¿Qué es un Vector? Operaciones con Vectores
Hola, en este video veremos a qué llamaremos vector y cuáles son las operaciones básicas que podemos realizar con ellos.
Un vector, para empezar, es un nuevo ente matemático que se caracteriza por tener dirección, sentido y módulo.
En este gráfico estamos observando a un vector que parte del punto P1 y llega hasta el punto P2.
La dirección viene dada por la recta de acción sobre la cual el vector actúa y el sentido se indica con una flecha que indica hacia qué punto está actuando el vector.
En este caso, este vector parte del punto P1 y llega al punto P2, lo podremos llamar, por ejemplo, vector v.
P1 diremos que es el origen del vector v y P2 es el extremo de ese vector.
A los vectores los indicaremos con una flecha arriba y en este caso, lo estamos observando en el espacio bidimensional, es decir, R2, pero también lo puedo observar en el espacio tridimensional, es decir, R3, con tres ejes cartesianos mutuamente ortogonales entre sí: x, y y z.
Este poder hacer por ejemplo, un vector v que tiene por origen el punto P1 y por extremo el punto P2.
Entonces un vector puede quedar definido entre dos puntos.
Sí por ejemplo queremos encontrar la expresión analítica del vector, lo que haremos es determinar a ese vector v de origen P1 y extremo P2, como un vector que vaya entre esos dos puntos y lo que haremos es por ejemplo, supongamos que P1 es el punto de coordenadas (x1, y1, z1) y P2 es el punto de coordenadas (x2, y2, z2).
El vector v quedará determinado por la diferencia entre extremo y origen P2 y P1, es decir, que tendré que hacer una resta componente a componente: x2 menos x1, y2 menos y1 y z2 menos z1.
Esta forma de notar un vector con paréntesis y separando sus componentes por puntos y comas se conoce como forma analítica.
Sí tengo por ejemplo, un punto P1 dado por (2,1,0) y un punto P2 de componentes (3,8,2), si lo vemos con un ejemplo, puedo formar el vector v que vaya entre ambos puntos, es decir, que parte del P1 y
que llegue a P2.
Este vector lo obtendré… obtendré su expresión analítica restando extremo menos origen, siendo el extremo el punto P2 y el origen el punto P1, es decir que tendré que realizar la diferencia componente a componente entre los puntos P2 y P1.
Así por ejemplo, restaré 3 menos 2 que me da por resultado 1, 8 menos 1 que me da por resultado 7 y 2 menos 0 que me da por resultado 2.
El vector, entonces v será el vector (1,7,2) que se puede escribir de esa forma o también como un vector columna (1, 7, 2).
Estas formas se conocen como expresiones analíticas del vector.
Pero un vector también puede ser representado en su forma que se conoce como canónica.
Este vector, escrito en forma canónica será la expresión v igual a 1 por un vector i, más 7 por un vector j, más 2 por un vector k.
A i, j y k se los conoce como versores de la base canónica.
La expresión de i es el vector (1,0,0).
La expresión de j es el vector (0,1,0) y la expresión de k es el vector (0,0,1).
Esto es en el R3.
Versores de la base canónica significa que tienen módulo uno, de allí el nombre de versor, y sirven para escribir la expresión canónica de cualquier vector en términos de i,j y k.
Esta es entonces la expresión que llamaremos canónica en función de la de los versores de la base canónica.
Los vectores como entes matemáticos también se pueden operar.
Una de las operaciones que podemos realizar entre vectores es la suma.
La resta queda definida de manera semejante.
También la multiplicación y la única operación que no podremos realizar entre vectores será la de división.
Para definir la suma entre vectores lo que haremos será, de forma semejante a la manera en que operamos recién, sumar los… componente a componente los vectores u y v.
Así si por ejemplo, tengo el vector u, dado por los componentes (1,2) y el vector (3,1).
La suma u más v se podrá obtener haciendo la primer componente, 1, más la primera del segundo vector, 3, que me da por resultado 4 y las segundas componentes 2 y 1 sumadas me dan por resultado 3.
Este es el vector u más v, (4,3) que también se puede escribir como vector u más vector v, como un vector columna (4,3).
La representación gráfica de estos vectores, en este caso, cuando no me indican el origen lo puedo considerar al (0,0), es decir, son vectores, en este caso, el vector u (1,2) es este vector que tiene por componente 1 en el eje x y 2 en el eje y y este otro vector es el vector v que tiene por componentes a 3 en el eje x y a 1 en el eje y.
Son vectores posición, ya que su origen coincide con el origen del sistema de coordenadas.
El #TIME(0,0).
Para sumar gráficamente dos vectores y obtener el vector )4,3) lo que haré es formar un paralelogramo con los dos vectores es decir, trasladaré a u en forma paralela a partir del extremo de v y trasladaré a v en forma paralela a partir del extremo de u.
Quedará determinado un paralelogramo, e esta manera, entre los lados verdes y los lados violetas y el vector suma u más v es el vector que queda aquí en el medio y que resultará de la diagonal mayor del paralelogramo que formaron ambos vectores u y v.
Además, para multiplicar vectores podremos realizar las multiplicaciones como el producto de un escalar por un vector y productos entre vectores también.
Veremos el primer caso, si quiero multiplicar un escalar o un número real por un vector, por ejemplo, 3 por v, si tomo v del ejemplo anterior estaría buscando el triple del vector v que tenía por componentes 3 y 1.
Es decir, que tendría que realizar una multiplicación del escalar o número real por cada una de las componentes, diré 3 por 3 será 9 y 3 por 1 me dará por resultado 3.
Este es el vector tres v.
Gráficamente la multiplicación del número real por un vector, lo que hace es modificar la longitud o el sentido del vector.
Por ejemplo, en este caso que estoy multiplicando un vector 3 v, 3 por un por un vector v, lo que estoy haciendo es triplicar la longitud de ese vector.
Si este era mi vector v, al hacer 3 por v estoy obteniendo un nuevo vector en la misma dirección paralelo al original pero el triple de grande.
En cambio, si realizó el producto menos 3 por v, es decir, multiplico por un valor negativo, lo que obtendré será el mismo vector, pero de sentido contrario, paralelo a los originales, triplicado porque estoy multiplicando por tres, pero de sentido opuesto a los originales.
Si en cambio dividiera un vector por un escalar, por ejemplo v dividido dos, lo que estaría obteniendo sería la mitad del vector original, v vector dividido dos.
