Resolución de Sistemas de Ecuaciones por el Método de la Matriz Inversa
Hola, en este video vamos a ver cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método de la matriz inversa.
Este método consiste escribir la ecuación matricial del sistema A por X igual a B, donde sabemos que A es la matriz de los coeficientes, X representa la matriz de las incógnitas y B la matriz de los términos independientes.
Si en esta ecuación matricial intentamos despejar la matriz X, que es la matriz de las incógnitas, la voy a volver a escribir a la ecuación matricial de esta forma A por X igual a B.
Si intento despejar la matriz X puedo, por ejemplo, pre multiplicar ambos miembros de esta ecuación por la inversa de A de manera de despejar X, es decir, eliminar A de este primer miembro.
Si pre multiplico ambos miembros por la inversa de A, en este espacio estoy teniendo la inversa de A por A que sabemos que por definición de matriz inversa es la matriz identidad, igual a X por la matriz inversa de A por B.
Este segundo miembro lo bajo como esta y multiplicar una matriz por la identidad.
Como la identidad es el elemento neutro para el producto de matrices, esto es lo mismo que tener X.
De esta manera logró despejar la matriz de las incógnitas.
Esta expresión a la que llego me dice que para obtener la matriz de las incógnitas tendré que multiplicar la inversa de la matriz de los coeficientes por la matriz de los términos independientes, es decir, voy a tener que encontrar una matriz inversa y luego multiplicar por los términos independientes.
Esta matriz… este método se podrá aplicar siempre que esta matriz inversa exista y sabemos que para que una matriz inversa exista primero tiene que tratarse de una matriz cuadrada, es decir, que voy a trabajar este método únicamente cuando tenga sistemas cuadrados de tamaño n por n, igual cantidad ecuaciones que de incógnitas y donde el determinante del sistema sea distinto de cero, ya que si es cero esta matriz no tendrá inversa.
Con estos dos requisitos que el sistema sea cuadrado y que el determinante de la matriz del sistema sea distinto de cero, estamos hablando de un sistema crameriano.
Si el sistema es crameriano se podrá aplicar el método de la matriz inversa y por lo tanto, bajo estos dos requisitos siempre obtendremos sistemas compatibles determinados nunca obtendremos compatibles indeterminados o incompatibles con este método de la matriz inversa, siempre que se pueda aplicar, es decir, que se verifiquen estos requisitos.
Si lo vemos en un ejemplo, vamos a resolver este sistema de ecuaciones por el método de la matriz inversa.
Tendremos que buscar la inversa de la
matriz A y multiplicar por la matriz de los términos independientes en este sistema de ecuaciones.
Para encontrar la matriz inversa trabajaremos con el método de la matriz adjunta, es decir, buscaremos… en primer lugar verificaremos que este sistema pueda resolverse por este método.
Para ello tendremos que encontrar su determinante, el determinante de A.
Esta es la matriz del sistema, si buscamos el determinante por el método de Sarrus obtendremos por resultado cinco que es distinto de cero, como el determinante del sistema no es cero y además el sistema es cuadrado puedo aplicar el método.
Para aplicar el método buscaré la matriz inversa utilizando la matriz adjunta.
En primer lugar, debo encontrar la matriz traspuesta de esta matriz A que es esta que observamos acá y ahora procederé a encontrar la adjunta a partir de la traspuesta.
Para encontrar la adjunta de una matriz, tendré que eliminar fila y columna, buscar el adjunto de cada elemento en esta matriz.
Para ello voy a eliminar, en este caso, la primer fila y la primer columna me quedan estos elementos que se conocen como menor, cero, uno, menos uno, menos uno, que lo resolveré.
Sí elimino ahora la primer fila y la segunda columna me quedo con uno, uno, uno, menos uno, uno, uno, uno y menos uno.
Si ahora procedo con… eliminando la primer fila y la última columna me quedo con estos cuatro elementos, formo un determinante uno, cero, uno, cero, uno y menos uno.
Procedo ahora a eliminar la fila dos y la primer columna me quedo con los elementos uno, cero, menos uno, menos uno.
Formo un determinante.
Si elimino la segunda fila y la segunda columna me quedo con las esquinas tres, cero, uno, menos uno, tres, cero, uno, menos uno.
Si ahora elimino la última columna me quedo con tres, uno, uno, menos uno.
Sí paso a la última fila me quedo con estos cuatro elementos de la esquina uno, cero, cero, uno, uno, cero, cero, uno.
Si ahora elimino la segunda columna me quedo con tres, cero, uno, uno.
Y si voy por las últimas filas y columnas me quedo con estos cuatro primeros elementos tres, uno, uno y cero.
Además, tengo que estos son los menores.
Además, tengo que tener en cuenta los signos de las posiciones pares e impares para obtener los adjuntos de cada elemento.
Los signos son positivo, negativo, positivo, negativo, de acuerdo a las posiciones pares e impares, se van alternando menos, más, menos, más, menos, más.
Quiere decir que únicamente tendrá en cuenta los negativos para cambiar los signos.
Esto me dará por resultado la matriz adjunta.
Si resuelvo cada determinante, lo haré aquí arriba a modo de borrador.
En este primero obtengo cero y menos por diagonal secundaria menos uno le dará por resultado uno.
En este segundo obtengo menos uno menos uno que es menos dos, eon este signo menos,e dará por resultado dos.
En este obtengo menos uno simplemente y la otra… el otro...
Y la otra diagonal es cero.
En esta otra obtengo menos uno solamente y con este signo menos obtengo uno.
Para esta otra obtengo menos tres, Para esta otra menos tres menos uno que me da por resultado menos cuatro con este signo menos cuatro.
Aquí obtengo uno, aquí obtengo tres con este signo menos, menos tres y aquí obtengo menos uno por ser diagonal secundaria.
De manera que obtuve esa matriz adjunta y para obtener la inversa, finalmente, lo que tendré que hacer es multiplicar el inverso del determinante o dividir esta matriz adjunta por el inverso es determinante, es decir, un quinto, un quinto por esta matriz adjunta.
Uno, menos tres cuatro, uno menos tres menos uno.
Si multiplico esto por un quinto estaré dividiendo todo por cinco, es decir que obtendré un quinto, dos quintos, menos un quinto, un quinto, menos tres quintos, cuatro quintos y un quinto, menos tres quintos y menos un quinto.
Voy encerrar entre corchetes, aquí también y esta será la matriz inversa.
Esta es la matriz inversa, finalmente, para obtener las incógnitas lo último que tengo que hacer es multiplicar la inversa de la matriz A por la matriz de los términos independientes, en ese orden siempre.
Es decir, voy a realizar el producto entre… y acomodo para realizar un producto, esta matriz que es un quinto, dos quintos, menos un quinto, la vuelvo a copiar, cuatro quintos, un quinto, menos tres quintos y menos un quinto.
Esta será mi matriz inversa.
Y también aquí copiaré la matriz B de los términos independientes, que los términos independientes son uno, cinco, menos cinco, eso será un vector columna uno, cinco, menos cinco.
Entonces procederé a realizar el producto entre las dos matrices.Sí realizo estos productos, obtendré en este espacio las incógnitas.
Para realizar el producto debo multiplicar la primer fila por la única columna que tengo en la matriz B, es decir que multiplicaré un quinto por uno que me dará un quinto, anotaré aquí los resultados, dos quintos por cinco que simplificado me dará dos y menos un quinto por menos cinco que me dará menos por menos más, me dará por resultado uno.
Sí realizo esta suma obtengo dieciséis quintos.
Si ahora multiplico la segunda columna, perdón, la segunda fila por la columna, obtendré un quinto por uno que me dará por resultado un quinto, menos tres quintos por cinco que me dará por resultado menos tres y cuatro quintos por menos cinco que simplificado me dará menos cuatro.
Esta operación un quinto menos tres menos cuatro me da por resultado menos treinta y cuatro quintos que será el segundo resultado, el segundo valor y por último terminó con un quinto por uno un quinto, menos tres quintos por cinco es menos tres y menos un quinto por menos cinco es más uno, es decir, que estoy obteniendo aquí menos nueve quintos, menos nueve quintos..
Esta es la matriz X de las incógnitas y representa.
El primer valor es el valor de la incógnita X, el segundo valor será el de y y el tercer valor será el de z, es decir, que estoy obteniendo como una única solución los valores dieciséis quintos, menos treinta y cuatro quintos y menos nueve quinientos.