Libro Agustin Calculo primitivas, Diapositivas de Cálculo
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Ejercicios resueltos de

CÁLCULO

Agust́ın Valverde Ramos

***** BORRADOR *****

Editado electrónicamente por Agust́ın Valverde

c© Agust́ın Valverde Ramos Dpto. de Matemática Aplicada

Escuela Técnica Superior de Ingenieŕıa Informática

Universidad de Málaga

Bvd. Louis Pasteur, s/n (Campus de Teatinos)

29071 Málaga

Introducción

Notación de ejercicios: cap.ej(apart) o cap.ej o ej(apart) o ej

iii

Índice general

1. El cuerpo de los números complejos 1

2. Sucesiones y series numéricas 27

3. Sucesiones y series funcionales 110

4. El espacio métrico Rn.

Curvas parametrizadas 156

5. Cálculo en varias variables 236

iv

6. Optimización no-lineal 279

7. Integración 339

8. Ecuaciones diferenciales ordinarias 577

v

Caṕıtulo 1

El cuerpo de los

números complejos

1

El cuerpo de los números complejos 2

Problema 1 Hallar el módulo y el argumento de cada uno de los siguientes números:

3 + 4i; (3 + 4i)−1; (1 + i)5; 7 √

3 + 4i; |3 + 4i|

Recordemos que el recorrido considerado para la función arc tg es (−π/2, π/2); además, esta función es impar y verifica la siguiente igualdad:

arc tg x + arc tg 1

x = π

2

✎ |3 + 4i| = √

32 + 42 = 5

arg(3 + 4i) = arc tg 4/3

✎ Utilizamos el apartado anterior:

|(3 + 4i)−1| = |3 + 4i|−1 = 1/5 arg((3 + 4i)−1) = − arg(3 + 4i) = − arc tg 4/3

✎ Resolvemos este apartado de una forma alternativa utilizando la notación de Euler y la fórmula de

Moivre

(1 + i)5 = ( √

2( 1√ 2

+ 1√ 2 i))5 = (

√ 2(cos

π

4 + i sen

π

4 ))5 = 4

√ 2(cos

4 + i sen

4 )

Por tanto, |(1 + i)5| = 4 √

2 y arg(1 + i)5 = 5π 4

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 3

✎ Dado que |3 + 4i| = 5, | 7 √

3 + 4i| = 7 √

5. Por otra parte, un número complejo tiene n ráıces n−ésimas distintas cuyos módulos coinciden; si α = arc tg 4

3 es el argumento de 3 + 4i, entonces los argumentos

de las 7 ráıces septimas son 1 7 α + 2

7 πk para k = 0, 1, . . . , 6.

✎ Dado que |3 + 4i| = 5 es un número real positivo, coincide con su valor absoluto y su argumento es 0.

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 4

Problema 2 Expresar cada uno de los siguientes números complejos en la forma “a+ bi”:

eπi/2; 2e−πi/2; 3eπi; −e−πi; i+ e2πi; eπi/4; eπi/4 − e−πi/4; 1− e πi/2

1 + eπi/2

✎ eπi/2 = cos π 2

+ i sen π 2

= i.

✎ 2e−πi/2 = −2i.

✎ 3eπi = −3.

✎ −e−πi = 1.

✎ i + e2πi = i + 1.

✎ eπi/4 = 1√ 2

+ i 1√ 2 .

✎ eπi/4 − e−πi/4 = 2iIm(eπi/4) = 2i sen π/4 = 2i 1√ 2

= i √

2

✎ 1− eπi/2 1 + eπi/2

= 1− i 1 + i

= 1 2 (1− i)2 = −i

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 5

Problema 3 En cada caso, hallar todos los valores de x e y que satisfacen la relación dada:

x+ iy = xeiy; x+ iy = yeix; ex+iy = −1; 1 + i 1− i = xe

iy

✎ x + iy = xeiy:

Si x = 0, entonces y = 0; si x 6= 0, y dado que xeiy = x cos y + ix sen y, debe ocurrir que cos y = 1 y, en tal caso, sen y = 0 e y = x sen y = 0. Por tanto, las soluciones son todos los complejos con parte

imaginaria nula.

✎ x + iy = yeix: Si y = 0, entonces x = 0; si y 6= 0, y dado que yeix = y cos x + iy sen x, debe ocurrir que sen x = 1 y en tal caso cos x = 0 y x = y cos x = 0; finalmente, dado que la igualdad y = iy no es

posible para ningún y 6= 0, deducimos que la única solución es (0, 0).

✎ Dado que −1 = eiπ, las soluciones de la ecuación ex+iy = −1 son: x = 0 e y = π + 2kπ

✎ Dado que 1 + i 1− i = i = e

iπ/2, las soluciones de la ecuación 1 + i 1− i = xe

iy son: x = 1 e y = π 2

+ 2kπ

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 6

Problema 4 Resolver las ecuaciones siguientes:

1. x2 + ix + 1 = 0; 2. x4 + x2 + 1 = 0; 3. x3 − x2 − x− 2 = 0; 4.

ix− (1 + i)y = 3 (2 + i)x + iy = 4

1. x2 + ix + 1 = 0 ⇐⇒ x = 1 2 (−i±

√ −1− 4)

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son x1 = 1 2 ( √

5− 1)i y x2 = −12( √

5 + 1)i.

2. Esta es una ecuación bicuadrada:

x4 + x2 + 1 = 0 ⇐⇒ x2 = 1 2 (−1±

√ 1− 4) = 1

2 (−1± i

√ 3)

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación en x2 son:

y1 = 1

2 (−1 + i

√ 3) = cos

3 + i sen

3 y2 =

1

2 (−1− i

√ 3) = cos

3 + i sen

3

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 7

Las cuatro soluciones de la ecuación del enunciado son las dos ráıces cuadradas de y1 y las dos de y2:

x1 = cos π

3 + i sen

π

3 =

1

2 (1 + i

√ 3)

x2 = cos 4π

3 + i sen

3 = −1

2 (1 + i

√ 3)

x3 = cos 2π

3 + i sen

3 =

1

2 (−1 + i

√ 3)

x4 = cos 5π

3 + i sen

3 =

1

2 (1− i

√ 3)

3. Dado que el polinomio x3 − x2 − x− 2 tiene grado impar, al menos una de las tres soluciones es real; comprobando los divisores del término independiente, encontramos que 2 es esta solución; las otras

dos, son las soluciones de la ecuación x2 + x + 1 = 0 que hemos resuelto en el apartado anterior. Las

tres soluciones son:

x1 = 2 x2 = 1

2 (−1 + i

√ 3) x3 =

1

2 (−1− i

√ 3)

4. Aplicamos el método de reducción o método de Gauss:

{

ix− (1 + i)y = 3 (2 + i)x + iy = 4

}

⇐⇒

ix− (1 + i)y = 3

ix + i2

2 + i y =

4i

2 + i

 ⇐⇒

ix− (1 + i)y = 3 3i

2 + i y =

i− 6 2 + i

Por tanto, y = i− 6 3i

= 1 3

+ 2i y x = 3 + (1 + i)y

i = −1

3 (5 + 7i).

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 8

Problema 5 Hallar todas las ráıces cuartas de i en la forma “a+ bi” sin hacer intervenir ninguna función

trigonométrica.

Las cuatro ráıces cuartas de i son: zk = exp ( π

2 · 4 + 2π 4 k )

, k = 0, 1, 2, 3:

z1 = cos π 8

+ i sen π 8 ; z2 = cos

5π 8

+ i sen 5π 8

; z3 = cos 9π 8

+ i sen 9π 8

; z4 = cos 13π 8

+ i sen 13π 8

Las siguientes igualdades permiten el cálculo exacto de estas ráıces:

cos π 8

= cos 1 2

π 4

= √

1 2

( 1 + cos π

4

) =

√ 2+

√ 2

2 sen π

8 = sen 1

2 π 4

= √

1 2

( 1− cos π

4

) =

√ 2−

√ 2

2

Por tanto, las ráıces son:

z1 = cos π 8

+ i sen π 8

=

√ 2+

√ 2

2 + i

√ 2−

√ 2

2

z2 = cos 5π 8

+ i sen 5π 8

= − √

2+ √

2

2 + i

√ 2−

√ 2

2

z3 = cos 9π 8

+ i sen 9π 8

= − √

2+ √

2

2 − i √

2− √

2

2

z4 = cos 13π 8

+ i sen 13π 8

=

√ 2+

√ 2

2 − i √

2− √

2

2

z1

z2 i

Re

Im

z3

z4

π 8

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 9

Problema 6 Expresar los números complejos siguientes en la forma “a+ bi”:

(1 + i)2; 1/i; 1/(1 + i); (2 + 3i)(3− 4i); (1 + i)/(1− 2i); i5 + i16; 1 2 (1 + i)(1 + i−8)

✎ (1 + i)2 = 1 + 2i− 1 = 2i.

✎ 1 i

= i i2

= −i.

✎ 1

1 + i =

1− i 1 + 1

= 1 2 − 1

2 i.

✎ (2 + 3i)(3− 4i) = 6− 12i2 + i = 18 + i.

✎ 1 + i 1− 2i =

1 5 (1 + i)(1 + 2i) = 1

5 (−1 + 3i).

✎ i5 + i16 = (−1)2i+ (−1)8 = i+ 1.

✎ 1 2 (1 + i)(1 + i−8) =

1 2 (1 + i)(1 + 1) = 1 + i.

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 10

Problema 7 Simplificar la siguiente expresión para cada n ∈ N

1 + i+ i2 + · · ·+ in

Para simplificarla, vamos a multiplicar y dividir por (1− i):

1 + i + i2 + · · ·+ in = (1 + i + i 2 + · · ·+ in)(1− i)

1− i

= 1 + i+ i2 + · · ·+ in − i− i2 − · · · − in − in+1

1− i = 1− in+1

1− i Por lo tanto, esta expresión depende de la congruencia de n módulo 4:

Si n = 4k, 1 + i + i2 + · · ·+ in = 1− i 4k+1

1− i = 1− i 1− i = 1

Si n = 4k + 1, 1 + i + i2 + · · ·+ in = 1− i 4k+2

1− i = 1 + 1 1− i = 1 + i

Si n = 4k + 2, 1 + i + i2 + · · ·+ in = 1− i 4k+3

1− i = 1 + i 1− i = i

Si n = 4k + 3, 1 + i + i2 + · · ·+ in = 1− i 4k+4

1− i = 1− 1 1− i = 0

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 11

Problema 8 Representar el conjunto de todos los complejos z que satisfacen cada una de las condiciones

siguientes:

1. |2z + 3| < 1; 2. |z + 1| < |z − 1|; 3. |z − i| ≤ |z + i|; 4. |z| ≤ |2z + 1|

Las representación de los lugares geométricos determinados por las inecuaciones es la siguiente:

Im

Re

Im Im

ReRe

3/2 2/31/31

|2z + 3| < 1 |z + 1| < |z − 1| |z| ≥ |2z − 1|

Im

Re

|z + i | ≥ |z − i |

1. |2z + 3| < 1 ⇐⇒ ∣ ∣z + 3

2

∣ ∣ < 1

2 : interior de la circunferencia de radio 1/2 y centro en (3/2, 0).

Recordemos que los números complejos que verifican |z| = r son los situados en la circunferencia de radio r centrada en el origen; los que verifican |z| < r corresponden al interior de esta circunferencia. En general, los números z que verifican |z − z0| = r son los situados en la circunferencia de radio r y centro en z0.

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 12

2. Considerando z = x + iy, tenemos

|z + 1| < |z − 1| ⇐⇒ (x + 1)2 + y2 < (x− 1)2 + y2

⇐⇒ x2 + 2x+ 1 < x2 − 2x+ 1 ⇐⇒ 4x < 0 ⇐⇒ x < 0

3. Considerando z = x + iy, tenemos

|z − i| ≥ |z + i| ⇐⇒ x2 + (y − 1)2 ≥ x2 + (y + 1)2

⇐⇒ y2 + 2y + 1 ≥ y2 − 2y + 1 ⇐⇒ 4y ≥ 0 ⇐⇒ y ≥ 0

4. Considerando z = x + yi, tenemos:

|z| ≥ |2z − 1| ⇐⇒ x2 + y2 ≥ (2x− 1)2 + 4y2 ⇐⇒ y2 + (

x− 2 3

)2

≤ 1 9

Es decir, la solución es el interior de la circunferencia de radio 1/3 y centro en (2/3, 0)

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 13

Problema 9

1. Hallar la parte real y la parte imaginaria de senh z, cosh z y tgh z.

2. Hallar tgh(2 + iπ 4 )

✎ senh(x + iy) = 1

2 (ex+iy − e−x−iy)

= 1

2 (ex(cos y + i sen y)− e−x(cos y − i sen y))

= 1

2 (ex − e−x) cos y + i1

2 (ex + e−x) sen y

= senh x cos y + i cosh x sen y

✎ cosh(x+ iy) = 1

2 (ex+iy + e−x−iy)

= 1

2 (ex(cos y + i sen y) + e−x(cos y − i sen y))

= 1

2 (ex + e−x) cos y + i

1

2 (ex − e−x) sen y

= cosh x cos y + i senh x sen y

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 14

✎ Para evaluar la función tgh dividimos las expresiones anteriores y simplificamos simplificamos el re-

sultado:

tgh(x + iy) = senh(x + iy)

cosh(x+ iy) =

senh x cos y + i cosh x sen y

cosh x cos y + i senh x sen y

= (senh x cos y + i cosh x sen y)(cosh x cos y − i senh x sen y) (cosh x cos y + i senh x sen y)(cosh x cos y − i senh x sen y)

= senh x cosh x cos2 y + senh x cosh x sen2 y + i(cosh2 x sen y cos y − senh2 x sen y cos y)

cosh2 x cos2 y + senh2 x sen2 y

= senh x cosh x + i sen y cos y

cosh2 x cos2 y + senh2 x sen2 y

= 1 2 senh 2x+ i1

2 sen 2y

cosh2 x cos2 y + senh2 x sen2 y + cosh2 x sen2 y − cosh2 x sen2 y

= senh 2x+ i sen 2y

2(cosh2 x− sen2 y)

✎ tgh(2 + i π

4 ) =

senh 4 + i sen π 2

2(cosh2 2− sen2 π 4 )

= senh 4 + i

2(cosh2 2− 1 2 )

= senh 4 + i

2 cosh2 2− 1

= senh 4 + i

cosh 4 = tgh 4 +

i

cosh 4 ≈ 0′999329 + i0′036619

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 15

Problema 10 Resolver la ecuación sen z = 2.

Empezamos utilizando la definición de la función seno

2 = sen z = 1

2i (eiz − e−iz) = e

2iz − 1 2eizi

De aqui obtenemos: e2iz − 1 = 4eizi. Esta es una ecuación de segundo grado en eiz y sus soluciones son

eiz = 1

2 (4i±

√ −16 + 4) = i(2±

√ 3)

Entonces, las soluciones de la ecuación propuesta verifican:

z = 1

i log i(2±

√ 3) = −i log i(2±

√ 3) = −i(log i+ log(2±

√ 3))

= −i(i(π 2

+ 2nπ) + log(2± √

3))

= π

2 + 2nπ − i log(2±

√ 3)

Es decir, para cada n ∈ Z tenemos dos soluciones:

z1n = π

2 + 2nπ − i log(2 +

√ 3) z2n =

π

2 + 2nπ − i log(2−

√ 3)

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 16

Problema 11 El objetivo de este ejercicio es calcular el coseno de los ángulos π/5 y 2π/5.

1. Sea z = cos θ+ i sen θ una ráız quinta de −1. Probar que, si z 6= −1, entonces z4− z3 + z2− z+ 1 = 0 y deducir que 4 cos2 θ − 2 cos θ − 1 = 0. Concluir que cos π/5 = 14(

√ 5 + 1).

2. Sea z = cos θ+i sen θ una ráız quinta de la unidad. Probar que, si z 6= 1, entonces z4+z3+z2+z+1 = 0 y deducir que 4 cos2 θ + 2 cos θ − 1 = 0. Concluir que cos 2π/5 = 14(

√ 5− 1).

Efectivamente, el valor de los cosenos de los ángulos pedidos está relacionado con las ráıces quintas de 1

y de −1, ya que, por la fórmula de Moivre: ( cos

π

5 + i sen

π

5

)5 = cos π + i sen π = −1

( cos

5 + i sen

5

)5 = cos 2π + i sen 2π = 1

Vamos a explicitar la solución del primer apartado, puesto que la del segundo es exactamente igual. La

primera afirmación del enunciado es trivial, puesto que una simple división de polinomios prueba que:

z5 + 1 = (z + 1)(z4 − z3 + z2 − z + 1)

Dado que z = cos π 5 + i sen π

5 es una de las cinco ráıces quintas de -1 distinta de -1, este numero debe ser ráız

del polinomio de grado 4; llamando α = cos π 5

y β = sen π 5

y sustituyendo z por α + iβ en dicho polinomio,

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 17

obtenemos:

0 = z4 − z3 + z2 − z + 1 = α4 + 4iα3β − 6α2β2 − 4iαβ3 + β4

− α3 − 3iα2β + 3αβ2 + iβ3

+ α2 + 2iαβ − β2

− α− iβ + 1

Por lo tanto, tanto la parte imaginaria como la parte real de la expresión de la derecha deben ser 0.

Debemos serparar y simplificar ambas partes para obtener la expresión más sencilla posible; en este caso,

la expresión mas simple se obtiene de la parte imaginaria, pero el lector debeŕıa desarrollar igualmente la

parte real para comprobarlo.

0 = 4α3β − 4αβ3 − 3α2β + β3 + 2αβ − β

Dividiendo por β obtenemos:

0 = 4α3 − 4αβ2 − 3α2 + β2 + 2α− 1

Dado que tenemos que obtener un polinomio en α, sustituimos β2 por 1− α2:

0 = 4α3 − 4α + 4α3 − 3α2 + 1− α2 + 2α− 1 = 8α3 − 4α2 − 2α

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 18

Finalmente, dividiendo por 2α obtenemos el polinomio buscado:

0 = 4α2 − 2α− 1

La resolución de esta ecuación de segundo grado, conduce finalmente al valor de cos π 5

(tomamos solamente

la solución positiva):

α = cos π

5 =

1

8 (2 +

√ 20) =

1

4 (1 +

√ 5)

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 19

Problema 12 Deducir las siguientes igualdades haciendo uso de la definición de las funciones hiperbólicas

en el cuerpo de los números complejos.

1. senh z cosh u+ cosh z senh u = senh(z + u)

2. cosh z cosh u+ senh z senh u = cosh(z + u)

A partir de ellas deducir las siguientes:

3. cosh2 z − senh2 z = 1

4. 2 senh z cosh z = senh 2z

5. cosh2 z + senh2 z = cosh 2z

6. senh z cosh u = 1 2 (senh(z + u) + senh(z − u))

7. senh z senh u = 1 2 (cosh(z + u)− cosh(z − u))

8. cosh z cosh u = 1 2 (cosh(z + u) + cosh(z − u))

Ejercicios resueltos de Cálculo. c©Agust́ın Valverde

El cuerpo de los números complejos 20

Problema 13 Deducir las siguientes igualdades haciendo uso de la definición de las funciones trigonométri-

cas en el cuerpo de los números complejos.

1. sen z cos u+ cos z sen u = sen(z + u)

2. cos z cos u− sen z sen u = cos(z + u)

A partir de ellas deducir las siguientes:

3. cos2 z + sen2 z = 1

4. 2 sen z cos z = sen 2z

5. cos2 z − sen2 z = cos 2z

6. sen z cos u = 1 2 (sen(z + u) + sen(z − u))

7. sen z sen u = 1 2 (− cos(z + u) + cos(z − u))

8. cos z cos u = 1 2 (cos(z + u) + cos(z − u))

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