Recta Paralela a un Vector Pasando por un Punto
Para definir una recta en el espacio, en R3, es suficiente con conocer un punto de la recta y un vector director, es decir, un vector director U, de acuerdo, que tenga en este caso tres componentes ya que estamos trabajando en R3, en el espacio necesitamos la componente x, la componente y, y la componente z del vector y por otro lado necesitamos un punto P, de acuerdo que también tenga tres componentes x, y, z.
Con estos dos bueno con estos dos valores, con este punto y este vector podemos definir lo que sería, pues bueno, la ecuación de la recta.
Existen diferentes formas de representar una recta como tal, pues una forma más sencillas es la representación mediante la ecuación vectorial, de acuerdo, la ecuación vectorial de la recta, en este caso en el espacio, se definiría de la siguiente manera.
Diríamos que x, y, z, vamos a poner que las coordenadas del punto son x0, y0, z0, x, y, z, de acuerdo, serían igual a el punto x0, y0, z0 más un parámetro λ multiplicado por el vector v1, v2, v3 las coordenadas del vector.
Esta sería la ecuación vectorial de
la recta, de acuerdo, que como podéis ver únicamente considera las coordenadas del punto y las coordenadas del vector.
De esta forma pues nosotros podríamos calcular cosas sencillas, como por ejemplo la recta que pasa por dos puntos, si nosotros conocemos dos puntos, voy a poner un ejemplo.
El punto M es el tres, dos, uno y el punto S, de acuerdo, que es el menos uno, uno, cero vamos a ponerle.
Nosotros podríamos tratar de calcular la recta que pasará por estos dos puntos, de acuerdo.
Para ello simplemente tendríamos que calcular como veis, no tenemos un punto y un vector, de acuerdo, no tenemos un punto y un vector sino que al tener dos puntos necesitamos obtener del conjunto de ambos puntos un vector.
Para obtener un vector apto para la recta, podemos simplemente calcular el vector que une los puntos M y S, que se correspondería con la diferencia entre las coordenadas del punto M y las coordenadas del punto S, es decir, haríamos menos uno menos tres sería menos cuatro, uno de los dos sería menos uno, y cero menos uno sería menos uno.
Ya tendríamos un punto que podría ser, por ejemplo, el M y un vector, el vector v que acabamos de calcular y con estos dos… con estas dos componentes nosotros podríamos obtener la expresión de la recta en su forma vectorial.
También, otra forma sencilla de representar la recta una vez se tiene punto y vector, de acuerdo, una recta que sea paralela a un vector y pase por un punto es mediante la expresión en la ecuación paramétrica, de acuerdo.
Para ello podemos simplemente, pues voy a poner aquí ecuación paramétrica y os voy a mostrar cómo sería, de acuerdo, la expresión, de acuerdo.
Simplemente tenemos que igualar los vectores y hacerlo coordenada a coordenada, de esta forma diríamos que pues bueno la coordenada x sería la coordenada x del punto más el parámetro λ por la coordenada x del vector, lo mismo para la y, de acuerdo y lo mismo para la z.
De forma que pues simplemente como veis, es una forma muy similar a la anterior de reescribir de acuerdo, que previamente conocíamos que era pues esta… de acuerdo.
Conociendo el punto, aquí están las coordenadas del punto y el vector, aquí estan las coordenadas del vector, podemos representar de una forma distinta esa recta en el espacio.
Entonces, hemos visto cómo podemos representar una recta en el espacio de dos formas, las dos formas más sencillas y por otro lado hemos visto cómo podemos…, cómo podríamos a partir de dos puntos obtener la expresión de la recta.
