matemáticas especiales taller #1, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga matemáticas especiales taller #1 y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Taller 1 de Matemáticas Especiales Universidad Distrital Francisco José de Caldas + Verifique el siguiente algoritmo para la técnica de exclusión: sea V =R*,S =(D,, Da, ..., Ue) un conjunto de vectores no nulos en V. La eliminación de los vectores que son distintos de cero que son combinación lineal de los predecesores se logra así: 0) Se forma la matriz aumentada A asociada con el sistema homogéneo €,D, + c,Dz +=" + CD, = 0; es decir, A se forma con los d, como el j-ésimo vector columna. Ar o [Az 5 3 3 4=[¿[,5=[0B1 ca .. Codal> An Cc Caña o Cp lAs aAa=| : : : : La CmanUmn Cmn-1yémn-y - Can | An ñi) Reducir A a la forma escalonada reducida. Por filas como en Gauss Jordan Para proceder a la reducción por filas tendríamos que darle valores a la matriz A y al sistema homogéneo ii) Los vectores de las columnas de A que dan lugar a pivotes (distintos a cero). deben permanecer y forman base para w = gen(s). Es decir, se excluyen de la lista aquellos vectores de las columnas de A que no proporcionan pivotes (distintos a cero). 9 Supongamos que Y = : yes generado de una combinación lineal también -3 -2 3 1 4 11.0 enR*,C= 135 |, sabiendo esto se determina que 2-13 3 1 9 Xi xa | 3 )+ me = : diciendo esto pasamos a 1, 3, 3, aumentar nuestra matriz C con A 2.3119 | 11o0]2 4=l 13511 21313 > Desde aca comenzamos a escalornar la mar por Gauss Jordan -2. 3 1]9 1 pz 110]2 -2 3 1 9 213511 > Intercambio F, e F, - 3511 2-13] 6-3 -13 | -3 110]2 1 4 012 00.2. 4]6 00121]3 O O E 2-13 1]-3 2-13] -—3 Obteniendo por un Wolfram Alpha se tiene que: 312=-3>42=-1y A +2% 2(1, -1,0,2,1) — (2,1,-2,0,0) = (0, >4=2 ,2,4,2) 7; es generado por; Dz eso quiere decir que se puede eliminar de la lista. Ahora se pasa a verificar con 7; tomando los 2 primeros vectores y revisaremos si son combinación lineal del 4 vector. Vy = 410, + 420) > (3,3, 4,2, —1) = 4, (1,-1,0,2,1) + 42(2,1,-2,0,0) Hacemos las operaciones: 3=14 +22 A +A 01, — 222 22, + 012 Ay + 022 Expresando todo en forma matricial quedaría: 1.23 123 -111 3 036 O -2 -4| Eliminacion Gaussiana >|0 0 0 2.0 2 0.00 1.01 0.0 Teniendo que: 342=6>22=2> 4 +24=3>4=-1 -(1,-1,0,2,1) + 2(2,1, 0) = (3,33, -4,-2,-1) 7; es generado por 7;, Uz eso quiere decir que también se saca de la lista. Ahora se hace lo mismo con %z, tomando los 2 primeros vectores y revisaremos si son combinación lineal del 4 vector 04 = Ay0y + A2v2 > (2,4,1,0,1) = 41(1,—1,0,2,1) + 42(2,1, -2,0,0) 2=4+2% 4=-4 +2 1=04,— 242 22, +02, = 21 +02 Resolviendo en forma matricial: 122 2 0 1114 0 1 4 0 -2 1| Eliminación Gaussiana:|0 0 9 200 0 00 101 0 Como el sistema es indeterminado eso quiere decir que son linealmente, independientes, ósea que 7 NO es generado por 7;, Dz eso quiere decir que se deja en la lista. Por último, miramos 7, tomando Y; 7; y Y como combinación lineal de 7: UV¿= 2101 + 4212 + AgU5 > (5,7, -3,—2,0) = 4,(1,—1,0,2,1) + 42(2,1,—2,0,0) + 43(2,4,1,0,1) Se tiene lo siguiente 5=2, +22, +24; 7=-A1+22+423 3=01,-212+4 = 22, +02, + 04, 0=2/ +02, +23 Forma matricial: 1225 1225 -=-11147 03.6 12 0 -2 1 -3|,Eliminacion Gaussiana:| 0 0 5 5 | como vemos Az =1;4,= 24, = 200 -2 0000 1010 0000 -1> -1(1,-1,0,2,1) + 2(2,1, -2,0,0) + (2,4,1,0,1) = (5,7, —3,-2,0) Por lo tanto, el vector T¿ es generado por D;, D2, Vz eso quiere decir que se saca de la lista. Eso quiere decir que nuestro W: W = gen(S) = ((1,—1,0,2,1); (2,1, —2,0,0); (0, -3,2,4,2); (3,3, 4, 2, —1); (2,4,10,1)) + Ejercicio 3: Hallar una base para S, sub-espacio de RÍ, generado por: (,-3,0, (-2,6,-2), (2,1,-4), 1,10, -7)) Para hallar una base para R3 podemos utilizar el método de exclusión, ya que para generar una base se debe tener el mismo número de vectores que la dimensión del mismo. Quitando de izquierda a derecha y verificando con los vectores resultantes si son base para R*. 1) Se excluye v,, ya que es múltiplo de v, y no se cumpliría que sean L.., con ello revisamos si 1-31 1-3 1 | 21 -4 ) Eliminacion Gaussiana: b 7 ] -=1 10 -—7 00.0 Quedando así los vectores: S =((1, 3,1); (0,7, —6))son base para R? + Ejercicio 4: Use la técnica de excursión con el fin de hallar la base para $ = gen (x? — 1,x? + 1,3,2x — 1, x]. Del espacio vectorial P de los polinomios. Dado que ningun polinomio es de grado mayor a 2, expresamos los polinomios con su base canónica, es decir: Se ve claramente que C = (x?, x, 1) es una base. Entonces respecto a esta base se puede escribir: -1=(1:2)4+(0:0+(1+-1) >(10,-1) x24+1=(1*xx2)+(0:+x)+(1:1) > (1,0,1) 3=(0*x2)+(0+x)+ (1 +3) > (0,0,3) 2x-1=(0:12)4+(2:x)+ (1-1) > (0,2,1) x= (0:10) +(1:1+(0+D) > (0,10) $ = ((L0, —1),(1,0,1), (0,0,3), (0,2,1), (0,1,0)) Pasando todo a forma matricial tenemos: 11000 11000 11000 0.0.021|>FReF|1 1-3 -1 0(>F,4+F,j0 2 3 -1 0|> - 00021 0002 1 , Se excluye a 53 porque no se tiene un pivote, nos quedamos con o e o . mie Ú,, 0, y Ú, como la base del sistema. Verificamos si %z =(0,1,0) se puede expresar como (0,1,0) =r,(1,0, 1) + r2(1,0,1) + T,(0,2,1) para 1,, 77,7, escalares que conducen a: 1100 1100 1100 [> 0.2 1 amena 1-1 0)- 002 -1 , por ende, sabemos que 11-10 0021 001 n= A = a =1.. Si se remplaza en la ecuación: (0,1,0) =r,(1,0,—1) + r2(1,0,1) + 14(0,2,—1) > (0,10) =-7(10, 1) +5(1,0,0 +5(0,2,-1) 1 1 1 1 1 (0,1,0) = E .) + Eo) + (01, 3 = (0,1,0) = (0,1,0) Obteniendo la solución 7, =-* l gení(1,0, 1), (1,0,1), (0,2, 2, Lm=iyrm= se concluye que (0,10) esta en Dm Volviendo a la base polinómica: S=gení(?-1),(?4+1),(2x- 1) Ejercicio 5: La dimensión de R?es 2; de Res 3; y R" es n La base canónica (o base natural) de R”: en 1) Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo ñi) Son sistema generado de R” porque too vector (a,,0>,...,dn) € R”, se puede expresar como combinación lineal de: (01,42, La primera operación se llama ley de composición interna y se define como + Rx RR (Ca Ad 0) A ld + O Y) donde (%1,.0-,Xp) + Ob. Yn)= (4 + Ya, Lo + Yn)> + Ejercicio 6: La dimensión de P, es 3, Pz es 4; y Pes n+1 Sea P,[x] el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, en una variable x, con coeficientes reales. Es decir, un elemento p(x) € P,[x] es u polinomio de la forma PU) = dp + 041 + a? 4-4 041", CON Ap, ... PG) =p) +04 ++ +a,x",q(x) = bp + bx 4“ +b,yx" € P,[x] y su producto escalares como: PO +90 = (9 + bo) + (as + byJx + (a, + bx? ++ (0 + Dpdx” T-p(x) = ray +Ta,x + ra,x? +---+ra,x", tenemos un espacio vectorial. + Ejercicio 7: Muestre que la dimensión de gen(S) con S de R5;S = (D,,Dz, ..., 16) Ú, = (1,-1,0,2,1); 6, = (2,1,—2,0,0); 03 = (0, -3,2,4,2); 0, = (3,3, 4, —2, —1);0s = (4L0,1 = (5,7,-3,-2,0) es 2 1.2.0 3 5 111-334 07 0 E E dlE-3 2.0 4 -20 2 105-110 16 25 13035 0 1 -1 2.4 01 -1 2 e 1 3|=f+2f|0 0 0 0 = 0 a, reales. Si definimos la suma de polinomios Ejercicio 12: Desarrollar ((1,0,0), (1, —1,1)) para una base ortogonal para RY. v=u=|[110] e ma 5 =H-11- Ya es ortogonal, pasando a ortonormal: 110 = all = O =[¿v2 ¿v2 0] (A+D+(1+D+(0+1) RO v="w- [110] = [1-11] =1 1 we = 1] = =— 12412 =[ 3v3 3 3 3v3] Ejercicio 13: Transformar la base (1,2, 1), (2, 1,1), (1, 1,2)) de R* a una ortonormal por el proceso de Grahm-Schmidt v¡=u =[1 2 1] Hallando v n-.-Hr=(2 1 1]-RR M1 21] e-[211]-GQ(1 2 dd +8] Multipilcando por 6 [3 3 4]06=[7 e 1] Hallando va 1 RA - A s=[11 21-12 1-0 lá $ $) =[1 1 2Ip1 2 117 1)=[-4 4 $41 4 dá e=[-$ -—$ Ñ] Multipilcando por 11 [4 4 B]-0=[ 4 - 12] Ahora normalizamos los vectores E = n= =[4v6 Jv6 446] e 10 40 45] a -4 -4 12 a 1 1 o a = lA v1 -V1H vn] T=([445 446 340),[ 4/0 -¿4v0 ¿v00),[-4Vf -4V AVID Es una base Ortonormal para R*. w=- + Ejercicio: Sea W el sub-espacio de R* con base (W,,W2)con w, = (1,1,0,1),w, = (0,—1,1, 1) determínese una base para W-. Para determinar la base de W+* se halla solucion para el sistema Az = 0 con wi A= 12 a - —-% boo c+d ce=-4 d-aA (1) ((a—-2A, +A. A) 3 MAER) Como la Dim(W*) =n— Dim(W), Dim(W*) =4—2 =2, la base debe contener 2 vectores; como el sistema anterior era incompatible indeterminado lo cual implica que tiene infinitas soluciones que depende de los parametros 11,4. Se remplazan 2 valores arbitrarios en (1) para hallar dos vectores para la base de Wi mo 1 A= 1 wl = (-3,2,1,1) n- 2 A= 1 "2 = (-2,3,2,1) La base para Wi es ((-3,2,1,1),(-2,3,2,1)) + Ejercicio 14: Hallar un vector distinto de cero de R* ortogonal a 5, = (1,2,2,1),0, = (3,4,2,3),y 04 = (0,1,3,2) sugerencia: se debe hallar a S* complemento ortogonal de S = gen(5,,0z, 0) de R*,es % decir hay que hallar la solución al sistema AY =0 con A = 5, D is Su - an e 1 3 20 AAA =2+f0 -2 400 0.0 2 40 UBA =(01 200 00120 a+2b+20+d=0 b+2c=0 c+ 2d =0 Hay 4 incognitas y 3 ecuaciones y significa que depende de un parametro 4-3=1 d=A Despejamos e de la tercera cuación e=-2d e=-24 Despejamos b de la segunda ecuación hm —2e b=4% Despejamos a de la primera ecuación a=-2b-2%-d a=-81+41-A a —54 Finalmente obtenemos a=-—54 b=Ak c=-24 d=A Hallamos el vector con A = 1 a=-5 b=4 c=-2 d=1 S=([-5,4,-2,1) Comprobando ((-5,4, 2, 1)(1,2, 2, 1)) = 5+8-44+1=0 ((-5,4, 2, 1)(3,4,2,3)) = -15+ 16-4+3=0 ((-5,4, 2, 1)(0,1,3,2)) =4-6+2=0 Ejercicio 15: Sea W el sub-espacio de R3 de dimensión 2 con base ortonormal 2 12 1 1 z z [E.-4,9).(5.0,3)] dado 5 = (1,10) halle la distancia de ú a W proy(vw) = SL212 + wl + S222 + un <> a <w2.102> <(1,1.0), (25,0, 22)> 3)+ IAE e Et proy(tw)=(5, 3,5) +(3:0,3) proy(Uw) =(, 3), $) uU=W-ú=|7 — proy(vw)!| Y =[(1,1.0-(4,2 $1 ll 3) 33) el sin(ón) e cos(00) e e y Sin(6t ESTRENA 0 OS sede que ERE pa* yz POY gen(SC ma) = e Ta coo y SE neta o + JP coat) y ds ra Tan = OA ma Y T sin - E Let a), EIA na), EIC ARTIC] AO HE EIC RICO] EPA =a* Lia ma * m ES Pa * Si, EGtsetdt costs O * EAS Sox EG eetdt _ cos(6t) + Y pe y e (cos 24) (027 — 1)-Le* (e? — 1) ¿5 L (cos 31) (e? — 1) +17 (cos 4t) 2 se (sin 24) (20% — 2) +27 (sin 3t) (3e?7 — 3) — 17 (sin 44) (4e?” — 4) + A 5t) (5e?" — 5) = 5 (cost) (e%* — 1) + ¿5 (cos 6t) (e?* — 1) — zL7 (cos5t) (e7 — 1) iz (sin 6t) (6? — 6) Da, en 1 Tre et 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Xx + Ejercicio 19: Proy, cos(ht) gen(SC) = + sin(t) cos(t) sin(2t) cos(2t) sim(3t) cos(3t) sim(4t) cos(4t) sin(5t) cos(5t) sin(6t) cos(6f) ) NR IR IR E PTOYgen(SCmg)( = PTOYz€* + PTOY aaa €! + PrOY aca €! + PrOY unan €! + PTOY cosían) €! + PrOY aga) €! + PrOY cosí3a) €! + PrOY sins) €! + PTOY costar) € + PTOY wings) € + prOY co et + PrOY anses El + proY cos gu e ainda ¿cos (ha cos > asioda ÓN) fi os (Mt)> y lgen(SCmo) de cosft Sao cos (Mt)> simpar) , SEO ¿cos (Mt)> cos(2r A ta sin(31) , <E8A con (10)> _ cos(ar tn +, EDI al cos(ar <= cos (ht)> EDO + + 2> sim(at A + E 4 a a 58 <=U > T AS 7 EA co (0)> simtst) y <P COR (A0)> com(st + a <unn cos (ht)> y sin! oiga a, Ss cos (he) S2, Pecos (ht)dt sin, E ecos (Mat) PTOYgen(SCmo) 0! = py + Ez Da nto y Es TSz 7 a * cos(t + LE cele: sin Es $, 2 ecos (tjat costar), Sy E 2 ecos (ht) at Am at + TE A JE, AT, Hz a OR sind Ss Les SE, 22 scos (ht)dt y cos(3t sin(se) | Ss 2 «cos (ht)at E o G JE. E scos (nt) sine) — Lin Ep ecos (nt) costar So. 2 ecos (hit) JE BABES q En E AA e + dan an q * sin(6t SI, LA ecos (ht)dt +7 n= 2 fi coshtdt+2 (cost) Jj costcos htdt+2 (cos2t) [¿ cos 2£cos ht dt+2 (cos3t) Jj] cos 3tcos ht dt+ 2 (cos4t) Jj cos dt.cos ht dt+2 (cos 5t) [7 cos5t cos ht dt+2 (cos6t) [3 cos6tcos ht dt siH=2 2 fi cos2tdt+2 (cost) fz cos teos2t dt+2 (cos2t) [3 cos 2 cos 2tdt+2 (cos31) f] cos 3tcos 2 dt +2 ca cos dt cos2t dt+2 (cos5t) [3 cos 5t cos 2 dt+2 (cos6t) [ cos6t cos 2t dt = cos 2