Recta Definida como Intersección de Dos Planos No Paralelos
Dos planos no paralelos de la siguiente manera, vamos a escribirlos.
Podría ser un plano π1 definido como a1 por x mas b1 por más c1 por z más d1 igual a cero, de acuerdo, ese sería un primer plano y un segundo plano a2 por x más b2 por y más c2 por z más d2, de acuerdo.
Determinan al cortarse una recta en R2, de acuerdo, que queda definida por este sistema de ecuaciones, de acuerdo.
Este sistema de ecuaciones nos define la recta.
¿Y a qué se debe esto?.
A que bueno, si nosotros representamos ambos planos, de acuerdo, donde se cortan dos rectas, de acuerdo.
Dos rectas se cortan en un punto, pues dos planos cuando se cortan si tenemos un primer plano representado de esta manera y un segundo plano que podría ser de esta forma, de acuerdo, estos serían dos planos.
Los dos planos al cortarse no definen un punto, definen una recta, de acuerdo que es la recta de corte de ambos planos.
De esta forma, si nosotros conocemos dos planos que se cortan, no son paralelos, no son coincidentes, podemos definir una recta a partir de ellos.
Vamos a ver un ejemplo para ver cómo sería esto, de acuerdo, mediante cálculos y tratar de entenderlo un poco mejor.
Si nosotros tenemos el plano porque previamente lo hemos hecho con coeficientes, dale a1, a2 eran valores que nosotros no conocíamos, pero podemos hacerlo con un ejemplo numérico.
Si decimos que r está definido por los
planos x + y + z +1 igual a cero, x - y - z + 2 igual a cero, ambos planos, de acuerdo, Podemos hallar el vector director de la recta definido a partir de esos dos planos.
¿Y esto cómo se haría?.
Pues bueno, nosotros conocemos los vectores normales de ambos planos, el vector normal de este plano, del primer plano, viene definido por los coeficientes que acompañan a la x, a la y y a la z, es decir tenemos que n1, el vector normal de este plano se corresponde con el vector uno, uno, uno y por otro lado, el vector normal del segundo plano, de nuevo, son los coeficientes que acompañan a la x, a la y y a la z, en este caso.
De esta forma, tenemos que el vector normal en segundo plano se corresponderá con el vector uno, menos uno, menos uno.
Como ambos vectores son los vectores normales al plano, el vector que definirá la recta, por el dibujo que hemos hecho previamente, será el vector que sea perpendicular a ambos vectores a la vez, es decir, un vector paralelo, un vector que sea paralelo a r estará definido, si nosotros tenemos estos dos vectores podríamos representarlo de esta forma, voy a hacer con los colores para que quede más claro.
Nosotros tenemos el vector n1, nosotros tenemos el vector n2, pues el vector que es paralelo al vector que define la recta es el vector, vamos a poner el vector v, que se definen como el vector perpendicular a ambos planos.
¿Y cómo se calcula esto?
Pues mediante el producto vectorial.
Si nosotros calculamos el producto vectorial, definimos v como el producto vectorial de n1 por n2 acabaremos llegando… acabaremos hallando… llegaremos al vector director de la recta.
De esta forma, pues bueno n1 por n2 se define como determinante i, j, k de el vector, uno, uno, uno, el vector uno, menos uno, menos uno.
Nosotros calculamos esto.
Lo pongo ya directamente, este es el vector cero, dos, menos dos, de acuerdo.
Y de esta forma habríamos obtenido el vector director de la recta.
Para encontrar un punto de la recta simplemente tendríamos que sustituir algún valor, de acuerdo, en el sistema de ecuaciones.
Si nosotros ponemos, por ejemplo, que la z es igual a cero, vale, nosotros le marcamos que la z en este caso fuera igual a cero, lo cual nos daría un punto, fijaos.
Puedo decirle simplemente que pues bueno consideramos z igual a cero.
Eso nos lleva al siguiente sistema ecuaciones x + y + 1 igual a cero y x - y + 2 igual a cero y resolviendo este sistema de ecuaciones por reducción o de la forma que queramos, acabaríamos llegando a que x es igual a menos tres medios y a que y es igual a un medio.
De manera que el punto que pertenece a la recta es el menos… uno los puntos que pertenece a la recta es el menos tres medios, un medio, cero.
Ya tenemos el punto, hemos calculado previamente el vector.
Luego podríamos representar la recta de la forma que quisiéramos en forma vectorial, en forma simétrica, en forma paramétrica o como queramos porque ya hemos calculado punto y vector.
Luego está sería la forma de bueno, esta es una forma de representar una recta, de acuerdo, en el espacio mediante la intersección de dos planos y cómo a partir de esta representación podemos obtener punto y vector para escribir la recta de la forma que nosotros queramos.