Llibre que explica com fer els exercicis de física 1, Ejercicios de Física. Universitat Politècnica de Catalunya. BarcelonaTech (UPC)
immmmm
immmmm

Llibre que explica com fer els exercicis de física 1, Ejercicios de Física. Universitat Politècnica de Catalunya. BarcelonaTech (UPC)

111 páginas
7Número de visitas
Descripción
Asignatura: Fisica 1, Profesor: Francesc Fayos, Carrera: Arquitectura, Universidad: UPC
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 111
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 111 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 111 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 111 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 111 páginas totales
Descarga el documento

1

Introducció a la Física Aplicada al Càlcul Estructural

Arquitectònic

Francesc Fayos

Ramon Torres

2

3

Pròleg

Una part important de les arrels del pensament humà contemporani prové de la revolució copernicana i del pensament científic que se’n va derivar. El pensament científic modifica constantment la imatge que l’home té de sí mateix, així com la seva relació amb el que l’envolta. En particular, l’evolució de la Ciència i la Tecnologia influeix, de manera clara, en la concepció de l’Arquitectura. I ho fa tant per la contribució de la Ciència al Pensament Humà, del que es nodreix l’Arquitectura, com per les millores tecnològiques que constantment es produeixen, el que permet als arquitectes disposar de millors solucions tècniques (que no solament milloren la part més purament constructiva de l’obra, sinó que influeixen en la forma última d’aquesta).

Un exemple contemporani d’això el constitueix la revolució quàntica que, al llarg del S.XX, va generar una electrònica basada en semiconductors. Aquesta electrònica ha permès la constant millora dels processos computacionals, ajudats ara per ordinadors, el que ha aportat grans ajuts i canvis a gairebé tots els camps de l’Arquitectura. Per suposat, un dels beneficiaris d’aquest avenç tecnològic ha estat el càlcul estructural. Així, hem passat dels mètodes manuals de càlcul, basats sovint en esquemes gràfics, als moderns mètodes de càlcul assistits per ordinador. La nova potència de càlcul ha permès el disseny d’estructures complexes que eren intractables anys enrere.

Ara bé, per tal que siguin realment un ajut, els ordinadors requereixen d’una entrada de dades lligada directament a un projecte i d’una anàlisi crítica dels resultats generats. Aquestes serien tasques pròpies d’un arquitecte o, més acuradament, d’un arquitecte que hauria de tenir els conceptes bàsics estructurals ben clars.

Aquest llibre pretén, precisament, ser una introducció al càlcul estructural tenint en compte aquesta realitat. El nostre anhel és que les noves generacions d’arquitectes coneguin des dels primers cursos, per una banda, els fonaments de la Ciència que són d’aplicació a les estructures i, per l’altra, els rudiments de les aplicacions del càlcul estructural. Seguint aquesta filosofia, el llibre cobreix l’espai conceptual que hi ha entre els models de la matèria més utilitzats en la tecnologia de les estructures i els primers resultats de l’anàlisi d’estructures complexes. D’aquesta manera, es tracten des dels models de partícula puntual, de sòlid rígid o de sòlid elàstic, passant per les lleis de Newton i Hooke, fins als diagrames d’esforços axials, tallants i moments flectors dels pòrtics i finalitzant en la deformada a estima de bigues o pòrtics.

L’enfocament del llibre està basat en l’exposició dels fonaments físics de cada tema i la seva aplicació a la pràctica arquitectònica, tot i fent servir exemples senzills per tal d’il·lustrar convenientment els coneixements més complexos. Hi ha, per tant, una bona quantitat de problemes resolts (i d’altres simplement proposats) que ajudaran a que els estudiants d’Arquitectura adquireixin i afermin els seus coneixements dels fonaments del càlcul estructural. No obstant, hem de remarcar que aquí solament tractarem els fonaments, doncs els estudiants s’haurien d’enfrontar al moll de l’os del càlcul estructural en cursos posteriors.

4

5

Taula de continguts

Capítol I Les estructures i els materials en l’arquitectura p.7

Capítol II Estàtica de la Partícula Puntual p.13

Capítol III Estàtica d’un Sòlid Rígid (SR) p.19

Capítol IV Estructures Planes Isostàtiques:

Gelosies, Pòrtics i Marcs plans p.31

Capítol V Bigues Rectes:

Diagrames d’esforços tallants i moments flectors p.49

Capítol VI Diagrames de Pòrtics isostàtics bidimensionals p.65

Capítol VII Comportament elàstic dels materials:

Càrrega axial uniforme i flexió pura p.77

Capítol VIII Deformació per flexió d’un tram d’una barra recta:

Deformada a estima p.91

Apèndix p.101

Glossari p.111

6

7

Capítol I

Les estructures i els materials en l’arquitectura

L’Arquitectura està especialment interessada en la creació d’estructures estables o en equilibri.

En aquest capítol veurem com la ciència modelitza les estructures i identifica els fenòmens

físics involucrats per tal d’aconseguir aquest estat d’equilibri. Igualment, desenvoluparem les

eines bàsiques que la ciència aporta a l’estudi de les estructures i que farem servir al llarg de

tot ell llibre.

1.1 Conjunts de sòlids en equilibri Suposem que un grup de sòlids lligats entre ells1 i amb l’entorn2, i que tenen una forma

inicial donada, són sotmesos a forces externes.

Fig. 1. 1 En negre, una part d’una estructura abans de ser carregada. En vermell, l’estructura una vegada ha estat

carregada. (La deformació causada per les càrregues ha estat aquí exagerada).

El conjunt, sota aquestes sol·licitacions, es deformarà, podent assolir (sota determinades

condicions) un estat final d’equilibri. En aquest estat final s’hauran de complir simultàniament:

a) les anomenades condicions d’equilibri estàtic (que, bàsicament, relacionen les forces

sobre el conjunt),

b) les relacions de tensió–deformació o força-allargament (que relacionen les forces sobre

el conjunt amb les seves deformacions) i

1 Més endavant definirem amb precisió els lligams interns (en particular, articulacions i soldadures). 2 D’igual manera, explicarem què s’entén per lligams externs (en particular tractarem els suports llisos, els suports bilaterals, les articulacions i els encastaments).

8

c) les condicions de compatibilitat geomètrica (que incorporen les limitacions sobre les

deformacions del conjunt i les seves parts).

1.2 Petites deformacions Les condicions anteriors es poden simplificar en gran manera en el cas que les forces

aplicades siguin tan petites com per a no causar deformacions apreciables sobre els sòlids.

Llavors podríem, com a primer grau d’aproximació, menysprear les deformacions i tractar

cadascun dels sòlids del conjunt i el conjunt en si com un sòlid indeformable3. D’aquesta

manera, de les tres condicions que havíem llistat, ens hauríem de concentrar en estudiar

solament les condicions d’equilibri estàtic.

D’altra banda, pot passar que les forces aplicades no siguin massa grans (de manera que

el conjunt assoleixi l’estat final d’equilibri sense patir grans deformacions) i que volguéssim (o

necessitéssim) tenir en compte aquestes petites deformacions. En aquest cas, es pot fer servir

la teoria de pertorbacions a primer ordre que ens proporcionarà relacions lineals (i, per tant,

simplificadores) entre les forces implicades i les deformacions produïdes. No obstant, en

aquesta aproximació s’hauran de tenir en compte totes les condicions llistades anteriorment:

(a) S’hauran de complir les condicions d’equilibri estàtic sobre cadascun dels elements del

conjunt considerant-los en equilibri. (Això ens determinarà unes relacions entre les forces

aplicades i les forces als suports o altres forces desconegudes), (b) s’hauran de tenir en compte

les relacions lineals entre les forces i les deformacions que s’hauran de satisfer a cada part i al

conjunt, i (c) s’hauran de complir les condicions de compatibilitat geomètrica que ens diuen

que les deformacions no són arbitraries, sinó que han de satisfer una sèrie de restriccions

dictades per com estan lligats els sòlids entre ells i amb els suports.

1.3 Models de la matèria sòlida De les consideracions anteriors hom pot deduir que considerarem diferents models per a

la matèria sòlida. En efecte, llistem a continuació els tres models que farem servir4 seguint una

classificació segons la seva disposició i interacció a escala macroscòpica:

a) Per a qualsevol objecte real, les dimensions del qual siguin irrellevants en la situació o

problema considerat, podrem assumir la simplificació de que aquest ocupa un punt a

l’espai on descansa tota la seva massa. Un tal model s’anomena de Partícula Puntual (PP).

3 Sòlid rígid en la terminologia que incorporarem a partir de la propera secció. 4 Encara que n’hi ha d’altres possibilitats, aquestes no seran considerades en aquest llibre.

9

b) Per a qualsevol objecte real les dimensions del qual romanen majorment invariables, sota

les forces a les que estigui sotmès (independentment dels suports als que estigui recolzat),

podrem assumir la simplificació que aquest té sempre la mateixa forma. Aquest model

s’anomena de Sòlid Rígid (SR).

c) Per a qualsevol objecte real les dimensions del qual varien apreciablement quan l’objecte

és sotmès a forces externes, però que és capaç de recuperar la seva forma inicial tan aviat

com aquestes hagin desaparegut direm que es comporta com un Sòlid Elàstic (SE)5.

1.4 Forces

En el marc de la mecànica newtoniana la força és una magnitud vectorial capaç de

modificar la quantitat de moviment o la forma dels materials. A la pràctica estructural

distingirem entre forces puntuals (o concentrades) que tenen un punt d’aplicació (quan la

superfície de distribució sigui petita en relació a la superfície total del sòlid -per exemple, per

modelitzar la força que fa la punta d’un clau quan se’l comença a clavar a una fusta-) i forces

distribuïdes (com, per exemple, la força que fa la ma quan un es recolza sobre una taula). A

continuació estudiarem les propietats de les forces puntuals, deixant per a més endavant (Cap.

III) l’estudi de les forces distribuïdes. De fet, si no es diu el contrari, tractarem les forces com a

puntuals.

1.4.1 Forces Puntuals

Per tal de conèixer completament una força puntual caldrà saber:

a) El mòdul o valor de la intensitat de la força que es mesurarà amb

i. Dines (dyn) en el sistema cegesimal, que es defineix com la força que cal

aplicar a un gram (gr.) massa per obtenir una acceleració de un centímetre

per segon al quadrat ( 1 cm/s2).

ii. Newtons (N) en el sistema internacional, que es defineix com la força que cal

aplicar a un Kilogram massa (Kg.) per obtenir una acceleració de un metre per

segon al quadrat (1 m/s2).

iii. Kiloponds (Kp) (o kilogram-força) en el sistema tècnic d’unitats, que és la força

amb la que la terra atreu a un kilogram massa. En arquitectura és molt usual

fer servir una unitat múltiple seu, la tona-força (t), definida com 1t = 103Kp.

b) direcció, que ens proporcionarà la recta sobre la que es trobarà el vector força o recta

d’aplicació de la força.

5 En aquest llibre, doncs, no estudiarem el cas en que el sòlid no recupera la seva forma inicial.

10

c) sentit (donat que els punts d’una recta es poden recórrer en dos sentits, cal dir en

quin dels dos sentits apunta la força), i

d) punt d’aplicació de la força.

La representació simbòlica estàndard de la magnitud vectorial força es fa d’acord amb uns

eixos cartesians coordinats X, Y i Z, que portaran associats sengles vectors unitaris {i, j, k}6 que

formen la base canònica. Per tant, podrem escriure qualsevol força F com

���� = ������������+ ������������+ ������������, (1)

on �������� , �������� i �������� són les components de F en relació a la base canònica {i, j, k}.

En molts cassos pràctics les simetries existents ens permetran dividir l’estructura en

diferents plans perpendiculars al terra.

Per simplicitat, el càlcul estructural estudia cadascun d’aquests plans per separat per,

posteriorment, estudiar la interacció entre ells. És costum designar al pla objecte específic

d’estudi com el pla X-Y. Més encara, s’acostuma a agafar l’eix Y en la direcció de la força que fa

la gravetat sobre els objectes.

Al càlcul estructural serà molt important la representació gràfica de les forces que actuen

sobre una PP o un SR (tant si es tracta d’una força coneguda com si no, sigui aquesta puntual o

distribuïda), doncs, el fet de fer-nos servir de la informació que s’obté de manera immediata a

través d’un dibuix,suposarà una gran simplificació a tots els nivells (Fig. 1. 2).

6 D’ara en endavant, per tal de representar un vector,escriurem el seu símbol corresponent en negreta.

11

Veiem ara com representarem les forces en funció de les propietats que coneguem

d’elles.

1) Força totalment coneguda: En el punt d’aplicació de la força dibuixarem una fletxa

amb la direcció i sentit donats, al costat de la qual posarem la intensitat de la força

(mòdul) com un nombre amb les seves unitats (N, kN, Kp, t). La llargària de la fletxa

hauria de relacionar-se de manera convenient amb el mòdul de la força. (Fig. 1.3).

Ens inspirarem ara en aquesta tècnica de representació de forces conegudes per representar

tant forces totalment desconegudes com aquelles de les que solament es coneix la seva

direcció (es dóna per descomptat que coneixem sempre el punt d’aplicació).

2) Força amb només direcció i punt d’aplicació coneguts: Dibuixarem una fletxa en la

direcció coneguda i el sentit que creiem que finalment serà el correcte7. Si denotem

com ����� el vector unitari en aquesta direcció i sentit, la força real la podrem escriure

com ���� = ���� �����, a on T serà la component de la força T en la direcció del vector ����� (i,

com a tal, podrà tenir signe positiu – si la força dibuixada té el sentit de la força real,

és a dir, si T i ����� tenen el mateix sentit- o negatiu – si T i ����� tenen sentit contrari-). Al

costat de la fletxa hi escriurem la component T. (Fig. 1.4).

7 Si no tenim cap pista, podem escollir el sentit de manera arbitrària.

y

x

3kN

D

P

8 KN/m

A B

10 KN

4 KNm C

D

1m 1m 2m

Fig. 1.3

Fig. 1. 2

12

3) Força amb només el punt d’aplicació conegut. Donat que a l’arquitectura la força de

la gravetat ens determina una direcció privilegiada (la vertical), una manera, molt útil

a la pràctica, de descriure una força totalment desconeguda és a través de la seva

descomposició en dues forces, una de direcció vertical i l’altra de direcció horitzontal.

A l’hora de representar aquesta descomposició al punt d’aplicació P, escollirem com

ens sembli més adient el sentit de les dues forces i hi escrivim les components �������� o

�������� a la força horitzontal o vertical, respectivament8 (fig. 1.5). De manera similar a

l’apartat anterior, si, per exemple, Hp <0 això implica que la força horitzontal real té

el sentit contrari al dibuixat i el valor absolut de Hp seria el mòdul de la component

horitzontal de la força total a P.

8 Des d’un punt de vista matemàtic �������� i �������� són les components en la direcció de vectors unitaris (horitzontal i vertical, respectivament) amb sentit arbitràriament escollit.

P

y

x

Hp

Vp

y

x

T

P

Fig. 1.4 Representació gràfica d’una força amb magnitud i sentit desconeguts. La força real pot tenir el sentit indicat o el contrari. Noteu que la denotem amb la componentT .

Fig. 1.5

13

Capítol II

Estàtica de la Partícula Puntual

En aquest capítol posarem els fonaments de l’equilibri de les estructures. Aquest primer pas

implicarà l’estudi de l’equilibri de la partícula puntual que ens permetrà, posteriorment,

l’estudi de l’equilibri de sòlids. No solament això, sinó que també hi aprendrem una sèrie de

tècniques de representació i de càlcul imprescindibles per als capítols posteriors.

2.1 Força resultant

Si sobre una partícula puntual hi actuen N forces �������� (amb i=1...N) la suma vectorial d’aquests

forces ens proporcionarà la força resultant (o total) del sistema de forces aplicades sobre la

partícula puntual. La resultant serà, doncs, un vector R tal que

���� ≡ ������������+ ������������+ ������������≡ (∑ ������������)������������=1 + (∑ ������������)������������=1 + (∑ ������������)������������=1 .

A la pràctica treballarem usualment en dos dimensions i farem servir la representació gràfica

que vam veure al final del capítol anterior, doncs resultarà molt més simple d’aplicar. Per tant,

haurem de considerar la definició de resultant segons el nostre enfocament. Il·lustrarem la

nostra manera de procedir amb l’obtenció de l’expressió analítica de la resultant per a

l’exemple que apareix a la Fig 2. 1. Com es pot veure, en ell se sumen tres forces (una

totalment coneguda -la tercera- i les altres no completament determinades) per tal d’obtenir

la força resultant desconeguda (totes elles indicades amb la simbologia que es va detallar al

capítol anterior).

Per tal d’obtenir les expressions analítiques en general:

a) Descompondrem totes les forces que s’han de sumar en les seves components horitzontals

i verticals. (Ja fet a la Fig 2. 1).

b) A l’hora de sumar les forces horitzontals i verticals farem servir, com a conveni de signes

per defecte, el que ens diu que les forces horitzontals que apuntin cap a la dreta les

Fig 2. 1

H1

V1

3t

1t

H

V α T cosα

T T sinα

+ + =

14

considerarem positives, i negatives en cas contrari. Igualment, si les forces verticals

apunten cap a amunt les considerarem positives, i negatives en cas contrari9.

c) La resultant tindrà una component horitzontal suma (amb el seu signe corresponent) de

les components horitzontals de les forces que se sumen, i tindrà component vertical

resultant suma (amb el seu signe corresponent) de les components verticals de les forces

que se sumen. Així, l’aplicació d’aquest conveni a les forces de la figura ens proporcionaria:

H = H1 + T · cosα − 3t

V = − V1 − T · sinα − 1t

2.2 Les lleis de Newton

Les lleis de Newton són la base de la mecànica clàssica i descriuen i relacionen les causes i les

formes en les que es mouen els cossos. Les lleis de Newton són vàlides quan els sistemes de

referència són inercials (és a dir, els sistemes que no requereixen la inclusió de forces fictícies).

Els problemes que ens plantegem normalment al càlcul estructural fan servir sistemes de

referència en repòs respecte a la superfície de la Terra. Aquests sistemes de referència es

poden considerar com (aproximadament) inercials. (Els efectes de la rotació de la terra

respecte del seu eix, el de la translació respecte del Sol, etc., són negligibles). Així doncs, en

molt bona aproximació, podrem fer servir les lleis de Newton al càlcul estructural sense afegir

cap tipus de força fictícia.

Els enunciats de les tres lleis de Newton són els següents:

Primera llei - principi d'inèrcia: Tot cos lliure, sobre el qual no actua cap força neta, manté el seu estat de moviment, ja sigui en repòs, o ja sigui en moviment rectilini uniforme.

Segona llei - llei fonamental de la dinàmica: Tot cos sobre el qual actua una força neta tindrà una acceleració proporcional a la força neta que produeix el moviment.

Tercera llei - llei d'acció i reacció: Sempre que un cos exerceix una força sobre un altre (acció), aquest segon cos exerceix una força igual i de sentit contrari sobre el primer (reacció).

La figura 2.2 a continuació il·lustra la tercera llei quan considerem dues partícules puntuals

interaccionant situades als punts P i a Q. Veurem més endavant com aquesta llei prendrà gran

rellevància al càlcul estructural quan considerem la interacció entre sòlids rígids.

9 En d’altres paraules, farem servir la suma vectorial dels vectors expressats en la base canònica {i,j} estàndard.

H H

P Q

Fig 2. 2

15

2.3 Condició d’equilibri estàtic per a una partícula puntual.

Per a les aplicacions en les que estem interessats, direm que una partícula està en

equilibri quan es trobi en repòs respecte d’un sistema de referència que es mou amb el terra.

Segons aquesta definició, la segona llei de Newton ens informa de que una partícula puntual

estarà en equilibri (estàtic) quan la resultant de totes les forces que actuen sobre ella sigui

igual a cero (i la seva velocitat en un moment qualsevol sigui cero respecte del sistema de

referència en repòs respecte al terra). Expressat en termes matemàtics tindrem doncs

���� = ∑ ����������������=1 = (∑ ������������)������������=1 + (∑ ������������)������������=1 + (∑ ������������)������������=1 .

Des del punt de vista de la representació gràfica de les forces i tenint en compte que

treballarem en dues dimensions, aquesta relació vectorial serà millor expressar-la com:

La suma de les forces horitzontals ha de ser igual a cero i

La suma de les forces verticals ha de ser igual a cero10.

Exemples:

1) Determinar la força (de components H1 i V1 , veure figura) que caldrà aplicar a una

partícula puntual per a deixar-la en equilibri si, a més, hi ha aplicades les altres dues

forces que hi apareixen a la figura

Solució:

H1 + 30 cos(300) t – 3t = 0,

-V1 -30 sin(300) t – 1t = 0,

⇒ H1= - 22.98 t , V1= - 16 t.

Representem la solució gràficament a la fig. 2.4.

10 Cal remarcar que, donat que la resultant és zero, les dues equacions obtingudes seran

independents del conveni de signes escollit.

Fig 2. 3

H1

V1

3t

1t

30o

30t

+ +

16

Noteu com els signes negatius per a H1 i V1 a la solució analítica ens indiquen que la

solució té sentits contraris als que havíem dibuixat inicialment.

2) Les tres forces de la figura actuen sobre una partícula puntual. Determinar el valor de T

i H (veure figura 2.5) per a deixar-la en equilibri.

Solució:

T cos(450) – 3t + H = 0,

-T sin(450) – 1t +3t = 0,

⇒ T= 2.82t, H= 1 t,

Gràficament obtindrem la Fig 2. :

3) A l’exemple que vàrem mostrar a la figura 2.1, considerarem que les forces que hem

sumat estan aplicades sobre una partícula i suposarem que aquesta ha d’estar en

equilibri. Com han de trobar-se relacionades les forces desconegudes entre sí?

Si la partícula es troba en equilibri llavors H=V=0 o, el que és el mateix,

0 = H1 + T cosα − 3t , 0 = − V1 − T sinα − 1t.

Fig 2. 5

Fig 2. 6

16t

22.98t

+

3t

1t

H

3t

45o

T

+

H=1t

45o

2.82 t

+

Fig. 2.4

17

En aquest cas solament podem obtenir dues equacions que relacionen quatre

magnituds inicialment no fixades: H1 , V1, T i α.

18

19

Capítol III

Estàtica d’un Sòlid Rígid (SR)

Si considerem un sòlid rígid com una col·lecció d’un gran nombre de partícules, el seu

equilibri estaria garantit per l’equilibri de totes i cadascuna de les seves partícules. No

obstant, la imposició de les condicions de l’equilibri per a cada partícula individual seria

impracticable. Per aquesta raó, en aquest capítol aprendrem com podem escriure unes

condicions d’equilibri específiques i especialment simples per al SR.

3.1 Sistema de forces contingudes en un pla i aplicades a un SR

Per tal de caracteritzar a un sistema de forces aplicades a un sòlid rígid serà molt útil introduir

els següents conceptes:

Força Resultant General (FR) d’un sistema de forces aplicades a un SR: Es defineix

com la suma (vectorial) de les forces aplicades, com si fossin vectors lliures. Al igual

que en el cas d’una partícula puntual, la Resultant General direm que tindrà una

component horitzontal (suma de les components horitzontals de les forces aplicades al

SR) i una component vertical (suma de les components verticals).

Analíticament, i com en el cas de la partícula puntual, tindrem

�������� ≡ ����������������+ ����������������+ ����������������≡ (∑ ������������)������������=1 + (∑ ������������)������������=1 + (∑ ������������)������������=1 .

Moment d’una força aplicada a un punt P respecte un punt Q qualsevol

Analíticament el moment d’una força F aplicada en P, respecte a un punt Q, és un

vector aplicat en Q que l’anomenem �������� i que es defineix com11

�������� = ������������ × ���� (3.1)

on, ����QP és el vector que té com origen Q i extrem P (el punt d’aplicació de F) , i el

símbol “×” indica producte vectorial (veure Fig. 3. 1). Suposem el cas en que ����QP i F no

tenen la mateixa direcció i, per tant, existeix un pla que els conté. De (3.1) deduïm que

����Q serà perpendicular a aquest pla. Si escollim una triada d’eixos X, Y i Z orientada

positivament, de manera que el pla X-Y sigui el pla anterior, la única component no

nul·la de ��������, la component en la direcció z, serà

11 Noteu que aquesta definició és totalment general i que ni tan sols cal l’existència d’un SR.

20

M�������� ≡ MQ = ± |����| �����PQ� sinα = ± |����| ����, (3.2)

on “α” és l’angle que formen els vectors ����PQ i F, “d” és la distància entre el punt Q i la

línia d’acció de la força F (veure la figura 3.1) i el signe ± es determinarà a través de la

“regla del tirabuixó o de la mà dreta”.

 Per realitzar aquest càlcul gràficament, representarem la força fent servir les seves

components horitzontal i vertical i determinarem les distàncies a les seves línees

d’acció “a” i “b” com s’indica a la Fig. 3. 2.

Farem servir l’expressió (3.2) per trobar el moment de la força horitzontal i el de la

força vertical respecte de Q. El moment M���� ve donat per la suma d’aquests moments. En

l’exemple proposat a la figura 3.2 tindrem

MQ = + Hpa− Vpb .

Òbviament, amb aquesta manera de procedir obtindrem el mateix resultat que amb el

càlcul purament analític [Eq.(3.1)].

P HP

VP a

b +

Q

Fig. 3. 1 S’ha d’interpretar el dibuix considerant els vectors rQP i F continguts en el mateix pla, i MQ perpendicular a aquest pla.

Fig. 3. 2

P α

��������

F

Q d

rQP

21

 Relació entre �������� i ��������′ (essent Q’ un punt diferent de Q –veure Fig. 3. 3-) per a una

força F aplicada a un punt P.

Tindrem:

��������′ = ��������′���� × ���� = ���������′���� + ������������� × ���� = ��������′���� × ���� + �������� (3.3)

Moment resultant MRQ general d’un sistema de forces

Donat un sistema de forces ����1, ����2, ... aplicades a punts ����1, ����2, ... que tenen uns

moments ����1����, ����2����, ..., respecte a un punt Q definirem el moment resultant general

respecte del punt com

������������ = ����1���� + ����2���� + ...

 Relació entre ������������ i ������������′ (essent Q’ un punt diferent de Q).

Com per al cas d’una única força, és fàcil veure que, si es tracta d’un sistema de

forces amb FR la força resultant general i ������������ el moment resultant general respecte

a Q, llavors el moment resultant ������������′ respecte a un altre punt Q’ estarà relacionat

amb ������������ per l’expressió:

������������′ = ��������′���� × ��������+ ������������ (3.4)

3.2 Cas de forces transversals distribuïdes sobre elements rectes

Estarem principalment interessats en problemes en que tant els elements rectes que

conformen l’estructura com les forces aplicades estaran situades en un pla. En aquest cas, les

forces distribuïdes transversals a cada element recte es podran tractar de la manera que

il·lustrem a continuació:

1. Donat un element recte, suposarem que la força transversal distribuïda

estarà aplicada sobre una longitud “L” de l’element.

2. Agafarem un sistema cartesià X, Y, Z amb l’origen a un extrem de la barra.

L’eix X el situarem al llarg de la barra, l’eix Y perpendicular a l’anterior i a la

superfície del terra i l’eix Z serà perpendicular al pla X-Y .

Q

Q’

�⃗��� ��������′����

��������′���� P

������������

Fig. 3. 3

22

3. La força transversal per unitat de longitud a un determinat punt x de

l’element recte la denotarem com w(x) (= lim∆����→0 ∆���� ∆����

, a on ∆���� és la força

distribuïda sobre el tros ∆����). Les seves unitats més habituals són els N/m o

les t/m. Una representació gràfica de la força distribuïda al llarg de l’element

recte podria tenir el següent aspecte:

Noteu que hem dirigit les fletxes en la direcció negativa de l’eix Y doncs és el

cas més habitual. Per exemple, quan la força distribuïda és deguda al pes

d’alguna paret recolzada sobre la barra. D’aquesta manera, el conveni

habitual consistirà en agafar w(x) > 0 quan la força estigui dirigida cap a avall.

La força elemental df aplicada perpendicularment a la barra entre el punt x i

el x+dx tindrà component y

df= - w(x) dx.

Per tant, la força total al llarg de tota una barra de longitud L tindrà per

resultant

�������� = ∫ dfL0 ���� = − ∫ w(x) dx L 0 ����.

El moment resultant respecte a l’origen serà un vector perpendicular al pla X-

Y

������������ = ∫ dM L 0 ���� = −∫ x w(x) dxL0 ����.

4. En el cas particular d’una forçauniformementdistribuïda, és a dir, w(x)=

constant, denotarem com a “w” aquesta constant. (Aquest serà el cas

habitual que tractarem en aquest llibre). La representació gràfica d’una força

uniformement distribuïda amb w>0, aplicada sobre una barra de longitud L,

es pot veure en el següent dibuix.

Fig. 3. 4 Un cas particular d’una càrrega distribuïda al llarg de tota una barra.

w(x)

X

Y

23

La força total al llarg de tota la barra tindrà per resultant

FR= - ∫ w(x) dx����0 j = - w L j . El moment resultant respecte a l’origen serà

MRo = - ∫ x w(x) dx����0 k = - ½ w L2 k . (3.5)

Noteu que, en el cas en que w sigui negativa, els resultats són

igualment vàlids (recordant de posar w amb el seu signe corresponent).

3.3 Condicions d’equilibri d’un SR

Considerant un sòlid rígid com un sistema de partícules puntuals en interacció que

mantenen la seva posició relativa inalterada, siguin quines siguin les forces externes

aplicades, i fent servir les lleis de Newton es dedueix12 que les condicions d’equilibri d’un

sòlid rígid són

FR = 0,

������������ = 0.

Noteu que, a la segona equació, serà suficient que això passi per a un punt Q qualsevol, ja

que si FR = 0, llavors, de (3.4),

������������′ = ��������′���� × ��������+ ������������ = ������������

I, per tant, si dóna zero a un punt, donarà zero a qualsevol punt.

12 La demostració d’aquest resultat requereix aprofundir a la Mecànica Newtoniana (incloent-hi la Dinàmica), cosa que està fora del nostre objectiu per a aquest llibre. Consulteu, per exemple, “Mecánica Vectorial para ingenieros” Beer, Johnston i Eisenberg McGraw-Hill 8a Ed.

w

Y

X

L Fig. 3. 5

24

3.3.1 Sòlid Rígid sotmès a forces en dos punts

Com a exemple, molt útil per a posteriors càlculs, tractarem ara el cas particular d’un sòlid rígid

sotmès a forces en solament dos dels seus punts. Anomenem A i B aquests punts i denotem

com A i B (negreta) a les forces en aquests punts. (En el cas de que vàries forces actuessin a

cadascun dels punts, llavors A i B representaran les forces resultants sobre els punts A i B,

respectivament). Les equacions de l’equilibri ens diuen que la suma de moments respecte del

punt A hauria de ser zero. Això solament és possible si la força resultant a B té la direcció de la

recta que uneix els punts A i B. Igualment, prenent moments respecte de B, obtenim que la

força resultant a A haurà de tenir la direcció de la recta que uneix A i B. D’altra banda, per a

que la resultant de les forces sumi zero, segons ens indiquen les equacions de l’equilibri, les

dues forces (que sabem ara que tenen igual direcció) hauran de tenir sentits contraris i igual

magnitud. D’aquesta manera, solament seran possibles dues situacions en aquest cas, les quals

les representem a continuació:

1) Forces a tracció

2) Forces a compressió

3.3.2 Equivalència estàtica de sistemes de forces aplicades a un SR

La contribució d’un sistema de forces13 a l’equilibri d’un SR es dedueix directament de les

seves condicions d’equilibri, és a dir ve donada per

1) la seva contribució a la FR, i

2) la seva contribució al MR.

Des d’aquest punt de vista, direm que

Dos sistemes de forces són estàticament equivalents si tenen la mateixa Força Resultant

General ��������(1) = ��������(2) i el mateix Moment General ������������(1) = ������������(2) respecte a un punt

Q qualsevol.

Corol·lari: El criteri d’equivalència no depèn del punt escollit com origen de moments ja que si

són equivalents respecte un punt Qdeterminat, també ho seran respecte qualsevol altre punt

Q.

13 Possible subconjunt del conjunt total de forces sobre el SR.

A B

A B

Fig. 3. 6

Fig. 3. 7

25

La demostració és immediata tenint en compte (3.4).

Veiem ara algunes de les conseqüències més importants que sorgeixen d’aquest criteri

d’equivalència:

Principi de Transmissibilitat: Una força F determinada és equivalent a una altra

d’igual mòdul, direcció, sentit i mateixa recta d’aplicació, però diferent punt

d’aplicació.

La força uniformement distribuïda w al llarg d’un segment de longitud L es pot

substituir per una puntual de mòdul w·L, de direcció i sentits dictats per la distribució i

aplicada en el punt mig del segment (L/2).

Parell de forces. Direm que tenim un parell de forces bàsic quan disposem de dues

forces d’igual magnitud i direcció, però de sentits oposats i amb línies d’acció

paral·leles (no coincidents). En aquest cas la resultant serà nul·la i el moment serà

diferent de cero. Com hem vist anteriorment, el fet que FR=0, farà que el valor del

moment sigui independent del punt origen de moment: ������������′ = ������������.

Fig. 3. 8 Il·lustraciódel principi de transmissibilitat.Per a que el sòlid estigui en equilibri, hi hauran d’haver d’altres forces que no han estat dibuixades. Noteu, per exemple, que MRP1 (1)= MRP1 (2)=0.

Fig. 3. 9 Il·lustració de força concentrada equivalent a una força uniformement distribuïda. Noteu que, fent servir (3.5), tenim MR0 (1)= MR0 (2).

Fig. 3. 10

F P1

F

P2

P1

P2

(1) (2)

w

wL L L/2

(1) (2)

P P·L L

P (1) (2)

No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 111 páginas totales
Descarga el documento