Matrices Singulares y No Singulares. Ecuaciones Matriciales
Hola, en este video vamos a ver a qué llamaremos matrices singulares y no singulares.
Recordando el proceso de matriz inversa, nosotros definiremos una condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa, como el determinante de la matriz tiene que ser distinto de cero.
Con esto Estamos diciendo que la inversa, si existe, tiene que tener una matriz que le dé origen que tenga un determinante distinto de cero.
Recordemos que si una inversa existe, es única, la matriz inversa es única y siempre existirá si el determinante de la matriz es distinto de cero.
A estos llamamos cuando, una matriz tiene un determinante distinto de cero, la llamamos matriz no singular o invertible, es decir, una matriz que se puede invertir.
En cambio, si el determinante de una matriz resulta ser cero, diremos que esa matriz es singular o no invertible y no tendrá inversa.
Además, si la matriz es de orden n por n, una matriz cuadrada y supongamos que sea no singular o invertible, es decir, que su determinante no sea cero pueda encontrar su inversa, esa inversa será única y también se verificará que el rango de la matriz será siempre n, es decir, el tamaño de la matriz ya que tendrá rango completo por ser invertible.
Si vemos esto en un ejemplo podemos ver que tenemos la matriz B y verificaremos si es singular o no singular.
Para ello, tenemos que calcular el determinante de la matriz B que será igual a encontrar el determinante de uno, menos dos, tres, menos seis.
Para encontrar este determinante, multiplicamos los elementos de la diagonal principal uno por menos seis y restamos los elementos de la diagonal secundaria, menos dos por tres.
Esto me da uno por menos seis es menos seis, menos dos por tres es menos seis con este menos, obtengo más seis, por lo que el determinante es cero.
Entonces, diremos que esta matriz B no se puede invertir, es singular.
Perdón… la matriz B es singular.
También me puedo dar cuenta de eso porque si observo en esta matriz, las dos columnas son proporcionales.
Si a la primer columna la multiplico por menos dos obtengo la segunda columna.
Si vemos otro ejemplo, en esta matriz A, veremos si es singular o singular.
Para ello, calcularemos su determinante, el determinante de la matriz A será uno, tres, cero, menos cuatro que me dará: multiplicando los elementos de la de las diagonales uno por menos cuatro es menos cuatro y la otra diagonal es cero con lo que obtenga un resultado distinto de cero, por lo tanto, la matriz A es invertible, puedo proceder a encontrar su inversa.
Por lo tanto, si buscamos la inversa de la matriz A, veremos que en primer lugar buscaremos con el método de la matriz adjunta buscaremos la matriz adjunta y para ello, primero buscaremos la traspuesta.
La traspuesta de A será uno, cero como fila tres, menos cuatro
y en esta matriz buscaré su adjunta.
La adjunta de A será igual a… si en esta matriz por cada elemento voy cancelando filas y columnas en las que se encuentra y además, tengo presente que el patrón de signo para una matriz adjunta de tamaño dos por dos es positivo, negativo, negativo y positivo, según los signos de los cofactores o adjuntos de cada elemento por ser posiciones pares o impares.
En esta matriz obtendré para el elemento uno, si cancelo su fila y su columna, obtengo menos cuatro,Sólo el elemento menos cuatro y el determinante de menos cuatro es menos cuatro, sin cambiar su signo por ser por encontrarse el uno en una posición par.
Para el siguiente elemento, el cero, cancelaré su fila y su columna y obtengo tres, en este caso lo cambiaré de signo por encontrarse el cero en una posición impar, es decir, que será menos tres.
Para el elemento tres, cancelaré su fila y su columna obtengo por resultado cero.
Cero no es ni positivo ni negativo en este caso lo dejaré como cero pero si hubiera sido otro número, lo tendría que cambiar de signo por ser posición impar.
Y para terminar, si cancelo la fila de la columna del menos cuatro, el elemento que me queda es uno sin cambiar su signo por ser posición par.
Esta es la matriz adjunta de A y además, puedo encontrar entonces ahora la inversa.
La inversa de A que se designa A la menos uno, se obtendrá multiplicando el inverso del determinante por la adjunta, que si multiplico menos un cuarto por esta matriz, obtendré: menos cuatro por menos un cuarto me dará por resultado uno, menos tres por menos un cuarto me dará tres cuartos, cero, menos un cuarto y esta es la matriz inversa de A.
Tendremos presente dos propiedades que se verifican para las matrices inversas y adjuntas.
En particular para la matriz adjunta, si multiplico una matriz por su adjunta, obtendré siempre por resultado el determinante de la matriz por la matriz I, identidad.
Sí lo verificamos en este ejemplo, si multiplico en la matriz, que es uno, tres, cero, menos cuatro por la matriz adjunta que me dio por resultado menos cuatro, menos tres, cero y uno, sí realizo este producto de matrices obtendré.
En primer lugar, multiplico fila por columna uno por menos cuatro y tres por cero, me da por resultado menos cuatro.
Para la siguiente fila por segunda columna, uno por menos tres y tres por uno es cero.
El siguiente elemento, segunda fila con primer columna, cero por cuatro y menos cuatro por cero es cero.
Y para el último, segunda fila y segunda columna, cero por menos tres, menos cuatro por uno es menos cuatro.
Y esto es lo mismo que tener menos cuatro por la matriz identidad del mismo orden, uno, uno, cero, cero porque el menos cuatro lo puedo extraer fuera de la matriz y menos cuatro era el determinante de A, es decir, que obtuve el determinante por la matriz identidad.
Otra propiedad que se verifica es que el determinante de la matriz inversa de A es igual al inverso del determinante de A.
Entonces, en esta matriz hemos calculado el determinante de A y dio por resultado menos un cuarto, se puede verificar que el determinante de la inversa deberá ser menos un cuarto.
Por último, esto nos permitirá resolver ecuaciones matriciales.
Si tenemos matrices A y B no singulares, podemos plantear ecuaciones en las que las incógnitas sean matrices: A por X que igual a B, donde la incógnita que necesito encontrar es la matriz X.
¿Cómo procedo para despejar una matriz de una ecuación?.
En este caso, volveré a copiar las matrices A X igual B para poder despejar una matriz X, la matriz A deberá pasar al otro miembro no dividiendo, ya que no existe la división de matrices, pero multiplicando por su inversa.
Si en este ejemplo, pre multiplico ambos miembros por la inversa de A, A a la menos uno estaré obteniendo, pre multiplicando en ambos miembros, recordando que el producto de matrices no es conmutativo, así que debo hacerlo de esta manera.
Para obtener A a la menos uno, la inversa de A por A, que me da por resultado la identidad, por definición de matriz inversa., por la matriz X igual a la inversa de A por B.
Pre multipliqué en ambos miembros de manera que la inversa de A pueda quedar junto a A y ese resultado sea la identidad.
Entonces obtengo como la matriz identidad funciona como el uno, el número uno en matrices es multiplicar por la unidad a la matriz a X estaría obteniendo la matriz X igual a A a la menos uno por B, de manera que obtengo una expresión despejada para la matriz X.
Si en este otro ejemplo procedo de manera semejante.
Para despejar la matriz X, tendré que, por un lado multiplicar también pre multiplicar ambos miembros por A a la menos uno de manera de este producto poder resolverlo como la identidad.
Si multiplico de un miembro multiplico del otro miembro también y pos multiplicaré a ambos miembros por B a la menos uno de manera de este producto también me dé por resultado de la identidad.
Entonces tengo identidad e identidad en estas expresiones y la matriz X, por lo que A a la menos uno por C por B a la menos uno, las inversas y el producto de la identidad por una matriz es la misma matriz, por lo que obtengo la matriz X despejada con la expresión, la inversa de A por C por la inversa de B.
Si vemos un ejemplo, resolvemos el primer caso.
La ecuación matricial X igual a A a la menos uno por B.
Sí quiero encontrar la matriz X despejando de esta manera, tengo que resolver la expresión la inversa de A por B.
Si resolvemos tenemos que encontrar, para poder encontrar X la inversa de A.
Esta matriz inversa la encontramos ya en el paso anterior y dio por resultado uno, tres cuartos, cero y menos un cuarto.
Si ahora procedemos a realizar el producto de A a la menos uno por B, para obtener la matriz X, obtendremos: la matriz inversa uno, tres cuartos, cero, menos un cuarto y la matriz B que es dos, menos uno, tres y menos cuatro.
Sí realizo estos productos, para obtener la matriz X estaré multiplicando primer fila por primer columna, uno por dos que es dos y tres cuartos por tres que nueve cuartos y dos más nueve cuartos me da por resultado diecisiete cuartos.
Luego primer fila por segunda columna, uno por menos uno es menos uno, tres cuartos por menos cuatro es menos tres, es decir, que obtengo menos cuatro.
Siguiente fila por primer columna, perdón… cero por dos es cero, menos un cuarto por tres es menos tres cuartos y esta fila, segunda fila, por la última columna cero por menos uno es cero y menos un cuarto por menos cuatro es uno con lo que la matriz X queda de esta manera.
