Posiciones Relativas de Dos Planos
Dados dos planos en el espacio, estos pueden estar dispuestos de formas muy diversas, pueden tener diferentes posiciones relativas.
Principalmente tenemos tres posiciones relativas que pues, son las tres que pueden darse y es que los planos sean secantes, de acuerdo, es decir, que tengamos un plano y luego tengamos un segundo plano, que intersecte el primer plano, de acuerdo.
La intersección se realiza en una recta, de acuerdo, esta sería la primera posibilidad, que los planos sean secantes.
Por otro lado, podría ocurrir que los planos fueran paralelos, bueno ese sería un plano, el otro plano fuera paralelo, no tuvieran ningún punto de intersección, de acuerdo, esa sería la segunda posibilidad.
O la tercera posibilidad es que los planos sean coincidentes, es decir, que nosotros tengamos un plano sobre el otro, de acuerdo, esa sería la tercera y la última posibilidad, de acuerdo.
Teniendo esto en cuenta, pues bueno, la forma de conocer la posición relativa de los planos es muy sencilla.
Si nosotros conocemos las ecuaciones generales de los planos,
de acuerdo y sabemos que tenemos un primer plano que se define como A x + B y + C z + D igual a cero y tenemos un segundo plano, este va a ser π1 y tenemos π2 definido como A prima x + B prima y + C prima Z + D prima igual a cero, vale.
Si nosotros conocemos las ecuaciones de estos dos planos, lo que ocurre vale, es que pues bueno, para saber cómo son simplemente debemos de calcular el cociente entre sus coeficientes y ver qué situación se da.
Si ocurre lo siguiente, es decir, si el cociente entre A prima… entre A y A prima es diferente de el cociente entre B y B prima es diferente del cociente entre C y C Prima.
En este caso, lo que queremos es que los planos son secantes, de acuerdo.
También podría ocurrir que el cociente entre los coeficientes fuera igual, vale, entre A y A prima, B y B prima y C y C prima, pero que éste fuera distinto, el cociente entre D y D prima, en cuyo caso diremos que los planos son paralelos de acuerdo.
Y por último, si el cociente entre todos los coeficientes es igual, es decir, entre A y A prima, B y B prima, C y C prima y D y D prima, de acuerdo, si se cumple esa igualdad total, diremos que los planos son coincidentes, de acuerdo.
Luego, pues bueno teniendo esto en cuenta, podemos ver un ejemplo y podríamos considerar los siguientes dos planos con el objetivo de ver cuál es su posición relativa.
Podríamos suponer que el plano π1 está definido por 2 x + 4y + 3z + 7 igual a cero que el plano π2 estuviera definido por 6 x + 12 y + 9 z + 8 igual a cero.
Si nosotros calculamos los cocientes comentados previamente, tenemos que dos sobre seis es, veamos que si se cumple esta igualdad, de acuerdo, qué igualdades se cumplen.
Fijaos, para ver si se cumple la igualdad, lo más sencilla reducir a la mínima…reducir en la fracción dos sobre seis es un tercio, cuatro sobre doce es un tercio y tres sobre nueve es un tercio.
Luego sabemos que A sobre A prima, B sobre B prima y C sobre C prima son iguales.
En cambio siete sobre ocho, no es un tercio, de acuerdo, es superior a un tercer.
Luego esta igualdad no se cumple y por tanto, de aquí podemos deducir que, como hemos comentado antes, los planos son paralelos, su posición relativa, vale.
Esta sería la forma de ver la posición relativa de estos dos planos, vale que como habéis podido ver pues es bastante sencillo, vale.
Entonces, sería las posiciones que pueden guardar dos planos y cómo podemos identificar esta posición de una manera sencilla.
