Rango de Matrices - Método de Gauss Jordan
En este video vamos a ver cómo se encuentra el rango de matrices a través del método de Gauss Jordan.
Antes definiremos qué se entiende por operaciones o transformaciones elementales que se pueden aplicar sobre una matriz.
Las operaciones elementales en una matriz dan origen al matrices equivalentes, es decir, puedo tomar una matriz y, por ejemplo, cambiar de lugar dos líneas.
Cuando decimos dos líneas nos referimos a filas o columnas.
Podemos multiplicar una línea por un número real que no sea cero o podemos reemplazar una línea completa fila o columna por la combinación lineal de esa fila con otra fila o columna, con escalares o números reales distinto de cero.
Es decir, puedo armar una combinación lineal nos referimos a tomar una fila, por ejemplo, fila uno, sumarla a otra fila, por ejemplo fila dos con escalares α y β, números reales que no sean cero, es decir, voy a cambiar a una fila por esta combinación lineal.
Estas operaciones o transformaciones elementales dan origen a matrices equivalentes, es decir, no van a permitir encontrar a partir de una matriz dada, una matriz que sea equivalente a la original pero expresada en una manera que nos permitirá… en una manera más cómoda que nos permitirá realizar o inferir algunas cuestiones sobre esa matriz.
Veremos que el rango de una matriz es una… un operador que se calcula sobre una matriz y que se utilizará para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
A continuación definiremos a qué llamaremos rango.
El rango de una matriz será la mayor cantidad de vectores canónicos diferentes que se puedan obtener aplicando operaciones elementales.
Es decir, tomaremos una matriz, aplicaremos operaciones elementales sobre ella para obtener una matriz equivalente a la matriz dada y contaremos la cantidad de vectores canónicos que resulten.
Ese será el valor del rango.
Dada una matriz A, su rango se denotará como el rango de la matriz A o también rango de la matriz A.
¿A qué llamamos vector canónico?.
Bueno, un vector canónico es un vector, fila o columna, que tiene la forma de contener… tiene la característica de contener un elemento uno y todos los otros elementos cero.
Puede ser, por ejemplo, uno cero, cero o tal vez cero, uno, cero o tal vez cero, cero, uno.
Estos son vectores canónicos, es decir, vectores que tienen un elemento uno y los restantes elementos cero.
Pueden ser en este caso están escritos en forma de columna, pero también lo puedo escribir en forma de filas y estos son de tamaño tres, pero puedo tener de tamaños más chicos o más grandes.
Entonces tomaremos una matriz, aplicaremos transformaciones elementales con el objetivo de obtener vectores canónicos en esa matriz y este método
se conoce como método de Gauss Jordan y nos permitirá encontrar el rango de una matriz.
Veamos un ejemplo.
Si tenemos esta matriz dos, uno, dos, cero, tres, menos uno y cuatro, uno, uno.
Una matriz de orden 3 x 3, aplicaremos transformaciones elementales para poder obtener el rango.
Para ello elegiremos un elemento como pivote, preferentemente se aconseja tomar un uno, en el caso de que se pueda.
Por ejemplo, puedo tomar este elemento como pivote el de la fila… el elemento de la fila uno y lo que haré será transformar a los restantes elementos de su columna, es decir, el tres y el uno por transformaciones elementales en ceros, para obtener un vector canónico en esta segunda columna.
¿De qué manera lo puedo hacer?.
Bueno, compararé el tres, trataré de transformarlo en cero, comparándolo con uno.
Puedo, por ejemplo, hacer eso, si multiplico a la fila uno por menos tres y le sumó la fila dos, es decir, multiplicaré menos tres por la fila uno, que la fila uno es dos, uno, dos esto me da por resultado, multiplico todos los elementos por menos tres menos seis, menos tres y menos seis y le sumaré la fila dos.
A continuación copio la fila dos original que es cero, tres, menos uno.
Si sumo estas dos filas obtendré la nueva fila dos.
Si sumo elemento a elemento menos seis más cero me da menos seis, menos tres más tres me da por resultado cero y menos seis, menos uno me da menos siete.
Esta será la nueva fila dos que copiaré a continuación.
La fila uno la dejaré como estaba y la nueva fila dos será menos seis, cero, siete… perdón, menos siete.
Repetiré la operación ahora para tratar de hacer cero este elemento, el uno, comparándolo con el uno de la primer fila.
En este caso, para hacerlo cero puedo por ejemplo, restar la fila uno menos la fila tres.
Esto hará que uno menos uno me dé por resultado cero y obtendré un vector canónico en esta segunda columna, es decir, estaré realizando la operación, a ver, haré el cálculo auxiliar dos, uno, dos, menos la fila tres que la pongo cambiada de signo menos cuatro, menos uno, menos uno para poder restar o sumar término a término: dos menos cuatro me da por resultado menos dos, uno, menos uno me da cero y dos menos uno me da uno y esta será la nueva fila tres que la copiaré a continuación.
Por lo que estoy obteniendo un vector canónico en esta segunda columna.
A continuación buscaré repetir la operación para obtener la mayor cantidad de vectores canónicos posibles, ya tengo uno.
Buscaré ahora otro elemento que sea pivote pero no puede estar ni en la fila ni en la columna del elemento uno que ya obtuve, es decir, tendré que tomar, por ejemplo, este elemento que es uno.
Este será mi nuevo pivote no se encuentra en la fila ni en la columna del elemento pivote anterior.
Entonces trataré de hacer ceros estos elementos que se encuentran en la columna para obtener un vector canónico en esta tercer columna.
Para ello, nuevamente aplicaré transformaciones elementales.
En este caso voy a tratar de hacer cero el dos, comparándolo con el uno puedo por ejemplo, tomar la fila uno y restar menos dos por la fila tres dos, uno, dos, la fila uno y multiplicaré por menos dos a la fila tres.
Menos dos por la fila tres, la fila tres es menos dos, cero, uno.Si multiplico por menos dos obtendré por resultado menos dos por menos dos, cuatro menos dos por cero, cero y menos dos por una menos dos.
Y si sumo estas dos filas: seis, uno y cero, esta será la nueva fila uno que la copiaré debajo.
La fila tres queda como está y ahora me falta… menos dos, cero, un, me falta hacer cero a la fila dos, el elemento menos siete.
Para ello, tengo que pensar para que sea siete por cuanto puedo multiplicarlo sumándole a su vez la fila tres.
Puedo, por ejemplo, tomar la fila dos y sumar siete multiplicado por la fila tres para que este elemento… para que la suma de esta manera se haga cero, es decir, estoy haciendo…haré el cálculo aquí.Fila dos que es menos seis, cero, menos siete y multiplico por siete a la fila tres siete por la fila tres que originalmente era menos dos, cero, uno le dará por resultado menos catorce, cero, siete y si suma estas dos filas, obtengo menos veinte, cero, cero que va a ser mi nueva fila dos, menos veinte, cero, cero.
Observo que aún no… aún tengo una columna que no, que puede seguir convirtiéndose, puede convertirse en un vector canónico si lo puedo hacer voy a seguir el procedimiento hasta obtener un tercer vector canónico, de ser posible.
Lo que haré antes, para tomar un pivote tengo que tomar un pivote que no se encuentre ni en la fila ni en la columna de los unos que ya obtuve decir que tendré que tomar el menos veinte.
No es uno pero lo voy a transformar en uno si divido a esta fila por menos veinte.
Sí realizó este procedimiento, copio la primer fila como está, seis, uno, cero y también la tercera menos dos, cero, uno y divido toda esta fila por menos veinte, lo que me da por resultado menos veinte dividido menos veinte es uno, cero y cero.
Entonces, este elemento tomaré como pivote.
A continuación lo que haré es transformar en ceros al seis y al menos dos para obtener un vector canónico en este espacio.
Nuevamente aplicaré transformaciones elementales, comparando con la segunda fila.
Entonces, para hacer cero el seis, puedo tomar la fila uno y restar menos seis por la fila dos.
Estoy haciendo la fila uno que es seis, uno, cero y voy a restar, voy a multiplicar por menos seis y sumar la fila dos que es uno, cero, cero.
Esto me da por resultado menos seis, cero, cero que sumando elementos obtengo cero, uno, cero que será la nueva fila uno.
La fila dos permanece como está y me falta para terminar convertir a la fila tres.
Entre uno y menos dos puedo, por ejemplo, multiplicar por dos a la fila dos y sumarle la fila tres.
Es decir que obtendré, realizó el cálculo, dos por la fila dos, obtendré dos, cero, cero y si le sumó la fila tres, que es menos dos, cero, uno esto me da por resultado cero, cero, uno, que es la nueva fila Logré obtener tres elementos, tres vectores canónicos que tienen un elemento uno y los restantes elementos ceros y no tengo en las mismas filas ni columnas los elementos uno, por lo tanto, puedo decir que el rango de la matriz A original es tres, que es la mayor cantidad posible de vectores canónicos que logré obtener.
