=\left[\begin{array}{r}3 \\ -2\end{array}\right]$

Verificando la condición para que v sea vector propio de A:

$A \cdot v=\left[\begin{array}{ll} 1 & 6 \\ 5 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{r} 3 \\ -2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} -9 \\ 11 \end{array}\right] \neq \lambda \left[\begin{array}{r} 3 \\ -2 \end{array}\right]$

Dado que no existe un escalar $\lambda$ tal que $A \cdot u=\lambda \cdot u$ , se deduce que v no es vector propio de A.

Respuesta esperada: u es vector propio de A; v no es vector propio de A.