Propiedades de Operaciones con Matrices
Hola, en este video vamos a ver algunas de las propiedades que cumplen las operaciones entre matrices.
Hemos definido la suma y la resta entre matrices.
Recordemos que estas dos operaciones únicamente se pueden realizar cuando tenemos matrices del mismo orden, es decir, el requisito para operar con suma y resta es que las matrices tengan el mismo tamaño o la misma dimensión y se operan elemento a elemento.
Ahora vamos a ver cuáles son las propiedades que cumplen estas operaciones.
La ley de cierre que también se conoce como ley de composición interna, es una operación que se cumple en la mayoría de los conjuntos numéricos, y ahora veremos que en matrices también.
Esta ley establece que si yo tengo una matriz A y la operó sumandola por ejemplo, bajo la operación suma con otra matriz B, el resultado o la suma de ese… de esa operación va a pertenecer al conjunto de matrices que podemos llamar matrices reales de tamaño m x n.
Es decir, si tengo una matriz A y una matriz B y las sumo el resultado también va a ser una matriz.
Pertenece al conjunto de números… al conjunto de matrices de número reales de tamaño m x n.
Esto es lo que establece la ley de cierre, si yo opero con dos elementos de un conjunto, el resultado también cae dentro del mismo conjunto.
Por eso se conoce también como ley de composición interna.
Otra propiedad que se verifica en la suma y resta de matrices es la propiedad asociativa.
Puedo sumar dos matrices A + B y al resultado sumar una tercera C, y dará el mismo resultado, obtendré lo mismo que si sumará primero la segunda y la tercer matriz, B + C y a ese resultado le sumo la primera matriz A.
También el elemento neutro.
En matrices, tenemos una operación que se conoce como elemento neutro, en realidad, en todos los conjuntos numéricos, pero en matrices, el elemento neutro para la suma está definido como la matriz nula.
Quiere decir que si yo a una matriz A le sumó el elemento cero o la matriz nula que es aquella matriz que está formada por elementos todos ceros, el resultado me dará la misma matriz.
Esto es un elemento neutro, un elemento que… o un número, un conjunto, una matriz que operado con esa otra matriz A que puede ser cualquiera me devuelva la misma matriz A, me devuelve el mismo resultado, es decir, no altera… no altera el resultado en esa operación de suma.
También tenemos o podemos definir lo que es un elemento opuesto.
Un elemento opuesto hace referencia a un elemento, conjunto, número que puede ser sumado otro y el resultado me arrojé el elemento neutro del conjunto, en este caso de la matriz nula.
Entonces puedo tomar una matriz A y el elemento opuesto para esa materia se conoce como matriz menos A, la matriz opuesta que se obtiene de cambiar los signos a todos los elementos de A y el resultado me tiene que dar como solución el elemento neutro de matrices
que lo definimos como la matriz nula.
Entonces menos A es el elemento opuesto de a.
Y también se cumple lo que se conoce como propiedad conmutativa en suma y resta de de matrices.
Puedo sumar una matriz A más una matriz B y el resultado es lo mismo que sumar la matriz B más la matriz A, se puede conmutar la operación.
Otra de las operaciones que hemos definido en matrices es la multiplicación de un número por una matriz.
Esto es…, puedo tomar números cualesquiera que en general los designaremos en forma genérica α y β, números reales y multiplicarlos por matrices A y B.
Las propiedades que cumplirá esa operación son: bueno en primer lugar, la asociativa combinada.
Esto es puedo asociar números y matrices bajo esta operación de multiplicación.
Por ejemplo, puedo multiplicar un número α por un número β por una matriz A, de esta manera y el resultado será lo mismo que si primero multiplico los números reales α y β y luego al resultado lo multiplico por la matriz A.
También contamos con un elemento neutro para esta operación.
En este caso, el elemento neutro, el elemento que multiplicado por cualquier matriz me devuelva como resultado la misma matriz será el uno, el número real uno.
También podemos definir la distributiva respecto a la suma de matrices con números reales.
Puedo por ejemplo, multiplicar un número α por la suma de dos matrices A + B y la propia distributiva establece que puedo distribuir ese número por cada elemento del paréntesis, la matriz A y la matriz B y sumar esos resultados.
También la distributiva pero ahora respecto a la suma de número reales, puedo por ejemplo sumar dos números reales α más β y multiplicarlo por la matriz A y el resultado será lo mismo que si yo distribuyo al número α por la matriz A, distribuyo en la matriz A y le sumo el número β por la matriz A.
También podemos definir una propiedad que se conoce como el… puedo multiplicar un número α por la matriz nula y el resultado me devolverá la matriz nula.
Es decir que éste estaría funcionando como un elemento cero, un número real cualquiera por la matriz nula siempre me devolverá la matriz nula.
Para identificar a la matriz nula del elemento número real cero, este es el número real cero y esto simboliza la matriz nula para que no se mezcle con… para que no se mezclen ambos, cuando hablamos de matriz nula, podemos encerrarla entre paréntesis para que se entienda que una matriz de ceros, una matriz compuesta por ceros.
Otra propiedad que podemos observar es que puedo hacer esto mismo pero ahora si considero al elemento cero, número real y lo multiplicó por cualquier matriz, me dará por resultado el cero en matrices, es decir, el número real cero por cualquier matriz, también me devolverá la matriz nula.
Otra propiedad que podemos verificar es que si tengo el producto de un número por una matriz y el resultado me da cero, entonces está sucediendo y supongamos que α es distinto de cero.
Entonces lo que está sucediendo es que la matriz A tiene que ser la matriz nula, siempre, que en este caso, el elemento sea distinto de cero, el elemento real.
También podemos observar propiedades para la multiplicación de matrices.
Supongamos que tenemos matrices A, B y C que se cumpla que sean conformes, es decir, que se cumpla que sí se puedan multiplicar entre ellas y un número real α.
Las propiedades que podemos a observar son, en primer lugar la asociativa en el producto por escalares.
Es decir, puedo definir un elemento α, un número real y el producto dos matrices A por B y si lo multiplico de esta manera obtendría el mismo resultado que si multiplico el número real por la matriz A y al resultado por la matriz B y también obtendré lo mismo si multiplico el número, en primer lugar por la matriz B y al resultado lo multiplico luego por la matriz A.
También podemos definir la asociativa en el producto de matrices, de igual manera que lo hicimos con la suma.
Si multiplico dos matrices y al resultado por una tercera, dará lo mismo que si lo hago en otro orden, B por C y luego por A.
Y también la distributiva derecha izquierda respecto de la suma de matrices, podemos pensar que si tengo una matriz A por la suma de dos matrices B + C las puedo distribuir a derecha, multiplicando la matriz A por la matriz B y sumando la matriz A por la matriz C y también a izquierda, si tengo por ejemplo dos matrices A + B por una tercera C, y puedo realizar la distributiva, en este caso será a la izquierda y obtendré el mismo resultado A por C más B más C, B por C.
Algunas de las propiedades… Estas son propiedades de matrices que observamos que siempre se cumplen pero observemos que no está presente lo que es la propiedad conmutativa.
Hemos definido que la propiedad conmutativa no se cumple para el caso de multiplicación de matrices.
Las matrices, generalmente cuando se multiplican no suelen ser conmutativas.
Sí lo son, estamos hablando de un caso especial en que se conocen como inversas, pero por lo general, si puedo multiplicar dos matrices en distinto orden, los resultados no serán los mismos.
Además que tengamos dos matrices, el producto de dos matrices nos dé por resultado la matriz nula, no quiere decir que necesariamente alguna de ellas tenga que ser la matriz nula no quiere decir que alguna de las dos, A igual… tenga que ser igual a la matriz nula o B tenga que ser igual a la matriz nula.
Puedo multiplicarlas, obtener por resultado la nula, pero no necesariamente una de ellas tiene que ser la matriz nula.
Y también la acerca de la propiedad cancelativa que si se cumplen números reales bueno, no será cierta aquí en multiplicación de matrices, es decir, si tengo el producto dos matrices A por B y A por C no quiere decir que necesariamente B y C sean iguales.
Es decir, no puedo cancelar matrices porque no necesariamente B y C tengan que ser iguales aunque estos productos sean iguales.
Y por último, podemos referir las propiedades de la transposición de matrices.
Esta primera es la propiedad involutiva.
Si a una matriz calculo su traspuesta.
La traspuesta recordemos que era la matriz que se obtenía de intercambiar filas por columnas en una matriz A y le vuelvo a calcular su traspuesta.
Me da como resultado la misma matriz A.
Eso se conoce como propiedad involutiva.
También si tengo la suma de matrices y a ese resultado lo traspongo obtendré lo mismo que si traspongo cada matriz y luego las sumo, pero no ocurrirá lo mismo con el producto.
En el producto de matrices, si las multiplico y luego las traspongo el resultado será lo mismo que si multiplicará las matrices al revés, B por trasponiendo cada una y luego realizando ese producto.
