Libro de Calculo diferencial e integral, Otro de Cálculo diferencial y integral. Universidad Andina del Cusco
AyrthonFMGuzman
AyrthonFMGuzman5 de noviembre de 2017

Libro de Calculo diferencial e integral, Otro de Cálculo diferencial y integral. Universidad Andina del Cusco

PDF (843 KB)
116 pages
1Número de download
18Número de visitas
Descripción
Libro de Veronica Mendoza, sobre calculo diferencial e integral, contiene ejercicios y formularios para un mejor desempeño en este curso.
20 Puntos
Puntos download necesarios para descargar
este documento
descarga el documento
Pre-visualización3 pages / 116

Esta solo es una pre-visualización

3 shown on 116 pages

descarga el documento

Esta solo es una pre-visualización

3 shown on 116 pages

descarga el documento

Esta solo es una pre-visualización

3 shown on 116 pages

descarga el documento

Esta solo es una pre-visualización

3 shown on 116 pages

descarga el documento
texto.dvi

Matemática en la Salud

Verónica Poblete Oviedo

Contenidos

1 Introducción 1

2 Números Reales 4

2.1 Axiomas y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Axiomas de Orden e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Valor absoluto: Distancia en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Funciones de Variable Real 17

3.1 Definición, propiedades y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Algebra de Funciones y Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Función Exponencial y Función Logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.1 Función Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3.2 Función Logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Trigonometŕıa 45

4.1 Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Funciones Trigonométricas de ángulos agudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3 Funciones Trigonométricas de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.4 Identidades Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.5 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Ĺımites y Continuidad 60

5.1 Ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.1.1 Propiedades de los ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.1.2 Ĺımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.1.3 Ĺımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

i

ii

5.2 Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Derivación 75 6.1 Definición e Interpretación Geométrica de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2 Cálculo de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2.1 Álgebra de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.2.2 Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2.3 Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.2.4 Funciones Impĺıcitas y Derivación Impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.2.5 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.3 Aplicaciones de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.3.1 Valores Extremos, Crecimiento y Decrecimiento . . . . . . . . . . . . . 88 6.3.2 Razón de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.3.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7 Integración 101 7.1 Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.1.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.1.2 Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.1.3 Reglas Básicas de Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.1.4 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.2 Métodos de Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.2.1 Integración por Sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.2.2 Integración por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.2.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Caṕıtulo 1

Introducción

El enfoque matemático ha funcionado maravillosamente bien para la f́ısica, pero ¿qué hay de la bioloǵıa? La matemática es la ciencia de la estructura y las pautas, en los últimos siglos se han descubierto modos en los que esta ciencia informa sobre la estructura profunda de la vida.

En el año 1917, en Inglaterra, se publica el libro “Sobre el Crecimiento y la Forma” del autor D’Arcy Wentworth Thompson, un experto zoólogo con un importante gusto por la matemática, quién postula:

El mundo orgánico es tan matemático como el mundo inorgánico, la base matemática de los seres vivos, sin embargo, es más sutil, más flexible y esta profundamente oculta.

Si bien dicho texto está bien considerado en muchos ćırculos, nunca lo ha estado en la corriente principal de la bioloǵıa, esto debido a que las historias matemáticas no encajaban cuando se contrastaba con la evidencia directa de los laboratorios. Sin embargo, es posible mencionar diversas situaciones en este ámbito. Por ejemplo, para las criaturas vivas, el punto de partida es la célula: una minúscula mota de protoplasma contenida dentro de una delgada membrana, pero de una estructura especializada y compleja. Una célula puede dividirse en dos, formando cada mitad una nueva célula completa capaz de reproducirse de nuevo y aśı indefinidamente. “Las células se multiplican dividiéndose” ¿Suena a matemática? La forma de una célula antes, durante y después de la reproducción es matemática: un ćırculo, un corte transversal, en el ćırculo aparece una cintura que se estrecha, se estrangula en una figura en forma de ocho y se rompe para crear dos ćırculos.

Otro ejemplo, es la naturaleza matemática del reino vegetal. La notable geometŕıa y numeroloǵıa de las plantas, la disposición de sus hojas a lo largo del tallo, las figuras espirales formadas en las semillas y el número de pétalos.

Mencionemos también, en nuestro organismo, la molécula de hemoglobina, que recoge el ox́ıgeno de los pulmones, lo lleva al torrente sangúıneo y lo libera donde es necesario.

1

2

Esta función, depende de la forma precisa de la molécula, de su geometŕıa tridimensional. La forma es una consecuencia de leyes de la f́ısica y la qúımica que se expresan a través de la matemática. El lector puede encontrar una visión más extensa de variadas relaciones biológica-matemática en [9].

En este texto, estamos interesados en mostrar aplicaciones simples de matemática ele- mental en diversas áreas de las ciencias naturales, en especial está dirigido a estudiantes en el área de la salud y la bioloǵıa. En un curso tradicional de cálculo, los estudiantes de estas áreas no ven claramente porqué el contenido es relevante en su educación, trataremos de mostrarles como el cálculo puede ayudar a entender fenómenos de la naturaleza.

Aqúı nuestro objetivo es doble. Primero, proporcionar herramientas teóricas de matemá- tica elemental, conceptos abstractos tratados con lenguaje simple que permitan al lector un fácil manejo del cálculo. Segundo, aplicar los recursos anteriores para resolver problemas cotidianos, modelar algunas situaciones, predecir y concluir, especialmente problemas rela- cionados con seres vivos.

Es poco lo que se puede aprender con sólo mirar friamente la teoŕıa abstracta, ya sea f́ısica, qúımica o matemática, debemos darle un sentido a las formulaciones de la ciencia, necesitamos una mejor comprensión de como utilizar sus principios. Es fundamental buscar una interacción con nuestra realidad, con nuestros cambios, con la evolución y la dinámica de las diversas situaciones que nos rodean.

Si bien, los temas tratados aqúı no permitiran resolver problemas de divulgación cient́ıfica, esperamos motivar al estudiante a investigar sobre la matemática actual -la nueva, vital y creativa matemática- nacida de la necesidad de comprender las pautas del mundo vivo.

En el caṕıtulo 2, se resumen herramientas básicas de números reales que permiten resolver problemas principalmente de desigualdades. Se estudian aplicaciones en el área de la bioloǵıa y la medicina.

En el caṕıtulo 3, se trata el tópico de funciones. Se resaltan sus propiedades gráficas e importancia biológica de funciones exponenciales y logaŕıtmicas. Se desarrollan variados problemas prácticos.

En el caṕıtulo 4, se estudian funciones trigonométricas. Se ocupan estos conceptos para describir curvas que representan, por ejemplo, niveles de respiración, electrocardiogramas, situaciones experimentales.

En el caṕıtulo 5, los ĺımites y la continuidad son conceptos clave para entender la parte conceptual del cálculo. Se da una visión intuitiva y también formal de ĺımites aśı como algunas aplicaciones.

En el caṕıtulo 6, se presenta la definición formal de derivadas y su interpretación geomé- trica. Se consideran reglas de deivación. En una primera parte de este caṕıtulo se da énfasis al cálculo directo de derivadas y posteriormente aplicamos esto a problemas de optimización. También se trata el concepto de derivada desde el punto de vista f́ısico, como razón de cambio

3

y sus importantes aplicaciones. En el caṕıtulo 7, se ve el concepto de integral indefinida. Se proporcionan dos técnicas

de integración y algunas aplicaciones tradicionales.

Finalmente, agradezco las revisiones y aporte de material para este texto, de los profe- sores Héctor Aguilera (Universidad Andrés Bello), Carlos Lizama (Universidad de Santiago de Chile), Sergio Plaza (Universidad de Santiago de Chile).

Verónica Poblete Universidad de Santiago de Chile

vpoblete@lauca.usach.cl

Caṕıtulo 2

Números Reales

2.1 Axiomas y Propiedades

Esta sección está diseñada a modo de ofrecer un breve repaso sobre algunos conceptos básicos. Comenzaremos estudiando propiedades de los números reales, y en las próximas secciones aplicaremos este desarrollo teórico.

Aceptaremos la existencia de un conjunto llamado conjunto de números reales y denotado por R. Los números reales se emplean en todas las áreas de la matemática y sus aplicaciones.

Sobre R se define una relación de igualdad que verifica las siguientes propiedades

Para todo a ∈ R se tiene a = a. (Refleja)

Para todo a, b ∈ R si a = b entonces b = a. (Simétrica)

Para todo a, b, c ∈ R si a = b y b = c entonces a = c. (Transitiva)

Además el conjunto de los números reales es cerrado respecto a las operaciones de adición o suma (denotada por +) y multiplicación o producto (denotada por ·). Esto significa que dados dos números reales cualesquiera, la suma y la multiplicación de ellos es también un número real. Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades, llamadas Axiomas de Cuerpo. Dados a, b y c números reales arbitrarios, se verifican

Conmutatividad a+ b = b+ a, a · b = b · a

Asociatividad a+ (b+ c) = (a+ b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c

Elemento Neutro o Identidad a+ 0 = a, a · 1 = a

Elemento Inverso a+ (−a) = 0, a · a−1 = 1 si a = 0

Distributividad a · (b+ c) = a · b+ a · c.

4

5

Note que 0 no tiene inverso multiplicativo ya que no existe un número que multiplicado por cero dé uno.

A partir de la suma, se define la resta

a− b = a+ (−b) .

En forma semejante, se define la división en términos de la multiplicación, para b ∈ R, b = 0,

a÷ b = a · b−1 . Es común denotar la división por

a

b , de donde, si b = 0 tenemos b−1 = 1

b .

A continuación se listan algunas importantes propiedades válidas en los números reales. La demostración de ellas, son consecuencia de los axiomas de cuerpo. Para a, b, c y d números reales arbitrarios se verifican

• a · 0 = 0

• a = b si y sólo si a+ c = b+ c

Si c = 0, se tiene a = b si y sólo si a · c = b · c

• a · b = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0

• −(−a) = a

• −(a+ b) = −a− b

• −(a · b) = (−a) · b = a · (−b)

Para a = 0 se tiene (a−1)1 = a

Para a = 0 , b = 0 se tiene (a · b)1 = a−1 · b−1

Para b = 0 , d = 0 se tiene a b ± c

d =

ad± bc bd

y a

b · c d =

ac

bd .

Si además c = 0, entonces a b : c

d =

ad

bc

Una aplicación importante de la axiomatica en R es encontrar soluciones de ecuaciones. Consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.1 Un farmacéutico debe preparar 15 ml de unas gotas para los ojos para un paciente con glaucoma. La solución de las gotas debe contener 2% de un ingrediente activo, pero el farmacéutico sólo tiene una solución al 10% y otra al 1% en su almacén ¿Qué cantidad de cada tipo de solución debe usar para preparar la receta?

6

Solución. Sean Vi : volumen de la i−ésima solución (en este caso i = 1, 2 ) y Ci : concentración del i−ésimo ingrediente.

Si queremos que la mezcla final tenga un volumen V y una concentración C, debemos tener

V C = V1C1 + V2C2 y V = V1 + V2

Reemplazando los datos de nuestro problema, obtenemos

15 · 0.02 = V1 0.1 + V2 0.01 y 15 = V1 + V2 De esto, 0.3 = 0.1V1 + 0.01 (15 − V1), y despejando obtenemos el valor V1 = 1.667ml y

V2 = 13.333. Luego, para preparar 15ml de gotas al 2% debemos utilizar 1.667ml de solución al 10% y 13.333ml de solución al 1%.



2.2 Axiomas de Orden e Inecuaciones

Aceptaremos la existencia de un subconjunto de los números reales llamado conjunto de números reales positivos y denotado por R+. En este conjunto la suma y la multiplicación de reales positivos es también un número real positivo y se cumple la siguiente afirmación.

Dado a ∈ R, se verifica sólo una de las siguientes propiedades

(i) a ∈ R+

(ii) a = 0

(iii) −a ∈ R+

Durante muchos años el álgebra se ha ocupado principalmente de la solución de ecua- ciones. Recientemente, el estudio de las desigualdades ha alcanzado el mismo nivel de im- portancia debido a sus variadas aplicaciones. Tenemos la siguiente definición

Dados a, b ∈ R diremos que a es menor que b, que se anota por a < b, si b− a ∈ R+.

7

Suponga que a, b ∈ R. Se verifica sólo una de las siguientes afirmaciones

(i) a < b

(ii) a = b

(iii) b < a.

En particular, si ponemos a ∈ R y b = 0 en la afirmación anterior, obtenemos una de las siguientes alternativas

(i) a < 0

(ii) a = 0

(iii) 0 < a.

Los números reales que verifican a < 0 son llamados números reales negativos y se anotan R. De esta forma tenemos un orden en los números reales, representados en una recta numérica

0 a > 0a < 0

La afirmación a < b, nos dice que, en la recta a se encuentra a la izquierda de b. La afirmación a = b nos indica que a y b coinciden. Por otra parte, si a se encuentra a la derecha de b, decimos que a es mayor que b, escribiendo a > b, los enunciados a > b y b < a significan lo mismo.

El śımbolo a  b nos indica que a es menor o igual a b. Análogamente, a  b nos dice que a es mayor o igual a b. Las desigualdades, verifican las siguientes propiedades. Sean a, b, c ∈ R entonces

• a2  0

• a  b si y sólo si a+ c  b+ c

Si c > 0, tenemos a  b si y sólo si a · c  b · c

Si c < 0, tenemos a  b si y sólo si a · c  b · c

• a · b  0 si y sólo si (a  0 y b  0) ó (a  0 y b  0)

• a · b  0 si y sólo si (a  0 y b  0) ó (a  0 y b  0)

Si 0  a  b y n > 0, entonces an  bn y n√a  n√b.

8

Sean a y b números reales con a < b. Los siguientes subconjuntos de R son llamados intervalos.

[a, b] = { x ∈ R : a  x  b } • • a b

]a, b[= { x ∈ R : a < x < b } ◦ ◦ a b

[a, b[= { x ∈ R : a  x < b } • ◦ a b

]a, b] = { x ∈ R : a < x  b } ◦ • a b

[a,+[= { x ∈ R : a  x } • a

]a,+[= { x ∈ R : a < x } ◦ a

]−∞, b] = { x ∈ R : x  b } • b

]−∞, b[= { x ∈ R : x < b } ◦ b

Usaremos estas representaciones de conjuntos para escribir las soluciones de inecuaciones.

Definición 2.2 Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen una o más incógnitas.

En esta sección, estamos interesados en buscar soluciones de inecuaciones con sólo una incógnita.

Ejemplo 2.3 La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, vaŕıa en su efectividad en el tiempo según la expresión

C = t2 2t+ 5, donde C se mide en miligramos por litro y el tiempo t en horas. Se determinó que el calmante no produce daños colaterales y es efectivo si la concentración es de por lo menos 8 miligramos por litro y a lo más 13 miligramos por litro ¿Durante cuánto tiempo es efectivo el calmante?

Solución. De acuerdo a los datos aportados por el planteo del problema, para tener efectividad del calmante debemos tener que 8  t2 2t+ 5  13. De esto se desprende que hay que encontar la solución de 8  t2 2t+ 5 y t2 2t+ 5  13.

Resolvemos primero 8  t2 2t+ 5. Comparando con cero, se tiene

0  t2 2t− 3 = (t+ 1)(t− 3).

9

Construimos una tabla que resume los signos de las expresiones t+ 1 , t− 3 y (t+ 1)(t− 3) en los intervalos ]−∞,−1[ , ]1, 3[ y ]3,+[ , como sigue

t −∞ −1 0

3

0

+∞ t+ 1

t− 3 − −

+

+

+

(t+ 1)(t− 3) + +

Luego, 0  (t+ 1)(t− 3) si t ∈]−∞,−1] [3,+[.

Ahora buscamos las soluciones de t22t+5  13 o equivalentemente (t−4)(t+2)  0. Construimos una tabla de resumen de signos, como antes, obteniendo

t −∞ −2 0

4

0

+∞ t+ 2

t− 4 − −

+

+

+

(t+ 2)(t− 4) + +

Luego, (t− 4)(t + 2)  0 si t ∈ [2, 4]. Intersectando las soluciones anteriores, tenemos la siguiente gráfica

13 •−24

de donde t ∈ [2,−1] [3, 4]. En el contexto del problema, considerando que t representa tiempo, la solución de la inecuación es [3, 4]. Esto nos indica que el calmante es efectivo entre 3 y 4 horas después de haberse administrado.



Ejemplo 2.4 Un paciente recibió inulina para medir su tasa de filtración glomerular [TFG]. En el curso de la medición, la tasa de flujo urinario se modifica deliberadamente dándole a beber grandes cantidades de agua. La concentración plasmática de inulina (mg/ml), [P ], se mantiene constante a 1.5 mg/ml mediante venoclisis. La tasa de flujo urinario V̇ es constante

a 2 ml/min. Si [TFG] = [U ] · V̇ [P ]

vaŕıa entre 90 y 100 ml/min antes y después de ingerir

agua ¿como vaŕıa la concentración de inulina, [U ], en la orina?

10

Solución. Tenemos 90  [U ] · V̇ [P ]

 100. Reemplazando los datos,

90  2[U ] 1.5

 100

despejando, 135/2  [U ]  75. Esto nos indica que la concentración de inulina vaŕıa entre 135/2 y 75mg/ml.



Ejemplo 2.5 Al realizar un estudio en un sector minero se encontró un gran porcentaje de personas con niveles elevados de plomo en la sangre. El instituto de salud pública decidió comenzar un tratamiento con un costoso medicamento a las personas que tengan un 6% de sangre contaminada. El porcentaje que describe la cantidad del plomo en la sangre como efecto de x gramos del medicamento, viene dado por la relación

P = x2 + 5x+ 6 x2 + x+ 1

, con P expresado en %.

¿Al menos cuántos gramos deben administrarse para que el porcentaje de plomo sea menor que 2 %?

Solución. Como la expresión está dada en porcentaje, debemos encontrar la solución de

x2 + 5x+ 6 x2 + x+ 1

< 2.

Note que la expresión cuadrática x2 + x + 1 no es factorizable en R (su discriminante es Δ = 1 4 < 0), de hecho x2 + x + 1 > 0 para todo x ∈ R. Aśı, podemos multiplicar la inecuación por esta expresión sin que la desigualdad cambie, obteniendo

x2 + 5x+ 6 < 2(x2 + x+ 1).

Una manipulación algebraica de la expresión anterior da

0 < x2 3x− 4 0 < (x− 4)(x+ 1) o, factorizando

0 < (x− 4)(x+ 1). En resumen, haciendo una tabla de variación de signos, obtenemos

x −∞ −1 0

4

0

+∞ x+ 1

x− 4 − −

+

+

+

(x+ 1)(x− 4) + +

11

La solución de la inecuación, considerando el planteamiento verbal es ]4,+[. En base a este análisis, podemos afirmar que se deben administrar un poco más de 4 gramos del medicamento para que el porcentaje de plomo sea menor que 2 %.



2.3 Valor absoluto: Distancia en R

En la sección anterior vimos la existencia de un orden en los números reales. Ahora estamos interesados en medir distancia entre números reales. El siguiente concepto nos será de gran ayuda para este propósito

Definición 2.6 El valor absoluto de un número real a, denotado por |a| es

|a| = {

a si a  0 −a si a < 0.

Geométricamente |a| nos indica la distancia desde el número real a al origen de la recta numérica.

Por ejemplo, | − 7| = (7) = 7, |4| = 4, |0| = 0. El valor absoluto se puede utilizar para obtener la distancia entre dos números cua-

lesquiera a y b, mediante la expresión

d(a, b) = |a− b|.

Por ejemplo, la distancia entre 3 y 5 es d(3, 5) = | − 35| = | − 8| = 8. A continuación, se listan algunas propiedades del valor absoluto. Para todo a, b, c ∈ R

se verifican

• |a|  0

• |a| = 0 si y sólo si a = 0

• | − a| = |a|

Si a  0 y |a| = b entonces a = b

Si a < 0 y |a| = b entonces −a = b

• |a · b| = |a| · |b|

• |a+ b|  |a| + |b| (Desigualdad Triangular)

12

Para b > 0, |a|  b es equivalente a −b  a  b

Para b > 0, |a|  b es equivalente a a  b o a  −b.

Ejemplo 2.7 Para una población particular de salmón, la relación entre el número de hem- bras x y el número de cŕıas y que sobreviven hasta la edad madura está dada por la fórmula y = 4 |7−x|−|x−3|2 . ¿Cuándo el número de hembras es menor o igual que el número de cŕıas que sobreviven?

Solución. Podemos escribir la inecuación como |x− 3|  4 |7 − x| − 2x. Resolvemos la inecuación por casos.

Caso 1. Si x < 3, entonces |x − 3| = (x− 3) y |7 − x| = 7 − x. Reemplazando en la inecuación, se obtiene (x− 3)  4 (7−x)2x, de aqúı, −x+3  284x− 2x de donde x  5 . Intersectando con nuestro supuesto,

3

5

tenemos una primera solución S1 =]∞, 3[.

Caso 2. Si 3  x  7 entonces |x − 3| = x − 3 y |7 − x| = 7 − x. Reemplazando en la inecuación, se obtiene x− 3  4 (7 − x)2x, de aqúı, x− 3  28 4x− 2x de donde x  31/7 . Intersectando con nuestro supuesto,

3

7

31 7

tenemos una segunda solución S2 = [3, 317 ].

Caso 3. Si x > 7 entonces |x − 3| = x − 3 y |7 − x| = (7 − x). Reemplazando en la inecuación, se obtiene x− 3  4 (7 − x) + 2x, de aqúı, x− 3  28 + 4x− 2x de donde 25  x . Intersectando con nuestro supuesto,

7

25

tenemos una tercera solución S3 = [25,+[. La solución de la inecuación es S = S1 ∪ S2 ∪ S3 =]−∞, 317 ] [25,+[.

13

En el contexto del problema práctico, la solución es [0, 317 ] [25,+[, esto nos indica que cuando el número de hembras de salmón esta entre 0 y 4 (aproximadamente) o es al menos 25, el número de cŕıas que sobreviven hasta la edad madura es mayor que el número de hembras de salmón.



2.4 Ejercicios Propuestos

1. En cierta prueba médica, diseñada para medir la resistencia a los carbohidratos, un adulto bebe 7 ml de una solución de glucosa al 30%. Cuando se le administra la misma prueba a un niño debe disminuirse la concentración de glucosa ¿Qué cantidad de una solución al 30% de glucosa y qué cantidad de agua deben usarse para preparar 7 ml de una solución al 20% de glucosa?

2. Para preparar la Teofilina, que es un medicamento contra el asma, se usa un exh́ılir con una concentración de fármaco de 5 mg/ml, y un jarabe con sabor a cereza que se agrega para disimular el sabor de la medicina ¿Qué cantidad de ambos debe usarse para preparar 100 ml de solución con una concentración del medicamento de 2 mg/ml?

3. Un qúımico tiene 10 ml de una solución que contiene 30% de concentración de ácido ¿Cuántos mililitros de ácido puro deben agregarse para aumentar la concentración a 50%?

4. Una mezcla contiene 8 ml de agua y anticoagulante. Si 49% de la mezcla es anticoagu- lante ¿qué cantidad de mezcla debe eliminarse y reemplazarse por anticoagulante para que la mezcla resultante contenga un 60% de anticoagulante?

5. La ley de Dalton de las presiones parciales se aplica con frecuencia en fisioloǵıa respi- ratoria. La presión parcial para un gas seco es Px = PB · F y para un gas húmedo es Px = (PB − PH2O) · F, donde

Px : presión parcial del gas (mmHg).

PB : presión barométrica.

PH2O : presión del vapor de agua a 37 C (47 mmHg).

F : concentración fraccional del gas.

Calcule la presión parcial de O2, PO2 en el aire inspirado seco (con presión barométrica de 760 mmHg) y compare ese valor con la PO2 en el aire traqueo húmedo a 37

C, si la concentración fraccional de O2 en el aire inspirado es de 0,21.

14

6. Los tres parámetros siguientes describen la función de los ventŕıculos

• Volumen latido (VL): volumen de sangre que el ventŕıculo puede expulsar en un sólo latido, esto es

VL = volumen al final de la diástole - volumen final de la śıstole

• Fracción de expulsión (FE): eficiencia de la expulsión, esto es

FE = V olumen latido

volumen al final de la diástole

• Gasto Card́ıaco (GC): volumen total que el ventŕıculo expulsa por unidad de tiempo, esto es

GC = (volumen del latido) · (frecuencia cardiaca), donde

Volumen del latido: volumen expulsado del ventŕıculo en un latido (ml).

Frecuencia card́ıaca: latidos por minuto.

De acuerdo a lo anterior, determine el volumen del latido, gasto card́ıaco y fracción de expulsión para un paciente que tiene un diástolico final de 140 ml, un volumen sistólico final de 70 ml y una frecuencia card́ıaca de 75 latidos por minuto.

7. El flujo plasmático renal (FPR) se obtiene como

FPR = [U ]PAH · V̇

[RA]PAH − [RV ]PAH (2.1)

donde [U ]PAH = [PAH] en la orina, [RA]PAH = [PAH] en la arteria renal, [RV ]PAH = [PAH] en vena renal y = tasa de flujo urinario.

Despejar a partir de (2.1) el [PAH] en vena renal.

8. Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones

(a) 10 7x < 4 + 2x (b)

x+ 1 x2 25  0x

(c) (x− 2)(x+ 3) > x(x− 1) (d)

1− x  8

(e) 1

x− 2  3

x+ 1

(f) x+ 1 x− 4 < 2

(g) 4

x+ 1 3

x+ 2 > 1

(h) 1 < 3x+ 4 x− 7 < 1

(i) 2 x − 2− x

x− 1  1

(j) x2 3x+ 2 x2 3x  0

(k) x2 4x+ 3 x2 6x+ 8  1

(l) x2 3x+ 2 x2 + 2x+ 6

< 3

15

9. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

(a) |x− 1| = 2 (b) |x+ 1|+ |x− 1| = 0 (c) 3|2 − x|+ |3 + x| = 1− x (d) 2x+ |57x| = 5 + |x| (e) 8|x| + |5x+ 1| < 2 (f) |x+ 1|  |2 + 3x|

(g) |2x+ 1| − x  4 + 3|x| (h) |1− x|+ 3x  4|x+ 5|+ 2 (i)

|x| x+ 2

 0

(j) ∣∣∣∣ xx+ 3

∣∣∣∣ < 5 (k) 2 <

∣∣∣∣2 + xx− 1 ∣∣∣∣ < 3

10. Se ha establecido que el virus sinsicial respiratorio que ataca preferentemente a los niños se debe a dos factores que son: la posibilidad de contagio C = 2x2 5x + 4, la disminución de ciertas vitaminas en el organismo V = x2 + 6x− 8. Ambas expresiones dependen de la edad x. Si se estima que los mayores trastornos producidos por este virus se producen cuando la diferencia entre ambos factores es menor que 12 ¿Cuáles son las edades de mayor riesgo para contraer esta enfermedad?

11. Se han sugerido varias reglas para modificar las dosis de medicamento para adulto y aśı encontrar la dosis para niños pequeños. Sea a la dosis para adulto (en mg), y t la edad del niño (en años). Algunas reglas t́ıpicas son las siguientes

y = t+ 1 24

a (Regla de Cowling) y = 2 25

t a (Regla de Friend)

¿ Para qué edad aproximadamente la dosis según Regla de Friend es menor que la dosis según Regla de Cowling?

12. Se espera que la población P de una ciudad (en miles) crezca de acuerdo a P = 15 +

3t+ 2, en donde el tiempo t está medido en años ¿Después de cuánto tiempo la

población será de al menos 20 mil personas?

13. En bioloǵıa existe una regla aproximada, llamada regla bioclimática para zonas tem- pladas, que establece que en primavera, y a principios de verano, fenómenos periódicos tales como la aparición de insectos y la maduración de la fruta, se retardan alrededor de 4 d́ıas, por cada 1500 metros de altura sobre el nivel del mar. Esta regla bioclimática

se resume en la expresión d = 4 h

1500 donde d es el cambio en d́ıas y h es el cambio

de altura medido en metros. Si esta regla es válida para 0  h  4000, determinar el mı́nimo y la máximo retardo para un fruto que florece entre los 1600 y 2300 metros sobre el nivel del mar.

14. En sicoloǵıa el CI de una persona se encuentra al dividir la edad mental por la edad cronológica y luego esta relación se multiplica por 100.

16

Si el intervalo de variación de CI de un grupo de estudiantes de 20 años de edad es 70  CI  120. Determinar el intervalo de variación de la edad mental del grupo.

15. Un determinado fármaco que se usa para controlar la temperatura se inyecta v́ıa intra-

muscular. Su efecto (en horas) es dado en función de x (mg de dosis) por E = 74x

8x+ 3 ¿Qué cantidad de dosis se debe inyectar para que el fármaco tenga efecto más de 4 horas y menos de 8 horas?

16. Use la relación C = 5 9 (F − 32) para determinar el intervalo en la escala Fahrenheit que

corresponde a 20  C  30.

17. ¿A qué rango de temperatura en la escala Celsius corresponde el intervalo 50  F  95?

18. Para que cualquier medicamento tenga un efecto benéfico, su concentración en el tor- rente sangúıneo debe exceder un cierto valor llamado nivel terapéutico mı́nimo. Suponga que la concentración C de un fármaco al transcurrir t horas después de que se ha in- gerido es

C = 20t

t2 + 4

[mg lto

] Si el nivel terapéutico mı́nimo es 4

mg

lto , determine cuándo se ha excedido este nivel.

19. Pasados t minutos después de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, el número de bacterias está dado por N = 10000

t2+1 +2000 . Determine el momento en que

el número de bacterias está por debajo de 4000.

20. Se realizará un scaner a enfermos crónicos del pulmón. Para esto se suministra a cada paciente un ĺıquido de contraste, cuyo porcentaje residual en el cuerpo en función del tiempo medido en horas es p = 2t2 + 8t. Se requiere una concentración mı́nima de un 6% para poder realizar el examen. Si se le administra el contraste a las 12:00 horas A.M ¿entre qué hora es posible realizar el examen?

21. Un nutricionista recomienda que una dieta balanceada es aquella donde la diferencia entre las caloŕıas aportadas por carbohidratos y protéınas, no excede a 5 caloŕıas por d́ıa. Si 1 gramo de protéına aporta 4 caloŕıas y 1 gramo de carbohidratos aporta 9 caloŕıas, ¿qué cantidad de carbohidratos debe consumir una persona que ya ha consumido 80 gramos de protéınas?

22. Una persona se ha intoxicado al ingerir accidentalmente un medicamento vencido. Se estima que el porcentaje de sangre contaminada t horas después de ocurrida la intoxicación es P = 18t − t2 + 6. Se considera el paciente en riesgo vital cuando el porcentaje de sangre contaminada es más de un 62% ¿ En qué intervalo de tiempo ocurre esta situación?

Caṕıtulo 3

Funciones de Variable Real

3.1 Definición, propiedades y ejemplos

El concepto de función fue formulado en el siglo XVIII por Gottfried Wilhelm Leibniz, es uno de los conceptos más básicos en matemáticas y es esencial para el estudio del cálculo.

En muchas situaciones prácticas, el valor de una cantidad puede depender del valor de una o más cantidades. Por ejemplo, la reacción de un organismo frente a un fármaco depende de la dosis del medicamento; el crecimiento de una población depende del número de individuos y de depredadores. Con frecuencia tales relaciones pueden representarse mediante funciones. En términos generales, una función relaciona los elementos de dos conjuntos mediante una determinada regla de asociación.

Definición 3.1 Sean A y B conjuntos no vaćıos. Una función de A en B es una corres- pondencia que asocia a cada elemento de A un único elemento en B.

Si A ⊂ R y B ⊂ R diremos que la función es real de variable real. En este texto, trabajaremos sólo funciones reales de variable real.

Notación: Escribiremos una función f de A ⊂ R en R como

f : A ⊂ R −→ R x → f(x) = y

Observaciones 3.2 1. El conjunto A se denomina dominio de la función f y se denota por Dom(f) = A.

2. En la igualdad f(x) = y, llamamos a y imagen de x , a x una preimagen de y.

17

18

Definición 3.3 Sea f : A ⊂ R R una función . (i) El recorrido o imagen de f es el conjunto

Rec(f) = Im(f) = {y ∈ R : existe x ∈ A, tal que f(x) = y }.

(ii) El gráfico de f es el conjunto

graf(f) = {(x, f(x)) R × R : x ∈ A }.

Ejemplo 3.4 Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} . (i) Se define f de A en B como f(1) = 4 , f(2) = 7 , f(3) = 5 y f(4) = 7 . Note que f

es función. Vemos esto en la figura siguiente

A B

f

1

2

3

4

4 5 6 7 8

(ii) Se define g de A en B como g(1) = 4 , g(2) = 7 y g(3) = 5 . Note que g no es función, ya que 4 no tiene imagen. En un diagrama se ve como sigue

A B

g

1

2

3

4

4 5 6 7 8

(iii) Se define h de A en B como h(1) = 5 , h(2) = 8 , h(3) = 7 , h(4) = 6 y h(1) = 4 . Note que h aśı definida no es función, ya que 1 tiene dos imagenes distintas. Esto se ve como sigue

A B

h

1

2

3

4

4 5 6 7 8

19

Existe una manera sencilla para determinar si una curva es o no la gráfica de una función. Si una recta vertical en el plano cartesiano, intersecta a la curva en dos o más puntos, entonces la curva no es la gráfica de una función de x.

Ejemplo 3.5 Las siguientes curvas no son funciones de x.

Y

X X

Y

X

Y

Ejemplo 3.6 Las siguientes curvas son funciones de x.

Y

X X

Y

X

Y

Ejemplo 3.7 Función Constante.

Se define la función constante f : R R por f(x) = c , dónde c es un número real fijo. Observe que Dom(f) = R y Rec(f) = {c}. La gráfica de la función constante es una recta horizontal a la altura de c.

c

X

Y

Figura 1

20

Ejemplo 3.8 Función Lineal.

La actividad f́ısica produce a largo plazo un aumento del peso del h́ıgado y volumen del corazón. Suponga que que se tiene un h́ıgado de 280 gramos cuyo volumen card́ıaco es de 850 ml, y que para un h́ıgado de 350 gramos el volumen card́ıaco es de 990 ml. Suponiendo que existe una relación lineal entre la masa hepática y el volumen del corazón, determine la función del volumen card́ıaco en términos de la masa hepática.

Solución. Recordemos que la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) es

y = y1 − y0 x1 − x0 (x− x0) + y0 , x0 = x1 .

Aqúı, de acuerdo al planteamiento del problema, y depende linealmente de la variable independiente x .

En el problema, x es la variable independiente que indica la masa hepática (en gramos) e y la variable dependiente que corresponde al volumen del corazón (en ml). Tenemos los puntos (280, 850) y (350, 990) que, reemplazados en la ecuación anterior nos dan

y = 990 850 350 280(x− 280) + 850.

De donde y(x) = 2x+ 290.

Este tipo de funciones son conocidas como función lineal.

 La expresión general de una función lineal es f(x) = ax + b , con a y b constantes,

a = 0 . Note que f : R R, por consiguiente Dom(f) = R y en este caso Rec(f) = R . La gráfica de f es una recta oblicua, cuya inclinación respecto al eje X, depende del signo de a, ilustramos esto en las siguientes figuras.

a > 0

X

Y

Figura 2a

a < 0

X

Y

Figura 2b

Note que en la Figura 2a, tenemos lo siguiente, si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2) . Las funciones que tienen esta propiedad se denominan funciones crecientes. En la Figura 2b

21

ocurre lo contrario, en otras palabras si x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2) . A este tipo de funciones se les llama funciones decrecientes.

Veremos que, en general, una función puede ser creciente en una parte de su dominio y decreciente en otra o bien constante, ver Figura 1.

Observación 3.9 Si en la definición de función lineal se tiene a = 1 y b = 0 obtenemos la función I(x) = x, llamada función identidad. Su gráfica es

X

Y

Ejemplo 3.10 Función Cuadrática.

Un investigador en fisioloǵıa establece que la función r(s) = −s2 + 12s − 20 es un modelo matemático que describe el número de impulsos emitidos por una persona, después que se ha estimulado un nervio. La variable s es el número de segundos transcurridos desde que es estimulado el nervio. Graficar la función e interpretarla en el contexto del problema.

Solución. La siguiente figura corresponde al gráfico de la función r.

2 106

16

s

r

Desde la gráfica, podemos obtener información concreta del problema. La función r es creciente para s ∈]2, 6[, y esto nos indica que el número de impulsos emitidos va en aumento cuando el tiempo transcurrido, desde que es estimulado el nervio, está entre 2 y 6 segundos. A partir de ese momento el número de impulsos emitidos empieza a disminuir hasta ser

22

prácticamente cero después de 10 segundos. La cantidad máxima de impulsos emitidos es de 16 y ocurre pasados 6 segundos desde que es estimulado el nervio. Es claro, en el contexto del problema, que sólo nos interesan valores positivos de la función, estos ocurren precisamente en el intervalo ]2, 10[.



Una función, como la del ejemplo anterior, es conocida como función cuadrática, en general, una función cuadrática tiene la forma g(x) = ax2 + bx + c , con a y b constantes, a = 0 . Se tiene que Dom(g) = R y la gráfica es una parábola, cuya concavidad (esto es, conocer si se abre hacia arriba o hacia abajo) depende del signo de a. Ilustramos esto en las siguientes figuras.

a > 0

X

Y

Figura 3a

a < 0

X

Y

Figura 3b

Note que si a > 0 el recorrido de g es el intervalo ]g(−b/2a),+[. En este caso la función es creciente en el intervalo ] − b/2a,+[ y decreciente en ] − ∞,−b/2a] , luego g alcanza la menor imagen al evaluar en −b/2a (punto mı́nimo). Si a < 0 el recorrido de g es el intervalo ]−∞, g(−b/2a)[ . En este caso la función es creciente en el intervalo ]−∞,−b/2a[ y decreciente en ]− b/2a,+[ , luego g alcanza la mayor imagen al evaluar en −b/2a (punto máximo).

Ejemplo 3.11 Función Polinomial.

La generalización de las funciones dadas en los ejemplos anteriores son las funciones poli- nomiales. Están definidas para todo x ∈ R por p(x) = anxn + . . . + a1x+ a0 , con an = 0, dónde n ∈ N es llamado el grado de p.

Ejemplo 3.12 Función Racional.

Una función racional es definida como la división de dos funciones polinomiales. Esto

es, la escribimos como r(x) = p(x) q(x)

, dónde p y q son funciones polinomiales. Tenemos que

Dom(r) = {x ∈ R : q(x) = 0 } .

comentarios (0)

No hay comentarios

¡Escribe tu el primero!

Esta solo es una pre-visualización

3 shown on 116 pages

descarga el documento