Transformación Lineal: Definición
Hola, en este video vamos a ver a qué llamamos transformación o aplicación lineal.
Supongamos que tenemos dos espacios vectoriales, un espacio vectorial V y un espacio vectorial W y que tenemos elementos dentro de estos espacios vectoriales.
Supongamos que dentro del espacio vectorial V tenemos elementos x1, x2.
Una transformación o aplicación lineal es una función que me permite pasar de un espacio vectorial a otro, es decir, que me permite encontrar imágenes o respuesta de valores que están en el primer espacio, valores correspondientes al segundo espacio, de manera que haya una correspondencia.
A esas transformaciones o aplicaciones lineales, las podemos denotar como f porque generalmente son funciones pero no siempre, no es necesario que siempre sean funciones.
En general, las denotamos como T de transformación lineal.
Puede ser f o t.
Entonces esa transformación que me permite pasar de un espacio vectorial a otro me está permitiendo, dados valores de entradas en el primer espacio, encontrar valores respuestas en el segundo espacio.
Por ejemplo, puedo encontrar el transformado de x1 que tendrá algún valor en este espacio W o el transformado de x2 que tendrá tal es otro valor en este espacio W.
Así puedo para algún valor o para cualquier valor de V encontrar valores correspondientes a esos, pero que vivan en el espacio W y que sigan esta regla que se llama transformación o aplicación lineal, es decir, que me permitan dado un valor de entrada obtener un valor de respuesta siguiendo la regla que me plantee la transformación lineal.
Pero no todas las transformaciones serán lineales.
Veremos que si planteamos una combinación lineal de esto, por ejemplo, valores de V, por ejemplo, una combinación lineal α1 x1 más α2 por x2, una combinación lineal donde α1 y α2 pertenecen a los reales, son números escalares cualesquiera.
Si yo puedo encontrar la imagen de esa combinación lineal en el espacio W, que la voy a escribir como α1 por la… perdón imagen que estoy llamando T de x1 más α2 por la imagen de x2.
Si dada una combinación lineal en el primer espacio puedo encontrar la imagen de esa combinación lineal, que se escribe de esta manera, entonces voy a decir que esa es una transformación lineal.
Decimos que si esta
condición se cumple, es decir, si transformo α1 por x1 más α2 por x2, transformo cualquier combinación lineal en el espacio de partida y obtengo la combinación lineal de la transformación α1 por T (x1) más α2 por T(x2), decimos que entonces esa transformación será lineal.
Eso es un requisito que tiene que cumplir una transformación para considerarse lineal ya en breve comentaremos otro.
Entonces a estos valores que obtenemos los solemos llamar imágenes, es la imagen de x1 por la transformación T, la imagen de x2 por la transformación T, es decir, serían sus correspondientes valores pero que viven dentro de W y que los obtuve gracias a T.
A eso llamamos imágenes.
Entonces planteamos el primer requisito, la transformación de la combinación lineal tiene que ser igual a la combinación lineal de las transformaciones o de las imágenes.
De esa manera diremos que la transformación es lineal.
Otros autores definen a esta condición o este requisito o lo desglosan en otros dos requisitos que también se suelen utilizar.
Si yo planteo la transformación de un número escalar α por un elemento de V, un vector por ejemplo x cualquiera y esa transformación se puede escribir como α por el transformado de x o la imagen de x, ese es un requisito que tiene que cumplir una combinación lineal.
Y otro requisito es que si yo sumo dos vectores x1 más x2 en el espacio de partida y busco su imagen o los transformo, que me devuelva la imagen de x1 más la imagen de x2, es decir, estos dos requisitos se suelen combinar y escribir directamente este, en una sola condición que la imagen de un escalar por un vector sea igual al escalar por la imagen del vector y que la imagen de la suma sea igual a la suma de las imágenes.
Esa es una manera de decirlo.
Entonces, si estos dos requisitos se cumplen diremos que la transformación es lineal.
Cuando estamos… cuando estamos refiriendo a transformaciones no necesariamente tienen que ser siempre vectores, recordemos que podemos trabajar con cualquier ente matemático, en general lo llamamos a x como vectores, pero pueden ser… x puede estar representando una matriz o un polinomio o un número real o varios, o funciones, es decir, no necesariamente tienen que estar siempre vectores.
Las notaciones que utilizaremos para las transformaciones lineales en general serán estas: una transformación T o f a veces también se le puede sumar f, está definido entre dos espacios vectoriales V y W cuando a cada x del espacio de partida le asigno un y del espacio de llegada W que se lo suele denotar y o f(x).
En realidad, aquí tendría que ser tengo un error aquí tendría que ser transformada porque estoy usando esa letra transformada de x.
Entonces a V lo llamamos espacio de partida o conjunto dominio y a W lo llamamos espacio de llegada.
A los elementos de V los podemos simbolizar con x y a los elementos W los podemos simbolizar con T de x o directamente como y, imágenes.
Y una propiedad muy importante que tiene cumplir una transformación para ser lineal es la siguiente que la imagen aquí tendría que ser f o T es lo mismo, La imagen del cero del primer conjunto, es decir, la imagen del elemento cero o elemento nulo del conjunto de partida sea igual al cero del conjunto de llegada, es decir, sí yo busco o transformo el cero del conjunto de partida que me devuelva o me retorne el cero del conjunto W, del conjunto de llegada.
Este si es un requisito importante que tiene que cumplir una transformación para ser lineal, entonces la sumamos a la anterior.
Si vemos ejemplos de transformaciones lineales aquí las he denotado con f.
Por ejemplo una transformación que vaya del espacio R3 al espacio de R2, ¿qué es lo que está haciendo?.
Está tomando vectores de tres componentes y me los transforma en vectores de dos componentes siguiendo esta regla.
Entonces me toma un vector de R3 me lo transforma en R2 siguiendo la regla x1 menos x3, x2 menos x3.
Por ejemplo, puedo tomar un vector de R3, invento uno cualquiera uno, dos, tres.
Esta que estaría viviendo en el primer conjunto, que en este caso lo estamos llamando R3.
Esta transformación me lo estaría convirtiendo un segundo conjunto de R2 mediante esta transformación f y en este caso su imagen la puedo obtener a partir de esta regla x1 menos x3, en este ejemplo uno menos tres me dará menos dos y x2 menos x3, dos menos tres me dará menos uno quiere decir que esta transformación está justamente transformando este vector que he tomado como ejemplo en este otro.
Uno de R3 en uno de R2.
Aquí hay otro ejemplo pero ahora con matrices.
En este caso, estoy tomando una transformación que va de R2 a R dos por dos.
R dos por dos quiere decir el conjunto de las matrices de tamaño dos por dos con números reales.
En este caso, estoy tomando un elemento, un vector de dos componentes y esta transformación me los está convirtiendo en matrices de tamaño dos por dos que cumplan con esto.
Entonces podría pensar, por ejemplo en un vector cualquiera de R3 invento uno, por ejemplo, el uno tres y me estaría devolviendo o retornando matrices en el espacio dos por dos.
En este caso, me estaría retornando matrices diagonales que cumplan con uno más tres me da cuatro, cero, cero y cuatro.
Me está transformando vectores en matrices de este tipo.