Propiedades de los Determinantes
Hola, en este video vamos a verificar algunas de las propiedades que se pueden cumplir en los determinantes.
Estas propiedades nos permitirán resolver o ahorrar pasos en la resolución de los determinantes de distintos tipos.
Veremos algunos casos a continuación.
Cuando tengamos por ejemplo una matriz y querramos calcular su determinante y también el determinante de su traspuesta, debemos saber que estos valores son iguales.
Es decir, si tenemos una matriz A, uno, tres, menos cinco, dos y calculamos su determinante, multiplicaremos diagonal principal, uno por dos que me da dos y restaremos por definición de determinante de orden dos, el producto de tres por menos cinco, que es menos quince, con lo que obtenemos dos más quince diecisiete.
Y si escribimos su traspuesta, y también calculamos ese determinante, el determinante de A traspuesta, es decir, uno, tres como columnas y menos cinco, dos como segunda columna y calculamos.
Obtendremos uno por dos es dos y menos por definición de diagonal secundaria, menos cinco por tres que es menos quince, nuevamente obtenemos el resultado diecisiete.
Es decir, el determinante de una matriz y la de su traspuesta coinciden.
Otra de las propiedades que mencionaremos es el determinante de una suma de matrices.
En este caso, si sumamos dos matrices y calculamos su determinantes… su determinante, no obtendremos el mismo resultado que si sumamos los determinantes por separado.
En general, obtendremos resultados diferentes.
Pero sí ocurrirá con el producto.
Si calculo el producto entre dos matrices y luego el determinante, obtendremos el mismo resultado que si multiplicáramos los determinantes de las matrices por separado.
Además, podemos tener el caso de una matriz, el caso de las matrices triangulares, ya sean superiores o inferiores.
En estos casos, no será necesario calcular el determinante porque cuando la matriz es triangular, el determinante se obtiene multiplicando únicamente los elementos de la diagonal principal: cinco por dos por tres, en este ejemplo que me dará diez por tres, treinta.
No tendré que realizar toda la regla de Sarrus.
Otras propiedades que se verifican es cuando tenemos una línea, llamaremos línea a una fila o a una columna cualquiera.
Cuando tengamos una línea que está compuesta por ceros, es decir, toda una fila o toda una columna de ceros como este ejemplo.
Si vemos aquí la segunda fila, en este caso, está compuesta de ceros.
Cuando eso ocurra, el determinante de esta de este tipo de matrices siempre será cero, por lo que tampoco tendremos que calcularlo.
Otras propiedades que se verifican es cuando tenemos líneas, fila o columnas, que son iguales, es decir, en la matriz tenemos dos líneas paralelas, dos filas o dos columnas que son iguales.
Por ejemplo en esta matriz observamos que la columna uno coincide con la columna tres.
Como esto ocurre, el determinante
de esta matriz dará por resultado cero, cuando… cuando tenga dos líneas paralelas iguales.
Algo semejante ocurrirá cuando tenga líneas proporcionales, es decir, una fila o columna se obtiene del producto de un escalar o número real de otra fila o columna de esa misma matriz.
Siempre líneas paralelas, siempre trabajaré con líneas paralelas, es decir, tomo o dos filas o dos columnas.
Si observamos esta matriz, podemos ver la primer columna y comparar con la tercer columna.
Observaremos que sí a la columna uno la multiplicamos por menos tres dará por resultado la columna tres.
Será igual a tener la columna tres, es decir, que columna uno y columna tres son proporcionales con una constante menos tres.
Si a uno lo multiplico por menos tres, me da menos tres, si menos dos lo multiplico por menos tres me da seis y tres por menos tres es menos nueve.
Cuando eso ocurra, cuando en una matriz tenga dos líneas que son proporcionales, el resultado del determinante también será cero.
Otra Propiedad, si se intercambian dos líneas, filas o columnas, en una matriz los resultados que obtendremos serán los siguientes.
Observemos en esta matriz, sí realizo el cálculo del determinante: uno por cinco me da cinco, menos por el producto de los elementos de la diagonal secundaria que es menos seis, esto me da por resultado once.
Y ahora plantearemos una matriz que llamaremos B y calcularemos su determinante y intercambiaremos, por ejemplo, las dos columnas con lo que obtendré tres, cinco, uno y menos dos.
En este caso, sí calculo ahora este determinante tres por menos dos es menos seis, menos por diagonal secundaria uno por cinco que cinco, con lo que obtuve menos once.
Observamos que obtenemos resultados opuestos.
Entonces, una propiedad de los determinantes es si tenemos una matriz A e intercambiamos dos líneas de esa matriz, obtendremos por resultado una matriz B y sus determinantes serán números opuestos.
Siempre que produzcamos el intercambio de dos líneas, obtendremos por resultados números opuestos.
Otras propiedades, si multiplicamos una línea por un número real, una fila o una columna por un número real, observemos este determinante.
Si lo calculamos, me da por resultado menos cuatro y diagonal secundaria menos, tres por menos uno, menos tres.
Con lo que obtengo menos cuatro más tres es menos uno.
Ahora sí llamo matriz B a la matriz que se obtengan de multiplicar, por ejemplo, multiplicaremos la fila uno por tres.
Obtendré por resultado la fila uno por tres, estoy realizando el producto de esta fila por tres.
Obtendré por resultado: tres por dos, seis y tres por tres nueve, menos uno y menos dos.
La otra fila la dejo como está y vuelvo a calcular el determinante.
Obtendré seis por menos dos es menos doce, menos por diagonal secundaria, nueve por menos uno es menos nueve.
Con lo que obtengo menos doce más nueve, que da por resultado menos tres.
Si observo los valores de los determinantes, se cumplirá esta relación.
Siempre que yo obtenga una matriz B a partir de una matriz A multiplicada por un escalar, multiplicando una línea por un escalar tres, el resultado también quedará, el resultado del determinante, también quedará alterado en ese número.
Es decir, si B es la matriz que se obtiene de multiplicar una línea de A por un escalar k, entonces el determinante también quedará multiplicado, quedará alterado en ese número.
Si el determinante del primero era menos uno, ahora obtengo menos tres, cuando multiplicó por tres a la fila uno.
¿Ahora… qué ocurrirá si multiplico a todos, a todas las filas, todos los elementos de la matriz por ese escalar?.
Bueno, como es lógico, obtendré por resultado, si multiplico un escalar, un número real k, a una matriz y cálculo su determinante.
Como estoy multiplicando todas las filas por un escalar k, igual y la matriz tiene n filas, obtendré aplicando esta propiedad el mismo resultado que sí elevó al escalar a la n y lo multiplicó por el determinante de la matriz.
Porque, como es lógico, estoy muy triplicando n filas por un escalar k, ese determinante se verá alterado n veces por ese escalar k.
Y por último, si ahora tenemos en una matriz una línea que sea combinación lineal de otras dos líneas.
Supongamos en esta matriz, tengo la fila uno y la fila dos, obtendré una fila tres que sea combinación lineal de esas dos.
¿De qué manera?.
Multiplicaré por dos a la fila uno y multiplicaré por menos tres a la fila dos y esta será mi nueva… esta será mi fila tres, es decir, estoy armando una combinación lineal con escalares dos y menos tres para la fila tres.
Si hago esos productos obtendré: a esta fila la estoy multiplicando por dos y a está por menos tres.
Entonces diré.
dos por dos cuatro, menos tres por tres menos nueve, me da cuatro menos nueve menos cinco, dos por cero cero, menos tres por cuatro menos doce y voy con la última dos por uno dos y menos tres por menos dos, seis, dos más seis, ocho.
Y si ahora calculo el determinante de esta matriz, por regla de Sarrus lo puedo hacer multiplicando la diagonal principal dos por cuatro por ocho que me da por resultado, sesenta y cuatro.
Otra manera práctica de trabajar con la regla de Sarrus sin copiar las dos primeras filas es armar triángulos entre la diagonal principal y sus dos paralelas.
La paralela es esta y armaré un triángulo con el elemento opuesto entre tres por uno por menos doce y la otra paralela cero por menos dos, y formaré un triángulo de esos dos números con el número opuesto, cero por menos dos por menos cinco.
Entonces estoy formando dos triángulos y es otra manera de aplicar la regla de Sarrus sin copiar las dos primeras filas.
Entonces haré tres por menos doce por uno me dará por resultado menos treinta y seis y cero por menos dos por menos cinco, me dará por resultado cero.
Y si a continuación resto… ahora trabajo con la diagonal secundaria, uno por cuatro por menos cinco me da por resultado menos veinte, y también formó triángulos, pero ahora con las paralelas a la diagonal secundaria cero por tres por ocho, un triángulo que me dará cero y el otro triángulo con la otra paralela menos dos por doce por dos, este valor me dará menos cuatro por menos doce es cuarenta y ocho.
Con lo que obtengo los valores sesenta y cuatro, menos treinta y seis, con este signo menos cambio los signos que están dentro del paréntesis según la regla de Sarrus, más veinte y menos cuarenta y ocho y esto me da por resultado cero, es decir, cuando en una matriz, en un determinante tenga una fila o columna que resulta combinación lineal de otras filas o columnas con escalares que no sean cero, el resultado de ese determinante siempre será cero.
