Operaciones con Números Complejos
Hola, en este vídeo veremos cómo se realizan las operaciones con números complejos.
Empezaremos con la suma.
Dados dos números complejos z1 y z2, dados en forma cartesiana, llamaremos suma al complejo que se obtiene de sumar componentes real… reales por un lado, y componentes imaginarias, por otro lado: a + c y b más d.
Este es el nuevo par ordenado, que representa la suma entre los dos números complejos.
Para definir la resta entre dos números complejos, primero tendremos que hablar de a qué llamaremos opuesto de un número complejo.
Dado un número complejo z igual a (a,b), su opuesto que llamaremos menos z se obtendrá de cambiar los signos de ambas componentes, real e imaginaria.
Entonces, la resta entre dos números complejos z1 - z1 quedará definida como la suma entre el primero y el opuesto el segundo, es decir, que para proceder en la resta de dos números complejos no tendremos más que restar componentes reales, por un lado y componentes imaginarias, por otro lado.
En el caso de que los complejos estuvieran dados en forma binómica, procederemos de manera semejante.
Dados dos complejos z1 y z2, para sumarlos, sumaremos componentes reales por un lado y componentes imaginarias por otro lado, acompañando las componentes imaginarias por la unidad imaginaria i y lo mismo realizaremos con la resta.
Si vemos esto en un ejemplo, tenemos que sumar dos números complejos (-4,3) y (2,5).
Para proceder realizaremos la suma entre las componentes reales, -4 y 2, -4 +2 y las componentes imaginarias 3 y 5, 3 más 5.
Si operamos, obtendremos -2 y 8.
Es decir, que obtendremos el complejo que también se puede escribir en forma binómica, -2 + 8 i.
Para realizar el producto entre dos números complejos dados en forma binómica, lo que tendremos que hacer es realizar la propiedad distributiva, entre ellos.
Así, por ejemplo multiplicarmos a por c, a por d por i, b por i por c y b por i por d por i, obteniendo b por d por i al cuadrado, donde el valor de i al cuadrado es la potencia cuadrada de la unidad de imaginaria y siempre arrojará por resultado uno, por lo que el resultado de este producto será la forma… de la forma a por c menos b por d más i por a por d más b por c.
Es Importante resaltar que si multiplicamos a la unidad de imaginaria que
se puede escribir como (0,1) en la forma cartesiana o i en la forma binómica por sí misma, realizando… aplicando la fórmula que acabamos de describir, obtendremos por resultado (-1,0) que en forma binómica se puede escribir como -1, por lo que multiplicar la unidad imaginaria por sí misma arrojará por resultado el valor de -1, es decir, que i al cuadrado se puede escribir como -1, por lo que el valor de i es la raíz cuadrada de -1.
Esto es muy importante, ya que nos permite resolver operaciones que antes en el campo de los números reales no estaban definidas.
Si vemos un ejemplo, para resolver el producto entre estos dos números complejos procederemos realizando la propia distributiva.
2 por 1 me dará por resultado 2, 2 por 5i me dará por resultado 10i, 3i por 1 es 3i y 3i por 5i, me da 15 i al cuadrado.
Como este i cuadrado se puede escribir como -1 o es el valor de -1, obtendré: 2 + 10i +3i -15 y agrupando componentes reales e imaginarias por separado 2 - 15 me dará por resultado -13 y10 i + 3 i me dará por resultado 13 i, por lo que el producto entre estos dos números complejos me da por resultado -13 + 13i.
Para proceder con el cociente trabajaremos de la siguiente forma.
Si queremos dividir dos complejos z1 dividido z2, lo que realizaremos es el producto entre el cociente de los complejos por el conjugado del denominador.
c menos d por i.
Recordemos que dado un complejo z igual a a + bi llamaremos conjugado al complejo que se obtiene de cambiar el signo a la componente imaginaria.
Entonces, obtendremos productos tanto en numerador como en denominador que ya sabemos resolver con el caso anterior, tendremos que realizar propiedades distributivas por separado.
Para realizar operaciones en la forma trigonométrica con dos números complejos donde conocemos sus módulos, el módulo de z1 y el módulo de z2 y sus argumentos θ1 y θ2, procederemos de la siguiente forma.
Para el caso del producto multiplicaremos los módulos y sumaremos los argumentos θ1 + θ2.
Para el caso del cociente dividiremos sus módulos y restaremos sus argumentos, el del numerador menos el del denominador.
Así, si vemos un ejemplo para proceder a multiplicar estos dos números complejos z1 por z2 tendré que multiplicar sus módulos 2 por 6 me dará por resultado 12 y tendré que sumar sus argumentos 30 grados más 90 grados me dará por resultado 120 grados más i por el seno de… realizo lo mismo con el seno, que también me arroja por resultado 120 grados.
Es decir, que este será el resultado de realizar el producto entre los dos números complejos.
Si quisiéramos realizar la potencia de un número complejo, lo más fácil será realizarlo en la forma trigonométrica.
Así, por ejemplo, si quisiéramos elevar a una potencia n al complejo z tendremos que elevar su módulo a la potencia n y multiplicaremos su argumento por n.
Así, si vemos en un ejemplo, dado este complejo si queremos elevarlo a la potencia cuarta, tendré que elevar a la cuarta a su módulo, tres a la cuarta y multiplicar por cuatro a su argumento π sobre cuatro, tanto en el seno como en el coseno.
Como puedo simplificar el cuatro del numerador con el denominador obtendré por resultado tres a la cuarta que me da ochenta y uno por el coseno de π más i por el seno de π.
Este será el resultado de elevar el complejo a la potencia cuarta.
Por último, si queremos proceder realizando la radicación de un número complejo, lo más sencillo será realizarlo en la forma trigonométrica también.
Por ejemplo, para calcular la raíz n-ésima de un complejo z, calcularé la raíz n-ésima de su módulo y para el caso del argumento tendré que aplicar esta operación θ más 2 por k por π dividido n, tanto en el coseno como en el seno, donde k será un número que variará entre cero y n menos uno.
Es decir que obtendré tantos resultados de la radicación de número complejo según el índice en la que… que tenga la raíz.
Así, por ejemplo, dado este número complejo si quisiera calcular la raíz cúbica de z, tendré que calcularlo para k, variando entre los siguientes números 0, 1 y2, que es el valor de n menos uno.
Por lo que obtendré para el caso de k igual a cero, tendré que calcular la raíz cúbica del módulo, raíz cúbica de ocho y para el argumento procederé aplicando la fórmula θ más dos por k por Pπ dividido n, donde recordemos que π es lo mismo que decir 180 grados.
Entonces, obtendré el valor de ciento veinte grados, que era el módulo original… el argumento original, disculpas… dos por cero, que es el valor de k por π que es ciento ochenta grados dividido tres.
Esto me arroja un resultado de cuarenta grados por lo que el complejo, la primer solución de la raíz de este número complejo será dos por el coseno de cuarenta grados más i por el seno de cuarenta grados.
Si procedo lo mismo, de la misma forma, ahora con el valor de k igual a uno realizando en la misma operación, obtendré por resultado el complejo z1 igual a dos por el coseno de ciento sesenta grados más i por el seno de ciento sesenta grados.
Y sí realizó el mismo procedimiento con k igual a dos.
Realizando el mismo reemplazo en el valor de k obtendré por resultado doscientos ochenta grados.
Estos tres números complejos son los resultados de aplicar la raíz cúbica al complejo dado.