Formas de Representación de Números Complejos
Hola, en este vídeo veremos qué son las coordenadas polares del número complejo.
Como sabemos un número complejo es un par ordenado de números reales (a,b), donde a se conoce como componente real y b como componente imaginaria.
Otra manera de escribir un número complejo es a través de su forma binómica a + bi, donde i es la unidad de imaginaria.
Pero estas no son las únicas maneras de referirnos a un número complejo, también podemos hacerlo a través de su módulo y de su argumento.
Un número complejo, como sabemos z igual a a + bi, está dado en esta forma binómica a través sus proyecciones en los ejes coordenados x e y del plano complejo.
a, representa la proyección sobre el eje conocido como eje real y b la producción sobre el eje imaginario.
Pero no son las únicas formas de conocer a un número complejo.
También lo puedo determinar a través de su módulo, que es la longitud del vector que lo representa y de su ángulo θ, que es el ángulo que forma ese vector del número complejo con el semieje positivo de la x.
Así, las ecuaciones polares de un número complejo son… están determinada a través de los cosenos y senos del triángulo rectángulo que se forma con el ángulo θ.
Así obtendremos que el coseno de θ puede ser obtenido como la distancia a dividido el módulo de z y el seno de θ como la distancia b dividido el módulo de z, donde θ es el argumento de este número complejo y siempre será un número contenido entre cero y dos π, es decir, trescientos sesenta grados.
Otra manera de encontrar a θ es a través de la fórmula arco tangente de b sobre a, parte imaginaria sobre parte real.
Si vemos un ejemplo, podremos tener un complejo a través de sus coordenadas polares: módulo de z igual a cinco y ángulo θ de ciento treinta y cinco grados, en el sistema sexagésimal o tres cuartos π en el sistema radián.
Podemos representar este número complejo a través de estas dos coordenadas midiendo un ángulo de ciento treinta y cinco grados y en esa ubicación, trazando un vector de una distancia de cinco unidades.
Esta es otra manera de representar a un número complejo a través de sus coordenadas polares.
Otra forma de representar a un número
complejo es a través de su forma trigonométrica, que me brinda información de su módulo y de su argumento.
La forma trigonométrica de un número complejo está por el módulo de z por el producto del coseno de θ más la unidad imaginaria por el seno de θ.
Podemos a través de una forma binómica de un número complejo, llegar a su forma trigonométrica calculando el módulo del complejo y el argumento.
Veamos este ejemplo donde tengo el complejo z igual a - 2 + 2i.
Tendré que calcular su módulo que, como recordaremos, es la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de sus componentes, es decir, la raíz cuadrada de a cuadrado más b cuadrado.
Si reemplazo en esta expresión, obtendré raíz cuadrada de la primer componente, menos dos, elevado al cuadrado más la segunda componente, dos, también elevado al cuadrado que operando me dará un resultado de raíz de ocho, cuatro más cuatro, que factorizado se puede escribir como dos por raíz cuadrada de dos.
Este es el módulo de z.
Para obtener su argumento operaré con el arco tangente de b sobre a, parte imaginaria sobre parte real.
En este ejemplo, obtendré arco tangente de dos sobre menos dos, que es arco tangente simplificando de menos uno.
Si resolvemos arco tangente de menos uno arroja un resultado de menos cuarenta y cinco grados.
¿Por qué obtenemos un número que no está entre cero y π?
¿entre cero y tres cientos sesenta grados?
Sino que es negativo.
Este valor que obtenemos se conoce como argumento del ángulo del complejo Z, pero no es el argumento principal, sino que tendré que hallar el argumento principal del número complejo para poder expresar su forma trigonométrica.
El argumento principal debe ser calculado teniendo en cuenta la ubicación del número complejo, en este caso, -2 + 2 i, en particular en qué cuadrantes ubica y aplicando esta regla práctica.
En este caso, -2 + 2i, es un número complejo que está ubicado en el segundo cuadrante, ya que su parte real es negativa y su parte imaginaria positiva.
Como regla general cuando tengamos números complejos ubicados en el segundo y tercer cuadrante, al resultado que hemos obtenido le sumaremos ciento ochenta grados para obtener el verdadero valor del argumento θ y cuando el complejo esté en el cuarto cuadrante, sumaremos trescientos sesenta grados para obtener el verdadero valor.
En este caso, como el complejo está en el segundo cuadrante a este valor sumaré ciento ochenta grados, lo que me arrojará un resultado de ciento treinta y cinco grados en el sistema sexagésimal o lo que es lo mismo, tres cuartos π en el sistema radián, es decir que este complejo se puede escribir como el módulo de… su módulo que es dos por raíz de dos, por el coseno de tres cuartos π, más i por el seno de tres cuartos π.
Esta es la forma trigonométrica de este número complejo.
Entonces, dada una forma binómica tendremos que hallar su módulo y su argumento para obtener la forma trigonométrica y en cambio, si nos dan la forma trigonométrica y querramos obtener la forma binómica tendré que desarrollar los cosenos y la propiedad distributiva en esta expresión.
Si vemos en este otro ejemplo, tengo el numero complejo uno menos raíz de tres i.
En primer lugar, lo ubicaré en su cuadrante correspondiente.
Éste es un número complejo que está ubicado en el cuarto cuadrante, ya que su componente real es positiva y su componente imaginarias negativa, por lo que deberé buscar la forma trigonométrica de este número complejo.
Para encontrarla buscaré en primer lugar su módulo.
El módulo de z será igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes, es decir, uno el cuadrado más raíz de tres negativa al cuadrado.
Esto me arrojará un resultado de uno y en esta expresión, al ser potencia par, obtendré un resultado positivo y poderes simplificar potencia y raíz dando como valor tres.
Esto me dará raíz de cuatro que es igual a dos.
Este será el módulo del número complejo.
Para encontrar el argumento, esto me dará por resultado arco tangente de menos raíz de tres, menos sesenta grados.
Nuevamente no es el verdadero valor del argumento, sino que tendré que como está ubicado en el cuarto cuadrante, sumar trescientos sesenta grados.
Esto me dará por resultado trescientos grados en el sistema sexagésimal o cinco tercios π en el sistema radián.
Es decir, que el complejo se podrá escribir como dos por el coseno de cinco tercios π más i por el seno de cinco tercio π, representado en su forma trigonométrica.
Por último, podemos mencionar lo que se conoce como forma exponencial de un número complejo.
La forma exponencial es muy útil para resolver algunas operaciones en números complejos y resulta de escribir el módulo de z por el número e elevado a la… a la unidad de imaginaria por el argumento del complejo z.
En este caso, la forma exponencial de este número complejo podría ser escrita como z igual al módulo que nos dio por resulta dos por el número e elevado de la unidad de imaginaria por cinco tercio π, de manera que este… esta es la forma exponencial de este número complejo.
