Teorema del Rango y Sistemas No Homogéneos
Hola, en este video vamos a ver de qué se trata el teorema del rango y cómo se puede aplicar para encontrar más fácilmente soluciones de sistemas de ecuaciones lineales.
Entonces, si vemos este ejemplo es un… retomando un ejemplo de un vídeo anterior, teníamos una matriz A que esta matriz A puede ser la matriz de coeficientes de un sistema homogéneo A por x igual a cero, es decir que es la matriz principal, puede estar igualada a cero, cero, cero pero no es necesario cuando es homogéneo, no es necesario agregar ese vector columna, por eso aquí no está escrita la matriz ampliada y mediante transformaciones elementales podemos encontrar su matriz escalón equivalente que es esta que está aquí y habíamos determinado que su conjunto solución, el conjunto solución de este sistema A por x igual a cero está definido como, es un sistema compatible indeterminado va a tener infinitas soluciones que salen de estas expresiones.
N(A) es el espacio nulo de la matriz A que está formado por los vectores x, y, z que pertenecen a R4 y se pueden escribir de esta manera.
Entonces los podemos escribir de esa manera o también los podemos escribir como a este mismo conjunto, como en función de las variables libres que aquí son y y w, si las escribiera, digamos, como sacando una especie de factor común, las podría escribir como y por, el coeficiente de y para x es menos dos después es uno para la segunda ecuación, cero, y cero más w por y si ahora sacara factor común w de todas las ecuaciones tendría menos tres, cero, menos uno y uno, menos tres, cero, menos uno y uno, lo puedo escribir de esta manera.
Entonces decimos que estos dos vectores del espacio nulo de la matriz A, estos dos vectores, van a ser o van a formar una base de ese espacio nulo, es decir, una base de ese espacio nulo de A, una base de ese espacio nulo de A se podrá escribir como menos dos, uno, cero, cero y menos tres, cero, menos uno, uno.
De este ejemplo, lo que podemos observar es que la nulidad de A es dos, ya que corresponde a la dimensión de A, a la dimensión del espacio nulo de A y ese espacio nulo está teniendo una base obtenida por estos vectores que tiene dos vectores.
Entonces la nulidad de A es dos.
Y además, vemos que el rango de A, tenemos la matriz A y su matriz escalonada a partir de la escalonada podemos calcular su rango.
Como observamos una fila se hizo cero, es decir, que el rango estamos teniendo un rango de dos.
Vemos que el rango de A es igual a dos y el teorema del rango lo que no va a definir es que la cantidad de columnas que tenga la matriz A va a ser igual al rango de A más la nulidad de A, es decir, el número, esta suma de estos números me va a definir o también va a estar dada por el número de columnas
de A.
Las columnas uno y tres de esta matriz, las columnas uno y tres definen el rango, ya que son vectores canónico, definen el rango de la matriz A, y las columnas dos y cuatro, como ya hemos visto, definen quiénes son las variables libres del sistema y por lo tanto, van a determinar la nulidad de A, ya que si tengo dos variables libres que corresponden a estas dos columnas, como puedo sacar dos veces factor común obtengo dos vectores y como estos dos vectores forman la base de el espacio nulo de A, entonces van a determinar también la nulidad de A, la dimensión del espacio nulo de A, es decir que la cantidad de columnas que tengo una matriz va a determinar también su rango y su nulidad.
Esto es lo que está definido aquí, la dimensión entonces del espacio solución de un sistema de ecuaciones A por x igual a cero se va a definir como: si tenemos a una matriz de tamaño m por n y que tiene el rango r,la dimensión del espacio solución del sistema homogéneo va a ser n menos r, es decir, n la cantidad de columnas se puede descomponer en el rango de A y la nulidad de A.
El rango de la matriz A, la cantidad de filas con elementos no todos nulos y la nulidad, es decir, la dimensión del espacio nulo de A.
Si vemos eso en un ejemplo.
Yo aquí tengo esta matriz A para verificar si se cumple este teorema del rango, si la cantidad columnas en este caso tengo cinco columnas se puede descomponer en el rango y en la nulidad.
Lo que tengo que hacer es escalonar este sistema, yo ya lo escaloné aplicando operaciones elementales obtuve esta matriz escalonada.
Sí, es una matriz que debajo de la diagonal principal todos los elementos son cero.
Como observamos una fila se hace cero, entonces el rango de la matriz A es tres, la cantidad de filas que no se hicieron todos ceros.
Tenemos un rango igual a tres.
Y como número de columna de A es cinco, el número de columna de A, de columnas vamos a escribirlo de esta manera, columnas de A es cinco.
Entonces podemos saber fácilmente cuál va a ser la nulidad de A.
La nulidad de A va a ser la diferencia entre cinco y tres.
La nulidad de A, es decir, la dimensión del espacio nulo de A, va a ser de dos.
Esto entonces se puede aplicar para resolver sistemas de ecuaciones que no sean homogéneos, es decir, estamos viendo el caso de que el sistema sea homogéneo, ¿qué va a suceder cuando el sistema no sea homogéneo, es decir, tenga una expresión del tipo A por x igual a b, con b distinto de cero?.
Entonces, vamos a ver que existe una relación entre las soluciones de el sistema homogéneo y el no homogéneo.
Sí sabemos o conocemos o podemos determinar xp que es una solución particular del sistema no homogéneo, entonces fácilmente podemos ver que toda la solución de este sistema se va a poder escribir de esta manera.
La solución del sistema no homogéneo se va a poder escribir como la solución particular del no homogéneo más la solución del homogéneo, es decir, una solución se puede descomponer entre estos dos sumandos: la solución del homogéneo que ya sabemos encontrar y la solución particular del no homogéneo.
De esta manera podemos encontrar la solución de un sistema de ecuaciones cualquiera.
Si lo vemos en este ejemplo.
Este es un sistema no homogéneo, ahora vamos a tratar de encontrar su solución aplicando el teorema anterior.
Lo primero que tengo que hacer es escribir la matriz del sistema que aquí la he escrito, está es la matriz ampliada, ahora sí considero la matriz ampliada del sistema porque los términos independientes no son cero.
La tengo que escalonar.
Yo ya realicé ese procedimiento apliqué operaciones elementales y obtuve esta matriz escalonada y a partir de la escalonada tengo que reconstruir el sistema que está reconstruido acá con las incógnitas x, y, z y w.
Entonces estoy viendo que es un sistema compatible indeterminado, va a tener infinitas soluciones.
Voy a escribir a esas soluciones entonces en su forma x igual a todos los vectores x, y, z, w que van a hacer los vectores solución, se van a poder escribir como… y si observo aquí las variables libres tendrán que ser las que no lograron, estos son los términos independientes, esta es la columna de x, de y, de z y de w.
Las variables libres tendrán que ser los que no lograron hacerse vectores canónicos en la matriz escalonada y las variables principales que van a depender de las libres x e y, tendrán que ser las que sí lograron convertirse en vectores canónicos Entonces tengo que escribir a x y a y, en función de z y w, por lo que la solución de este sistema la voy a poder escribir como, si despejo x de aquí obtengo dos z positivo menos w más cinco y si despejo y de aquí obtengo menos z más tres w positivo menos siete.
Y z es variable libre y w también así que las dejo como z y w.
Esta es la solución general del sistema no homogéneo.
Esa solución general de ese sistema no homogéneo.
Entonces se puede descomponer en una solución del homogéneo más una solución particular.
¿ Cuál va a ser?.
Bueno voy a realizar el mismo procedimiento voy a sacar una especie de, digamos, de factor común de z escribiendo sus coeficientes de cada renglón.
Dos, menos uno, uno y cero son los coeficientes de z y lo mismo con w.
Sí saco w y escribo sus coeficientes tengo menos uno, tres, cero y uno, menos uno, tres, cero y uno.
Y los términos independientes que me están quedando son cinco, menos siete, cero y cero que los escribo como otro vector columna.
Entonces puedo observar que esto lo voy a poder escribir como z, y digamos a este lo puedo llamar como un vector u1, un vector columna, más w por un vector columna, vamos a llamarlo u2, y esta es la solución particular del sistema no homogéneo que se va a verificar cuando z y w yo les asigne los valores cero.
Si a z y w, les asigno los valores cero puedo ver que fácilmente esto va a ser una solución, una solución particular de este sistema.
Entonces esta va a ser la solución particular xp del sistema no homogéneo.
Esta es la particular del sistema A p or x igual a b.
Y esta es la solución del homogéneo que ocurre cuando estos términos independientes se hacen cero, es decir, este va a ser un vector arbitrario en el espacio solución de A por x igual a cero, del A homogéneo y así logré descomponer entonces la solución de un sistema no homogéneo como en la suma de la solución de un homogéneo y una solución particular.