¡Descarga Matematicas especiales y más Exámenes en PDF de Matemáticas Aplicadas solo en Docsity! 1 AREA DE CIENCIAS BASICAS MATEMÁTICAS ESPECIALES AUTOR Nibia Patricia López Salazar, Magister, profesora auxiliar del programa de Ingeniería de la Universidad Cooperativa de Colombia, sede Bogotá. Correo-e
[email protected] TITULO: SERIES DE FOURIER “No puede existir un lenguaje más universal y simple, más carente de errores y oscuridades, y por lo tanto más apto para expresar las relaciones invariables de las cosas naturales Las matemáticas parecen constituir una facultad de la mente humana destinada a compensar la brevedad de la vida y la imperfección de los sentidos.” Joseph Fourier RESUMEN Las series de Fourier son de gran importancia ya que tienen muchas aplicaciones en el campo de las ciencias. La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo T. Este taller se corresponde al evento evaluativo 5. Se entrega en la semana 16. PALABRAS CLAVES: Serie Trigonométrica, Serie Compleja Actividades 1. Sea 𝑓 una función periódica con 𝑓(𝑡) = 𝑡2 en [−1,1]. Realizar la gráfica. Verificar que la serie de Fourier es: 𝑆(𝑡) = 1 3 + ∑ 4(−1)𝑛 𝑛2𝜋2 cos 𝑛𝜋𝑡 ∞ 𝑛=1 Grafique la serie tomando pantallazos del término 10, 20, 30. Utilizar este resultado para mostrar que − 1 12 = − 1 𝜋2 + 1 4𝜋2 − 1 9𝜋2 + ⋯ 2. En la figura se muestra la carga 𝑞(𝑡) sobre las placas de un capacitor en el tiempo 𝑡, exprese 𝑞(𝑡) Como una expresión en series de Fourier. UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA SEDE BOGOTA AREA:CIENCIAS BASICAS CURSO: MATEMATICAS ESPECIALES Taller de Series de Fourier FECHA: 2021-1 VERSION: 2.0 2 3. Pruebe que la serie de Fourier que representa la función periódica 𝑓(𝑡) = { 𝜋2 − 𝜋 < 𝑡 < 0 (𝑡 − 𝜋)2 0 < 𝑡 < 𝜋 es: 𝑓(𝑡) = 2 3 𝜋2 + ∑ 2 𝑛2 cos 𝑛𝑡 + (−1)𝑛 𝑛 𝜋 sin 𝑛𝑡 − 4 𝜋 ∑ sin(2𝑛 − 1)𝑡 (2𝑛 − 1)3 ∞ 𝑛=1 ∞ 𝑛=1 Grafique la serie tomando pantallazos del término 10, 20, 30. Utilice este resultado para probar que: A. ∑ 1 𝑛2 = 1 6 𝜋2∞𝑛=1 B. ∑ (−1)𝑛+1 𝑛2 = 1 3 𝜋2∞𝑛=1 4. Dada la función 𝑓(𝑡) = { 𝜋 𝑠𝑖 − 𝜋 < 𝑡 < 0 𝑡 𝑠𝑖 0 < 𝑡 < 𝜋 a) Escriba y grafique la función en un graficador (Sugerido Geogebra). b) Encuentre analíticamente los coeficientes de Fourier y escriba la serie trigonométrica. Grafique la serie tomando pantallazos del término 10, 20, 30. c) Hay alguna manera de deducir analíticamente, a partir de la serie encontrada, que: 𝜋2 8 = ∑ 1 (2𝑛 − 1)2 ∞ 𝑛=1 Describa cuál es su proceso deductivo. d) Encuentre la forma compleja de esa serie, utilizando los coeficientes trigonométricos encontrados. 5. Un voltaje periódico 𝑣(𝑡) en 𝑉 en periodo 5 𝑚𝑠 y especificado por: Q
