Ortogonalidad, Proyección de Vectores y Normalización
En este video vamos a ver qué son los vectores ortogonales y cómo puedo proyectar un vector sobre otro.
En primer lugar, para definir a los vectores ortogonales diremos que un vector será ortogonal a otro cuando el ángulo que se forme entre ambos sea un ángulo de noventa grados, es decir, un ángulo recto.
Para encontrar… para determinar si dos vectores u y v son ortogonales diremos que un vector resulta ortogonal a otro cuando su producto escalar o producto punto de por resultado cero.
Así por ejemplo, si tenemos el vector u que tiene por componentes (1, 2) y el vector v que tiene por componentes (-6, 3), podemos ver que si hacemos el producto escalar entre ambos vectores, u y v, obtendremos por resultado… Para realizar producto escalar entre dos vectores antes recordemos que se procede multiplicando las componentes homólogas, es decir, primera componente con primera componente 1 por -6, me dará por resultado -6 y se suma el producto de las otras dos componentes, es decir… es decir, sumar el producto de 2 por 3 que me da 6.
-6 + 6 me da por resultado cero, entonces diré que el vector u y el vector v, u y v, son vectores perpendiculares, es decir, vectores que forman un ángulo de noventa grados.
Para hablar de la proyección de un vector sobre otro, definiremos… dados dos vectores un vector u y un vector v, definiremos proyección al vector que resulta proyección del vector u sobre el vector v, a un nuevo vector que resulta de proyectar una línea desde el extremo de u hasta la línea de acción del vector v de forma perpendicular, es decir, formando un ángulo de noventa grados.
Allí, quedará determinado un punto, uniendo ese punto con el origen del sistema de coordenadas, con el cero, me quedará determinado un vector que llamaremos vector proyección u prima que se llamará vector proyección y que lo podré escribir como la proyección de u sobre v.
Para encontrar de forma analítica la proyección de u sobre v lo que haremos es aplicar esta fórmula: u prima será igual en la proyección de
u sobre v y tendremos que aplicar la fórmula.
El producto escalar entre u y v, dividido la norma o módulo del producto v al cuadrado por el vector v.
Con esta expresión entonces, podremos obtener la producción de un vector sobre otro.
Así por ejemplo, si queremos calcular la producción entre el vector u y v proyectando sobre v, tenemos que recordar que no será lo mismo proyectar u sobre v que v sobre u, en este caso, queremos calcular u sobre v.
Si aplicamos la fórmula tendremos que calcular, en primer lugar, el producto escalar entre u y v, (-1,3) producto escalar (4,3) sobre la norma o módulo del vector v.
Recordemos que norma o módulo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes, es decir que aplicaré raíz cuadrada de las componentes de v que son 4 al cuadrado más la segunda componente, 3 al cuadrado y todo esto lo elevaré además al cuadrado para eliminar la raíz y multiplicaré a continuación por el vector v nuevamente (4,3).
Si resuelvo estas operaciones.
En el numerador el producto escalar - 1 por 4, más 3 por 3, anotaré los resultados - 1 por 4 me da - 4, 3 por 3 me dá 9, - 4 más 9 y en el denominador puedo simplificar la raíz con la potencia, obteniendo solamente el valor del radicando 16 más 9 que multiplicaré por (4,3).
Esto me dará por resultado - 4 más 9 es cinco sobre veinticinco por el vector (4,3) que cinco y veinticinco puedo simplificar, quedándome 1 y 5, de manera que obtendré un quinto por 5 que me da por resultado, cuatro quintos y un quinto por tres que me da por resultado tres quintos.
Este vector es la proyección del vector u sobre v.
Además, podemos normalizar vectores.
Normalizar vectores es el proceso por el cual podemos, a partir de un vector cualquiera obtener un vector unitario o versor.
Es decir, tomaremos un vector cualquiera y lo transformaremos en un vector de módulo uno, es decir, que mida exactamente uno.
La longitud del vector original podrá ser mayor o menor, pero yo lo transformaré en un vector de módulo uno.
Así si tengo un vector v, por ejemplo, para obtener su… para normalizarlo, para obtener su vector unitario, para hacerlo de módulo uno, lo que tendré que hacer es multiplicar al vector v por la inversa del módulo del vector v.
Obteniendo así un nuevo vector que podemos, por ejemplo llamar vector u, que será el vector v, pero normalizado, es decir, que valdrá… de módulo uno.
Así por ejemplo, si tomamos este vector (-1,3) y queremos normalizarlo, lo primero que tendremos que hacer es buscar la norma o módulo de vector v, es decir que elevaremos… calcularemos la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las componentes, es decir que elevaremos menos uno al cuadrado más tres al cuadrado.
Esto me dará por resultado raíz de uno más nueve que me dará diez, raíz de diez será la norma de este vector.
Como vemos raíces diez es un valor con decimales, no es uno, por lo tanto, este vector no tiene módulo uno, pero ahora lo transformaré un vector de módulo uno.
Para hacer este procedimiento obtendré un nuevo vector, podemos llamarlo por ejemplo u y tendré que multiplicar el inverso de ese módulo uno sobre raíz de diez por el vector v original que era (-1,3) por lo que obtendré un producto entre un escalar y un vector, multiplicaré uno sobre a raíz de diez por cada uno de los componentes menos uno sobre raíz de diez obtendré en el caso de la primera.
En el caso de la segunda, uno sobre el raíz de diez por tres me dará por resultado tres sobre raíz de diez.
Este vector así escrito, es el vector v pero normalizado, es decir, debe medir o debe tener una longitud de uno, un módulo uno.
Podemos verificarlo calculando la norma de este vector.
Hay dos vectores fundamentales o canónicos que en particular son especiales, pues tienen módulo uno y se utilizan con frecuencia.
Se llaman versores fundamentales o canónicos y se los designa con las letras i y j en R2 i tiene la forma siempre de (1,0) y j de (0,1).
Así por ejemplo i y j son importantes, pues definen las direcciones en forma de vectores de los ejes x e y, i representa o mide la dirección del vector j… del eje x, perdón, y j mide la dirección o indica la dirección del eje y.
Estos son los versores entonces de la base canónica en el espacio bidimensional.
Puedo también tener versores de la base canónica o fundamentales, de módulo uno, en cualquier espacio n dimensional, en particular en un espacio tridimensional i tomará la forma (1,0,0), j tomará la forma (0,1,0) y k (0,0,1).
Estos versores de la base canónica también indicarán las direcciones de los ejes x,y y z, respectivamente, es decir, que tienen módulo uno todos ellos y se utilizan para indicar una dirección en los ejes coordenados.
