Posición Relativa entre Dos Rectas
Cuando trabajamos en un espacio tridimensional hay cuatro posibles posiciones relativas entre dos rectas, de acuerdo.
Las rectas pueden ser paralelas, de acuerdo, que r fuera paralela a s, se escribe de esta forma; pueden ser coincidentes, de acuerdo, que r fuera igual a s; podrían ser secantes que existiera un ángulo de intersección, de acuerdo o podrían cruzarse, este sería el caso de secantes, vamos a poner coincidentes, paralelas y por último, como comentaba, pueden ser, puede que se crucen, de acuerdo, que tengamos una recta y la recta pase, de acuerdo, esté en otra posición dentro del espacio, del espacio tridimensional.
De esta forma, pues bueno, vamos a ver cómo podemos determinar esa posición de la recta, dos rectas a partir de conociendo sus puntos y sus vectores.
Vale, para ello, pues bueno, voy a escribir un diagrama que nos va a ayudar mucho a la hora de discernir si la recta, de acuerdo, la posición de relativa de las rectas coincide con el ser paralelas, el ser secantes, ser coincidentes o el cruzarse en el espacio.
De esta forma, pues bueno, ¿cómo podemos conociendo punto y vector de ambas rectas, cómo nosotros podemos determinar su posición?.
Pues bueno, en primer lugar tendríamos que ver si los vectores directores son proporcionales.
Proporcionales quiere decir que si yo tengo el vector V de la primera recta definido como v1, v2, v3 y el vector u definido por u1, u2 y u3, de acuerdo, pues proporcional
quiere decir que v1 sobre u1 es igual a v2 sobre u2 y es igual a v3 sobre u3,de acuerdo.
Si esto se cumple, si se cumple esta primera relación, si los vectores son proporcionales entonces lo que haremos será pues lo siguiente.
Si se cumple esa relación, pasamos a comprobar lo siguiente.
Tenemos que ver que el punto de una recta está en la ecuación de la otra recta.
Si nosotros conocemos el punto, un punto P de la primera recta, sustituimos ese punto en la segunda recta y vemos si cumple la ecuación.
Vale, entonces bueno, en primer lugar como digo iba a representarlo mediante un mediante un árbol, pero bueno, vamos a suponer que se cumple la primera condición.
Los vectores, vectores son proporcionales.
Si los vectores son proporcionales, de acuerdo, lo siguiente a comprobar es que el punto de la recta, el punto vamos a poner el punto P de la recta r1, está en la recta r2.
Puede ocurrir que esté o puede pasar que el punto P de la recta r1 no está en la recta r2.
Si el punto está diremos que son coincidentes, de acuerdo.
Si el punto no está diremos que son paralelas, vale.
Luego mediante estas dos primeras comprobaciones, primero el ver si son proporcionales que sí que se cumple y luego el comprobar que el punto está dentro de la otra recta, ya llegamos a una primera clasificación que es, pues los dos primeros dos primeros casos, que sea coincidente o que sea paralela.
En caso de que los vectores no sean proporcionales, de acuerdo, será cuando nosotros encontraremos los dos casos, los otros dos casos que comentábamos que era que fueran secantes o que la recta se cruzaran.
Entonces, si no son proporcionales vamos a poner, no vectores proporcionales, ¿qué puede ocurrir?.
Pues bueno, lo siguiente que tenemos que hacer es resolver el siguiente determinante, el determinante definido por en la primera columna, de acuerdo, voy a escribir aquí el determinante.
El determinante se define de la siguiente manera, en la primera columna el vector v, vector director de la primera recta.
En la segunda columna el vector u, vector director de la segunda recta uy, uz y en la tercera columna los puntos de ambas rectas restados, es decir, pues vamos a poner que Px, Py, Pz son los puntos de la primera recta menos vamos a poner P prima x, P prima y, y P prima z son las coordenadas del punto de la segunda recta.
Nosotros teníamos que calcular ese determinante.
¿Qué puede pasar?.
Que el determinante sea igual a cero o que sean distinto de cero.
Si el determinante es igual a cero, pues las rectas son secantes.
Si el determinante es distinto de cero, pues las rectas se cruzan de acuerdo.
De esta forma, pues ya lo único que tenemos que hacer es calcular este determinante.
Una vez hemos visto que los vectores no son proporcionales y llegamos a las otras dos posiciones relativas que comentábamos: secantes o se cruzan.
Luego con os comentaba pues tenemos estas cuatro posiciones relativas que simplemente comprobando en primer lugar si los vectores son proporcionales y luego, si se cumple, si existe el punto o si no se cumple, calculando el determinante, de acuerdo.
De esa forma podemos, podemos pues eso, determinar esta posición relativa.
Como digo, pues bueno, existen estas cuatro posiciones y bueno lo mismo que debemos de hacer son estos simples cálculos que como veis pues en este diagramita ha quedado un poquito más claro.
