Ejercicio Teorema de Rouché-Frobenius

La matriz A y la matriz ampliada A' del sistema son:

$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{array}\right) \quad A^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & -1 & 4 \end{array}\right)$

Según el Teorema de Rouché-Frobenius, podemos clasificar el sistemas de ecuaciones de acuerdo al cálculo del rango de la matriz A. Si n es el número de incógnitas:

a) Si $R(A)=R(A^{\prime})=n$ $\Rightarrow$ Sistema compatible determinado

b) Si $R(A)=R(A^{\prime})<n$ $\Rightarrow$ Sistema compatible indeterminado

c) Si $R(A)<R(A^{\prime})$ $\Rightarrow$ Sistema incompatible

Ahora calculamos el rango de la matriz A. Para ello, observamos si el determinante de toda la matriz es diferente de 0 :

$|A|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{array}\right|=0$

El determinante de toda la matriz A da 0, por lo que no es de rango 3. Para ver si es de rango 2, tenemos que encontrar una submatriz dentro de A cuyo determinante sea distinto de 0. Por ejemplo, el de la esquina superior izquierda:

$\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{array}\right|=5 \neq 0$

Como la matriz tiene un determinante distinto de 0 , la matriz A es de rango 2.

Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A'. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0 , así que probamos con los otros determinantes posibles:

$\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \end{array}\right|=0 \quad\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & 4 \end{array}\right|=0 \quad\left|\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \\ 3 & -1 & 4 \end{array}\right|=0$

Todos los determinantes son 0, por tanto, la matriz A' tampoco será de rango 3 . Sin embargo, dentro sí, tiene determinantes de orden 2 diferentes de 0 . Por ejemplo:

$\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{array}\right|=5 \neq 0$

Así que la matriz A' será de rango 2.

El rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A' pero este rango es menor que el número de incógnitas del sistema.

Por lo tanto, según el Teorema de Rouché-Frobenius se trata de un Sistema compatible indeterminado (SCI).

Respuesta esperada: Sistema Compatible Indeterminado