Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales
Hola en este video vamos a ver qué es, en qué consiste el teorema fundamental de las transformaciones lineales que bueno, ahora empezaremos a hablar de bases en transformaciones lineales.
Entonces supongamos que otra vez tenemos dos espacios vectoriales V, W y que tenemos una transformación lineal, llamaremos T definida entre esos dos espacios vectoriales.
Además, ahora vamos a suponer que contamos con una base de el espacio de partida, una base que tiene estos vectores v1, v2, vn es base del espacio de partida, es decir, es un conjunto linealmente independiente generador de V.
El teorema me plantea que si están dadas o son conocidas las imágenes de los elementos de la base, si yo conozco las imágenes o transformaciones de los elementos de la base, entonces voy a poder conocer la imagen de cualquier vector de V,de cualquier vector del espacio de partida, es decir, a veces podré no conocer la transformación lineal pero si yo conozco las imágenes de una base cualquiera de V, con eso será suficiente para conocer la imagen de cualquier otro vector de V o la transformación lineal en sí misma.
Si asentamos ideas con un ejemplo para que esto quede más claro.
Supongamos en este primer ejemplo que tenemos una transformación que va de R3 en R3, es decir, yo inserto vectores de tres componentes y la transformación me devuelve como respuesta vectores de tres componentes, una transformación lineal tal que… y conozco, en este caso, las imágenes de sólo tres vectores, no conozco la transformación lineal, no sé qué forma tiene T pero tengo tres vectores de R3 y conozco sus imágenes también en R3.
Y ahora quiero conocer la imagen de otro vector cualquiera del espacio de partida, de R3, quiero conocer su imagen sin conocer la transformación lineal, sin saber qué forma tiene T.
Bueno, aqui da la casualidad que tengo la imágenes de los vectores que tengo, los vectores son justamente los de la base canónica y que sabemos que estos forman una base de R3 uno, cero, cero, cero, uno, cero y cero, cero, uno.
Bueno, conozco sus imágenes pero no conozco T y quiero conocer la imagen de otro vector de R3.
Entonces voy a plantear, sí sabemos que esto es una base que justamente es la base canónica de R3, bueno, a este otro vector si una base se tiene que poder escribir como combinación lineal de los vectores de la base, como ya sabemos de la definición de base de un espacio vectorial.
Bueno en este caso, lo puedo escribir como combinación lineal de la base y tendrán que encontrar los escalares
de esa combinación lineal, es decir, lo plantearía como una combinación lineal de α, β y γ, supongamos escalares α, β, γ y tendría que buscar α, β y γ.
Bueno, como es la base canónica no hará falta ya que van a ser los mismos vectores dos, tres, menos dos.
Pero si no fuera la base canónica, simplemente armó el sistema de ecuaciones y busco esos escalares.
Bueno, en este caso ya están determinados dos, tres y menos dos.
Lo que haré a continuación, será entonces tratar de buscar cuál será la imagen de dos, tres, menos dos sin conocer la transformación.
Entonces si sabemos que esto se puede escribir así porque estamos trabajando con una base, ahora lo único que haré será aplicar transformación a ambos miembros transformo, aplico transformada o la transformación T en ambos miembros.
Si aplicó en el primer miembro y aplico en el segundo miembro, esto es una combinación lineal.
Sabemos que la transformada de una combinación lineal es la combinación lineal de las transformadas, es decir, que simplemente voy a escribir en dos por la imagen de uno, cero, cero más tres por cero, uno, cero menos dos, aquí me faltó T menos dos por la imagen de cero, cero, uno.
Es decir, si yo aplico imagen o transformada, aplico la transformación lineal al segundo miembro, lo puedo escribir directamente de esta manera.
Los escalares dos, tres, menos dos salen afuera de T y me quedan las imágenes de T.
Pero como estos valores si lo conozco porque los tengo como dato, se bien cuáles son las imágenes de uno, cero, cero, cero, uno, cero, cero, cero, uno las puedo reemplazar aquí.
Entonces me estará quedando dos por y la imagen de uno, cero, cero me la han dado como dato, se que es dos, menos uno, cuatro más tres por la imagen de cero, uno, cero también la cuento es uno, cinco, menos dos menos dos por, y la imagen de cero, cero, uno también la conozco es cero, tres, uno.
Entonces la imagen de dos, tres, menos dos será fácil de hallar si solamente resuelvo estas operaciones.
Bueno, yo las hice y me dio siete, siete, cero.
Es decir, la imagen si estoy trabajando de R3 en R3, la imagen de dos, tres, menos dos a partir de la transformación me dio siete, siete, cero sin conocer T, todo esto lo pudo hacer sin saber todavía qué forma tiene esa transformación.
Ahora, si damos un paso más, inclusive puedo usar este teorema para hallar cuál será esa transformación, es decir, puedo seguir sin conocer T pero sí conozco imágenes de una base del espacio de partida puedo usarlas para encontrar T, para encontrar la transformación.
Entonces, si vemos en este otro ejemplo tengo una transformación que va de R3 en R2.
En este caso, conozco las imágenes de algunos vectores uno, uno, uno, uno, uno, cero y uno, cero, cero y me están dando como dato esas imágenes fueron uno, dos, uno dos y menos uno, una.
Esta es una transformación que va de vectores de tres componentes a vectores de dos componentes.
Bueno, uno, uno, uno, uno, uno, cero, uno, cero, cero forman una base de R3, si, se puede comprobar que esto es una base.
El teorema me plantea que si existe la transformación lineal va a ser única, es decir, va a haber una sola transformación lineal de… sí conozco las imágenes de los elementos de esta base, la vamos a encontrar.
Entonces lo primero que voy a plantear, quiero encontrar cuál es T, cuál es esa transformación lineal.
Voy a plantear que un vector genérico cualquiera de R3, si estoy… si esto es una base un vector cualquiera de R3 se tendría por lo que ya sabemos, se tendría que poder escribir como combinación lineal de esta base.
Entonces planteó esta combinación lineal.
Un vector x1, x2, x3 se escribe como combinación lineal de los elementos de la base.
Bueno, aqui en este caso no tengo la base canónica, por lo que no conozco α1, α2, α3 así que los tendré que buscar, tendré que formar un sistema de ecuaciones y encontrar α1, α2, α3.
Yo lo hice y obtuve estos resultados.
Resolví el sistema de ecuaciones y obtuve que α1 tiene que valer x3, el valor que sea, que tome x3 para cada vector, α2 tiene que valer x2 menos x3 y α3 tiene que valer x1 menos x2.
Una vez que encontré eso escalares,si reemplazo en esta expresión de arriba, estoy obteniendo esta forma.
Entonces, un vector cualquiera de R3 se va a poder escribir de esta forma como combinación lineal de esa base de R3.
Ahora yo quiero conocer la transformación lineal.
Aplico transformación en ambos miembros, en esta expresión nuevamente el transformado de x1, x2, x3 va a ser igual a bueno sabemos que la transformación de la combinación va a ser la combinación de la de las transformaciones x3 es un escalar, así que lo escribo afuera más x2 menos x3 que es un escalar, un valor real por la imagen de uno, uno, cero más x1 menos x2 por la imagen de uno, cero, cero.
Nuevamente estos valores los conozco porque me lo han dado como dato, conozco las imágenes de los vectores de esa base que son estas.
Así que puedo reemplazar, me está quedando que la imagen de un genérico cualquiera x1, x2, x3 se podrá escribir con x3, la imagen de uno, uno, uno es uno, dos más esto también lo bajo como está x2 menos x3.
La imagen de uno, uno, cero es uno, dos también más x1 menos x2 y la imagen de uno, cero, cero es menos uno, uno.
Entonces, si aquí trabajo y resuelvo estas operaciones en x1, x2, x3, estaré obteniendo que la imagen de cualquier vector del espacio de partida se podrá escribir como dos x2 si resuelvo todas estas operaciones entre vectores me queda dos x2 menos x1 y x2 más x1.
Por lo que he encontrado la transformación lineal.
Entonces, la transformación que me permite, T, que me permite ir de R3 a R2, para este ejemplo será esta expresión.
Tomaré el doble de la segunda componente, le restaré la primera y sumaré la primera y la segunda, para un genérico cualquiera x1, x2, x3.