Método de Eliminación Gaussiana
Hola, en este video vamos a ver en qué consiste el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Este método se puede aplicar a sistemas de cualquier tamaño, no importa la cantidad de filas y columnas que el sistema tenga, no tiene requisitos.
Lo que vamos a hacer es aplicando este método, transformar la matriz la ampliada un sistema de ecuaciones en una matriz escalonada, es decir, en una matriz que sea triangular superior.
Vamos a transformar a la matriz ampliada del sistema en una matriz triangular superior, utilizando para eso lo que se conocen como operaciones elementales, es decir, operaciones que puedo aplicar a la fila o a las columnas de la matriz y que no alteran a esa matriz, es decir, me permiten obtener una matriz equivalente que tendrá la misma solución que la matriz original.
Estas operaciones elementales pueden ser combinaciones lineales entre filas de la matriz, intercambiar de lugar filas de la matriz y también multiplicar a toda una fila o columna por un elemento que no sea cero.
Cuando obtengamos a través de operaciones elementales entonces de la matriz ampliada, una matriz escalonada, luego obtendremos un sistema que será mucho más simple de trabajar, equivalente al original pero más sencillo y que lo podremos resolver con el método en sustitución hacia atrás para obtener las incógnitas.
Es decir, primero obtendremos la incógnita xn, luego la incógnita xn-1 y así hasta obtener al final la primera incógnita, x1.
Estas que estamos observando aquí son matrices reducidas o escalonadas o matrices que se han transformado por eliminación gaussiana.
Como podemos ver para identificar matrices reducidas, son matrices que sí son cuadradas son triangular superior y debajo de la diagonal principal podemos trazar una escalera, por eso se llaman matrices escalonadas, debajo de esa escalera, todos los elementos son ceros.
Nuestro objetivo será transformar cualquier matriz en una matriz escalonada, de esta manera.
Si no es cuadrada de todas maneras se puede transformar en una matriz escalonada con este método.
Si observamos debajo de los elementos de la diagonal principal, todos los elementos son cero, entonces esto es una matriz reducida o escalonada.
Y aquí sucede lo mismo, estos son los elementos de la diagonal principal y debajo tengo ceros.
Recordemos que los elementos de la diagonal principal son los elementos que se ubican en las posiciones 11, 22,
etcétera.
En este caso, 11, 22, 33, etcétera.
Veamos un ejemplo.
Tenemos este sistema de ecuaciones lineales.
Vamos a aplicar operaciones elementales para poder resolverlo, es decir, vamos a buscar transformar esta materia ampliada en una matriz escalón o matriz escalonada o matriz reducida.
Para eso entonces vamos a buscar hacer cero los elementos debajo de la diagonal principal, es decir, a estos tres elementos.
Voy a arrancar como el primer elemento es un uno, puedo tomarlo como pívot y tratar de hacer cero estos elementos.
Puedo usar combinaciones lineales siempre con la fila del pívot, es decir, voy a aplicar para hacer cero el cuatro puedo cambiar a la fila dos por fila… menos cuatro por fila uno más fila dos por ejemplo, es decir, multiplico la fila uno por menos cuatro y le sumo la fila de abajo.
La fila del pivot, la dejo como está, la copio igual que o la original.
Y ahora sí, menos cuatro por uno menos cuatro, menos cuatro por uno más cuatro, perdón, me da cero.
Menos cuatro por menos dos me da ocho más uno me da nueve, menos cuatro por tres es menos doce menos uno menos trece, menos cuatro por once es menos cuarenta y cuatro más cuatro es menos cuarenta, y para la fila para hacer cero este elemento puedo por ejemplo, multiplicar por menos dos también a la fila del pívot y sumar la fila tres.
Entonces, si operamos menos dos por uno más dos me da cero, que es lo que quiero, menos dos por menos dos es cuatro menos uno es tres, menos dos por tres es menos seis más tres es menos tres, menos dos por once es menos veintidós más diez es menos doce.
Como veo, aquí aún no he convertido a todos los elementos debajo de la diagonal en cero, me falta este elemento, me falta transformar a este elemento en cero.
Para hacerlo, puedo trabajar con esta fila, puedo trabajar con la fila dos.
Es decir, el orden de las operaciones elementales en la manera en que les voy a ir aplicando, en este caso, no busco transformar en vectores canónicos sino que busco solamente escalonar la matriz.
Cuando trabajo en la primer columna tratando de hacer cero estos elementos, voy a usar la primer fila pero ahora que voy a trabajar en la segunda columna tratando de hacer cero este elemento, voy a usar la segunda fila y ya no voy a utilizar la primera porque sino se podrán… se van a a ir los ceros que acaba de conseguir, tengo que utilizar una fila que se ya tenga a cero en ese elemento sino voy a va a desaparecer este cero que conseguí.
Entonces, para hacer cero este elemento usando la fila dos, puedo por ejemplo sumar la fila dos menos tres por la fila tres.
Esto es una combinación lineal con escalares distintos de cero.
Entonces, las dos primeras filas que están bien, las que están transformándose en una materia escalonada las copio como están y a la última fila la voy a cambiar por esta combinación lineal que me va a dar por resultado fila dos menos tres por fila tres me va a dar cero, menos dos por cero es cero no se tiene que ir ese cero, nueve menos tres por tres es cero, menos trece menos tres por menos tres es nueve esto me va a dar menos cuatro.
Menos cuarenta menos tres por menos dos, seis, treinta y seis esto me va a dar menos cuatro también.
Logre escalonar la matriz está que tengo es una matriz escalonada ahora o matriz triangular superior, logré que los elementos debajo de la diagonal principal se hagan cero.
Cuando el sistema me queda de esta forma se lo conoce como sistema triangular porque si observo es como que tengo una especie de triángulo entre estos elementos.
Cuando suceda eso estaré hablando de que voy a obtener un sistema compatible determinado con una única solución.
Para obtener esa solución lo que voy a hacer es reconstruir este sistema.
Entonces, este sistema va a ser equivalente a lo que obtuve aquí x1 - 2x2 + 3 x3 igual a once.
En la siguiente 9 x2 - 13 x3 igual a menos cuarenta, en la última -4x3 igual a menos cuatro.
Este es un sistema que me quedó triangular.
Si obtengo un sistema triangular voy a tener una única solución.
¿Cómo la voy a obtener?.
Trabajando con sustitución hacia atrás, parto de la última ecuación y despejo la última incógnita.
Si de esta ecuación de despejo x3, menos cuatro que está multiplicando puede pasar dividiendo así que voy a obtener menos cuatro sobre menos cuatro, con lo que tengo un valor para x3 igual a uno.
Si parto ahora tomo la segunda ecuación sustituyendo hacia atrás voy a decir que 9 x2 - 13 por…y ya encontré el valor x3 que es uno tiene que ser igual a menos cuarenta.
Me queda una ecuación con una sola incógnita de la que puedo despejar x2.
Esto me va a dar por resultado 9 x2 igual a menos cuarenta más trece que me dará menos veintisiete, Así que x2 está valiendo menos tres.
Y para terminar en la primera ecuación puedo encontrar x1, x1 menos dos por y ya conozco el valor de x2 que es menos tres más tres por, también conozco el valor de x3 que es uno y esto tiene que ser once.
Es decir, que estoy obteniendo x1 +6 +3 igual a once, por lo que x1 va a tomar el valor de dos y ahí tengo la solución del sistema, los valores de las tres incógnitas que tenía.
Cuando el sistema, suponiendo que en este espacio obtenía un cero y un cero cuando aplicabas estas transformaciones elementales esa fila se hubiera anulado, eliminaba esta última fila y me hubiera quedado con un sistema de forma trapezoidal, es decir, aquí se iba a formar un trapecio en este espacio en vez de un triángulo.
Cuando el sistema de forma trapezoidal, si hubiera sucedido eso, esto hubiera sido un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones que con el mismo procedimiento de sustitución hacia atrás, puedo encontrar las soluciones del sistema.