Plano Paralelo a Dos Vectores Pasando por un Punto
Un plano puede estar determinado por dos vectores y un punto.
Dichos vectores serán vectores que son, pues bueno, paralelos al plano, de acuerdo y el punto pues.
estará contenido en él, es decir, si nosotros tenemos bueno, tenemos que esto es el espacio R tres, tridimensional.
Nosotros tenemos dos vectores, un vector s puede ser y un vector R, de acuerdo, definidos de esta manera y podemos tener un punto, de acuerdo, pues el plano contendrá ese punto vale y esos dos vectores definirán sus direcciones, no sólo la dirección del plano.
De esta forma, pues bueno, normalmente también se suele pedir en ocasiones lo que es el plano que es paralelo a una recta y contiene a otra.
Es otra forma de pedir este plano que es, pues de alguna forma paralela a dos rectores y contiene un punto.
Vamos a ver un ejemplo de cómo podemos calcular esto… esto último es que nos pidieran pues el plano que es paralelo a s, a la siguiente… a la recta s que voy a representar acá más adelante y que contiene a esta recta r que os voy a mostrar.
Si consideramos la recta r definida por x más dos entre tres igual a y menos uno sobre dos e igual a z más uno sobre
menos uno, de acuerdo, el plano que contiene a esta recta vale, va a necesitar del punto y del vector director de esta recta que ahora obtendremos, vale.
La diferencia respecto a pedir un plano que es paralelo a dos vectores y contiene a un punto respecto a pedir el plano que contiene a la recta es que lo que bueno, estamos queriendo decir es que vamos a obtener de esta recta un punto y en vector y el otro vector lo obtendremos de esta recta s definida por x menos uno entre menos dos igual a y menos tres, de acuerdo, vienen todas en esta… en esta forma, en esta ecuación sobre menos dos igual a z entre tres, z sobre tres.
Estas son las dos rectas y queremos que sea… queremos encontrar el plano que contenga a esta recta r de acuerdo, y que sea paralelo a esta recta s.
Entonces, pues bueno, vamos a obtener de cada una ellas los puntos y vectores en primer lugar, pues lo dicho, necesitamos de la primera recta, vamos a necesitar punto y vector, vale, de la recta r vamos a necesitar punto y vector.
El punto de la recta r, un punto de la recta r es el siguiente por como está definida la recta, si recordáis, pues será x más dos sobre tres entonces la coordenada x de un punto es el menos dos vale, porque está en esta forma continua.
Menos dos, uno y menos uno sería el punto de la recta.
Por otro lado, los vectores directores es sencillo porque se corresponden con vector director de la recta r va a ser u y el vector director de la recta s va a ser v y se corresponden con los cocientes, o sea con el denominador de las fracciones vale, sea el tres, dos, menos uno y el menos dos, menos dos, tres, estos son los vectores.
Entonces ya con esto, la forma de tratar de encontrar el plano que tiene estos dos vectores directores es paralelo a ellos y contiene ese punto es escribir el siguiente determinante: x menos la coordenada x del punto, x menos menos dos es x más dos y menos la coordenada x… la coordenada y del punto, y menos uno y z menos la coordenada z del punto, z más uno.
Y en la segunda columna ponemos el primer vector director, vector director v, tres, dos, menos uno y en la tercera columna el otro vector director, el menos dos, menos dos, tres.
Igualamos este determinante a cero y tenemos que, pues bueno el resultado se corresponde con cuatro x menos siete y más dos z más trece igual a cero, de acuerdo, y esta sería la ecuación general de este plano que pues de alguna forma es paralelo a esos dos directores y contiene a este punto, de acuerdo, que era el punto propio de la recta r, de acuerdo.
Entonces, hemos visto mediante un ejemplo cómo podemos obtener la ecuación general de un plano cuando lo que nos dan son dos vectores y un punto.