Sistemas y Bases Ortogonales
Hola, en este video vamos a ver a qué llamaremos sistemas de vectores ortogonales y qué es una base ortogonal.
Entonces, primero empecemos recordando o definiendo qué son o qué constituyen vectores ortogonales.
Supongamos que tenemos un espacio vectorial euclídeo y tenemos dos elementos x e y que pueden ser, por ejemplo, vectores que pertenecen a ese espacio vectorial euclídeo.
Vamos a decir que dos vectores son ortogonales si su producto escalar, producto interior da por resultado cero, es decir, los multiplicamos y obtenemos como resultado cero en el producto escalar.
Cuando estemos hablando de vectores ortogonales nos estamos refiriendo vectores que son perpendiculares, es decir, dos vectores que, por ejemplo, un vector x y un vector y, vectores que forman un ángulo de noventa grados, un ángulo recto.
Dos vectores van a ser perpendiculares ortogonales entonces cuando su producto escalar dé por resultado cero, esto es lo que se conoce como condición de perpendicularidad.
Ahora, si extendemos eso a un sistema de vectores o conjunto de vectores.
Vamos a decir que un conjunto de vectores, conjunto o sistema que lo mismo, un sistema de vectores es ortogonal, supongamos que tenemos un sistema de vectores con vectores v1, v2, vn que pertenece a un espacio de vectorial euclídeo o espacio con producto interno definido.
Vamos a decir que es ortogonal si los vectores que conforman a ese sistema son ortogonales entre sí, es decir, v1 es ortogonal a v2, a v3, v4, hasta vn, v2 es ortogonal también a todos los vectores, vn también es ortogonal a todos los restantes vectores de ese sistema, etcétera.
Todo par de vectores del sistema son ortogonales, entonces diremos que es es un sistema ortogonal.
Un ejemplo son las matrices ortogonales.
Sabemos que las matrices ortogonales son aquellas que cumplen que sí calculo su inversa me da lo mismo que su traspuesta dada una matriz A cualquiera.
Entonces si por ejemplo formo un sistema con una matriz ortogonal, estoy hablando de un sistema ortogonal, en este caso de matrices.
Entonces… entonces veremos que los sistemas de vectores ortogonales cumplen una propiedad que es esta, cualquier conjunto finito de vectores ortogonales
entre sí, un sistema ortogonal, no nulos perteneciente a un espacio vectorial con producto interno o euclídeo siempre va a ser linealmente independiente, es decir, si armo una combinación lineal entre los vectores, por ejemplo, supongamos el conjunto o sistema anterior donde habíamos definido al sistema A con los elementos v1, v2, etcétera, hasta vn, siempre, si los vectores son no nulos y es un conjunto finito que pertenece un espacio interior euclídeo, diremos que es sistema será linealmente independiente.
Es decir, si formo la combinación lineal con… perdón, β los vectores de ese sistema con escalares α, β, v1, c2 más… y así hasta llegar a, supongamos cualquier letra o vamos a… voy a colocar aquí α1 v1 más α2 v2 más… hasta llegar a un αn vn igualado al vector nulo, al cero vector, la única solución posible para este sistema para los escalares al α1, α2, αn es la solución trivial cero, cero, cero.
Siempre pasará… sucederá esto.
Se puede comprobar en este ejemplo, lo pueden comprobar fácilmente.
Este es un sistema de dos vectores, en este caso de dos… de dos componentes cada uno o sea pertenecen a R2, se puede comprobar que es un sistema de vectores ortogonales y que es linealmente independiente, es decir, se puede probar que es linealmente independiente y que además son ortogonales, es decir, si multiplico ellos dos entre sí con el producto escalar el resultado me debería dar cero.
Se desprende de esta misma propiedad, este corolario que nos afirma o nos dice que si tenemos un espacio V de dimensión n que es euclídeo, es decir, está definido el producto interno, entonces cualquier conjunto de n vectores ortogonales distintos de cero es una base ortogonal para ese espacio vectorial, para ese espacio, es decir, cualquier conjunto de vectores será base, es lo que se puede desprender de esa propiedad.
Asociada a esa propiedad vamos a ver que, primero, qué definimos o qué es una base ortogonal.
Llamaremos base ortogonal, es decir, antes hemos definido lo que era un sistema ortogonal ahora vamos a definir lo que es una base ortogonal, que bueno viene de ese mismo corolario.
Si tenemos un espacio vectorial euclídeo una base, un conjunto que ya sabemos que es base de este espacio vectorial es o se considera base ortogonal si los vectores que la conforman son un conjunto ortogonal, son un sistema ortogonal.
Es decir, el sistema que sabemos que es base de un espacio vectorial además cumplen que todos los vectores son ortogonales entre si, todos los vectores que conforman a ese sistema, entonces diremos que se conoce como base ortogonal.
Un ejemplo clásico de base ortogonal son los vectores de la base canónica.
Los vectores que se definen como e1, e2, en.
e1, e2, en se conocen como vectores de la base canónica porque son vectores que tienen una componente uno y todas las restantes cero, entonces e1 es la primer componente tiene un uno, e2 en la… perdón, en la segunda componente tendrá un uno.
Entonces tiene la forma cero, uno, cero, etcétera, cero.
Y así podemos continuar hasta en que en la en enésima componente cero, cero, cero, uno, tendrá un uno, se conocen como vectores de la base canónica.
Si los disponemos en forma de matriz forman en lo que se conoce como matriz identidad.
Se los designa como e1, e2 y en y siempre van a ser una base ortogonal aunque en ocasiones especiales, sobre todo en la física si estamos trabajando en R2, se lo suele llamar uno, cero, al ser uno, cero y cero,uno se lo suele llamar i y j o los versores i y j, versores fundamentales, versores de la base canónica y si estoy trabajando en R3 se lo suele llamar i, j y k.
Otro ejemplo es, por ejemplo, supongamos que tenemos un espacio vectorial euclídeo en R3 y esto que es una base, una base ya me definen que es una base de ese espacio.
Podemos comprobar que es una base o vamos a comprobar que es una base ortogonal.
¿Qué tendré que hacer?.
Multiplicar de a dos los vectores de esta base y ver si son ortogonales.
Entonces vamos a llamar por ejemplo a este v1, este será v2, y este será v3, tres vectores de esta base.
Entonces voy a multiplicar v1 por v2, uno, dos, uno producto escalar cuatro, cero, menos cuatro.
Para resolver este producto escalar multiplico las componentes homólogas, uno por cuatro, primera componente por primera me dará cuatro más segunda por segunda, dos por cero es cero y tercera por tercera,uno por menos cuatro me dará menos cuatro, con lo que esto me da cero.
Así que podemos decir que v1 y v2 son ortogonales entre sí.
Pruebo ahora v1 con v3 para ver si son ortogonales.
Entonces estoy haciendo uno, dos, uno producto escalar uno, menos uno, uno.
Esto me dará por resultado uno por uno uno, dos por menos uno menos dos y uno por uno uno positivo.
Con lo que también estoy obteniendo cero.
Y por último, me falta comprobar perdón, v2 por v3, es decir, voy a resolver cuatro, cero, menos cuatro por uno, menos uno, uno.
Esto me dará cuatro, cero y menos cuatro con lo que me vuelve a dar cero.
Los tres vectores son ortogonales entonces digo, afirmo que V es una base ortogonal de R3 y lo hemos comprobado.