Forma Matricial de un Sistema de Ecuaciones
Hola, en este video vamos a ver qué es la forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales.
Aquí tenemos un sistema que tiene cuatro incógnitas x, y, w y z, no aparecen en todas las ecuaciones y son tres ecuaciones, es decir, tenemos un sistema de cuatro… tres ecuaciones perdón y cuatro incógnitas, tres por cuatro.
Vamos a escribir a este sistema, en forma matricial.
Es una manera útil de escribir un sistema prescindiendo de los nombres de las incógnitas.
Escribiré primero la matriz del sistema, la matriz del sistema o matriz de los coeficientes se designa con A y es una matriz que solamente contiene a los coeficientes principales de las incógnitas en cada ecuación: tres para x, dos para y, no tengo z así que colocaré un cero y uno para w.
Para la segunda ecuación escribiré uno, dos, uno y cero ya que no tiene w, estoy escribiendo estos coeficientes.
Y para la última cinco, seis, dos y uno… cinco, seis, dos y uno.
Esta se conoce como matriz del sistema o también matriz de los coeficientes.
Otra matriz que puedo obtener a partir de el sistema es a la matriz que llamaremos B que consiste escribir un vector columna con los términos independientes, en este caso cero, uno y dos, para este ejemplo.
Esta matriz se llama matriz de los términos independientes y se suele designar con B.
Matriz de los términos independientes.
Y una última matriz que podré obtener de este sistema la llamaremos matriz X y que es la matriz de las incógnitas, consiste en escribir un vector columna donde yo escriba las incógnitas que deseo encontrar.
En este caso, las incógnitas son x, y, z y w en ese orden, x, y, z y w.
Esta se conoce como matriz de las incógnitas.
Entonces, a partir de un sistema estoy teniendo… obteniendo tres matrices.
Este sistema se puede escribir en forma matricial de dos maneras.
Escrito de esta manera está escrito en forma de ecuaciones pero lo puedo escribir con matrices como A por X igual a B, donde estoy multiplicando a la matriz del sistema por la matriz de las incógnitas y la igualo a la matriz de los términos independientes que si resuelvo ese producto de matrices vuelvo nuevamente al sistema de ecuaciones.
La matriz A es de tamaño, en este ejemplo, es de tamaño tres por cuatro pero en general será de tamaño m por n.
La matriz X en este ejemplo es de tamaño cuatro por uno en general, será de tamaño n por uno, un vector columna de n filas y una columna porque tendremos en incógnitas y la matriz B en este ejemplo es de tamaño tres por uno, en general, será de tamaño m por uno, es decir, cantidad de ecuaciones en un vector columna de una columna.
Es decir, estoy escribiendo al sistema como el producto de A por X igual a B donde A una matriz de tamaño m por
n, X es una matriz de tamaño n por uno y B, m por uno.
Si observan puedo ver que verifica la condición de el producto de matrices obteniendo una matriz m por uno de A y B.
Otra manera de escribir a este sistema en este ejemplo en forma matricial es reemplazar entonces a las matrices tres, dos, cero, uno, uno, dos, uno, cero, cinco, seis, dos, uno.
Lo multiplico por la matriz X de las incógnitas: x, y, z y w, siempre en orden, siempre debo tener en orden la columna de las x, de las y, de las z y de las w, el sistema tiene que estar ordenado y completo, se completa con ceros en caso de que sea necesario.
Y lo igualo a la matriz de los términos independientes : cero, uno, dos, está en la anotación matricial de un sistema.
A continuación, veremos cómo podemos resolver este sistema.
Si aplicamos el método de Gauss Jordan escribiendo el sistema en su forma ampliada, es decir, la matriz A incluyendo la columna de los términos independientes.
Voy a trabajar con el, tomando pívot, pivotes en este caso de tomar el primer elemento, este elemento como pívot y voy a buscar hacer vectores canónicos a las columnas de esta matriz.
En este caso, tendré que hacer… trabajar haciendo cero a este elemento al tres y al cinco.
Si empiezo con el primero, puedo multiplicar a esta fila por menos tres y sumarle la de arriba.
Entonces estaré obteniendo tres menos tres por uno es cero, dos menos tres por dos es menos seis más dos me da menos cuatro, cero menos tres por uno es menos tres, uno más cero por menos tres es uno y cero y más uno por menos tres es menos tres.
La fila del pívot la dejo como está: uno, dos, uno, cero uno.
Y voy a pasar a la última fila.
En este caso tengo un cinco, entonces puedo multiplicar a la fila del pívot por menos cinco y sumar la fila de abajo.
Menos cinco por uno más cinco es cero, menos cinco por dos es menos diez más seis es menos cuatro, menos cinco por uno es menos cinco más dos me da menos tres, menos cinco por cero es cero más uno me da uno, menos cinco por uno es menos cinco más dos me da menos tres.
Entonces ahora voy a seguir trabajando para encontrar… encontré un vector canónico, voy a buscar otro.
Puedo tomar, por ejemplo, este uno que no se encuentra ni en fila ni en la columna del pivote anterior.
Entonces a esa fila la bajaré como esta y buscaré hacer ceros estos elementos, los restantes de esa columna.
Como este elemento ya es cero entonces simplemente bajo esa columna, perdón, esa fila como esta y tengo que hacer cero a esta, a este uno.
Entonces simplemente puedo restar fila uno menos fila tres.
Resto elemento elemento cero menos cero me dará cero, menos cuatro menos menos cuatro me dará cero, menos tres menos menos tres también me dará cero, uno menos uno me da cero y menos tres menos menos tres también me dará cero.
Como observamos, me quedé sin esta ecuación, sin la última ecuación que la elimino y me quedan las restantes dos ecuaciones.
Este sistema era un sistema que tenía cuatro incógnitas con tres ecuaciones.
Cuando el sistema tenga más incógnitas que ecuaciones, nunca será un sistema compatible determinado, es decir, hay únicamente dos situaciones posibles que el sistema sea de infinitas soluciones o que no tenga solución pero nunca podrá ser de solución única, ya que no tengo suficientes ecuaciones para la cantidad de incógnitas en el sistema.
¿Cómo encuentro algunas de esas infinitas soluciones entonces?.
Trabajaré con variables que serán principales, en este caso las variables principales serán las que me quedaron asociadas a los vectores canónicos que obtuve.
Esta era la columna de x, y, z y w.
Los vectores canónicos los obtuve para…perdón, para en la columna de x y para la columna de w, esas serán mis variables principales, x y w, y a las restantes variables que no logré transformar en vectores canónicos, se llamarán variables libres.
Esto quiere decir que x y w tendrán, en este caso serán y y z, x y w se expresarán en función de las variables libres y las variables libres podrán tomar cualquier valor y siempre el sistema tendrá solución.
Si reconstruyo este sistema a partir de lo que tengo, estoy teniendo como primer ecuación -4 y -3z + w si escribo a partir de los coeficientes igual a menos tres.
Y para la segunda ecuación 1 x + 2 y +1 z igual a uno.
Mis variables libres entonces serán y y z y buscaré despejar o encontrar una expresión para w y para x.
Si despejo en esta primera ecuación que tiene w puedo escribir -3 + 4 y + 3 z y esta será la expresión de w.
Y si despejo en esta segunda ecuación a x puede escribirla en función de las variables libres: 1 -2 y - z y esta será la expresión para x.
Entonces el conjunto solución se va a escribir como la expresión de x en función de las variables libres: 1 - 2 - y… perdón 1 -2y - z, esta es la la primer componente corresponde a x, la segunda tiene que ser y que es libre, la tercera tiene que ser z, que también es libre y la cuarta tiene que ser w que vale -3 + 4 veces y +3 veces z, es decir, tal que y pertenezca a los reales y también z pertenezca a los reales.
Es decir, y y z van a tomar cualquier valor real, y x y w estarán sujetas a los valores que tomen y y z, con estas expresiones, esto para x y esto para w.
Esta se llama solución general del sistema y me va a dar las infinitos soluciones que tenga este sistema.
Podemos ver con un ejemplo, encontrar una solución particular, darle valores a las variables libres, y y z, y obtener valores para x y para w.
Si por ejemplo… y obtendré una cuaterna, entonces por ejemplo, a y y z le doy valores cero para trabajarlo de forma más sencilla.
Si y y z valen cero, x mediante esta expresión está valiendo uno y w mediante esta expresión, si y y z valen cero, está valiendo menos tres.
Entonces una solución particular que va a verificar todas las ecuaciones de este sistema será la cuaterna uno, cero, cero, menos tres.
Podemos darle otros valores, tal vez por ejemplo, podemos tomar un valor para y igual a uno y para z igual a cero y obtendremos los de x y w.
Si y vale uno la expresión de x me quedará uno menos dos que es menos uno y la de w me quedara menos tres más cuatro por uno que me dará uno.
Entonces esta cuaterna menos uno, uno, cero, uno será otra solución particular del sistema y así puedo continuar encontrando las infinitas soluciones del sistema.