Manual Mecánica Clásica, Apuntes de Mecánica. Universidad Complutense de Madrid (UCM)
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Manual Mecánica Clásica, Apuntes de Mecánica. Universidad Complutense de Madrid (UCM)

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Asignatura: mecanica clasica, Profesor: Artemio Gonzalez Lopez, Carrera: Física, Universidad: UCM
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Manual de

Mecánica Clásica

Artemio González López

Madrid, enero de 2014

Editor: Artemio González López

Departamento de Física Teórica II Facultad de Ciencias Físicas Avenida Complutense s/n Ciudad Universitaria 28040 Madrid

© El autor

ISBN-10: 84-695-2651-0 ISBN-13: 978-84-695-2651-4 Impreso en Madrid

Índice general

1 Mecánica newtoniana 1 1.1 Sistemas de coordenadas. Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Leyes de Newton. Sistemas de referencia inerciales. Principio de relatividad de Galileo. . 4

1.2.1 Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Sistemas de referencia inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Principio de relatividad de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Leyes de conservación. Fuerzas conservativas. Fuerza electromagnética. . . . . . . . . . 9 1.3.1 Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Fuerzas gravitatoria y electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4 Fuerza electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Movimiento de una partícula en un potencial unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.1 Equilibrios. Período de las pequeñas oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5 Dinámica de un sistema de partículas. Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.1 Dinámica de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.2 Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Movimiento en un campo de fuerzas central 35 2.1 Problema de dos cuerpos. Reducción al problema equivalente de un cuerpo . . . . . . . 35 2.2 Constantes del movimiento. Ley horaria y ecuación de las trayectorias. Órbitas acotadas 36

2.2.1 Constantes del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Ley horaria y ecuación de las trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3 Órbitas acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 El problema de Kepler. Movimiento planetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.1 El problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.2 Movimiento planetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Dispersión en un campo de fuerzas central. Fórmula de Rutherford . . . . . . . . . . . . 50 2.4.1 Sección eficaz diferencial de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4.2 Dispersión por un potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4.3 Fórmula de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la Mecánica 61 3.1 Introducción al cálculo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1.1 Problema fundamental del cálculo de variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.2 Ecuaciones de Euler–Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Principio de Hamilton en sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.1 Principio de Hamilton para una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.2 Principio de Hamilton para un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.3 Covariancia de la formulación lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.4 Lagrangiano de una partícula cargada en un campo electromagnético . . . . . . 72

3.3 Sistemas con ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

i

ii ÍNDICE GENERAL

3.3.1 Movimiento de una partícula sobre una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.2 Sistema de N partículas con ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4 Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.5 Formulación hamiltoniana de la Mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.5.1 Ecuaciones canónicas de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.5.2 Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.5.3 Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4 Movimiento en un sistema de referencia no inercial 93 4.1 Velocidad angular de un sistema de ejes respecto de otro . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 Derivadas temporales en los sistemas fijo y móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3 Dinámica en un sistema de referencia no inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4 Movimiento con respecto a la superficie terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.5 El péndulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5 El sólido rígido 107 5.1 Momento angular y energía cinética de un sólido rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1.1 Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1.2 Momento angular y energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2 Tensor de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2.1 Definición y propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2.2 Teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.2.3 Ejes principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.3 Ecuaciones del movimiento de un sólido rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.3.1 Ecuaciones del movimiento de un sólido rígido en un sistema inercial . . . . . . 117 5.3.2 Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.4 Movimiento inercial de un trompo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.5 Ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.6 El trompo de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6 Relatividad especial 133 6.1 Principios de la Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2 Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.2.1 Deducción de las ecuaciones de la transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.2.2 Ley de adición de velocidades relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.2.3 Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.2.4 Propiedades de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.3 Consecuencias físicas de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3.1 Dilatación del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3.2 Contracción de Lorentz–Fitzgerald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3.3 Efecto Doppler relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.4 Cuadrivelocidad y cuadrimomento. Energía cinética relativista . . . . . . . . . . . . . . 152 6.5 Conservación del cuadrimomento. Energía relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.6 Partículas de masa nula. Efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.6.1 Efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.7 Colisiones relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.7.1 Sistema centro de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.7.2 Energía umbral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.8 Dinámica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.9 Movimiento hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Capítulo 1

Mecánica newtoniana

1.1 Sistemas de coordenadas. Cinemática

Vector de posición de una partícula que se mueve en el espacio ordinario (R3):

r D x1e1 C x2e2 C x3e3  3X iD1

xiei ;

donde ei es el i -ésimo vector unitario coordenado en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales:

e1 D .1; 0; 0/ ; e2 D .0; 1; 0/ ; e3 D .0; 0; 1/ :

Velocidad y aceleración: v  Pr ; a  Pv D Rr ;

donde el punto indica derivada respecto del tiempo t . En coordenadas cartesianas,

v D 3X iD1

viei ; a D 3X iD1

aiei ;

donde (al ser los vectores coordenados ei constantes)

vi D Pxi ; ai D Rxi :

Notación: r D jrj ; v D jvj :

Ejercicio. Probar que si v ¤ 0 se tiene

Pv D v  a v :

En particular, si v es constante los vectores velocidad y aceleración son ortogonales.

Ejercicio. Probar que r Pr D r Pr .

Coordenadas esféricas: r D r.sen  cos'; sen  sen'; cos / ;

donde r > 0 ; 0 6  6   ; 0 6 ' < 2  :

1

2 MECÁNICA NEWTONIANA

Ahora los vectores unitarios coordenados no son constantes, sino que dependen de la posición de la partícula (i.e., de las coordenadas esféricas .r; ; '/):

€ er D

ˇ̌̌̌ @r @r

ˇ̌̌̌�1 @r @r D .sen  cos'; sen  sen'; cos / D

r r ;

e D ˇ̌̌̌ @r @

ˇ̌̌̌�1 @r @ D .cos  cos'; cos  sen';� sen / ;

e' D ˇ̌̌̌ @r @'

ˇ̌̌̌�1 @r @' D .� sen'; cos'; 0/ :

Las coordenadas esféricas son ortogonales, pues se comprueba fácilmente que

er  e D er  e' D e  e' D 0 :

De estas relaciones se sigue también que los vectores ˚ er ; e ; e'

forman un sistema ortonormal en cada

punto. Este sistema está positivamente orientado, ya que

er  e D e' ;

o, equivalentemente, .er  e /  e' D 1 :

Velocidad y aceleración en coordenadas esféricas. Calculemos en primer lugar las derivadas temporales de los vectores coordenados unitarios. Nótese

que, al ser e˛  e˛ D 1 .˛ D r; ; '/ ;

derivando respecto del tiempo se obtiene

Pe˛  e˛ D 0 :

Al ser los vectores e˛ mutuamente ortogonales, Per ha de ser una combinación lineal de e y e' , y así sucesivamente para las restantes coordenadas. Más precisamente, aplicando la regla de la cadena se obtiene: €

Per D @er @ P C

@er @' P' D Pe C sen  P'e' ;

Pe D @e @ P C

@e @' P' D � Per C cos  P'e' ;

Pe' D @e' @' P' D �.cos'; sen'; 0/ P' D � P'

� sen er C cos e

 :

(1.1)

Teniendo en cuenta las relaciones anteriores se obtiene sin dificultad:

v  dr dt D

d dt .rer/ D Prer C r Per D Prer C r Pe C r sen  P'e' : (1.2)

Por tanto v D vrer C ve C v'e' ;

siendo vr D Pr ; v D r P ; v' D r sen  P' (1.3)

las componentes del vector velocidad en coordenadas esféricas. Nótese que, al ser los vectores unitarios coordenados ortonormales,

v2 D v2r C v 2  C v

2 ' D Pr

2 C r2. P2 C sen 2 P'2/ : (1.4)

Sistemas de coordenadas. Cinemática 3

Del mismo modo, derivando la ecuación (1.2) respecto de t y aplicando las relaciones (1.1) se obtie- ne:

a D Rrer C Pr. Pe C sen  P'e'/C .r R C Pr P/e C r P.� Per C cos  P'e'/

C .r sen  R' C sen  Pr P' C r cos  P P'/e' � r sen  P'2.sen er C cos e / D arer C ae C a'e' ;

donde las componentes de la aceleración en coordenadas esféricas están dadas por ‚ ar D Rr � r P

2 � r sen2  P'2 ;

a D r R C 2 Pr P � r sen  cos  P' 2 ;

a' D r sen  R' C 2 sen  Pr P' C 2r cos  P P' :

(1.5)

Ejemplo 1.1. Movimiento plano en coordenadas polares. Supongamos que la partícula se mueve en el plano Oxy, es decir que .t/ D  =2 para todo t . En tal caso P D R D v D a D 0, .r; '/ son coordenadas polares en el plano del movimiento, y las fórmulas (1.3)- (1.5) se reducen a las siguientes:

vr D Pr ; v' D r P' ; ar D Rr � r P' 2 ; a' D r R' C 2 Pr P' :

En particular, si el movimiento es circular (r.t/ D R para todo t ) se obtienen las fórmulas familiares

vr D 0 ; v' D R P' ; ar D �R P' 2 ; a' D R R' :

Nótese, en particular, que aunque la componente radial de la velocidad es idénticamente nula, hay una aceleración radial negativa �R P'2 D �v2=R (aceleración centrípeta). 

Coordenadas cilíndricas. r D . cos';  sen'; ´/ ;

siendo  > 0 ; 0 6 ' < 2  ; ´ 2 R :

Repitiendo el cálculo anterior se obtiene: €

e D ˇ̌̌̌ @r @

ˇ̌̌̌�1 @r @ D .cos'; sen'; 0/ ;

e' D ˇ̌̌̌ @r @'

ˇ̌̌̌�1 @r @' D .� sen'; cos'; 0/ ;

e´ D ˇ̌̌̌ @r @´

ˇ̌̌̌�1 @r @´ D .0; 0; 1/ :

Nótese que de nuevo er  e' D er  e´ D e'  e´ ; e  e' D e´ ;

y por tanto las coordenadas cilíndricas .; '; ´/ son también ortonormales y están positivamente orien- tadas. Derivando respecto de t las ecuaciones de los vectores unitarios coordenados se obtiene inmedia- tamente

Pe D P'e' ; Pe' D � P'e ; Pe´ D 0 :

Al ser ahora r D e C ´e´ ; (1.6)

derivando dos veces respecto de t y procediendo como antes se obtienen fácilmente las siguientes fór- mulas para las componentes de la velocidad y la aceleración en coordenadas cilíndricas:

v D P ; v' D  P' ; v´ D Ṕ I a D R �  P' 2 ; a' D  R' C 2 P P' ; a´ D Ŕ : (1.7)

4 MECÁNICA NEWTONIANA

De nuevo, de la ortonormalidad de los vectores ˚ e; e' ; e´

se deduce que

v2 D v2 C v 2 ' C v

2 ´ D P

2 C 2 P'2 C Ṕ2 :

Ejercicio. Discutir la relación entre las fórmulas anteriores y las del Ejemplo 1.1.

Ejercicio. Probar que si los vectores ˚

n1;n2;n3

forman un sistema ortonormal positivamente orientado entonces se tiene

n˛  nˇ D ˙n ;

donde ˛, ˇ y son distintos dos a dos, y el signo “C” corresponde al caso en que .˛; ˇ; / es una permutación cíclica de .1; 2; 3/. Introduciendo el tensor completamente antisimétrico de Levi-Civita

"˛ˇ D

€ 1 ; .˛; ˇ; / permutación par de .1; 2; 3/ �1 ; .˛; ˇ; / permutación impar de .1; 2; 3/ 0 ; en cualquier otro caso.

las relaciones anteriores se pueden escribir en la forma equivalente

n˛  nˇ D 3X D1

"˛ˇ n :

Velocidad angular. Consideremos de nuevo una partícula que se mueve en una circunferencia de radio R. Escojamos como eje x3 la recta perpendicular al plano del movimiento que pasa por el centro de la circunferencia, y tomemos como origen de coordenadas cualquier punto del eje x3. El movimiento de la partícula en coordenadas cilíndricas está descrito por las ecuaciones

 D R ; ' D ˛.t/ ; ´ D h ;

siendo h constante (coordenada ´ del centro de la circunferencia) y ˛.t/ una función arbitraria del tiempo. De las ecs. (1.7) se sigue que

v D R P̨ .t/ e' ;

y de la ec. (1.6) se deduce que

e´  r D e´  .e C ´e´/ D e´  e D e' D Re' :

Por tanto en este caso v D !  r ;

donde el vector !.t/ D P̨ .t/e´

se denomina velocidad angular de la partícula. La velocidad angular es por tanto un vector cuya direc- ción es la del eje de giro, y cuyo módulo es el valor absoluto j P̨ .t/j de la velocidad angular de rotación. Nótese también que la rotación alrededor del eje ´ es “a izquierdas” (resp. “a derechas”) si P̨ .t/ > 0 (resp. P̨ .t/ < 0.

1.2 Leyes de Newton. Sistemas de referencia inerciales. Principio de rela- tividad de Galileo.

1.2.1 Leyes de Newton

El momento (o cantidad de movimiento) de una partícula se define por

p D mv D mPr ; (1.8)

Leyes de Newton. Sistemas de referencia inerciales. Principio de relatividad de Galileo. 5

donde m es la masa de la partícula. En Mecánica clásica se considera que la masa es un parámetro positivo constante (en particular, independiente de la velocidad) característico de cada partícula. En la notación y terminología actuales, las dos primeras leyes de Newton afirman que:

I. En ausencia de fuerzas, el momento (y, por tanto, la velocidad) de la partícula permanece constante.

II. Si F es la fuerza que actúa sobre la partícula, entonces

F D dp dt : (1.9)

Al ser la masa de la partícula independiente de la velocidad, esta última ecuación es equivalente a

F D ma D mRr : (1.10)

Comentarios.

 Tal como las hemos formulado, la primera ley es un caso particular de la segunda, ya que si F D 0

entonces dp dt D 0 implica que p, y por tanto v, han de ser constantes.

 Las dos primeras leyes de Newton (o, por lo que acabamos de comentar, las ecs. (1.9)-(1.10)) constitu- yen el fundamento de la Mecánica clásica. Estas leyes se cumplen con gran exactitud para movimientos con velocidades pequeñas en comparación con la velocidad de la luz, y a escala macroscópica1. Es decir, no rigen las interacciones a escala atómica y subatómica (entre partículas elementales, átomos, núcleos atómicos, moléculas, etc.), gobernadas por la Mecánica cuántica. Tampoco son válidas para el movi- miento en campos gravitatorios intensos, regido por la teoría de la relatividad general de Einstein. En realidad, tanto la Mecánica cuántica (o incluso la teoría cuántica de campos, que combina la Mecánica cuántica con la teoría especial de la relatividad) como la Relatividad general tampoco son universalmen- te válidas, sino que más bien se aplican a situaciones físicas distintas. De hecho, no existe hoy en día una teoría consistente, aplicable a todos los fenómenos físicos, que unifique la Mecánica cuántica con la teoría general de la relatividad.

 La segunda ley de Newton proporciona una definición operacional de la masa. En efecto, si sometemos a dos partículas distintas (denotadas por 1 y 2) a la misma fuerza F, según (1.10) sus aceleraciones tienen la misma dirección y sentido, y el cociente de sus módulos verifica:

ja1j ja2j D m2

m1 :

De esta forma se puede medir en principio el cociente m2=m1 para cualquier par de partículas.

 La práctica totalidad de las fuerzas que aparecen en Mecánica clásica dependen a lo sumo del tiempo, la posición y la velocidad, y son por tanto independientes de la aceleración (y de las derivadas de la posición de orden superior a 2)2. La segunda ley de Newton (1.10) puede escribirse por tanto en la forma

Rr D 1

m F.t; r; Pr/ ; (1.11)

siendo F.t; r; Pr/ la fuerza ejercida sobre la partícula. Esta ecuación es en realidad un sistema de 3 ecua- ciones diferenciales de 2º orden

Rxi D 1

m Fi .t; x1; x2; x3; Px1; Px2; Px3/ ; i D 1; 2; 3 ; (1.12)

1Más precisamente, si la acción típica del sistema en estudio, definida como el producto de la energía por el tiempo típicos, es mucho mayor que la constante de Planck „ ' 6;62606957  10�34 J s.

2La única excepción de cierta importancia es la fuerza ejercida sobre una partícula cargada acelerada por su propio campo electromagnético, denominada fuerza de Abraham–Lorentz–Dirac, proporcional a Pa.

6 MECÁNICA NEWTONIANA

para las tres coordenadas de la partícula xi .t/. Si la función F.t; r; Pr/ es de claseC 1, las ecuaciones (1.11) (o (1.12)) con condiciones iniciales arbitrarias

r.t0/ D r0 ; Pr.t0/ D v0 (1.13)

tienen (localmente) una solución única. En otras palabras, la posición y la velocidad de la partícula en un cierto instante t0 determinan su trayectoria r.t/ en cualquier otro instante t . La Mecánica clásica es por tanto una teoría esencialmente determinista.

 La tercera ley de Newton (o ley de la acción y la reacción) afirma que si la partícula 2 ejerce sobre la partícula 1 una fuerza F12, entonces la partícula 1 ejerce sobre la 2 una fuerza F21 igual y de signo contrario:

F21 D �F12 : (1.14)

Una versión más restrictiva de la tercera ley de Newton establece que, además, la fuerza F12 (y, por tanto, F21) ha de ser paralela al vector r1 � r2, es decir a la recta que une ambas partículas:

F12 D �F21 k r1 � r2 : (1.15)

Es importante tener en cuenta que la tercera ley de Newton —en cualquiera de sus dos versiones (1.14) y (1.15)— no tiene carácter fundamental, ya que (por ejemplo) en general no la verifica la fuerza elec- tromagnética entre dos cargas en movimiento. Sí la cumplen —de hecho, en su versión más restricti- va (1.15)— las fuerzas gravitatoria y electrostática (ver más adelante), así como la mayor parte de las fuerzas macroscópicas de naturaleza no electromagnética que ocurren en problemas mecánicos ordina- rios, como por ejemplo la tensión.

1.2.2 Sistemas de referencia inerciales

Es evidente que la primera ley de Newton no puede cumplirse en todos los sistemas de referencia. En efecto, sean S y S 0 dos sistemas de referencia con los ejes paralelos, y denotemos por R.t/ las coordena- das del origen de S 0 respecto del sistema de referencia S en el tiempo t . Supongamos que las coordenadas de una partícula respecto del sistema de referencia S en cada instante t están dadas por un cierto vector r.t/, de forma que la velocidad de la partícula (respecto de S ) es v.t/ D Pr.t/. En Mecánica newtoniana se supone que el tiempo tiene carácter universal3, de modo que (una vez fijada la unidad de tiempo) la relación entre los tiempos t y t 0 de un mismo suceso medidos en los sistemas S y S 0 es simplemente

t 0 D t � t0 ;

con t0 constante. Desde el punto de vista del sistema S 0, por tanto, en el instante t 0 D t � t0 las coorde- nadas de la partícula estarán dadas por el vector

r0.t 0/ D r.t/ � R.t/  r.t 0 C t0/ � R.t 0 C t0/ :

Por tanto la velocidad de dicha partícula respecto del sistema de referencia S 0 en el instante t 0 está dada por

v0.t 0/  dr0.t 0/

dt 0 D Pr.t 0 C t0/ � PR.t 0 C t0/  v.t 0 C t0/ � PR.t 0 C t0/ ;

donde como siempre el punto denota derivada respecto de t . Supongamos que la partícula es libre, es decir que no está sometida a fuerza alguna. Si en el sistema S se cumple la primera ley de Newton, entonces v.t/ D v0 para todo t . Pero, en virtud de la ecuación anterior, en el sistema S 0 se tendrá

v0.t 0/ D v0 � PR.t 0 C t0/ ;

que no es constante a menos que PR lo sea. Nótese que PR es constante si y solo si R D 0; por tanto, la primera ley de Newton se cumplirá en el sistema de referencia S 0 (suponiendo que se cumple en S , y que los ejes de S y S 0 son paralelos) si y solo si su origen de coordenadas se mueve sin aceleración con respecto al de S .

3Veremos al final del curso que este postulado no se cumple en la teoría especial de la Relatividad.

Leyes de Newton. Sistemas de referencia inerciales. Principio de relatividad de Galileo. 7

Definición 1.2. Un sistema de referencia es inercial si en dicho sistema se cumple la primera ley de Newton.

Por lo visto anteriormente, las dos primeras leyes de Newton pueden formularse de manera más precisa y lógicamente satisfactoria de la forma siguiente:

I. Existe una clase de sistemas de referencia (los sistemas inerciales) respecto de los cuales las partículas libres se mueven siempre con velocidad constante.

II. En un sistema inercial, la fuerza F ejercida sobre una partícula es igual a la variación de su momento dp dt

.

Queda por tanto claro que:

1. Las dos primeras leyes de Newton son lógicamente independientes (en particular, la primera define la clase de sistemas de referencia para los que la segunda es válida).

2. Ambas leyes no son axiomas más o menos arbitrarios, sino hechos comprobables (y comprobados) experimentalmente (de hecho, válidos solo aproximadamente en un cierto rango de velocidades y fuerzas).

3. La relación (1.10) entre la fuerza y la aceleración (en general) solo es válida en un sistema inercial.

 ¿Qué sistemas de referencia conocidos son inerciales? Newton y Galileo observaron que un sistema de referencia para el cual las estrellas lejanas están en reposo es (con gran aproximación) inercial. Más recientemente, se ha comprobado que un sistema de referencia respecto del cual la radiación de fondo cósmica de microondas (reliquia del big bang) aparece isótropa es inercial.

1.2.3 Principio de relatividad de Galileo

Sea S un sistema inercial, y consideremos otro sistema de referencia S 0 cuyo origen tiene coordenadas R.t/ respecto de S en cada instante t (siendo t el tiempo medido en S ). Supondremos también que en el instante t los ejes de S 0 están relacionados con los de S por una transformación lineal (invertible) A.t/�1. Nos preguntamos cómo deben ser A.t/ y R.t/ para que el sistema S 0 sea también inercial.

Para responder a esta pregunta, nótese que si r.t/ D r0 C v0t denota las coordenadas respecto de S de una partícula libre en el instante t , las coordenadas de dicha partícula respecto de S 0 en t 0 D t � t0 están dadas por4

r0.t 0/ D A.t/  � r.t/ � R.t/

 D A.t/ 

� r0 C v0t � R.t/

 ; t  t 0 C t0 :

Derivando dos veces respecto de t 0 se obtiene

d2r0.t 0/ dt 02

D RA.t/r0 C  t RA.t/C 2 PA.t/

 v0 �

 RA.t/R.t/C 2 PA.t/ PR.t/C A.t/ R .t/

 :

Si el sistema de referencia S 0 es también inercial, el miembro derecho de esta igualdad ha de anularse idénticamente para todo t 2 R y para todo r0; v0 2 R3, lo que conduce a las relaciones

RA.t/ D t RA.t/C 2 PA.t/ D 0 ; RA.t/R.t/C 2 PA.t/ PR.t/C A.t/ R .t/ D 0 4En efecto, sean .c1; c2; c3/ las coordenadas de un vector respecto de los ejes fe1; e2; e3g de S en el instante t , y denotemos

por .c01; c 0 2; c 0 3/ las coordenadas del mismo vector respecto de los ejes fe

0 1; e 0 2; e 0 3g de S

0 en dicho instante. Entonces

3X iD1

ci ei D 3X iD1

ciA.t/  e0i D 3X

i;kD1

ciAki .t/ e0k H) c 0 k D

3X iD1

Aki .t/ci ;

o, en notación vectorial, c0 D A.t/c.

8 MECÁNICA NEWTONIANA

o, equivalentemente, PA.t/ D 0 ; R .t/ D 0 :

En otras palabras, para que S 0 sea un sistema inercial la transformación lineal A.t/ que relaciona los ejes de S y S 0 ha de ser constante, y el origen de S 0 debe moverse con velocidad constante respecto de S , es decir

R.t/ D R0 C V0t ;

con R0, V0 vectores constantes. De hecho, supondremos a partir de ahora que tanto los coordenadas de S como las de S 0 son cartesianas ortogonales (es decir, tanto los ejes de S como los de S 0 forman una base ortonormal de R3). En tal caso, la matriz A ha de ser ortogonal, es decir ha de verificar

AT D A�1 :

La transformación que relaciona las coordenadas espacio-temporales .t; r/ y .t 0; r0/ de un mismo suceso en los dos sistemas inerciales S y S 0 es por tanto

t 0 D t � t0 ; r0 D A  � r � R0 � V0t

 I R0;V0 2 R3 ; A 2 O.3;R/ ; (1.16)

donde O.3;R/ denota el conjunto de las matrices ortogonales de orden 3 con elementos de matriz reales5.

Definición 1.3. El cambio de coordenadas .t; r/ 7! .t 0; r0/ definido por la ec. (1.16) se denomina trans- formación de Galileo.

 Es fácil comprobar que la composición de dos transformaciones de Galileo y el inverso de una trans- formación de Galileo son transformaciones de Galileo. Desde el punto de vista matemático, esto significa que el conjunto de todas las transformaciones de Galileo forma un grupo6, llamado grupo de Galileo.

 Las coordenadas espacio-temporales .t; r/ y .t 0; r0/ de un mismo suceso en dos sistemas inerciales S y S 0 cualesquiera han de estar relacionados por una transformación de Galileo (1.16) apropiada. Del mismo modo, dado un sistema inercial cualquiera los demás sistemas inerciales se obtienen a partir de este aplicando una transformación de Galileo arbitraria.

En virtud de la ec. (1.16), la aceleración en el sistema de referencia S 0 está dada por

d2r0

dt 02 .t 0/ D A  Rr ;

y de (1.10) se sigue entonces que

m d2r0

dt 02 D F0

 t 0; r0;

dr0

dt 0

 ; (1.17)

siendo

F0.t 0; r0; Pr0/ D A  F.t; r; Pr/ ; Pr0  dr0

dt 0 : (1.18)

En otras palabras, si F.t; r; Pr/ es la fuerza, medida en el sistema inercial S , que actúa en el instante t sobre una partícula situada en el punto de coordenadas r con velocidad Pr, la correspondiente fuerza medida en el sistema inercial S 0 está dada por la ec. (1.18). Esta ecuación es por tanto la ley de transformación de

5El determinante de una matriz ortogonal A ha de ser igual a˙1, ya que

ATA D 1 H) .detA/2 D 1 :

De hecho, si los ejes de S y S 0 tienen la misma orientación, es decir si .e1e2/ e3 D .e01e 0 2/ e 0 3, entonces detA D 1 (ya que

.e1e2/ e3 D detA .e01e 0 2/ e 0 3). En tal caso A 2 SO.3;R/, el grupo de las matrices ortogonales reales 33 de determinante

igual a 1. Normalmente solo consideraremos sistemas de referencia positivamente orientados, en que .e1  e2/  e3 D 1 (es decir, e1  e2 D e3), de modo que la matriz A en (1.16) será siempre de determinante 1.

6Recuérdese que un grupo es un conjunto G provisto de un producto (aplicación G  G ! G) asociativo, con elemento unidad y tal que todo elemento de G posee inverso.

Leyes de conservación. Fuerzas conservativas. Fuerza electromagnética. 9

la fuerza bajo la transformación de Galileo (1.16). Nótese, en particular, que dicha ley depende solo de la relación entre los dos sistemas inerciales S y S 0, y es por tanto independiente de las propiedades de la partícula considerada (es decir de su masa, carga eléctrica, etc.).

Por otra parte, de las ecs. (1.17)-(1.18) se deduce que la segunda ley de Newton —que, como hemos visto, es la ley fundamental de la Mecánica— mantiene en el sistema inercial S 0 la misma forma que en el sistema inercial original S . En otras palabras, las leyes de la Mecánica tienen la misma forma en todos los sistemas inerciales (principio de relatividad de Galileo).

 ¿Qué ocurre con la segunda ley de Newton en un sistema no inercial? Veremos más adelante que la fuerza medida en un sistema no inercial difiere de la medida en un sistema inercial en varios términos proporcionales a la masa de la partícula considerada, llamados fuerzas ficticias7. En otras palabras, las leyes de la Física asumen su forma más sencilla (es decir, sin fuerzas ficticias) solo en los sistemas inerciales.

1.3 Leyes de conservación. Fuerzas conservativas. Fuerza electromagné- tica.

1.3.1 Leyes de conservación

La primera ley de Newton (1.8) puede interpretarse como una ley de conservación del momento: en ausencia de fuerzas, el momento lineal p de la partícula se conserva (es decir, permanece constante). Definamos a continuación el momento angular respecto del origen de coordenadas

L D r  p D mr  Pr ; (1.19)

y el par de la fuerza F (también respecto del origen de coordenadas)

N D r  F : (1.20)

Derivando respecto de t la definición del momento angular y aplicando la segunda ley de Newton se obtiene fácilmente la importante identidad

PL D N :

De esta ecuación se deduce inmediatamente la ley de conservación del momento angular: si el par de la fuerza que actúa sobre una partícula es nulo, su momento angular se conserva. Nótese que en tal caso, al ser r perpendicular al vector constante L, el movimiento de la partícula tiene lugar en el plano normal a L que pasa por el origen.

 De la definición (1.20) se sigue que N D 0 si y solo si la fuerza F es paralela al vector de posición de la partícula, es decir (suponiendo que F solo depende de t , r y Pr):

F D g.t; r; Pr/r ; (1.21)

siendo g una función escalar arbitraria. Este tipo de fuerza se denomina central. Consideremos a continuación la energía cinética de la partícula, definida por

T D 1

2 m Pr2 : (1.22)

Multiplicando la segunda ley de Newton (1.10) por el vector Pr se obtiene:

dT dt D mPrRr D F.t; r; Pr/Pr : (1.23)

7Un ejemplo de tales fuerzas es la fuerza centrífuga que aparece en un sistema cuyos ejes están en rotación respecto de los de un sistema inercial.

10 MECÁNICA NEWTONIANA

En particular, la energía cinética se conserva si la fuerza F es perpendicular a la velocidad Pr en todo instante. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, con la fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada (cf. la ec. (1.34)).

Supongamos que la fuerza que actúa sobre la partícula es conservativa, es decir se obtiene a partir de un potencial V.r/ mediante la fórmula

F.r/ D �rV.r/  � 3X iD1

@V.r/ @xi

ei  � @V.r/ @r

: (1.24)

En tal caso

F.r/Pr D � @V.r/ @r Pr  �

dV.r/ dt

;

y la ecuación (1.23) se escribe d

dt .T C V / D 0 :

La ecuación anterior es la ley de conservación de la energía: si la fuerza que actúa sobre la partícula es conservativa (es decir, deriva de un potencial V.r/ a través de la ecuación (1.24)) se conserva la energía total

E  T C V D 1

2 m Pr2 C V.r/ : (1.25)

 Diremos que una fuerza dependiente del tiempo F.t; r/ es irrotacional si r  F.t; r/ D 0 para todo .t; r/, donde r  F es el rotacional de F, cuyas componentes están dadas por

.r  F/i D 3X

j;kD1

"ijk @Fj

@xk  @Fj

@xk � @Fk

@xj ; .i; j; k/ perm. cíclica de .1; 2; 3/ :

Puede probarse F es irrotacional si y solo si existe (localmente) una función dependiente del tiempo

V.t; r/ tal que F.t; r/ D � @V.t; r/ @r

. Si F es irrotacional, derivando la definición (1.25) de la energía se obtiene

dE dt D

dT dt C

dV dt D mPrRrC

@V

@t C @V

@r Pr D

@V

@t :

Vemos, por tanto, que si la fuerza es irrotacional pero depende explícitamente del tiempo no se conserva la energía.

1.3.2 Fuerzas conservativas

Como ya vimos en el apartado anterior, una fuerza F.r/ es conservativa si es el gradiente de una función �V.r/. Nótese que (en un abierto conexo) el potencial V.r/ está determinado por la fuerza F.r/ a menos de una constante arbitraria, ya que

rV1 D rV2 () r.V1 � V2/ D 0 H) V1 � V2 D const :

Se puede probar que el carácter conservativo de una fuerza F.r/ (independiente del tiempo y la velocidad) es equivalente a cualquiera de las tres condiciones siguientes8:

I. La fuerza F es irrotacional: r  F D 0 :

8Con más propiedad, este resultado es válido si la fuerza F.r/ es de clase C 1 en un abierto simplemente conexo de R3 (por ejemplo, en todo R3, en el interior de una esfera, de un paralelepípedo, de un cilindro, etc.). Por el contrario, el abierto comprendido entre dos cilindros infinitos con el mismo eje no es simplemente conexo.

Leyes de conservación. Fuerzas conservativas. Fuerza electromagnética. 11

II. El trabajo realizado por la fuerza F a lo largo de una curva cerrada cualquiera C es nulo:Z C

F.r/  dr D 0 :

III. El trabajo realizado por la fuerza F a lo largo de cualquier curva que une dos puntos fijos r1 y r2 es independiente de la curva: Z

C1

F.r/  dr D Z C2

F.r/  dr ;

siendo C1 y C2 dos curvas cualesquiera con los mismos extremos r1 y r2.

 La necesidad de las condiciones (I)–(III) anteriores es evidente. En efecto, la condición (I) es conse- cuencia de la identidad

r  rV.r/ D 0 :

Por otra parte, el trabajo realizado por una fuerza conservativa F D �rV a lo largo de una curva cualquiera C con extremos r1 y r2 está dado porZ

C

F.r/  dr D � Z C

@V.r/ @r  dr D �

Z C

dV D V.r1/ � V.r2/ ; (1.26)

y es por tanto independiente de la curva considerada (condición (III)). En particular, si la curva es cerrada entonces r1 D r2, y por tanto el trabajo se anula en este caso (condición (II)).

 De la ec. (1.26) se sigue que el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la disminución de la energía potencial de la partícula al pasar del punto inicial r1 al punto final r2. En virtud de la ley conservación de la energía total, dicho trabajo es también igual al aumento de la energía cinética de la partícula al moverse de r1 a r2.

 Un caso particular de fuerza conservativa de enorme interés en la práctica es el de una fuerza central independiente del tiempo y la velocidad, que podemos expresar en la forma

F.r/ D f .r/ r r : (1.27)

En efecto, teniendo en cuenta que

@g.r/

@r D g0.r/

@r

@r D g0.r/

r r ;

es claro que la fuerza (1.27) deriva del potencial

V.r/ D �

Z f .r/ dr ; (1.28)

dependiente solo del módulo de r.

Ejercicio. Probar que la fuerza central (1.21) es conservativa si y solo si la función g.t; r; Pr/ depende solo de r . Ayuda: el rotacional de F en coordenadas esféricas está dado por

r  F D 1

r2 sen 

ˇ̌̌̌ ˇ̌̌̌ ˇ er re r sen e' @

@r

@

@

@

@'

Fr rF r sen F'

ˇ̌̌̌ ˇ̌̌̌ ˇ :

12 MECÁNICA NEWTONIANA

1.3.3 Fuerzas gravitatoria y electrostática

Según la ley de la gravitación universal de Newton, la fuerza gravitatoria ejercida por una partícula de masa M fija en el origen de coordenadas sobre otra partícula de masa m situada en el punto r es de la forma (1.27), con f inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al origen:

f .r/ D � GMm

r2 ; (1.29)

siendo G ' 6;674  10�11 m3 Kg�1 s�2

la llamada constante de la gravitación universal. En virtud de la ec. (1.28), el potencial correspondiente a la fuerza gravitatoria está dado (salvo una constante arbitraria) por

V.r/ D � GMm

r : (1.30)

 Nótese que, al ser GMm > 0, la fuerza gravitatoria es siempre atractiva.

 La aceleración de la partícula de masa m causada por la fuerza de atracción gravitatoria (1.27)-(1.29) es

a D F m D �

GM

r3 r ;

independiente de la masam. Este hecho no trivial, observado por primera vez por Galileo Galilei, se debe a que la masa que aparece en la ley de la gravitación universal de Newton (masa gravitatoria) coincide9 con la masa que aparece en la segunda ley de Newton (masa inercial). La igualdad entre ambas masas (el llamado principio de equivalencia, en el que se fundamenta la teoría general de la Relatividad) se ha comprobado con gran exactitud (menos de una parte en 1012) en distintos experimentos.

Análogamente, la fuerza eléctrica ejercida por una carga Q fija en el origen sobre una partícula de carga q situada en el punto r es también de la forma (1.27), donde ahora

f .r/ D k qQ

r2 : (1.31)

En el sistema SI de unidades, la constante k tiene el valor

k D 1

4 "0 D 10�7c2 m F�1 ;

siendo "0 D 8;854 187 817 : : :  10

�12 F m�1

la permitividad del vacío y c D 2;997 924 58  108 m s�1

la velocidad de la luz en el vacío10. De la ecuación (1.31) se sigue que la fuerza eléctrica es atractiva si las cargas q y Q son de signos opuestos, y repulsiva en caso contrario. De nuevo, la fuerza eléctrica es conservativa, siendo su potencial (a menos de una constante aditiva)

V.r/ D k qQ

r

inversamente proporcional a la distancia entre las cargas.

9Evidentemente, basta con que ambas masas sean proporcionales, siendo la constante de proporcionalidad universal (es decir, la misma para todas las partículas).

10Recuérdese que en el sistema SI los valores de c y "0 son por definición exactos.

Leyes de conservación. Fuerzas conservativas. Fuerza electromagnética. 13

Más generalmente, si en un abierto U  R3 hay una distribución de masas se define su potencial gravitatorio ˚.r/ por

˚.r/ D �G Z U

.r0/ jr � r0j

d3r0 ;

siendo .r0/ la densidad de masa en el punto r0. La fuerza gravitatoria ejercida por dicha distribución sobre una partícula de masa m situada en el punto r es entonces

F.r/ D �m @˚.r/ @r

; (1.32)

y por tanto deriva del potencial V.r/ D m˚.r/. De nuevo, en este caso la aceleración de la partícula es

a D � @˚.r/ @r

;

independiente de su masa m. Nótese sin embargo que, en general, la fuerza (1.32) no es central. Análogamente, el potencial eléctrico creado por una distribución estática de cargas contenida en el

abierto U está dado por

˚.r/ D k Z U

.r0/ jr � r0j

d3r0 ;

siendo ahora .r0/ la densidad de carga eléctrica en el punto r0. La fuerza ejercida por dicha distribución sobre una partícula de carga q situada en el punto r es en este caso

F.r/ D �q @˚.r/ @r

 qE.r/ ; (1.33)

siendo por definición E.r/ D � @˚.r/ @r

el campo eléctrico creado por la distribución de cargas en el punto r. De nuevo, la fuerza electrostática (1.33) es evidentemente conservativa, con potencial V.r/ D q˚.r/, pero en general no central.

Ejercicio. Aplicando el teorema de Gauss a una esfera centrada en el origen, probar la identidad

4

 1

r

 D �4 ı.r/ ;

siendo ı.r/ la delta de Dirac. Deducir que tanto el potencial gravitatorio como el electrostático verifican la ecuación de Poisson

4˚ D 4 ˛ ;

con ˛ D G para el potencial gravitatorio y ˛ D �k para el eléctrico. En particular, el potencial gravita- torio (resp. electrostático) verifica la ecuación de Laplace 4˚ D 0 en cualquier región del espacio en que no haya masas (resp. cargas).

1.3.4 Fuerza electromagnética

Consideremos una partícula de carga q que se mueve en el seno de un campo eléctrico E.t; r/ y magnético B.t; r/. En tal caso la fuerza electromagnética (llamada también fuerza de Lorentz) que actúa sobre la partícula está dada por

F.t; r; Pr/ D q � E.t; r/C Pr  B.t; r/

 : (1.34)

Como es sabido, los campos E y B verifican las ecuaciones de Maxwell ‚ r  E D



"0 ; r  E D �

@B @t ;

r  B D 0 ; r  B D 0JC 1

c2 @E @t ;

14 MECÁNICA NEWTONIANA

siendo 0 D 4   10

�7 H m�1

la permeabilidad del vacío y J la densidad de corriente. De la segunda y la tercera ecuaciones de Maxwell se sigue que podemos expresar E y B a través de una potencial escalar ˚.t; r/ y un potencial vector A.t; r/ mediante las ecuaciones

E D � @˚

@r � @A @t ; B D r  A :

Es importante observar que los campos E y B no determinan unívocamente los potenciales ˚ y A. En efecto, es fácil ver que los potenciales

O̊ D ˚ � @f

@t ; OA D AC

@f

@r ; (1.35)

donde f .t; r/ es una función escalar arbitraria11, generan exactamente el mismo campo electromagnético que los potenciales ˚ y A de partida. Se puede demostrar que siempre es posible elegir la función f de modo que los nuevos potenciales O̊ y OA verifiquen la condición

r  OAC 1

c2 @ O̊

@t D 0 ; (1.36)

llamada gauge de Lorentz. Si los potenciales ˚ y A satisfacen el gauge de Lorentz, es inmediato com- probar que las ecuaciones de Maxwell son equivalentes a las dos ecuaciones siguientes para ˚ y A:

1

c2 @2˚

@t2 �4˚ D



"0 ;

1

c2 @2A @t2 �4A D 0J :

En particular, el potencial escalar y cada componente del potencial vector verifican la ecuación de ondas

1

c2 @2u

@t2 �4u D 0

en el vacío (es decir, en cualquier región del espacio que no contenga cargas eléctricas ni corrientes).

Ejercicio. Probar que la fuerza de Lorentz (1.34) es conservativa si y solo si B D @E @t D 0 (es decir, si el

campo electromagnético es de tipo puramente electrostático).

 Supongamos que tanto el campo eléctrico como el magnético son estáticos, es decir

E  E.r/ ; B  B.r/ :

En particular, la segunda ecuación de Maxwell se reduce en este caso a r E.r/ D 0, de donde se sigue que

E D � @˚.r/ @r

:

Utilizando esta ecuación y la ley de Lorentz se obtiene

dT dt D F  Pr D qE.r/  Pr D �q

@˚.r/ @r  Pr D �q

d˚ dt

H) d

dt

� T C q˚

 D 0 :

Por tanto en este caso, aun cuando la fuerza de Lorentz no es conservativa a menos que B D 0, se conserva la función

T C q˚.r/ ;

que podemos interpretar como la energía electro-mecánica de la partícula. Para interpretar físicamente este resultado basta notar que la fuerza magnética no realiza trabajo, al ser perpendicular a la velocidad y por tanto al desplazamiento dr, por lo que no contribuye a la energía de la partícula.

11La ecuación (1.35) se denomina transformación de gauge de los potenciales electromagnéticos. Puede probarse que si los potenciales .˚;A/ y . O̊ ; OA/ generan el mismo campo electromagnético (en un abierto simplemente conexo) entonces están relacionados por una transformación de gauge.

Leyes de conservación. Fuerzas conservativas. Fuerza electromagnética. 15

Ejemplo 1.4. Un electrón de masa m y carga �e se mueve en un campo eléctrico uniforme E D Ee2 y un campo magnético también uniforme B D Be3 (con E > 0, B > 0). Calculemos la trayectoria del electrón suponiendo que r.0/ D 0 y v.0/ D v0e1, con v0 > 0.

Teniendo en cuenta la ec. (1.34), las ecuaciones del movimiento son en este caso

m Rx1 D �eB Px2 ; m Rx2 D �eE C eB Px1 ; m Rx3 D 0 : (1.37)

De la última ecuación y el dato inicial x3.0/ D Px3.0/ D 0 se sigue inmediatamente que x3.t/ D 0 para todo t . Las ecuaciones para x1 y x2 se pueden expresar en forma más sencilla utilizando las variables adimensionales

 D eB

m t ; x D

eB2

mE x1 ; y D

eB2

mE x2 :

En efecto, sustituyendo en (1.37) se obtiene

x00 D �y0 ; y00 D x0 � 1 ;

donde la prima denota derivada respecto de  . Las condiciones iniciales en términos de las nuevas varia- bles son

x.0/ D y.0/ D 0 ; x0.0/ D eB2

mE Px1.0/

dt d D Bv0

E  1C a ; y0.0/ D 0 :

La integración de las ecuaciones del movimiento no ofrece dificultad, al tratarse de un sistema lineal de segundo orden en .x; y/ con coeficientes constantes. En este caso, lo más sencillo es introducir la variable compleja ´ D x C iy, en términos de la cual las ecuaciones del movimiento se reducen a la ecuación diferencial ordinaria

´00 D x00 C iy00 D �y0 C ix0 � i D i.´0 � 1/ ;

o equivalentemente w00 D iw0 ; w  ´ � :

La solución de esta ecuación diferencial lineal de primer orden en w0, con la condición inicial

w0.0/ D ´0.0/ � 1 D x0.0/C iy0.0/ � 1 D a

es inmediata: w0 D aei :

Integrando una vez más y teniendo en cuenta la condición inicial

w.0/ D ´.0/ D 0

se obtiene inmediatamente

w D ia.1 � ei / H) ´ D  C ia.1 � ei / :

Separando la parte real e imaginaria de ´ se obtiene finalmente

x D Re ´ D  C a sen  ; y D Im ´ D a.1 � cos / : (1.38)

En términos de las variables originales (“físicas”),

x1 D Et

B C 1

!

 v0 �

E

B

 sen.!t/ ; x2 D

1

!

 v0 �

E

B

 1 � cos.!t/

 ; ! 

eB

m :

16 MECÁNICA NEWTONIANA

Las ecs. (1.38) son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del electrón. Las propiedades cualitativas de dicha trayectoria dependen del parámetro

a  Bv0

E � 1 I

nótese que a > �1, al ser E, B y v0 positivos por hipótesis.

i) Si jaj < 1, es decir

0 < v0 < 2E

B ;

se tiene

x0 D 1C a cos  > 0 ;

y por tanto x es una función creciente de  . En particular, si a D 0, es decir si

v0 D E

B ;

la trayectoria es el eje x recorrido con velocidad constante (x./ D  ó, en las coordenadas iniciales, x1.t/ D Et=B). En general, 0 6 y 6 2a (si a > 0) ó 2a 6 y 6 0 (si a < 0) para todo  , con

y D 0 ()  D 2n  .n 2 Z/ H) x D 2n  ;

mientras que

y D 2a ()  D .2nC 1/  .n 2 Z/ H) x D .2nC 1/  :

En los puntos en que y alcanza sus valores extremos 0 y 2a la velocidad del electrón está dirigida en la dirección del eje x, ya que para  D k  (con k 2 Z) se tiene

y0.k / D a sen.k / D 0 :

En particular, en dichos puntos

dy dx D y0

x0 D 0 :

La trayectoria del electrón tiene por tanto el aspecto cualitativo de la Fig. 1.1 (arriba).

ii) Por otro lado, si a D 1, es decir si

v0 D 2E

B ;

entonces x0./ D 1C cos  > 0, con

x0./ D 0 ()  D .2nC 1/  .n 2 Z/ H) x D .2nC 1/  ; y D 2 :

Leyes de conservación. Fuerzas conservativas. Fuerza electromagnética. 17

Π 2 Π 3 Π 4 Π x

-0.5

-1

y

Π 2 Π 3 Π 4 Π x

0.5

1.0

1.5

2.0

y

Π 2 Π 3 Π 4 Π x

1

2

3

4

5

6

y

Figura 1.1: De arriba a abajo: trayectoria del electrón del Ejemplo 1.4 para v0 D E=.2B/, v0 D 2E=B y v0 D 4E=B .

Nótese que para  D .2n C 1/  (con n 2 Z) se anula también y0 D sen  . Como puede observarse en la Fig. 1.1 (centro), la trayectoria presenta una cúspide en los puntos

� .2n C 1/ ; 2

 (con n 2 Z),

correspondientes a  D .2nC 1/ , ya que

dy dx D y0

x0 D

sen  1C cos 

D 2 sen.=2/ cos.=2/

2 cos2.=2/ D tan.=2/ �!

!.2nC1/  ˙1 :

En estos puntos de cúspide la velocidad del electrón se anula, ya que (como acabamos de ver) en este caso

x0 � .2nC 1/ 

 D y0

� .2nC 1/ 

 D 0 :

La trayectoria en este caso es una cicloide.

iii) Finalmente, si a > 1, es decir si

v0 > 2E

B ;

entonces x ya no es una función monótona de  . Más precisamente,

x0./ > 0 ()  2n  � arc cos.�1=a/; 2n C arc cos.�1=a/

 ; n 2 Z ;

mientras que

x0./ < 0 () � 2n C arc cos.�1=a/; 2.nC 1/  � arc cos.�1=a/

 ; n 2 Z :

También es inmediato comprobar que la trayectoria es simétrica respecto de las rectas verticales x D .2k C 1/ , con k 2 Z (cf. la Fig. (1.1) (abajo)). 

Ejercicio. Repetir el problema anterior suponiendo que el campo es puramente magnético (E D 0). Pro- bar que la partícula recorre una circunferencia con frecuencia constante ! D eB=m, llamada frecuencia de ciclotrón.

18 MECÁNICA NEWTONIANA

1.4 Movimiento de una partícula en un potencial unidimensional.

En esta sección estudiaremos el movimiento de una partícula en una dimensión, sometida a una fuerza independiente del tiempo y la velocidad F.x/. Una fuerza de este tipo es siempre conservativa, ya que F.x/ D �V 0.x/ con

V.x/ D �

Z F.x/ dx :

En este caso, la ley de conservación de la energía (1.25) se reduce a la ecuación

1

2 m Px2 C V.x/ D E ; (1.39)

siendo la constante E 2 R el valor de la energía de la partícula. Recíprocamente, derivando la ec. (1.39) respecto de t se obtiene

Px � m Rx � F.x/

 D 0 :

Por tanto, si Px ¤ 0 la ec. (1.39) es equivalente a la ecuación del movimiento de la partículam Rx D F.x/.

 Las posiciones de equilibrio (o equilibrios) son los puntos x0 2 R tales que la ecuación del movi- miento posee la solución constante x.t/ D x0. En tal caso Rx.t/ D 0 para todo t , por lo que sustituyendo en la ecuación del movimiento se obtiene

F � x.t/

 D F.x0/ D �V

0.x0/ D 0 :

Por tanto los equilibrios son los puntos en que la fuerza que actúa sobre la partícula es nula. Desde el punto de vista matemático, las posiciones de equilibrio son los puntos críticos del potencial V.x/, es decir las soluciones de la ecuación

V 0.x/ D 0 :

Nótese que, en virtud del teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, si x0 es un equilibrio la única solución de la ecuación del movimiento que satisface las condiciones iniciales x.t0/ D x0, Px.t0/ D 0 es la solución constante x.t/ D x0. En otras palabras, si en un cierto instante la partícula se halla en un equilibrio con velocidad nula permanece en dicho equilibrio indefinidamente.

 De la ec. (1.39) se sigue inmediatamente que para una dada energía E el movimiento de la partícula solo puede tener lugar en la región definida por la desigualdad

V.x/ 6 E ;

que denominaremos región accesible (para esa energía E). En general, dicha región es una unión de intervalos cerrados disjuntos, algunos de los cuales pueden ser infinitos por la derecha o por la izquierda (incluido el caso límite en que la región accesible es toda la recta real), o incluso reducirse a puntos aislados. De particular interés son los puntos xi que limitan dichos intervalos, es decir las soluciones de la ecuación V.x/ D E. Cuando la partícula pasa por uno de dichos puntos su velocidad se anula, ya que

x.t/ D xi H) Px.t/ D 0 (1.40)

en virtud de la ley de conservación de la energía (1.39). Diremos que el punto xi es un punto de retroceso de la trayectoria si, además, verifica la condición V 0.xi / ¤ 0, es decir si

V.xi / D E ; V 0.xi / ¤ 0 :

En otras palabras, los puntos de retroceso son los extremos de los intervalos cerrados disjuntos en que se subdivide la región accesible, excluyendo los equilibrios.

Movimiento de una partícula en un potencial unidimensional. 19

Figura 1.2: Potencial unidimensional V.x/ con 5 puntos de retroceso xi para una cierta energía E. La región accesible consta en este caso de los tres intervalos .�1; x1, Œx2; x3 y Œx4; x5.

 La ec. (1.39) —o, equivalentemente, la ecuación del movimiento— es invariante bajo la traslación temporal t 7! t C t0, para todo t0 2 R, ya que el tiempo t no aparece explícitamente en ella. Por este motivo, si x.t/ es una solución de (1.39) también lo será x.t C t0/, para todo t0 2 R.

 La ec. (1.39) (así como la ecuación del movimiento) es también invariante bajo la inversión temporal t 7! �t . Por tanto, si x.t/ es una solución de (1.39) también lo será x.�t /.

La ley de conservación de la energía (1.39) permite hallar fácilmente la solución general de la ecua- ción del movimiento en forma implícita. En efecto, despejando Px en (1.39) se obtiene

Px  dx dt D ˙

r 2

m

� E � V.x/

 : (1.41)

Cada una de estas dos ecuaciones (correspondientes a los dos signos delante del radical) es una ecuación diferencial de primer orden de variables separables, que se integra fácilmente separando variables:r

m

2

Z dxp

E � V.x/ D ˙.t � t0/ ; (1.42)

con t0 una constante arbitraria (que sin pérdida de generalidad se puede tomar igual a cero, en virtud del penúltimo comentario anterior). El comportamiento de las soluciones depende crucialmente de la región accesible, como estudiaremos con más detalle a continuación.

I) En efecto, consideremos en primer lugar el caso en que uno de los intervalos cerrados disjuntos en que se subdivide la región accesible es el intervalo acotado Œx0; x1, de modo que

E D V.x0/ D V.x1/ :

Supondremos además que los extremos de dicho intervalo son puntos de retroceso, es decir

V 0.xi / ¤ 0 ; i D 0; 1

(cf. la Fig. 1.3). Supongamos, sin pérdida de generalidad, que x.0/ D x0, de modo que Px.0/ D 0. En tal caso Px > 0 para t > 0 suficientemente pequeño, ya que en caso contrario la partícula entraría en la región prohibida a la izquierda de x0. Por ello debemos tomar el signo “C” en (1.42), obteniendo12

t D

r m

2

Z x x0

dsp E � V.s/

 .x/ (1.43)

12La integral que aparece en la fórmula siguiente es impropia en el límite inferior s D x0. Sin embargo, al ser V 0.x0/ ¤ 0 por hipótesis, el integrando se comporta como .s � x0/�1=2 en las proximidades de s D x0, y la integral es por tanto convergente.

20 MECÁNICA NEWTONIANA

Figura 1.3: Potencial unidimensional con dos puntos de retroceso consecutivos x0, x1 que delimitan un intervalo accesible Œx0; x1 (para una cierta energía E).

(cf. la Fig. 1.4). Por tanto la partícula llegará al punto x1 en un tiempo =2, donde por definición

 D 2.x1/ D p 2m

Z x1 x0

dsp E � V.s/

: (1.44)

Nótese que, al ser

 0.x/ D

p m=2p

E � V.x/ > 0 ; x0 < x < x1 ;

la función  es monótona creciente, y por tanto invertible, en el intervalo Œx0; x1. Por tanto la ley del movimiento de la partícula para 0 6 t 6 =2 está dada por

x D �1.t/ ; 0 6 t 6 

2 :

Para t > =2 (con t � .=2/ suficientemente pequeño), la velocidad pasa a ser negativa, ya que de lo contrario la partícula alcanzaría la región prohibida a la derecha de x1. Utilizando de nuevo la ec. (1.42), esta vez con el signo “�”, y la condición inicial x.=2/ D x1 obtenemos

t D 

2 �

r m

2

Z x x1

dsp E � V.s/

D  �

r m

2

Z x x0

dsp E � V.s/

D  � .x/ : (1.45)

Figura 1.4: Función .x/ definida por la ec. (1.43).

Movimiento de una partícula en un potencial unidimensional. 21

Figura 1.5: Movimiento de una partícula en un potencial unidimensional entre dos puntos de retroceso consecutivos x0, x1 que delimitan un intervalo accesible.

Por tanto, la partícula alcanzará de nuevo el punto x0 en el tiempo  . Nótese que de la ec. (1.45) se sigue que

x D �1. � t / ; 

2 6 t 6  :

Por tanto la ley del movimiento de la partícula en el intervalo 0 6 t 6  , dada implícitamente por las ecs. (1.43)-(1.45), puede expresarse por medio de la función inversa �1 mediante las ecuaciones

x.t/ D

€ �1.t/ ; 0 6 t 6 

2 I

�1. � t / ;  2 6 t 6  :

(1.46)

En particular, nótese que la función x.t/ es simétrica respecto del instante t D =2, ya que

x  2 � s

 D x

 2 C s

 D �1

 2 � s

 ; 0 6 s 6



2 :

La solución de las ecuaciones del movimiento válida para todo t es la extensión periódica con período  de la función x.t/ definida en Œ0;  por la ecuación (1.46) (cf. la Fig. 1.5). En otras palabras, si k 6 t 6 .k C 1/ con k 2 Z entonces

x.t/ D x.t � k/ ; (1.47)

donde el miembro derecho se calcula utilizando (1.46). En efecto, esta función es solución de la ecuación del movimiento por la invariancia de dicha ecuación bajo traslaciones temporales, y empalma de forma suave en los puntos t D k (con k 2 Z) en que x D x0 y Px D 0 (cf. la Fig. 1.5). Por tanto en este caso el movimiento es periódico, con período  dado por la ec. (1.44).

Ejercicio. Probar que la ley del movimiento x.t/ dada por las ecs. (1.46)-(1.47) es simétrica respecto de t D 0, es decir que x.t/ D x.�t /.

Solución. La función f .t/  x.�t / es solución de la ecuación del movimiento, por la invariancia de dicha ecuación bajo inversión temporal. En t D 0, la solución f .t/ satisface las mismas condiciones iniciales que x.t/, ya que

f .0/ D x.0/ D x0 ; f 0.0/ D �x0.0/ D 0 :

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