Propiedades de los Números Reales
Hola en este video vamos a hablar de las propiedades de los números reales.
Recordaremos que los números reales son un conjunto numérico que está formado por la unión de otros dos, los racionales que se representan con la letra Q y son en aquellos números que se pueden representar con coma, con decimales o en fracciones y los irracionales, que son aquellos números que no se pueden representar en fracción porque tienen infinitas cifra después de la coma, que son no periódicas.
Sabemos que los reales pueden ser representados en una recta llamada recta real.
Cada número real tiene una ubicación en esta recta así por ejemplo, puedo ubicar al número real un medio que quedará… que es cero coma cinco y estará entre cero y uno.
Cada punto de la recta representa un número real y a su vez cada número real tiene una ubicación en la recta real.
Algunas de las características que veremos de los números reales son las que se presentan a continuación.
Los reales constituyen un cuerpo y en minutos veremos por qué lo llamamos cuerpo.
Es un cuerpo que se llama ordenado, es ordenado porque se puede establecer una relación de orden en los reales, es decir, si yo tengo dos números reales, supongamos un cuarto y un medio, puedo saber o puede establecer una relación de orden y saber cual es menor que otros.
Entre un cuarto y un medio, un cuarto es más pequeño que un medio cero, 0,25 es más pequeño que 0,5, es decir, los números en la recta real están ordenados de menor a mayor, es una relación de orden y a su vez son un conjunto completo.
Completo es porque completa la recta real sin dejar huecos rellenan todos los puntos de la recta real.
A su vez, los reales constituyen un conjunto denso.
Esto es entre dos números reales supongamos cero y uno, hay infinitos otros números reales, por ejemplo, entre cero y uno podemos encontrar todos los números con decimales.
Por ejemplo, cero coma cinco y otros más.
Esto hace que se lo llame conjunto denso y además es un conjunto que no es numerable, ya que no puedo contar los números que tengo entre dos reales, por ejemplo, entre cero y uno hay infinitos números reales y no los puedo enumerar, no los puedo contar.
Estas son algunas de las características de los números reales.
A continuación veremos los axiomas del cuerpo de los reales.
Los reales constituyen en la terna ordenada reales con la operación de suma y con la operación de producto, constituyen un cuerpo.¿ Qué quiere decir que constituyen un cuerpo?.
Que cumplen
con ciertos axiomas, es decir, propiedades básicas que se pueden plantear dentro de ese conjunto con las operaciones suma y producto que veremos a continuación.
Antes de plantear esos axiomas, primero tenemos que recordar lo que llamaremos leyes de composición interna.
Existen dos leyes de composición interna dentro de los reales para la suma y para el producto.
Esta ley de composición interna establece que si yo sumó dos reales el resultado me dará también real y esto ocurrirá para cualesquiera dos números reales que yo quiera operar bajo la suma o también bajo el producto.
Por ejemplo, si tengo un medio más un cuarto el resultado será tres cuartos.
Estoy operando un número real con otro número real bajo la suma y obtengo por resultado un número real también, es decir, siempre que sume dos números reales obtendré otro número real por resultado.
A eso se refiere la ley de composición interna y algo semejante ocurrirá con el producto.
Es importante reconocer esta ley, ya que no se cumple en otros… en otro grupo… en otros entes matemáticos, por ejemplo, en los vectores si yo multiplicó un vector por otro vector el resultado me dará un número real en algunas ocasiones esto se conoce… y no me dará un vector, esto se conoce como ley de composición interna.
Ahora si, a continuación comenzaremos a definir los axiomas que caracterizan a los reales como cuerpo.
El primer axioma que definiremos es el de la conmutatividad.
Los reales cumplen con las propiedades conmutativa tanto para la suma como para el producto.
Esto es, puedo conmutar en la suma a dos números reales y seguiré obteniendo el mismo resultado.
Por ejemplo, si opero un medio más un cuarto obtendré el mismo resultado que si operó un cuarto más un medio.
Y lo mismo ocurrirá con el producto.
En este caso decimos que el orden de los factores no altera el resultado.
Puedo operar de cualquier manera y obtendré siempre el mismo valor.
Otro de los axiomas que plantearemos para los números reales será el de asociatividad, que también se verificará para la suma y para el producto.
Esta propiedad establece que puedo dados tres números reales a, b, y c puedo asociarlos para la suma de diferentes maneras y el resultado no cambiará y lo mismo ocurrirá con el producto.
Si vemos un ejemplo, puedo sumar un medio más un cuarto, asociados y todo eso más uno y debería obtener el mismo resultado que si sumo, en este caso, un medio más un cuarto más uno.
Si resuelvo primero los paréntesis en este miembro, un medio más un cuarto me arrojará por resultado tres cuartos más uno y tres cuartos más uno me dará por resultado siete cuartos.
En cambio, en el segundo miembro si operó primero el paréntesis, un cuarto más uno, perdón.
Un cuarto más uno me dará por resultado cinco cuartos y sumado un medio a cinco cuartos obtendré por resultado siete cuartos, es decir, puedo asociar de manera indistinta dos de los tres factores y el resultado siempre dará el mismo.
Otro de los axiomas que podremos definir será el de la distributividad.
Esta, está referida a la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, es decir, que puedo operar cuando se me presente esta situación aplicando esta propiedad que se conoce como distributiva, dónde voy a multiplicar a por b, a por c y sumaré esos resultados obteniendo esta expresión.
Por ejemplo, podría multiplicar un medio por un cuarto más uno y si aplicó en la propiedad distributiva, realizaré un medio por un cuarto y un cuarto por uno, perdón, un medio por uno, sumando esos resultados.
Esta es una aplicación de la propiedad distributiva que es muy útil en muchas aplicaciones.
Entonces ésta se conoce como propiedad distributiva del producto respecto de la suma.
Otra de las… otro de los axioma que se plantean en el cuerpo de los números reales es la existencia del elemento neutro, tanto aditivo como multiplicativo.
El elemento neutro hace referencia a un número dentro de los reales tal que operado con cualquier otro siempre me arrojé por resultado el mismo número real.
Por ejemplo, el elemento neutro aditivo en los reales es el cero y el elemento neutro aditivo en los reales… perdón, el elemento neutro multiplicativo en los reales es el uno.
Así por ejemplo, si yo opero dos más cero obtendré el mismo resultado dos, entonces, cero se conoce como elemento neutro y si lo hago, hago lo mismo con el producto diré que dos por uno es lo que es lo mismo que obtener dos obtengo el mismo resultado, entonces diremos que uno se conoce como elemento neutro multiplicativo operado con el dos me vuelve a dar dos.
El último de los axiomas que veremos en los números reales es la existencia del elemento inverso, muy asociado al axioma anterior, tanto aditivo como multiplicativo.
El elemento inverso se refiere a un elemento tal que operado con otro, que podremos llamar opuesto en el caso de la suma o recíproco en el caso del producto, me arrojará siempre por resultado el elemento neutro para la suma y para el producto, en los números reales.
Así por ejemplo, si opero dos bajo la suma, dos más menos dos, con su opuesto, obtendré por resultados cero y habíamos definido al cero como el neutro para la suma en los reales y lo mismo ocurrirá con la multiplicación si opero dos por un medio obtendré por resultado uno y uno es el elemento neutro multiplicativo que habíamos definido en los números reales.
Es importante resaltar que el elemento neutro se define para todos los números reales y siempre será el cero para la suma y el uno para el producto.
En cambio el elemento inverso se define para cada número real.
Así por ejemplo, el inverso aditivo del dos es el menos dos, del tres será al menos tres y así sucesivamente.
Y el inverso multiplicativo del dos será un medio, del tres será un tercio y así sucesivamente.