Sistemas y Bases Ortonormales
Hola, en este vídeo estudiaremos qué son los sistemas de vectores ortonormales y qué son las bases ortonormales.
Primero, repasaremos el concepto de norma, longitud o módulo de un vector.
Se refiere a la raíz cuadrada del producto de ese vector consigo mismo, un producto escalar que desarrollado se puede escribir de esta manera, es decir, cuando referimos a norma de un vector, estamos haciendo referencia a su módulo.
Si este es el vector x, su norma es la longitud que tiene ese vector, es cuanto mide, cuál es en longitud del vector.
A esos llamaremos norma que se puede definir de esta manera o también de esta otra forma.
Ahora nos interesa dentro de los espacios vectoriales euclídeos que estamos estudiando, nos interesan algunos vectores que sean unitarios, es decir, que tengan norma igual a uno.
Llamaremos vectores unitarios a aquellos entonces en los que su norma es uno, es decir, pediremos que para que un vector sea unitario el producto escalar del vector consigo mismo sea igual a uno ya que si este producto es uno, la raíz de uno me da una, no hace falta calcular la raíz.
Entonces por ejemplo los vectores de la base canónica e1, e2, etcétera hasta en que pertenecen a, si estamos hablando en este caso de Rn, son vectores unitarios, son vectores que miden uno y su norma es uno, por lo tanto que son los vectores que ya conocemos como uno, cero, cero, e2 es la segunda componente uno, bueno etcétera.
Son vectores que definen la base canónica, la base por excelencia de cualquier sistema que es la base canónica.
Ver… también se conocen como versores de la base canónica.
Y entonces vamos a ver qué sucede ahora, cuando hablemos de sistemas de vectores ortonormales.
Vamos a definir a un sistema ortonormal de vectores, ya habíamos definido un sistema ortogonal exigíamos que todo par de vectores del sistema sean perpendiculares.
Ahora además, vamos a exigir que sean normales, es decir, que su módulo valga uno.
Entonces en este caso tenemos un sistema llamado S que está formado por en este caso k vectores y pertenece a Rn.
Vamos a decir que este sistema, es este conjunto o sistema es ortonormal si suceden estas dos, se cumplen estas dos condiciones.
Si se cumple la primera condición, es decir que el producto de un vector cualquiera de ese sistema por otro cualquiera me da cero para todos los vectores, sin que los subíndices sean iguales, entonces es ortogonal, si se cumple la primer condición es ortogonal.
Si además, se cumple la segunda condición diremos que es ortonormal, es decir, multiplico a cada vector del sistema por sí mismo y siempre me da uno.
Cuando hablamos entonces de sistemas ortonormales exigimos que sea un sistema ortogonal que además, donde además, cada vector tenga módulo uno.
Cuando pedimos entonces si tenemos un vector cualquiera que tiene un módulo, supongamos por decir cualquier valor cuatro, ui, estamos exigiendo que todos los vectores que conforman este sistema tenga
el módulo uno.
Es decir que reduzcamos su módulo a la unidad, que lo achiquemos hasta que mida uno.
Eso para hacer que un vector mida uno, sabemos que si tenemos un vector cualquiera de longitud cualquiera, más o menos que uno, para hacer que mida uno lo podemos transformar.
Vamos a llamarlo u prima i.
Para obtener un vector de módulo uno, lo que tenemos que hacer es tomar el vector original y dividirlo por su norma ui.
Si lo dividimos por su norma, es como dividirlo por sí mismo, por lo tanto, lo estamos llevando a una longitud uno que tengo un módulo uno, a que se achique o se agrande si fuera más chico hasta que mida exactamente uno.
Esta es la forma de normalizar un vector, de hacer que mida uno.
Entonces si vemos este ejemplo este es un sistema ortonormal.
Tenemos en este caso, dos vectores que pertenecen a R3.
Es un sistema ortonormal porque primero los vectores son ortogonales, podemos comprobar si multiplicamos escalarmente estos dos vectores y el módulo nos da… perdón, el resultado nos da cero, multiplicaré uno sobre el raíz de tres por uno sobre raíz de seis, menos uno sobre raíz de tres por dos sobre raíz de seis y uno sobre raíz de tres por uno sobre el raíz de seis.
Entonces estoy teniendo dos veces este término negativo y los otros dos son iguales, los puedo sumar entre si, los tendré también dos veces.
Por lo tanto, esto me va a dar cero porque estoy teniendo dos veces el mismo valor positivo y negativo.
Por lo tanto, es un sistema ortogonal y si además calculo la norma de cada vector, si calculo la norma, en este caso del primer vector.
Vamos a llamarlo de v1, calculo la norma de v1 me dará por resultado uno elevo al cuadrado cada componente y la suma entre sí.
Entonces obtendré un tercio si elevo la primer componente al cuadrado, más un tercio para la segundo componente, más un tercio para la tercer componente, lo que me da por resultado raíz de tres tercios, que es uno por lo que ese primer vector tiene módulo uno, es un vector normalizado, es un vector unitario.
Y si ahora repito para la segunda componente la norma de v2, bueno arrojará el mismo resultado.
Estaré calculando la raíz cuadrada de uno sobre seis si elevo esta componente al cuadrado me da un sexto más, cuatro sextos más un sexto, lo que me estará dando en este caso también raíz de seis sextos que es uno.
Por lo tanto, este es un sistema ortonormal.
Además, definiremos lo que es una base ortonormal.
Además de trabajar con sistemas ortonormales, podemos ampliar nuestro estudio y exigir ahora que sea además una base, es decir, vamos a estar hablando de un espacio, en un espacio vectorial euclídeo una base ortonormal de ese espacio es una base ortogonal en la que cada vector de la base es un vector unitario, es decir, tendremos… exigiremos que sea una base ortogonal y además cada vector sea un vector unitario.
Recordemos que para que sea una base ortogonal tiene que ser un sistema ortogonal y además, todos los vectores ser linealmente independientes.
Entonces, en particular veremos que en el espacio vectorial normado Rn, vectores de n componentes, todo sistema ortonormal de n vectores es una base de Rn.
Entonces esto no quiere decir que, por ejemplo, en este ejemplo anterior.
Este sistema no puede ser base, si bien es un sistema ortonormal, no constituye una base ortonormal porque estamos viendo que tiene dos compone… dos vectores en R3, es decir, el tamaño del espacio es n que vale tres pero este es un sistema formado por dos vectores.
Por lo tanto, no podrá ser base para que sea base la cantidad, el sistema tiene que tener tantos vectores al menos como el espacio, el tamaño del espacio, la dimensión del espacio en el que estoy trabajando no podrá ser base porque tiene solamente dos vectores, no podrá generar a todo el espacio R3.
Entonces, para tener una base ortonormal, exigiremos que sea una base ortogonal donde cada vez vector sea unitario y por supuesto, que cumplan las condiciones de ser una base que genera todo el espacio y que los vectores sean linealmente independientes.
En este ejemplo, tenemos ahora un sistema de tres vectores que está incluido en R3.
Vemos que este ejemplo, ya lo hemos comprobado en el vídeo anterior era… es… cumplía los requisitos de ser una base, es una base se puede comprobar si se arma la combinación lineal entre estos vectores igualado al cero vector, la única solución será la trivial, es linealmente independiente.
Hemos comprobado que es ortogonal, también cumple pero vemos que no es ortonormal porque bueno, aquí fácilmente vemos que si por ejemplo tomamos el primer vector y calculamos su norma,llamemoslo v1, v2 y v3.
Si calculamos la norma de v1 nos da por resultado, bueno, uno más cuatro más uno, si elevamos cada componente al cuadrado y bueno, esto ya no nos da uno, nos da a raíz de seis, así que esos vectores no son unitarios, por lo que no es una base ortonormal.
¿Cómo podemos transformarlo a una base ortonormal?.
Normalizando a cada vector, es decir, haciendo que cada uno valga uno, achicándolos o agrandándolos hasta que alcancen de longitud la unidad.
Seguirá siendo base, seguirá siendo ortogonal porque solamente estoy modificando su longitud siguen siendo perpendiculares pero estoy consiguiendo que sea ortonormal, que es el requisito que le falta.
¿Cómo hago eso?.
Bueno, calcularé la norma de v1, perdón que ya la calcule aquí, es raíz de seis.
Entonces puedo definir a v1 prima como uno sobre la norma de v1 que a raíz de seis por el propio v1, uno, dos, uno, lo estoy dividiendo por su norma, estoy haciendo que se transforme en un vector unitario.
Esto me dará por resultado uno sobre raiz de seis, dos sobre raíz de seis y uno sobre raíz de seis.
Lo mismo haré con v2 y v3, en este caso yo ya lo he calculado.
v2 será si lo normalizo, lo divido por su norma, me dará por resultado un vector que lo llamo v2 prima, raíz de dos sobre dos, cero y menos raíz de dos sobre dos y también ya he calculado v3 prima, es decir, normalice a v3 y medio por resultado raíz de tres sobre tres, perdón yo ya lo expresé racionalizado, menos raíz de tres sobre tres y raíz de tres sobre tres.
Es decir, racionalicé estos vectores, racionalizo este también, raíz de seis sobre seis, dos por raíz de seis sobre seis y raíz de seis seis, que quiere decir entonces que ahora el sistema que voy a llamar B prima, este era el sistema B, voy a llamar ahora B prima para distinguirlo del original.
El sistema formado por los vectores raíz de seis sobre seis, dos sobre… por raíz de seis sobre seis y raíz de seis sobre seis, raíz de dos y el último vector raíz de tres sobre tres, menos raíz de tres sobre tres y raíz de tres sobre tres.
Este sistema formado ahora sí será una base ortonormal de R3, cumple con los tres requisitos, es base, es ortogonal y además ahora si cada vector tiene norma uno.
