Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt
Hola, en este video vamos a ver en qué consiste el proceso de ortonormalización de Gram - Schmidt.
Es decir, vamos a tomar un conjunto finito de vectores que sean linealmente independientes de un espacio vectorial euclídeo V y lo vamos a convertir en una base ortonormal.
Es decir, hemos visto como ortonormalizar una base a partir de una base ortogonal, contábamos con la base ortogonal, lo único que teníamos que hacer para normalizarla era normalizar cada vector.
Ahora queremos saber cómo obtener una base ortonormal si partimos de cualquier conjunto finito de vectores que no necesariamente sea ortogonal.
Entonces vamos a primero buscar ortogonalizar esa base, ese conjunto de vectores y luego lo normalizaremos normalizando cada uno de los vectores, para transformarlo en una base ortonormal.
Entonces partimos de una base cualquiera que no es ortogonal, una base en este caso sí es importante que sea base para poder realizar este proceso.
Una base que contiene estos elementos x1, x2, xn vectores, por ejemplo.
Lo que buscaremos será ortogonalizar… ortogonalizarla y ortonormalizarla después.
el procedimiento Gram - Schmidt consiste en tomar el primer vector, el primer elemento en este caso es x1, lo normalizaremos.
Para normalizar un vector, ta sabemos que lo único que tenemos que hacer es dividir a ese vector por su norma, es decir, hacerlo de tamaño uno que mida uno que sea un vector unitario, tomamos a x1 y lo dividimos por su norma y obtenemos un vector normalizado.
Ahí ya tenemos el primer vector de nuestra base ortonormal.
Ahora vamos a buscar, a tomar el segundo elemento, a x2 buscaremos también normalizar x2 pero a la vez también buscar que sea ortogonal a x1, es decir, que ambos se ambos sean perpendiculares, es decir, voy a transformar a x1 para que sea ortogonal primero y luego ortonormal a x1.
¿De qué manera haremos esto?.
Bueno, el proceso consiste en buscar la proyección ortogonal que hemos visto en otro vídeo.
Sabemos que si a un vector v le restamos la proyección de ese vector sobre un vector otro u obtendremos un vector que siempre
será perpendicular a u, es decir, si tomo un vector cualquiera en este caso x2 y le resto su proyección de ese vector sobre otro x1 estaré obteniendo un vector que será perpendicular a x1.
En este caso, lo llamaremos x2 prima para distinguirlo del x2 original.
Estaremos obteniendo entonces un vector perpendicular a u en el caso de la proyección ortogonal y aquí perpendicular a x1, que es lo que estoy buscando con este procedimiento.
Entonces con este proceso estaría obteniendo x2 prima que es ortogonal a x1.
Eso se puede verificar, podemos hacer la verificación, comprobar que realmente x2 prima sea ortogonal a x1.
Luego lo tenemos que normalizar, es decir, ahora a ese x2 dos prima repitiendo este procedimiento, lo haremos de módulo uno y ahí ya tenemos hasta ahora dos vectores de nuestra base ortonormal x1 y x2 prima, ya son dos vectores.
Luego para… tomaremos el tercero, en este caso x3 y transformaremos también a x3 de manera que sea ortogonal ahora a x1 y a x2 prima, a estos dos vectores.
Ese procedimiento se hace un poquito más largo, x3 prima para que se ortogonal a x1 y a x2 prima, tendremos que restar a x3 prima la proyección de x3… perdón a x3 le tendremos que restar la proyección de x3 sobre x1 y de x3 sobre x2 prima de manera de obtener un vector x3 prima que sea ortogonal a estos dos primeros y luego lo normalizamos para hacerlo ortonormal.
Iremos repitiendo este procedimiento con todos los vectores que tengamos en esa base y en caso… en un caso general cualquiera escrito aquí para un vector cualquiera de esa base x k+1 para normalizarlo… ortonormalizarlo en general a los vectores anteriores, lo que haremos es tomar x k+1 le restamos su proyección sobre x1, le restamos su proyección sobre x2 prima y así iremos restando, restando hasta restar su proyección sobre xk prima de manera de obtener x k+1 prima.
Luego lo normalizaremos y obtendremos a otro vector ortonormal.
Entonces, siguiendo este procedimiento la base ortonormalizada quedará de la forma, la podemos llamar B prima para distinguirla de la original y tendrá los vectores x1, x2 prima y así sucesivamente.
Si, tomamos este ejemplo.
Tenemos una… este sistema que es una base de R2 y no es ortonormal, buscaremos ortonormalizarla.
En primer caso tomaré a x1 y tendré que x1 es este primer vector y tendré que primero normalizarlo, este es x2 y x3.
Si normalizo x1, divido por su norma yo ya he hecho ese cálculo y obtengo x1 normalizado.
Luego tendremos que tomar x2 y transformarlo en ortogonal a x1, es decir tomaré x2 y restaré la proyección sobre x1 que esta expresión que está aquí.
Esto es un producto escalar que se resuelve primero el producto escalar entre todos vectores, el resultado me da un número y lo multiplico por este vector.
Me dará un vector y resto vector con vector.
Yo ya he realizado estos cálculos y he obtenido x2 prima como el vector menos un medio, uno y un medio.
Ese es mi vector x2 prima.
Luego lo tendré que normalizar.
Para normalizarlo lo divido por su módulo a este vector x2 prima, ya no trabajo más con x2 me quedo directamente con x2 prima.
Si a este vector lo divido por su módulo obtengo como resultado el vector x2 prima normalizado.
Yo ya he realizado este cálculo y he obtenido menos uno sobre raíz de seis, dos sobre raíz de seis y uno sobre raíz de seis.
Y ahí ya tengo el segundo vector de mi base ortonormal.
Tengo el primero aquí y el segundo x1 y x2 prima.
Luego tomaré y repetiré el procedimiento ahora con x3 que es este vector le restaré la proyección sobre x1 y la proyección sobre x2 prima.
Trabajo con estos vectores que están sobre todos en violeta, ya no trabajo mas con los originales, tengo que trabajar con los normalizados.
Entonces estos son los cálculos que tendré que realizar.
He resuelto un paso y he obtenido estos valores y finalmente sí realizo esta operación obtengo a x3 prima como un tercio, un tercio, menos un tercio.
Ahí obtengo un vector ortogonal pero me falta normalizarlo, aquí lo he dividido por su módulo y he obtenido finalmente raíz de tres sobre tres, raíz de tres sobre tres y menos raíz de tres sobre tres.
Entonces, ahí tengo los tres vectores, los tres tienen que ser perpendiculares entre sí se puede comprobar y los tres tienen que tener norma uno.
Entonces la base se puede escribir de esta manera, esta será la base ortonormalizada a partir de la base que nos dieron.
Además, a partir de esta base si la escribimos en forma de matriz, esta matriz se conoce como matriz ortogonal.
Si escribimos a cada vector como vector columna y esta es una matriz que al ser ortogonal cumple que es invertible y además si busco su traspuesta la multiplico por Q obtendré siempre la matriz identidad y también si busco su inversa a obtendré la matriz traspuesta.
Esas son las propiedades de las matrices ortogonales.
