Menor Complementario, Adjunto y Regla de Laplace
Hola, en este video vamos a ver cómo podemos calcular determinantes de cualquier tamaño de matrices cuadradas aplicando la regla de Laplace que también se conoce como Método de Desarrollo en Menores.
Antes de definir… antes de ver cómo funciona la regla de Laplace, definiremos algunos elementos que necesitaremos para esta regla.
En primer lugar, vamos a ver a que llamaremos menor complementario de un elemento de una matriz.
Al menor de un elemento lo designaremos con la letra Mij, es decir, elegiré un elemento y buscaré su menor que se designará con la letra M y con subíndices la ubicación de ese elemento.
Así por ejemplo, si quiero calcular el menor del elemento supongamos tres, este tres, su menor, como el elemento tres se encuentra en la fila uno columna dos lo simbolizaré de esta manera y se obtendrá eliminando la fila donde se encuentra el tres y la columna de manera de obtener un determinante.
Si esta matriz, era de orden tres, obtendrá un determinante de un orden menor, un orden dos, donde lo resolveré y a ese número que obtenga se llamará menor.
En este caso, sí elimino la fila uno y la columna dos me quedan por elementos menos uno, tres, dos y cero.
Y si aquí calculo este determinante menos uno por cero es cero, menos, por regla de determinantes, dos por tres seis, esto me da menos seis.
Quiere decir que el menor del elemento uno, dos ubicado en fila uno, columna dos es menos seis.
Un menor complementario entonces, es el determinante de un elemento que se obtiene de eliminar la fila y la columna donde se encuentra ese elemento, resolviendo un determinante de orden menor.
Si esta matriz era de tres por tres, el menor será de dos por dos.
Ahora, si por ejemplo quisiera encontrar, por ejemplo, el menor del elemento dos, tendré que cancelar la fila y la columna donde se encuentra ese elemento.
En este caso, el dos, el primero se encuentra en la fila tres columna uno, es decir que los simbolizaré al menor como M31.
Eliminaré la fila tres y la columna uno y los números que me quedan tres, dos, cuatro y tres formarán un determinante.
Tres, dos cuatro y tres y si lo resuelvo, obtengo tres por tres, nueve menos dos por cuatro, ocho que me da uno.
Esto se conoce como menor de ese elemento.
Otro elemento que definiremos a continuación es lo que se conoce como adjunto o cofactor de un elemento
de una matriz.
¿A qué llamaremos adjunto o cofactor?.
El adjunto que se simbolizará Aij, indicando i la columna del elemento que estoy tomando y j… perdón i la fila y j la columna.
Se obtendrán multiplicando al menor de ese elemento por este factor, menos uno elevado a la suma de fila más columna, i+ k, es decir, que simplemente tendré que calcular el menor, que se calcula como un determinante y multiplicaré por este factor.
Por lo tanto, obtendré dos resultados posibles.
Puede suceder que i + j, esa suma que tengo en el exponente del menos uno de por resultado un número par.
Si eso sucede el adjunto y el menor tendrán el mismo valor, no cambiará el número porque si al menos uno lo elevo a un número par, menos uno elevado a una potencia par me dará por resultado uno, es decir, no alteraré el signo ni el número del menor respecto del adjunto.
La otra posibilidad es que i + j, la suma, me arroje un número impar.
En ese caso, diremos que adjunto y menor tendrán signos opuestos, porque menos uno elevado a una potencia impar me dará por resultado menos uno.
Si lo hacemos en esta matriz, calculamos por ejemplo, el adjunto del elemento cero que se encuentra en esta posición.
El adjunto de el elemento que se encuentra en la fila tres, columna uno.
Tendré que calcular menos uno elevado a la tres más uno por el menor, que era el determinante en el que cancelaré esta fila y esta columna, cancelando esas dos filas obtengo como resultado menos uno, cero y cuatro y dos que son estos elementos.
Menos uno, cero, cuatro y dos.
IY si resuelvo esto, menos uno elevado a la cuarta me dará por resultado uno y este determinante, menos uno por dos es menos dos y cero por cuatro es cero con el signo menos.
Esto me dará por resultado menos dos, que será el valor del adjunto del elemento que se encuentra en la fila tres, columna uno.
Si ahora pruebo calcular el adjunto de menos uno, es decir, del elemento que se encuentra en la fila uno, columna dos, tendré que hacer el producto menos uno elevado a la uno más dos por el determinante que queda de eliminar fila uno y columna dos.
Sí elimino esta fila y elimino esta columna me quedan los números tres, dos, cero y uno, vale.
Ahora como menos uno está elevado a un número impar, tres, esto me dará por resultado menos uno y el determinante me da por resultado tres, es decir, que el adjunto tomará el valor menos tres.
Ahora, si queremos aplicar la regla de Laplace, esta regla nos permite calcular determinantes de cualquier orden de matrices cuadradas.
En este caso, tengo un ejemplo genérico de una matriz de tamaño n por n.
¿En qué consiste la regla de Laplace?.
Tendré que elegir una fila o una columna cualquiera, supongamos que elijo la fila dos y para obtener el determinante, lo que haré será realizar el producto entre los elementos de esa fila, a21 por el adjunto del elemento A21, sumaré el siguiente elemento a22 y multiplicado por su adjunto A22 y así continuaré con toda la fila que elegí.
Puedo tomar una columna también, a2n por el adjunto A2n.
Con esta regla que se conoce como regla de Laplace o también Método de Desarrollo en Menores, puedo calcular el determinante de una matriz.
Si tomamos este… esta matriz como ejemplo, se aconseja siempre elegir la fila o columna que más ceros tenga, de manera de simplificar los cálculos.
En este ejemplo yo tomaré la columna tres.
Sí tomo esta columna tres, multiplicaré cero, dos y uno por su correspondientes adjuntos.
Si empiezo con cero, multiplicaré cero por su adjunto que lo obtendré haciendo menos uno elevado a la: el cero se encuentra en la fila uno, columna tres, entonces uno más tres me dará cuatro multiplicado por el determinante que queda de eliminar fila y columna, eliminaré la fila uno y la columna tres, me darán los elementos tres, cuatro, cero, menos tres.
A continuación, sumaré el siguiente elemento que ahora será el dos por el adjunto, es decir, menos uno elevado a la: el dos se encuentra en fila dos, columna tres y dos más tres me da cinco por el determinante que queda de eliminar esa columna y la fila, me darán los elementos dos, menos uno, cero y menos tres, dos, menos uno, cero y menos tres.
Y por último, el último elemento que sumaré será el uno multiplicado por su adjunto, menos uno elevado a la: fila tres, columna tres, tres más tres me da seis por el determinante que queda de eliminar esa fila y esa columna dos, menos uno, tres y cuatro.
Si resuelvo esto, el primer término que está multiplicado por cero, no lo calcularé ya que será cero.
En este siguiente terminó obtendré dos por menos uno a la quinta será menos dos, por ser potencia impar cambia el signo del dos y en el determinante multiplicaré dos por menos tres que es menos seis y diagonal secundaria menos uno por cero será cero.
En el siguiente terminó uno por menos uno a la sexta para uno por ser potencia par y el determinante será dos por cuatro, ocho menos, por diagonal secundaria, menos uno por tres, menos menos tres, con lo que estaré obteniendo por resultado.
El elemento cero, no lo tengo en cuenta.
Menos dos por menos seis es doce positivo y aquí tengo ocho menos, menos tres, esto es un signo tres, ocho menos menos tres, que es ocho más tres once, por lo que el determinante me está dando veintitrés.
De esta manera, calculé el determinante de una matriz de orden tres por tres.
La regla de Laplace se pueda aplicar a determinantes de cualquier tamaño.
