matematicas discretas sexta edicion Jonsonbaugh, Otro de Matemática Discreta. Universidad Autónoma de Coahuila
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miguel-gallegos11 de mayo de 2017

matematicas discretas sexta edicion Jonsonbaugh, Otro de Matemática Discreta. Universidad Autónoma de Coahuila

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libro sobre matematicas discretas, logica y algebra booleana.
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Matemáticas discretas

M A T E M

Á T IC

A S D

IS C R E TA

S

Richard Johnsonbaugh

Johnsonbaugh

MATEMÁTICAS DISCRETAS

Sexta edición

Este libro se diseñó para un curso de introducción a las matemáticas discretas. La exposición es clara y adecuada, además de que contiene abundantes ejercicios.

Esta edición, igual que las anteriores, incluye temas como algoritmos, combinatoria, con- juntos, funciones e inducción matemática. También toma en cuenta la comprensión y con- strucción de pruebas y, en general, el reforzamiento matemático.

CAMBIOS DE LA SEXTA EDICIÓN

• El primer capítulo de lógica y demostraciones se amplió en forma considerable. Se agregaron ejemplos de lógica en lenguajes de programación.

• Ahora se presentan varios ejemplos de algoritmos antes de llegar a la notación de O mayúscula.

• Un nuevo capítulo de introducción a la teoría de números. Este capí- tulo incluye resultados clásicos (como la divisibilidad, la infinitud de

los primos, el teorema fundamental de la aritmética), así como los algoritmos de teoría de números.

• Nueva sección de sugerencias para resolver problemas. • Nuevas secciones de solución de problemas para fun-

ciones y teoría de números. • El estilo del seudocódigo se ha actualizado del

tipo Pascal al tipo Java. • El número de ejemplos resueltos aumentó

a cerca de 600 y el número de ejercicios aumentó a 4000.

Visítenos en: www.pearsoneducacion.net

Sexta edición

La obra tiene como apoyo el sitio Web: www.pearsoneducacion.net/johnsonbaugh

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LÓGICA

p ∨ q p o q; p. 2 p ∧ q p y q; p. 2 ¬p no p; p. 5 p q si p, entonces q; p. 8 p q p si y sólo si q; p. 12 P Q P y Q son lógicamente equivalentes; p. 12 ∀ para todo; p. 19 ∃ existe; p. 22 \ por lo tanto; p. 43

NOTACIÓN DE CONJUNTOS

{x1,…, xn} conjunto que consta de los elementos x1,…, xn; p. 76

{x|p(x)} conjunto de los elementos x que satisfacen la propiedad p(x); p. 77

x X x es un elemento de X; p. 77 x  X x no es un elemento de X; p. 77

X = Y igualdad de conjuntos (X y Y tienen los mismos elementos); p. 77 |X| número de elementos en X; p. 77

∅ conjunto vacío; p. 77 X Y X es un subconjunto de Y; p. 77 X Y X es un subconjunto propio de Y; p. 79 P(X) conjunto potencia de X (todos los subconjuntos de X); p. 79 X Y X unión Y (todos los elementos en X o Y); p. 80

unión de X1,…, Xn (todos los elementos que pertenecen al menos a un conjunto de X1,…, Xn); p. 83

unión de X1, X2,… (todos los elementos que pertenecen al menos a uno de X1, X2,…); p. 83

S unión de S (todos los elementos que pertenecen al menos a un conjunto en S); p. 83 X Y X intersección Y (todos los elementos en X y Y); p. 80

intersección de X1,…, Xn (todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos X1, X2,…, Xn); p. 83

intersección de X1, X2,… (todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos X1, X2,…); p. 83

S intersección de S (todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos de S); p. 83 X Y diferencia de conjuntos (todos los elementos en X pero no en Y); p. 80 X complemento de X (todos los elementos que no están en X); p. 80 (x, y) par ordenado; p. 83

(x1,…, xn) n-eada; p. 84

X × Y producto cartesiano de X y Y [pares (x, y) con x en X y y en Y]; p. 83

LISTA DE SÍMBOLOS

n

i=1 Xi

∞⋃

i=1 Xi

n

i=1 Xi

∞⋂

i=1 Xi

g g

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RELACIONES

x R y (x, y) está en R (x está relacionada con y mediante la relación R); p. 117

[x] clase de equivalencia que contiene a x; p. 127

R−1 relación inversa [todo (x, y) que está en R]; p. 122

R2  R1 composición de relaciones; p. 122 x  y x R y; p. 121

FUNCIONES

f (x) valor asignado a x; p. 88

f : X Y función de X a Y; p. 87 f  g composición de f y g; p. 97 f −1 función inversa [todo (y, x) con (x, y) que está en f ]; p. 96

f (n) = O(g(n)) |f (n)| ≤ C|g(n)| para n suficientemente grande; p. 158 f (n) = (g(n)) c|g(n)| ≤ |f (n)| para n suficientemente grande;p. 158 f (n) = (g(n)) c|g(n)| ≤ |f (n)| ≤ C|g(n)| para n suficientemente grande; p. 158

CONTEO

C(n, r) número de combinaciones r de un conjunto de n elementos (n!/[(n r)!r!]); p. 232 P(n, r) número de permutaciones r de un conjunto de n elementos [n(n − 1) · · · (n r + 1)]; p. 231

GRÁFICAS

G = (V, E) gráfica G con conjunto de vértices V y conjunto de aristas E; p. 320 (v, w) arista; p. 320

δ(v) grado del vértice v; p. 333

(v1,…, vn) trayectoria de v1 a vn; p. 330

(v1,…, vn), v1 = vn ciclo; p. 332 Kn gráfica completa en n vértices; p. 325

Km, n gráfica completa bipartita en m y n vértices; p. 326

w(i, j ) peso de la arista (i, j); p. 347

Fi j flujo en la arista (i, j); p. 445

Ci j capacidad de la arista (i, j); p. 445

(P, P) cortadura en una red; p. 457

PROBABILIDAD

P(x) probabilidad del resultado x; p. 250

P(E) probabilidad del evento E; p. 251

P(E|F) probabilidad condicional de E dado F [P(E F)/P(F)]; p. 255

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MATEMÁTICAS DISCRETAS

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Matemáticas discretas SEXTA EDICIÓN

Richard Johnsonbaugh DePaul University, Chicago

REVISIÓN TÉCNICA: ARIADNE SÁNCHEZ RUIZ Facultad de Ingeniería, Mecánica y Eléctrica Universidad Autónoma de Nuevo León

TRADUCCIÓN: MARCIA AÍDA GONZÁLEZ OSUNA Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México

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MATEMÁTICAS DISCRETAS. Sexta edición

Johnsonbaugh, Richard

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2005

ISBN: 970-26-0637-3

Área: Universitarios

Formato: 21  27 cm Páginas 696

Authorized translation from the English language edition, entitled Discrete mathematics 6th ed., by Richard Johnsonbaugh published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright© 2005. All rights reserved.

ISBN 0-13-117686-2

Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Discrete mathematics 6/e de Richard Johnsonbaugh, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL INC., Copyright© 2005. Todos los derechos reservados.

Esta edición en español es la única autorizada.

Edición en español Editor: Enrique Quintanar Duarte

e-mail: enrique.quintanar@pearsoned.com Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos

Edición en inglés Executive Acquisitions Editor: George Lobell Editor-in-Chief: Sally Yagan Vice President/Director of Production and Manufacturing: David W. Riccardi Production Editor: Debbie Ryan Senior Managing Editor: Linda Mihatov Behrens Assistant Managing Editor: Bayani Mendoza de Leon Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Assistant Manufacturing Manager/Buyer: Michael Bell Manufacturing Manager: Trudy Pisciotti Marketing Manager: Halee Dinsey Marketing Assistant: Rachel Beckman Art Director: John Christiana Interior Design: Abigail Bass Cover Designer: Anthony Gemmellaro Creative Director: Carole Anson Director of Creative Services: Paul Belfanti Art Editor: Thomas Benfatti Editorial Assistant: Joanne Weldelken Front/Back Cover Image: Vasarely, Victor (1908-1977) © ARS, NY Boo. 1978. Location: Private Collection, Monaco/Photo Credit: Erich Lessing / Art Resource, NY

SEXTA EDICIÓN, 2005

D.R.© 2005 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco No. 500, 5° piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México E-mail: editorial.universidades@pearsoned.com

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031

Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recu- peración de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

ISBN 970-26-0637-3

Impreso en México. Printed in Mexico.

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Prefacio XI

Lógica y demostraciones 1

1.1 Proposiciones 2 1.2 Proposiciones condicionales y equivalencia lógica 8 1.3 Cuantificadores 17 1.4 Cuantificadores anidados 29 1.5 Demostraciones 36 1.6 Pruebas por resolución 50 1.7 Inducción matemática 53

Rincón de solución de problemas: Inducción matemática 63 1.8 Forma fuerte de inducción y la propiedad del buen orden 65

Notas 70 Repaso del capítulo 71 Autoevaluación del capítulo 73 Ejercicios para computadora 75

El lenguaje de las matemáticas 76

2.1 Conjuntos 76 2.2 Funciones 87

Rincón de solución de problemas: Funciones 102 2.3 Sucesiones y cadenas 103

Nota 112 Repaso del capítulo 112 Autoevaluación del capítulo 114 Ejercicios para computadora 115

CONTENIDO

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Relaciones 116

3.1 Relaciones 116 3.2 Relaciones de equivalencia 125

Rincón de solución de problemas: Relaciones de equivalencia 131 3.3 Matrices de relaciones 132 3.4 Bases de datos relacionales 137

Nota 142 Repaso del capítulo 142 Autoevaluación del capítulo 142 Ejercicios para computadora 144

Algoritmos 145

4.1 Introducción 145 4.2 Ejemplos de algoritmos 149 4.3 Análisis de algoritmos 156

Rincón de solución de problemas: Diseño y análisis de un algoritmo 171 4.4 Algoritmos recursivos 173

Notas 180 Revisión del capítulo 180 Autoevaluación del capítulo 181 Sección de ejercicios de repaso 182

Introducción a la teoría de números 183

5.1 Divisores 183 5.2 Representaciones de enteros y algoritmos enteros 192 5.3 El algoritmo euclidiano 205

Rincón de solución de problemas: Composición del importe postal 214 5.4 El sistema criptográfico de llave pública RSA 215

Notas 217 Repaso del capítulo 217 Autoevaluación del capítulo 218 Ejercicios para computadora 219

Métodos de conteo y el principio del palomar 220

6.1 Principios básicos 220 Rincón de solución de problemas: Conteo 228

6.2 Permutaciones y combinaciones 229 Rincón de solución de problemas: Combinaciones 240

6.3 Algoritmos para generar permutaciones y combinaciones 241 6.4 Introducción a la probabilidad discreta 247

VIII Contenido

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6.5 Teoría de probabilidad discreta 250 6.6 Permutaciones y combinaciones generalizadas 261 6.7 Coeficientes binomiales e identidades combinatorias 266 6.8 El principio del palomar 271

Notas 275 Repaso del capítulo 275 Autoevaluación del capítulo 276 Ejercicios para computadora 278

Relaciones de recurrencia 279

7.1 Introducción 279 7.2 Solución de relaciones de recurrencia 290

Rincón de solución de problemas: Relaciones de recurrencia 302 7.3 Aplicaciones al análisis de algoritmos 305

Notas 315 Repaso del capítulo 315 Autoevaluación del capítulo 316 Ejercicios para computadora 317

Teoría de gráficas 318

8.1 Introducción 318 8.2 Trayectorias y ciclos 329

Rincón de solución de problemas: Gráficas 339 8.3 Ciclos hamiltonianos y el problema del agente viajero 340 8.4 Un algoritmo de la ruta más corta 347 8.5 Representaciones de gráficas 352 8.6 Isomorfismos de gráficas 356 8.7 Gráficas planas 363 8.8 Locura instantánea 369

Notas 373 Repaso del capítulo 373 Autoevaluación del capítulo 375 Ejercicios para computadora 377

Árboles 379

9.1 Introducción 379 9.2 Terminología y caracterización de árboles 386

Rincón de solución de problemas: Árboles 391 9.3 Árboles de expansión 392 9.4 Árboles de expansión mínima 398 9.5 Árboles binarios 403 9.6 Recorridos de árboles 409 9.7 Árboles de decisiones y tiempo mínimo para ordenar 414

Contenido IX

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9.8 Isomorfismos de árboles 420 9.9 Árboles de juegos 429

Notas 437 Repaso del capítulo 437 Autoevaluación del capítulo 439 Ejercicios para computadora 442

Modelos de redes 444

10.1 Introducción 444 10.2 Algoritmo de flujo máximo 449 10.3 Teorema de flujo máximo y corte mínimo 457 10.4 Acoplamiento 461

Rincón de solución de problemas: Acoplamiento 466 Notas 467 Repaso del capítulo 467 Autoevaluación del capítulo 468 Ejercicios para computadora 469

Álgebras booleanas y circuitos combinatorios 470

11.1 Circuitos combinatorios 470 11.2 Propiedades de los circuitos combinatorios 477 11.3 Álgebras booleanas 482

Rincón de solución de problemas: Álgebras booleanas 486 11.4 Funciones booleanas y simplificación de circuitos 488 11.5 Aplicaciones 493

Notas 501 Repaso del capítulo 501 Autoevaluación del capítulo 502 Ejercicios para computadora 504

Autómatas, gramáticas y lenguajes 506

12.1 Circuitos secuenciales y máquinas de estado finito 506 12.2 Autómata de estado finito 511 12.3 Lenguajes y gramáticas 517 12.4 Autómata de estado finito no determinístico 525 12.5 Relaciones entre lenguajes y autómatas 531

Notas 537 Repaso del capítulo 538 Autoevaluación del capítulo 539 Ejercicios para computadora 540

X Contenido

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Geometría para cálculo 542

13.1 Problema del par más cercano 542 13.2 Algoritmo para calcular el casco convexo 547

Notas 554 Repaso del capítulo 554 Autoevaluación del capítulo 554 Ejercicios para computadora 555

Matrices 556

Repaso de álgebra 560

Seudocódigo 571

Referencias 577

Sugerencias y soluciones para ejercicios seleccionados 582

Índice 662

Contenido XI

C B A

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Este libro fue diseñado para un curso de introducción a las matemáticas discretas, basado en mi experiencia como profesor de la asignatura durante muchos años. Los prerrequisitos de matemáticas formales son mínimos; no se requiere cálculo. No hay requisitos de cien- cias de la computación. El libro incluye ejemplos, ejercicios, figuras, tablas, secciones de solución de problemas, secciones que contienen sugerencias para resolver problemas, sec- ciones de repaso, notas, revisión del capítulo, autoevaluaciones y ejercicios para realizar en computadora con la finalidad de ayudar al estudiante a dominar las matemáticas discretas.

A principios de la década de 1980, había pocos libros de texto adecuados para un cur- so de introducción a las matemáticas discretas. Sin embargo, era necesario un curso que consolidara la madurez matemática de los estudiantes y su habilidad para manejar la abs- tracción, que además incluyera temas útiles como combinatoria, algoritmos y gráficas. La edición original de este libro (1984) atendió esta necesidad e influyó de manera significa- tiva en los cursos de matemáticas discretas. Con el paso del tiempo, los cursos de matemá- ticas discretas se justificaron para diferentes grupos, que incluyeron estudiantes de matemáticas y ciencias de la computación. Un panel de la Mathematical Association of America (MAA) apoyó un curso de un año de matemáticas discretas. El Comité de Activi- dades Educativas del Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) recomendó un curso de matemáticas discretas en el primer año. Las guías de acreditación de la Asso- ciation for Computing Machinery (ACM) y la IEEE hacen obligatorio un curso de mate- máticas discretas. Esta edición, al igual que las anteriores, incluye temas como algoritmos, combinatoria, conjuntos, funciones e inducción matemática para cubrir las necesidades de estos grupos. También toma en cuenta la comprensión y construcción de pruebas y, en ge- neral, el reforzamiento de la madurez matemática.

PREFACIO

Los cambios en la sexta edición de este libro surgieron a partir de comentarios y peticiones de numerosos usuarios y revisores de las ediciones anteriores. Estos cambios son los si- guientes:

 El primer capítulo de lógica y demostraciones fue ampliado en forma considerable. La sección de cuantificadores en la quinta edición fue dividida en dos secciones. La primera sección de cuantificadores (sección 1.3) estudia las afirmaciones de los cuantificadores sencillos, y la siguiente (sección 1.4) analiza los cuantificadores ani- dados. La sección de inducción matemática en la quinta edición también fue dividida en dos secciones. La primera (sección 1.7) introduce la inducción en la que el paso inductivo consiste en suponer S(n) y probar S(n + 1). Se agregó a esta sección un análisis de las invariantes de un ciclo. La segunda sección (1.8) continúa con la in- ducción fuerte y la propiedad de buen orden. Como ejemplo del uso de la propiedad del buen orden, se demuestra el teorema del cociente-residuo.

Los materiales de exposición, ejemplos y motivación se ampliaron en todo el ca- pítulo. Se agregaron ejemplos de lógica en lenguajes de programación (por ejemplo, el uso de and, or, not y las leyes de De Morgan). Con el fin de dar mayor claridad, la barra superior para denotar negación se sustituyó por ¬. Aparece una explicación más

Cambios respecto a la quinta edición

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detallada de las condiciones necesaria y suficiente. Se añadieron ejemplos para mos- trar la relación entre el lenguaje normal y la lógica simbólica. En todo el capítulo hay más ejemplos de demostración de afirmaciones y de cómo construir las demostracio- nes. En este capítulo se aumentó el número de ejemplos resueltos de 59 a 90, y el nú- mero de ejercicios de 391 a 521.

 En el capítulo 2, se agregaron varios ejemplos para mostrar cómo es posible usar el ma- terial del capítulo 1 para probar afirmaciones referentes a conjuntos, funciones, suce- siones y cadenas (por ejemplo, cómo probar que una función específica es uno a uno).

 Ahora se presentan varios ejemplos de algoritmos antes de llegar a la notación de O mayúscula y otras relacionadas (secciones 4.1 y 4.2), que proporcionan una introduc- ción más suave y motivada al formalismo que le sigue. Se menciona que muchos al- goritmos modernos no tienen todas las propiedades de los algoritmos clásicos (por ejemplo, muchos algoritmos modernos no son generales, determinísticos o finitos). Para ilustrar el punto, se da un ejemplo de un algoritmo aleatorizado (ejemplo 4.2.4).

 Un nuevo capítulo (el 5) de introducción a la teoría de números combina material de la quinta edición (como la representación de enteros, el máximo común divisor) y amplía algunos temas (como la teoría algorítmica de números). Este capítulo incluye resultados clásicos (como la divisibilidad, el carácter infinito de los primos, el teorema fundamen- tal de la aritmética), así como los algoritmos de teoría de números: por ejemplo, el al- goritmo euclidiano para encontrar el máximo común divisor, cómo elevar a un exponente usando cuadrados repetidos, cómo calcular s y t tales que mcd(a, b) = sa + tb, y cómo calcular el inverso del módulo de un entero. La aplicación principal es el siste- ma criptográfico de llave pública RSA (sección 5.4). Los cálculos requeridos por el sis- tema criptográfico se pueden realizar usando los algoritmos desarrollados en el capítulo.

 El apartado de sugerencias para resolver problemas se agregaron al final de muchas secciones, en especial en los primeros capítulos. Como el nombre lo dice, ayudan al estudiante a centrarse en las técnicas requeridas para resolver los problemas. Las su- gerencias para resolver problemas, que aparecen al final de las secciones, enfatizan y ayudan a comprender las técnicas para resolver los problemas de la sección.

 Hay nuevas secciones de solución de problemas para funciones y teoría de números.

 El estilo del seudocódigo se ha actualizado del tipo Pascal al tipo Java (que también se parece a C y C++). Es más probable que el estudiante esté familiarizado con este estilo. Además, la descripción del seudocódigo se ha cambiado a los apéndices (apéndice C), lo que hace posible dar ejemplos de seudocódigos antes (para quienes estén interesados).

 Se agregaron diversos libros y artículos recientes a la lista de referencias. Las refe- rencias de varios libros se actualizaron para considerar las últimas ediciones.

 El número de ejemplos resueltos aumentó a cerca de 600. (Había aproximadamente 500 en la quinta edición).

 El número de ejercicios aumentó a casi 4000. (Había cerca de 3500 en la quinta edición).

XIV Prefacio

Este libro incluye:

 Lógica (incluyendo cuantificadores), demostraciones, pruebas por resolución e in- ducción matemática (capítulo 1). En el ejemplo 1.4.15 se presenta un juego de lógi- ca, que ofrece una manera alternativa para determinar si una función proposicional cuantificada es verdadera o falsa.

 Conjuntos, funciones, sucesiones, notaciones de suma y producto, cadenas y relacio- nes (capítulo 2 y 3), incluyendo ejemplos que despiertan la motivación, como el de la introducción a las funciones de dispersión (hashing) y los generadores de números seudoaleatorios (sección 2.2), una aplicación de órdenes parciales en la programa- ción de tareas (sección 3.1) y las bases de datos relacionales (sección 3.4).

Contenido y estructura

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 Un análisis exhaustivo de algoritmos, algoritmos recursivos y análisis de algoritmos (capítulo 4). Además, se da un enfoque algorítmico en todo el libro. Los algoritmos es- tán escritos en una forma flexible de seudocódigo. (El libro no supone requisitos de computación; la descripción del seudocódigo que se usa se presenta en el apéndice C). Entre los algoritmos presentados están el de enlosado (sección 4.4), el algoritmo eucli- diano para encontrar el máximo común divisor (sección 5.3), el algoritmo para codifi- car la llave pública RSA (sección 5.4), la generación de combinaciones y permutaciones (sección 6.3), el merge sort (sección 7.3), el algoritmo de la ruta más corta de Dijkstra (sección 8.4), los algoritmos de regreso (sección 9.3), la búsqueda a lo ancho y a pro- fundidad (sección 9.3), el recorrido de árboles (sección 9.6), la evaluación de un árbol de juego (sección 9.9), el flujo máximo en una red (sección 10.2), el par más cercano de puntos (sección 13.1) y el cálculo del casco convexo (sección 13.2).

 Un análisis completo de las notaciones O mayúscula, omega y theta para el crecimien- to de las funciones (sección 4.3). Disponer de todas estas notaciones hace posible ha- cer afirmaciones precisas acerca del crecimiento de funciones y el tiempo y espacio requeridos por los algoritmos.

 Una introducción a la teoría de números (capítulo 5).

 Combinaciones, permutaciones, probabilidad discreta y el principio del palomar (ca- pítulo 6). Dos secciones opcionales (6.4 y 6.5) presentan la probabilidad discreta.

 Relaciones de recurrencia y su aplicación al análisis de algoritmos (capítulo 7).

 Gráficas, incluyendo modelos de cobertura de una gráfica de computadoras parale- las, recorrido del caballo, ciclos de Hamilton, isomorfismos de gráficas y gráficas planas (capítulo 8). El teorema 8.4.3 da una demostración elegante, breve y sencilla de que el algoritmo de Dijkstra es correcto.

 Árboles, que incluyen árboles binarios, recorridos del árbol, árbol de expansión mí- nima, tiempo mínimo para ordenar e isomorfismos de árboles (capítulo 9).

 Redes, el algoritmo del flujo máximo y acoplamiento (capítulo 10).

 Un análisis de álgebras booleanas que hace hincapié en la relación de éstas con los circuitos combinatorios (capítulo 11).

 Un enfoque de autómata que resalta el modelado y las aplicaciones (capítulo 12). El cir- cuito flip-flop SR se estudia en el ejemplo 12.1.11. Los fractales, incluyendo el copo de nieve de Von Koch, se describen por gramáticas de tipo especial (ejemplo 12.3.19).

 Una introducción a la geometría para el cálculo (capítulo 13).

 Apéndices de matrices, álgebra básica y seudocódigo.

 Se resalta la importancia de la interrelación de los diferentes temas. Como ejemplos, la inducción matemática tiene una relación estrecha con los algoritmos recursivos (sección 4.4); la sucesión de Fibonacci se usa en el análisis del algoritmo euclidiano (sección 5.3); muchos ejercicios a lo largo del libro requieren inducción matemática; se demuestra có- mo se caracterizan las componentes de una gráfica mediante la definición de una relación de equivalencia sobre el conjunto de vértices (vea el análisis que sigue al ejemplo 8.2.13); se cuentan los vértices de árboles binarios de n vértices (teorema 9.8.12).

 Se hace hincapié en la lectura y las demostraciones. Casi todas las pruebas de los teo- remas se ilustran con figuras que incluyen anotaciones. Algunas secciones separadas (los rincones de solución de problemas) muestran al estudiante cómo abordar y re- solver problemas y cómo desarrollar demostraciones. Las secciones especiales de su- gerencias para resolver problemas resaltan las técnicas principales de la sección.

 Un gran número de aplicaciones, en especial de computación.

 Figuras y tablas para ilustrar los conceptos, para mostrar cómo funcionan los algorit- mos, para derivar pruebas y para aclarar el material. Las figuras ilustran las pruebas de los teoremas. Las leyendas de estas figuras brindan explicaciones adicionales y mayor comprensión de la demostración.

 Ejercicios de repaso de la sección.

 Secciones de notas con sugerencias para otras lecturas.

Prefacio XV

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 Repasos de los capítulos.

 Autoevaluación en cada capítulo.

 Ejercicios para computadora.

 Una sección de referencias que contiene 159 referencias.

 Contraportadas que resumen la notación matemática y de los algoritmos utilizados en el libro.

Cada capítulo se organiza como sigue:

Descripción general

Sección

Sección de ejercicios de repaso

Sección de ejercicios

Sección

Sección de ejercicios de repaso

Sección de ejercicios

.

.

.

Notas

Repaso del capítulo

Autoevaluación del capítulo

Ejercicios para computadora

El apartado de ejercicios de repaso revisa los conceptos clave, definiciones, teore- mas, técnicas, etcétera, de la sección. Todos los ejercicios de repaso tienen respuestas al fi- nal del libro. Aunque la intención es repasar cada sección, estos ejercicios también se pueden usar para la elaboración de exámenes muestra.

Las notas contienen sugerencias para otras lecturas. Las revisiones de los capítulos proporcionan listas de referencia de los conceptos importantes. Las autoevaluaciones con- tienen cuatro ejercicios por sección, con respuestas al final del libro.

Los ejercicios para computadora incluyen proyectos, implementaciones de algunos algoritmos y otras actividades relacionadas con la programación. Aunque no hay requisitos de programación para este libro, ni se pretende hacer una introducción a la programación, estos ejercicios se incluyen para quienes deseen explorar los conceptos de matemáticas dis- cretas con una computadora.

Por último, casi todos los capítulos incluyen una sección de solución de problemas. El libro contiene cerca de 4000 ejercicios, 147 de los cuales son para computadora. Los ejercicios que parecen más difíciles que otros se indican con el símbolo ★. Los ejercicios con números en cursivas (cerca de un tercio de ellos) tienen una sugerencia o la solución al final del libro. Las soluciones a los ejercicios restantes se pueden encontrar en la Guía del instructor. Es claro que un puñado de ejercicios requieren del cálculo. No se usan con- ceptos de cálculo en el cuerpo principal del libro y, excepto por estos pocos ejercicios, no se necesita cálculo para resolverlos.

El libro contiene cerca de 600 ejemplos resueltos, que muestran a los estudiantes cómo abordar problemas en matemáticas discretas, presentan las aplicaciones de la teoría, acla- ran las demostraciones y ayudan como motivación del material.

XVI Prefacio

Ejercicios

Ejemplos

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Las secciones tituladas Rincón de solución de problemas ayudan al estudiante a atacar y re- solver problemas, y le muestran cómo desarrollar demostraciones. Escritos en un estilo in- formal, cada “rincón” es una sección que, por sí misma, sigue el análisis del tema del problema. En lugar de presentar simplemente una prueba o una solución al problema, en estas secciones se intenta mostrar los caminos alternativos para atacar el problema, se ana- liza qué buscar al tratar de resolverlo y se presentan las técnicas para encontrar soluciones y para elaborar demostraciones.

Cada sección de solución de problemas comienza con el enunciado de un problema. Después de hacer el planteamiento se analizan las maneras de abordarlo. Siguen a este análi- sis las técnicas para encontrar una solución. Una vez que se encuentra una respuesta, se da una solución formal para mostrar la manera correcta de escribirla. Por último, se resumen las técnicas de solución de problemas presentadas en la sección, incluyendo un apartado de co- mentarios que analiza las relaciones con otros temas de matemáticas y computación, despier- ta la motivación para resolver el problema y da una lista de referencias para otras lecturas relacionadas. Algunos rincones de solución de problemas concluyen con ejercicios.

Guía del instructor (en inglés) sin costo para los profesores que adopten este libro. Debe so- licitarse al representante local de Pearson Educación. La Guía del instructor contiene las soluciones de los ejercicios no incluidas en el libro.

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se ha enriquecido mucho respecto a la página de la edición anterior. El nuevo sitio con- tiene

 Mayores explicaciones del material difícil y vínculos a otros sitios para obtener in- formación adicional de los temas de matemáticas discretas. El icono www al margen señala que la página Web del libro contiene más explicaciones o un vínculo.

 Diapositivas de PowerPoint.

 Material complementario

 Programas de computadora

 Una lista de erratas.

Recibí comentarios útiles de muchas personas, entre ellas Gary Andrus, Kendall Atkin- son, André Berthiaume, Gregory Brewster, Robert Busby, David G. Cantor, Tim Carroll, Joseph P. Chan, Hon-Wing Cheng, I-Ping Chu, Robert Crawford, Henry D’Angelo, Jerry Delazzer, Br. Michael Driscoll, Carl E. Eckberg, Herber Enderton, Susana Epp, Gerald Gordon, Jerrold Grossman, Reino Hakala, Mark Herbster, Steve Jost, Martin Ka- lin, Nicholas Krier, Warren Krueger, Glenn Lancaster, Donald E. G. Malm, Nick Mes- hes, Kevin Phelps, Jenni Piane, Mansur Samadzadeh, Sigrid (Anne) Settle, James H. Stoddard, Chaim Goodman Strauss, Michael Sullivan, Edward J. Williams y Hanyi Zhang. Agradezco también a todos los usuarios de mi libro por sus valiosas cartas y co- rreos electrónicos.

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Prefacio XVII

Rincones de solución de problemas

Complemento para el instructor

Página de Internet

Agradecimientos

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Un agradecimiento especial por esta edición es para George F. Bachelis, de Wayne State University, por las correcciones y la retroalimentación de su grupo de alumnos, y pa- ra Bob Fisher, mi colega en DePaul, por atraer mi atención a algunos ejercicios agradables de conjuntos convexos que se pueden resolver usando inducción matemática.

Por la revisión del manuscrito de esta edición, doy gracias a:

Scott Annin, California State University, Fullerton Brendan Frey, University of Toronto Dennis Garity, Oregon State University Aaron Keen, California Polytechnic State University, San Luis Obispo Miguel Lerma, Northwestern University Truc Nguyen, Bowling Green State University Craig Jensen, University of New Orleans Randall Pruim, Calvin College David Stewart, University of Iowa Suely Oliveira, University of Iowa Bogdan Suceava, California State University, Fullerton Anthony S. Wojcik, Michigan State University

Agradezco a mi amable editora, Patricia Johnsonbaugh, por marcar cada uno de los cerca de 4000 ejercicios con codificación mística, por cuidar numerosos detalles, detectar texto que no pretendí escribir, mejorar la exposición y sugerir cambios que mejoraron el libro.

Estoy en deuda con Helmut Epp, decano de la Escuela de ciencias de la compu- tación, telecomunicaciones y sistemas de información en DePaul University, por propor- cionarme su tiempo y alentarme en el desarrollo de esta edición y las anteriores.

He recibido apoyo constante del personal de Prentice Hall. En especial, agradezco a George Lobell, editor ejecutivo, por su ayuda; a Jennifer Brady, asistente editorial, y a Debbie Ryan, supervisor de producción.

Richard Johnsonbaugh

XVIII Prefacio

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1.1 Proposiciones 1.2 Proposiciones condicionales

y equivalencia lógica 1.3 Cuantificadores 1.4 Cuantificadores anidados 1.5 Demostraciones 1.6 Pruebas por resolución 1.7 Inducción matemática

Rincón de solución de problemas: inducción matemática

1.8 Forma fuerte de inducción y la propiedad del buen orden Notas Repaso del capítulo Autoevaluación del capítulo Ejercicios para computadora

Lógica es el estudio del razonamiento; se refiere específicamente a si el razonamiento es correcto. La lógica se centra en la relación entre las afirmaciones y no en el contenido de una afirmación en particular. Considere, por ejemplo, el siguiente argumento:

Todos los matemáticos usan sandalias

Cualquiera que use sandalias es un algebrista

Por lo tanto, todos los matemáticos son algebristas

En el sentido técnico, la lógica no ayuda a determinar si alguna de estas afirmaciones es cierta; sin embargo, si las primeras dos afirmaciones son ciertas, la lógica asegura que la afirmación

todos los matemáticos son algebristas

también es cierta. Los métodos lógicos se usan en matemáticas para demostrar teoremas y, en las cien-

cias de la computación, para probar que los programas hacen lo que deben hacer. Suponga, por ejemplo, que se asigna a un estudiante el desarrollo de un programa para calcular las trayectorias más cortas entre ciudades. Es necesario que el programa acepte como entrada un número arbitrario de ciudades y las distancias entre las ciudades con conexión directa por carretera, y que produzca como salida las trayectorias (rutas) más cortas entre cada par distinto de ciudades. Después de escribir el programa, es fácil para el estudiante probarlo con un número reducido de ciudades. Con papel y lápiz, puede enumerar todas las trayec- torias posibles entre pares de ciudades y encontrar las más cortas. Esta solución por “fuer- za bruta” se compara con la salida del programa. Sin embargo, para un número grande de ciudades, la técnica de la “fuerza bruta” sería tardada. ¿Cómo puede el estudiante estar se- guro de que el programa trabaja bien para muchos datos (casi seguro el tipo de entrada con la que el profesor probaría el programa)? Él tendrá que usar la lógica para argumentar que el programa es correcto. El argumento puede ser informal o formal usando las técnicas pre- sentadas en este capítulo; pero se requerirá un argumento lógico.

Entender la lógica también resulta útil para aclarar la escritura común. Por ejemplo, en una ocasión, se publicó el siguiente decreto en Naperville, Illinois: “Será ilegal que una

1

LÓGICA Y DEMOSTRACIONES

Capítulo 1

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Lógica, lógica, lógica. La lógica es el principio de la sabiduría, Valeria, no el fin.

STAR TREK VI: EL PAÍS SIN DESCUBRIR

Esta sección se puede omitir sin pérdida de continuidad.

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persona tenga más de tres perros y tres gatos en su propiedad dentro de la ciudad”. Un ciu- dadano que tenía cinco perros y ningún gato, ¿violaba el decreto? Piense en esta pregunta ahora y analícela (vea ejercicio 54, sección 1.1) después de leer la sección 1.1.

¿Cuáles oraciones de la a) a la e) son verdaderas o falsas (pero no ambas)?

a) Los únicos enteros positivos que dividena 7 son 1 y el mismo 7. b) Alfred Hitchcock ganó un premio de la Academia en 1940 por la dirección de

“Rebeca”. c) Para todo entero positivo n, existe un número primomayor que n. d) La Tierra es el único planeta en el universo que tiene vida. e) Compra dos boletos para el concierto de rock “Unhinged Universe” del viernes.

La oración a), que es otra manera de decir que el 7 es primo, es verdadera. La oración b) es falsa. Aunque “Rebeca” ganó el premio de la Academia por la

mejor película de 1940, John Ford ganó el premio por dirigir “Las viñas de la ira”. Es un hecho sorprendente que Alfred Hitchcock nunca haya ganado un premio de la Academia por mejor dirección.

La oración c), que es otra forma de decir que el número de primos es infinito, es ver- dadera.

La oración d) puede ser verdadera o falsa (pero no ambas), sin embargo en este mo- mento se ignora.

La oración e) no es verdadera ni falsa [esta oración es una orden]. Una oración que es verdadera o falsa, pero no ambas, se llama una proposición. Las

oraciones a) a la d) son proposiciones, mientras que la oración e) no es una proposición. Es común que una proposición se exprese como una oración declarativa (y no como pregun- ta, orden, exclamación, etcétera). Las proposiciones son los bloques básicos de construc- ción de cualquier teoría de lógica.

Se usarán variables, como p, q y r, para representar las proposiciones, casi como se usan letras en álgebra para representar números. También se usará la notación

p: 1 +1 = 3 para definir que p es la proposición 1 + 1 = 3. Al hablar y escribir de forma normal, las proposiciones se combinan usando conec-

tores como y y o. Por ejemplo, las proposiciones “está lloviendo” y “hace frío” se pueden combinar para formar la proposición “está lloviendo y hace frío”. A continuación se dan las definiciones formales de y y o.

Sean p y q proposiciones. La conjunción de p y q, denotada por p q, es la proposición

p y q.

La disyunción de p y q, denotada por p q, es la proposición p o q.

Un operador binario sobre un conjunto* X, asigna a cada par de elementos en X un elemento de X (vea la definición 2.2.44). El operador ∧ asigna a cada par de proposiciones

2 Capítulo 1 ◆ Lógica y demostraciones

1.1 Proposiciones

Definición 1.1.1

“Divide” se refiere a “división exacta”. De manera más formal, se dice que un entero diferente de cero d divide a un entero m si existe un entero q tal que m = dq. A q se le llama el cociente. Se explorarán los enteros con detalle en el capítulo 5. Un entero n > 1 es primo si los únicos enteros positivos que dividen a n son 1 y el mismo n. Por ejemplo, 2, 3 y 11 son números primos. * Un conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, el conjunto de enteros positivos consiste en los enteros 1, 2, . . . Los “conjuntos” se estudian con detalle en la sección 2.1.

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Ejemplo 1.1.2

p y q la proposición p q. Entonces, ∧ es un operador binario sobre las proposiciones. El operador ∨ también es un operador binario sobre las proposiciones.

Si

p: Está lloviendo,

q: Hace frío,

entonces la conjunción de p y q es

p q: Está lloviendo y hace frío. La disyunción de p y q es

p q: Está lloviendo o hace frío. El valor de verdad de la conjunción p q está determinado por los valores verdade-

ros de p y q, y la definición se basa en la interpretación usual de “y”. Considere la propo- sición

p q: Está lloviendo y hace frío del ejemplo 1.1.2. Si está lloviendo (es decir, p es verdadera) y también hace frío (es decir, q también es verdadera), entonces la proposición

p q: Está lloviendo y hace frío se consideraría verdadera. Sin embargo, si no está lloviendo (esto es, p es falsa) o si no ha- ce frío (q es falsa) o ambas, entonces la proposición

p q: Está lloviendo y hace frío se consideraría falsa.

Los valores de verdad de las proposiciones, tales como conjunciones o disyunciones, se pueden describir por las tablas de verdad. La tabla de verdad de una proposición P, for- mada por las proposiciones individuales p1, . . . , pn, enumera todas las posibles combina- ciones de los valores de verdad para p1, . . . , pn, donde V denota verdadero y F denota falso, y da la lista de valores de verdad de P para cada combinación. Se usa una tabla de verdad para dar la definición formal de los valores de verdad de p q.

Los valores de verdad de la proposición p q se definen por la tabla de verdad

Observe que en la tabla de verdad de la definición 1.1.3 se dan las cuatro combina- ciones posibles (cuatro alternativas posibles) de asignaciones de verdad para p y q.

La definición 1.1.3 establece que la conjunción p q es verdadera siempre que p y q sean ambas verdaderas; de otra manera, p q es falsa.

Si

p: Una década tiene 10 años,

q: Un milenio tiene 100 años,

1.1 ◆ Proposiciones 3

Definición 1.1.3

p q p q T T T T F F F T F F F F

Ejemplo 1.1.4

V V

V

V

V

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entonces p es verdadera, q es falsa (un milenio tiene 1000 años) y la conjunción

p q: Una década tiene 10 años y un milenio tiene 100 años es falsa.

Casi todos los lenguajes de programación definen “y” justo como la definición 1.1.3. Por ejem- plo, en el lenguaje de programación Java, el “y” (lógico) se denota por &&, y la expresión

es verdadera precisamente cuando el valor de la variable x es menor que 10 (esto es, x < 10 es cierta) y el valor de la variable y es mayor que 4 (es decir, y > 4 se cumple).

El valor de verdad de la disyunción p q también está determinado por los valores de verdad de p y q, y la definición se basa en la interpretación “inclusiva” de “o”. Consi- dere la proposición

p q: Está lloviendo o hace frío, del ejemplo 1.1.2. Si está lloviendo (es decir, p es verdadera) o si hace frío (es decir, q es verdadera) o ambas, entonces se consideraría que la proposición

p q: Está lloviendo o hace frío es verdadera (esto es, p q es verdadera). El or-inclusivo de las proposiciones p y q es verdadero si ambas, p y q, son verdaderas. Si no está lloviendo (o sea, p es falsa) y si no hace frío (q también es falsa), entonces se consideraría que la proposición

p q: Está lloviendo o hace frío, es falsa (esto es, p q es falsa). También existe el or-exclusivo (vea el ejercicio 53) que define p exor q como falsa si ambas, p y q, son verdaderas.

El valor de verdad de la proposición p q se define por la tabla de verdad

La definición 1.1.6 establece que la disyunción p q es verdadera siempre que p o q (o ambas) sean verdaderas; de otra manera, p q será falsa (es decir, sólo si p y q son falsas la disyunción será falsa).

Si

p: Un milenio tiene 100 años,

q: Un milenio tiene 1000 años,

entonces p es falsa, q es verdadera y la disyunción

p q: Un milenio tiene 100 años o un milenio tiene 1000 años es verdadera.

Casi todos los lenguajes de programación definen un or (inclusivo) justo como en la defi- nición 1.1.6. Por ejemplo, en Java, el or (lógico) se denota por || y la expresión

▼ ▼

4 Capítulo 1 ◆ Lógica y demostraciones

Ejemplo 1.1.5 ▼ x < 10 && y > 4

Definición 1.1.6

p q p q T T T T F T F T T F F F

V V

V V V

V

V

Ejemplo 1.1.7

Ejemplo 1.1.8

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x < 10 || y > 4

es verdadera precisamente cuando el valor de la variable x es menor que 10 (esto es, x < 10 es cierta) o el valor de la variable y es mayor que 4 (es decir, y > 4 se cum- ple) o ambas.

En el lenguaje común, las proposiciones que se combinan (es decir, p y q combina- das para dar la proposición p q) suelen estar relacionadas; pero en lógica, no se requiere que estas proposiciones hagan referencia al mismo asunto. Por ejemplo, en lógica se per- miten proposiciones como

3 < 5 o París es la capital de Inglaterra.

La lógica se ocupa de la forma de las proposiciones y de la relación de las proposicio- nes entre sí, no del tema. (La proposición anterior es verdadera porque 3 < 5 es verda- dera).

El operador final en una proposición p que analizamos en esta sección es la nega- ción de p.

La negación de p, denotada por ¬p, es la proposición

no p.

El valor de verdad de esta proposición ¬p se define por la tabla de verdad

Algunas veces escribimos ¬p para decir “no ocurre que p”. Por ejemplo, si p: París es la capital de Inglaterra,

la negación de p se escribe como

¬p: No ocurre que París es la capital de Inglaterra. o más fácil como

¬p: París no es la capital de Inglaterra. Un operador unario sobre un conjunto X asigna a cada elemento de X un elemento

de X (vea la definición 2.2.46). El operador ¬ asigna a cada proposición p la proposición ¬p. Entonces, ¬ es un operador unario sobre las proposiciones.

Si

p: π se calculó con 1,000,000 de dígitos decimales en 1954,

la negación de p es la proposición

¬p: π no se calculó con 1,000,000 de dígitos decimales en 1954. No fue sino hasta 1973 que se calculó π con 1,000,000 de dígitos decimales; entonces p es falsa. (Desde entonces se han calculado más de 200 mil millones de dígitos decimales de π). Puesto que p es falsa, ¬p es verdadera. ▼

1.1 ◆ Proposiciones 5

Definición 1.1.9

p ¬p T F F T V

V

Ejemplo 1.1.10

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comentarios (1)
Muy buen libro.
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