Producto Vectorial y sus Propiedades
En este video vamos a tratar la definición del producto vectorial y vamos a ver algunas propiedades relacionadas con el mismo.
Dados dos vectores, un vector a, que tenga coordenadas, por ejemplo, uno, dos, uno y un vector b que tenga coordenadas tres, dos, cero, pues habíamos definido lo que era el producto escalar que como resultado nos daba pues un escalar, ¿no?, un número.
Lo que no hemos definido es el producto vectorial, que se escribe de la siguiente forma y que como resultado, nos da un vector.
De acuerdo ahora vemos qué vector es y qué propiedades tiene, pero principalmente vamos a ver cómo calcularlo y es que para calcular el producto vectorial lo único que tenemos que hacer es colocar los dos vectores de esta forma.
Primero colocamos aquí, un vector, el vector b, i j k con los vectores cartesianos y colocamos el vector a y seguido el vector b.
Lo único que tenemos que hacer ahora, es averiguar la determinante de esta matriz.
De Acuerdo, entonces para calcular la determinante, pues bueno podemos hacerlo por determinantes o podemos hacerlo por Sarrus por la regla de Sarrus o podemos hacerlo por adjuntos.
Yo prefiero hacerlo por adjuntos y decir que el resultado es el adjunto quiere decir como si no tuviese esta columna, vale, o sea, me quedo con esta matriz, perdón, el adjunto de i quiere decir que anularemos esta columna, o sea, que me quedo con esta matriz y lo único que tengo que hacer es
el determinante ese chiquitín, o sea, tengo que poner dos, uno, dos, cero multiplicado por i, vale.
Luego tendré que hacer lo mismo con el siguiente como si no tuviese esta columna y me quedo con estas dos, luego con esta y luego está parece un lío de colores, pero bueno, como es entonces la columna en la que estoy metido con las otras dos, pero aquí me da un más, aquí tenemos que poner un menos, vale.
Aquí es un menos, menos el resultado es el determinante uno, uno, tres, cero.
Veis mis factores del medio por j.
Y luego es más esta última determinante que sería uno, dos, tres, dos por k y entonces lo voy haciendo.
Este determinante como sabéis era cero, uno, dos, aquí es menos dos, luego es menos uno por cero cero, uno por tres, menos y más, más tres j.
Y luego este uno por dos es dos.
Dos por tres es menos seis, o sea, que es menos cuatro k, sí eso escribimos tenemos que es menos dos, tres, menos cuatro.
Ese es el resultado del producto escalar de esos dos vectores.
Entonces ya hemos visto cómo se calcula, ahora vamos a ver las propiedades que tiene.
Básicamente las propiedades son que el producto vectorial cumple que la norma del producto vectorial es igual a la norma del vector a por la norma del vector b, si os fijais, se parece mucho a la fórmula del producto escalar por el seno del ángulo que forman, o sea, que es otra fórmula con la que se puede obtener el valor del ángulo que forman los dos vectores y luego, por otro lado, se tiene que esto sería la primera definición del producto vectorial, la primera propiedad.
La segunda, es que si los vectores, si a es paralelo, esto quiere decir si es paralelo a b, entonces, el producto vectorial de a y b es nulo, vale.
Esta propiedad también es importante.
Entonces, bueno, para qué se puede utilizar de forma práctica teniendo estas dos propiedades, el producto vectorial, pues bueno, el producto vectorial se puede calcular, se puede utilizar para calcular el área de un paralelogramo que esté definido por dos vectores.
Si nosotros tenemos un paralelogramo que está definido por dos vectores de esta forma el vector a y el vector b, pues si queremos definir el área de este paralelogramo lo que tenemos que hacer es calcular el producto vectorial de esos dos vectores y después la norma.
Por ejemplo, vamos a suponer que tenemos un vector a que tiene coordenadas, vale y otra con coordenadas uno, dos, tres y un vector b con coordenadas menos uno, cero menos uno.
Si nosotros calculamos el producto vectorial de estos dos va a ser de forma abierta el producto vectorial nos daría el siguiente vector, vale.
Es importante saber vectorial vector y el escalar nos da escalar, nos da un número, vectorial nos da el siguiente vector, menos dos, menos dos, dos y luego hacer la norma de ese vector resultado de calcular el producto vectorial.
Tenemos que es la raíz de menos dos al cuadrado más menos dos al cuadrado más dos al cuadrado que es raíz de ocho, entonces eso sería el valor del área del producto, o sea, el área del paralelogramo definido por ese producto, nos va a quedar la aplicación del producto vectorial.
Además, pues bueno que si esos dos vectores fuesen paralelos, si los vectores fuesen paralelos, como hemos dicho, la segunda propiedad esta de aquí tendríamos que su producto vectorial sería nulo..