Matrices, Apuntes de Matemáticas. Universidad de Cádiz (UCA)
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Matrices, Apuntes de Matemáticas. Universidad de Cádiz (UCA)

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Asignatura: matematicas, Profesor: Loreto del aguila, Carrera: Enología, Universidad: UCA
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1 Matrices, sistemas lineales y determinantes

1.1. Matrices. Deniciones

Denición 1.1.1 Una matriz A de orden m× n es un conjunto de mn elementos distribuidos en m las y n columnas.

A =

 a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n a31 a32 a33 ... a3n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn

 = (aij). El conjunto de todas las matrices de orden m × n cuyos elementos son números reales se representa porMm×n(IR).

Nombrar los elementos de la matriz A ∈M3×4(IR), A = (aij), denida por

A =

 7 6 −3 4.232 8 −8 5 −2 3

5

√ 7 2

 . Solución:

a11 = 7 a12 = 6 a13 = −3 a14 = 4.23 a21 = 2 a22 = 8 a23 = −8 a24 = 5 a31 = −2 a32 = 3/5 a33 =

√ 7 a34 = 2.

Ejemplo 1.

Una matriz A ∈ Mm×n(IR), A = (aij), queda totalmente determinada si se dene su elemento genérico aij .

Describir la matriz A ∈M3×4(IR), A = (aij), tal que aij = { −1, i 6= j, 0, i = j.

Solución:

A =

 0 −1 −1 −1−1 0 −1 −1 −1 −1 0 −1

 .

Ejemplo 2.

Describir la matriz A ∈M2×3(IR), A = (aij), tal que aij = i+ j. Solución:

A =

( 2 3 4 3 4 5

) .

Ejemplo 3.

Apuntes de Matemáticas I

1.2. Operaciones con matrices

1.2.1. Matriz traspuesta

Sea A ∈ Mm×n(IR), A = (aij). La matriz traspuesta de A es At ∈ Mn×m(IR), At = (aji).

Si

A =

 a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ...

... . . .

... am1 am2 . . . amn

 , entonces

At =

 a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2 ...

... . . .

... a1n a2n . . . amn

 .

Calcular la matriz traspuesta de A =

( 3 4 5 6 7 8

) .

Solución:

At =

 3 64 7 5 8

 .

Ejemplo 4.

1.2.2. Suma

Sean A, B ∈ Mm×n(IR), A = (aij), B = (bij). La matriz suma de A y B, es la matriz A+B ∈Mm×n(IR), A+B = (aij + bij),

A+B =

 a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n

... ...

. . . ...

am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

 .

Sean A =

( 2 3 1 4 0 5

) , B =

( 0 4 3 1 6 2

) . Calcular A+B.

Solución:

A+B =

( 2 7 4 5 6 7

) .

Ejemplo 5.

Grado en Enología. UCA 2

Apuntes de Matemáticas I

1.2.3. Producto de una matriz por un número

Sean A ∈Mm×n(IR), A = (aij) y α ∈ IR.

La matriz producto de α por A, es la matriz αA ∈Mm×n(IR), αA = (αaij),

αA =

 αa11 αa12 . . . αa1n αa21 αa22 . . . αa2n ...

... . . .

... αam1 αam2 . . . αamn

 .

Dadas A =

 1 −1 2 5 1 0 0 −1

 , B = 

7 3 0 4 0 0 −2 1

 . Calcular 2A+ 3B. Solución:

2A+ 3B = 2

 1 −1 2 5 1 0 0 −1

+ 3 

7 3 0 4 0 0 −2 1

 = 

23 7 4 22 2 0 −6 1

 .

Ejemplo 6.

1.2.4. Producto de matrices

Sean A ∈Mm×p(IR) y B ∈Mp×n(IR), A = (aij), B = (bij).

La matriz producto de A por B es AB ∈Mm×n(IR), AB = (cij), donde

cij = ( ai1 . . . aip

) b1j... bpj

 = ai1b1j + · · ·+ aipbpj = p∑ k=1

aikbkj .

AB =



a11 . . . a1p ...

... ai1 . . . aip ...

... am1 . . . amp

  b11 . . . b1j . . . b1n... ... ...

bp1 . . . bpj . . . bpn

 =

=



c11 . . . c1j . . . c1n ...

... ...

ci1 . . . cij . . . cin ...

... ...

cm1 . . . cmj . . . cmn

 . .

Observación 1.2.1 Para poder efectuar el producto AB es necesario que el número de columnas de la matriz A coincida con el número de las de la matriz B.

Grado en Enología. UCA 3

Apuntes de Matemáticas I

Calcular

( 3 2 5 1 7 0

) 4 96 1 2 8

 . Solución:(

3 2 5 1 7 0

) 4 96 1 2 8

 = ( 12 + 12 + 10 27 + 2 + 40 4 + 42 + 0 9 + 7 + 0

) =

( 34 69 46 16

) .

Ejemplo 7.

Sean A =

 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43

 ∈ M4×3(IR), B =  b11 b12b21 b22

b31 b32

 ∈ M3×2(IR). Calcular AB. Solución:

AB =



a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32

a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32

a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12 + a32b22 + a33b32

a41b11 + a42b21 + a43b31 a41b12 + a42b22 + a43b32

 ∈M4×2(IR).

Ejemplo 8.

1.3. Tipos de matrices

Denición 1.3.1 Una matriz A ∈M1×n(IR) se llama matriz la.

Denición 1.3.2 Una matriz A ∈Mm×1(IR) se llama matriz columna.

Denición 1.3.3 Una matriz θ ∈ Mm×n(IR) se llama matriz nula si todos sus elementos son ceros.

La matriz A ∈M1×3(IR), A =

( 1 2 3

) ,

es una matriz la.

La matriz B ∈M3×1(IR),

B =

 12 3

 , es una matriz columna.

La matriz θ ∈M2×3(IR),

θ =

( 0 0 0 0 0 0

) ,

es la matriz nula.

Ejemplo 9.

Grado en Enología. UCA 4

Apuntes de Matemáticas I

1.3.1. Matrices cuadradas

Denición 1.3.4 Una matriz se dice que es cuadrada si tiene el mismo número de las que de columnas.

El conjunto de las matrices cuadradas de orden n se representa porMn(IR).

Denición 1.3.5 Una matriz A ∈Mn(IR) se dice que es simétrica si A = At.

La matriz A =

 3 6 06 1 4 0 4 8

 , es simétrica. Ejemplo 10.

Denición 1.3.6 Se llama matriz identidad de orden n a la matriz In ∈Mn(IR), In = (aij), tal que

aij =

{ 0, i 6= j 1, i = j.

In =

 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ...

... . . .

... 0 0 . . . 1

 .

Calcular las matrices identidad de orden 2 y 3.

Solución:

I2 =

( 1 0 0 1

) , I3 =

 1 0 00 1 0 0 0 1

 .

Ejemplo 11.

Denición 1.3.7 Una matriz A ∈ Mn(IR), A = (aij), se dice que es triangular superior si aij = 0 para i > j.

A =

 a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n ...

... . . .

... 0 0 . . . ann

 .

Las siguientes matrices son triangulares superiores:

A =

 1 0 10 −1 5 0 0 3

 , B =  9 0 80 4 0

0 0 1

 .

Ejemplo 12.

Grado en Enología. UCA 5

Apuntes de Matemáticas I

Denición 1.3.8 Una matriz A ∈ Mn(IR), A = (aij), se dice que es triangular inferior si aij = 0 para i < j.

A =

 a11 0 . . . 0 a21 a22 . . . 0 ...

... . . .

... an1 an2 . . . ann

 .

Las siguientes matrices son triangulares inferiores:

A =

 1 0 0 0 7 −1 0 0 1 0 3 0 5 6 −7 −8

 , B =  9 0 01 7 0

8 −6 −1

 .

Ejemplo 13.

Denición 1.3.9 Una matriz A ∈ Mn(IR), A = (aij), se dice que es diagonal si aij = 0 si i 6= j.

A =

 a11 0 . . . 0 0 a22 . . . 0 ...

... . . .

... 0 0 . . . ann

 . A la diagonal formada por a11, a22, . . . , ann se le llama diagonal principal de la matriz.

Son matrices diagonales:

A =

 1 0 00 −1 0 0 0 2

 , B =  0 0 00 −1 0

0 0 0

 .

Ejemplo 14.

1.4. Propiedades de las matrices

1.4.1. Propiedades de la suma de matrices

1. A+ (B + C) = (A+B) + C, ∀A,B,C ∈Mm×n(IR).

2. A+B = B +A, ∀A,B ∈Mm×n(IR).

3. Existe θ ∈Mm×n(IR)/A+ θ = θ +A = A, ∀A ∈Mm×n(IR).

4. ∀A ∈Mm×n(IR), existe −A ∈Mm×n(IR), tal que

A+ (−A) = (−A) +A = θ.

Grado en Enología. UCA 6

Apuntes de Matemáticas I

1.4.2. Propiedades de un escalar por una matriz

1. (α+ β)A = αA+ βA, para todo α, β ∈ IR, A ∈Mm×n(IR).

2. α(A+B) = αA+ αB, para todo α ∈ IR, A,B ∈Mm×n(IR).

3. (αβ)A = α(βA), para todo α, β ∈ IR, A ∈Mm×n(IR).

4. 1A = A, A ∈Mm×n(IR).

1.4.3. Propiedades del producto de matrices

Siempre que se puedan efectuar las operaciones se verica:

1. A(BC) = (AB)C.

2. A(B + C) = AB +AC.

3. (A+B)C = AC +BC.

4. α(AB) = (αA)B.

5. Sea A ∈Mm×n(IR), entonces ImA = AIn = A.

6. En general AB 6= BA. Es decir, el producto de matrices no es conmutativo.

Sean A =

( 3 2 1 4 0 2

) y B =

 2 −10 3 1 −3

. Calcular AB y BA. Solución:

AB =

( 7 0

10 −10

) , BA =

 2 4 012 0 6 −9 2 −5

 . Entonces AB 6= BA.

Ejemplo 15.

Sean A =

( 1 2 3 4

) y B =

( 1 5

) . Calcular, si es posible AB y BA.

Solución:

AB =

( 11 23

) . No es posible efectuar BA.

Ejemplo 16.

Denición 1.4.1 Sean A,B ∈ Mn(IR), tal que se verica AB = BA. Se dice que A y B son marices conmutables.

Comprobar que las matrices A =

( 1 0 1 1

) y B =

( 1 0 −1 1

) son comnutables.

Solución:

AB = BA =

( 1 0 0 1

) .

Ejemplo 17.

Grado en Enología. UCA 7

Apuntes de Matemáticas I

1.5. Matrices escalonadas y escalonadas reducidas por las

Denición 1.5.1 Una matriz A ∈ Mm×n(IR) se dice que es escalonada por las si:

1. Todas las las no nulas están por encima de las nulas.

2. El pivote de cada la no nula, es decir, el primer elemento distinto de cero de la la que se encuentra empezando a contar por la izquierda, está siempre a la derecha del pivote de la la no nula anterior.

Son matrices escalonadas: −1 2 0 3 5 2 0 0 5 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

 , 

1 1 0 2 0 0 0 3 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

 .

Ejemplo 18.

Denición 1.5.2 Una matriz A ∈ Mm×n(IR) se dice que es escalonada reducida por las si es escalonada y además:

1. El pivote de cada la no nula es 1.

2. El resto de los elementos que están en la misma columna de un pivote son todos cero.

Son matrices escalonadas reducidas: 1 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0

 , 

1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

 .

Ejemplo 19.

1.6. Operaciones elementales de la. Matrices equivalentes

Denición 1.6.1 Sea A ∈ Mn×m(IR). Se llaman operaciones elementales de la sobre A a las siguientes:

1. Intercambio de la la i por la la j.

Se representa por Fij .

2. Multiplicación de la la i por un número α ∈ IR α 6= 0.

Se representa por Fαi .

3. Sustitución de la la i por la suma de dicha la y la la j multiplicada por un número α.

Se representa por Fαij .

Denición 1.6.2 Sea A ∈ Mn×m(IR). La matriz que resulta de aplicar una op- eración elemental a A se llama matriz transformada de A mediante esa operación.

Grado en Enología. UCA 8

Apuntes de Matemáticas I

Sea A =

( 3 −2 0 −1 1 1

) . Calcular la matriz transformada de A mediante la

realización de las operciones F−12 , F12, F −3 21 .

Solución:

( 3 −2 0 −1 1 1

) F−12→

( 3 −2 0 1 −1 −1

) F12→ (

1 −1 −1 3 −2 0

) F−321→

( 1 −1 1 0 1 3

) .

Ejemplo 20.

Denición 1.6.3 Dos matrices A, B ∈ Mm×n(IR) se dice que son equivalentes por las y se representa por A ∼ B, si puede obtenerse una de la otra mediante una sucesión de operaciones elementales de la.

Demostrar que las matrices A =

( −1 2 1 0

) , B =

( 1 0 0 2

) son equiva-

lentes por las. Solución:

A =

( −1 2 1 0

) F12→ (

1 0 −1 2

) F 121→ (

1 0 0 2

) = B.

Ejemplo 21.

1.6.1. Obtención de matrices equivalentes escalonadas a una dada

Para obtener una matriz escalonada equivalente por las a otra se calculan ma- trices equivalentes que tengan nulos los elementos situados debajo de los pivotes, empezando por el de la primera la. A este proceso también se le denomina hacer ceros.

Sea A =

 1 2 1 0 0 1 1 −1 1 2 −1 −2 1 1 0 1

 . Calcular una matriz equivalente a A escalonada. Solución:

Se hacen ceros los elementos que están situados debajo del pivote de la primera

la:  1 2 1 0 0 1 1 −1 1 2 −1 −2 1 1 0 1

 F−131 , F−141−→ 

1 2 1 0 0 1 1 −1 0 0 −2 −2 0 −1 −1 1

 . Se continua haciendo ceros debajo de los demás pivotes:

1 2 1 0

0 1 1 −1 0 0 −2 −2 0 −1 −1 1

 F142→ 

1 2 1 0 0 1 1 −1 0 0 −2 −2 0 0 0 0

 .

Ejemplo 22.

Grado en Enología. UCA 9

Apuntes de Matemáticas I

1.6.2. Obtención de la matriz escalonada reducida por las de una dada

Denición 1.6.4 Dada A ∈ Mm×n(IR), se llama forma normal de Hermite de A a la única matriz escalonada reducida por las que se obtiene de A mediante operaciones elementales de la.

Para obtener la matriz de Hermite de una matriz se calcula en primer lugar una equivalente escalonada a la dada.

El proceso continúa haciendo ceros los elementos que están situados en la misma columna que los pivotes, convirtiendo éstos en unidades. Empezando por el último pivote.

Encontrar la forma de Hermite de la matriz

 1 2 1 0 0 1 1 −1 1 2 −1 −2 1 1 0 1

 . Solución:

En primer lugar se calcula una matriz escalonada equivalente. 1 2 1 0 0 1 1 −1 1 2 −1 −2 1 1 0 1

 F−131 , F−141−→ 

1 2 1 0 0 1 1 −1 0 0 −2 −2 0 −1 −1 1

 F142→ 

1 2 1 0 0 1 1 −1 0 0 −2 −2 0 0 0 0

 . Se continúa el proceso haciendo ceros por encima de los pivotes. Comenzando por

el último.

F −1/2 3−→

 1 2 1 0 0 1 1 −1 0 0 1 1 0 0 0 0

 F−123 , F−113−→ 

1 2 0 −1 0 1 0 −2 0 0 1 1 0 0 0 0

 F−212→ 

1 0 0 3 0 1 0 −2 0 0 1 1 0 0 0 0

 .

Ejemplo 23.

Calcular la forma de Hermite de la matriz

 1 1 −1 01 2 1 1 −1 −3 −3 −2

 . Solución: 1 1 −1 01 2 1 1

−1 −3 −3 −2

 F−121 , F131−→  1 1 −1 00 1 2 1

0 −2 −4 −2

 F232→  1 1 −1 00 1 2 1

0 0 0 0

 F−112→  1 0 −3 −10 1 2 1

0 0 0 0

 .

Ejemplo 24.

Grado en Enología. UCA 10

Apuntes de Matemáticas I

Calcular la forma de Hermite de la matriz 0 3 −6 6 4 −53 −7 8 −5 8 9 3 −9 12 −9 6 15

 . Solución:

Se observa que el primer elemento de la primera la es cero, por lo que no puede

ser pivote de esa la. La primera operación que habrá que hacer es intercambiar

la primera la por otra que tenga el primer elemento no nulo.

 0 3 −6 6 4 −53 −7 8 −5 8 9 3 −9 12 −9 6 15

 F13→  3 −9 12 −9 6 153 −7 8 −5 8 9

0 3 −6 6 4 −5

 F−121→  3 −9 12 −9 6 150 2 −4 4 2 −6

0 3 −6 6 4 −5

 F−3/232→  3 −9 12 −9 6 150 2 −4 4 2 −6

0 0 0 0 1 4

 F−223 , F−613→  3 −9 12 −9 0 −90 2 −4 4 0 −14

0 0 0 0 1 4

 F1/22→  3 −9 12 −9 0 −90 1 −2 2 0 −7

0 0 0 0 1 4

 F912→  3 0 −6 9 0 −720 1 −2 2 0 −7

0 0 0 0 1 4

 F1/31→  1 0 −2 3 0 −240 1 −2 2 0 −7

0 0 0 0 1 4

 .

Ejemplo 25.

Teorema 1.6.1 Dos matrices son equivalentes si tienen la misma forma de Her- mite.

Demostrar que son equivalentes las siguientes matrices:

A =

( −1 1 0 3 1 0 1 −3

) y B =

( 0 1 1 0 1 −1 0 3

) .

Solución:

A y B tienen ambas la forma de Hermite

( 1 0 1 3 0 1 1 0

) .

Ejemplo 26.

1.7. Sistemas lineales. Deniciones

Denición 1.7.1 Se llama ecuación lineal de primer grado a una expresión de la forma:

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b

donde a1, a2, · · · , an y b ∈ IR, son los coecientes y término independiente, respec- tivamente, x1, x2, · · · , xn son las incógnitas.

Si b = 0, la ecuación lineal se llama ecuación lineal homogénea:

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = 0.

Grado en Enología. UCA 11

Apuntes de Matemáticas I

Denición 1.7.2 Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de m ecua- ciones lineales con n incógnitas

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

... ...

... ...

... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

donde aij ∈ IR, i = 1, 2, · · · ,m, j = 1, 2, · · · , n, bi ∈ IR, i = 1, 2, . . . ,m .

El sistema es homogéneo si bi = 0, i = 1, . . .m.

1.7.1. Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Denición 1.7.3 La forma matricial del sistema dem ecuaciones con n incógnitas:

 a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

... ...

... ...

... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

es AX = B:

 a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn

 

x1 x2 ... xn

 = 

b1 b2 ... bm

 .

Donde A =

 a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn

 es la matriz de los coecientes, X = 

x1 x2 ... xn



es la matriz de las incógnitas y B =

 b1 b2 ... bm

 es la matriz de los términos indepen- dientes.

Escribir en forma matricial el sistema de ecuaciones: 2 x1 + x2 + x3 = 7 4 x1 + 2 x2 = 8 −3 x1 − x2 + x3 = −2.

Solución:  2 1 14 2 0 −3 −1 1

 x1x2 x3

 =  78 −2

 .

Ejemplo 27.

Grado en Enología. UCA 12

Apuntes de Matemáticas I

1.8. Solución de un sistema lineal. Sistemas equivalentes

Denición 1.8.1 Se llama solución de una ecuación lineal a todo conjunto de números reales {r1, r2, · · · , rn} que satisface la ecuación lineal, es decir,

a1r1 + a2r2 + · · ·+ anrn = b.

Denición 1.8.2 Se llama solución de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de n números reales (r1, r2, · · · , rn) que satisfacen todas las ecuaciones del sistema, es decir,

a11r1 + a12r2 + · · · + a1nrn = b1 a21r1 + a22r2 + · · · + a2nrn = b2 ...

... ...

... ...

am1r1 + am2r2 + · · · + amnrn = bm

Demostrar que x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 es solución del sistema: 2 x1 + x2 + x3 = 7 4 x1 + 2 x2 = 8 −3 x1 − x2 + x3 = −2.

Solución:

x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, es solución del sistema, pues 2 + 2 + 3 = 7 4 + 2· 2 = 8 −3 − 2 + 3 = −2.

Ejemplo 28.

Denición 1.8.3 Se dice que dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Propiedad: Un sistema es equivalente a cualquiera de los sistemas que resultan de realizar una o varias de las siguientes manipulaciones:

1. Intercambiar el orden de las ecuaciones.

2. Multiplicar una ecuación por cualquier número distinto de cero.

3. Sumar a una ecuación otra cualquiera de las que forman el sistema.

Demostrar que son equivalentes los sistemas:

1.

 x + y + 2z = 0

y = 1 2x + y + 4z = −1,

2.

{ x + y + 2z = 0

y = 1.

Solución:

Considerando el sistema 1, si a la tercera ecuación se le suma la primera multi-

plicada por -2 y resulta ser la segunda ecuación cambiada de signo.

Ejemplo 29.

Grado en Enología. UCA 13

Apuntes de Matemáticas I

Denición 1.8.4 Sea el sistema lineal AX = B,

A =

 a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn

 , X = 

x1 x2 . . . xn

 , B = 

b1 b2 . . . bm

 . La matriz ampliada del sistema es la matriz

(A|B) =

 a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn bm

 . Observación 1.8.1 Dos sistemas son equivalentes si y solo si tienen matrices am- pliadas equivalentes.

Demostrar que el sistema de ecuaciones x + y + 2z = 0

y = 1 2x + y + 4z = −1

es equivalente al sistema{ x + y + 2z = 0

y = 1.

Solución:

Las matrices ampliadas son equivalentes: 1 1 2 00 1 0 1 2 1 4 −1

 F−231→  1 1 2 00 1 0 1

0 −1 0 −1

 F132→  1 1 2 00 1 0 1

0 0 0 0

 .

Ejemplo 30.

Observación 1.8.2 Dos sistemas son equivalentes si las matrices ampliadas tienen la misma forma de Hermite.

Demostrar que el sistema de ecuaciones x + y + 2z = 0

y = 1 2x + y + 4z = −1

es equivalente al sistema{ x + y + 2z = 0

y = 1

Solución:

Las respectivas matrices ampliadas tienen la misma forma de Hermite: 1 0 2 −10 1 0 1 0 0 0 0

 .

Ejemplo 31.

Grado en Enología. UCA 14

Apuntes de Matemáticas I

1.9. Clasicación de los sistemas de ecuaciones

Denición 1.9.1 El rango de una matriz A ∈Mm×n(IR) es el número de las no nulas que tiene cualquier matriz equivalente a A escalonada.

Observación 1.9.1 Todas las matrices equivalentes por las tienen el mismo ran- go.

Calcular el rango de la matriz A =

 2 1 3 1 0 1 0 1 −4 −1 0 −1

. Solución:

 2 1 3 1 0 1 0 1 −4 −1 0 −1

 ∼ 

1 0 1 2 1 3 0 1 −4 −1 0 −1

 ∼ 

1 0 1 0 1 1 0 1 −4 0 0 0

 ∼ 

1 0 1 0 1 1 0 0 −5 0 0 0

 . El rg(A) = 3.

Ejemplo 32.

Teorema 1.9.1 Sea un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas, con matriz de coecientes A y matriz ampliada (A|B). Se verica:

1. El sistema es compatible, es decir, tiene solución si

rg(A) = rg(A|B).

2. El sistema es compatible determinado, es decir, tiene una única solución si

rg(A) = rg(A|B) = n.

3. El sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene innitas soluciones si

rg(A) = rg(A|B) < n.

4. El sistema es incompatible, es decir, no tiene solución si

rg(A) 6= rg(A|B).

Discutir la naturaleza del siguiente sistema: x + 3z − v = 2

y + 5z = 7 u + 2v = −1.

Solución:

La matriz ampliada del sistema es:

(A|B) =

 1 0 3 0 −1 20 1 5 0 0 7 0 0 0 1 2 −1

 . La matriz ampliada es escalonada, entonces rg(A) = rg(A|B) = 3 < 5 = número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Tiene innitas soluciones.

Ejemplo 33.

Grado en Enología. UCA 15

Apuntes de Matemáticas I

Discutir la naturaleza del sistema: x + 4y + z + u = 1

y + 2z − u = 4 z − 4u = 9

u = −2. Solución:

La matriz ampliada del sistema es:

(A|B) =

 1 4 1 1 1 0 1 2 −1 4 0 0 1 −4 9 0 0 0 1 −2

 . La matriz ampliada es escalonada, entonces rg(A) = rg(A|B) = 4 = número de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Tiene una única solución.

Ejemplo 34.

Discutir la naturaleza del sistema cuya matriz ampliada es:

(A|B) =

 1 0 3 0 −1 2 0 1 5 0 0 7 0 0 0 1 2 −1 0 0 0 0 0 4

 . Solución:

La matriz ampliada es escalonada, entonces rg(A) = 3 6= rg(A|B) = 4. El sistema es incompatible. No tiene solución.

Ejemplo 35.

1.10. Procedimiento de eliminación de Gauss para el estudio de sistemas de

ecuaciones lineales

El proceso consiste en estudiar el sistema equivalente cuya matriz ampliada es una matriz escalonada.

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el procedimiento de elimi-

nación de Gauss:  2x + y + z = 7 4x + 2y = 8 −3x − y + z = −2.

Solución:

Partiendo de la matriz ampliada y efectuando las operaciones elementales nece-

sarias se obtiene una matriz escalonada equivalente:

 2 1 1 74 2 0 8 −3 −1 1 −2

 −→  2 1 1 70 1 5 7

0 0 −2 −6

 −→  2 1 1 70 1 5 17

0 0 1 3

 . El sistema es compatible determinado, pues rg(A) = rg(A|B) = 3.

Ejemplo 36.

Grado en Enología. UCA 16

Apuntes de Matemáticas I

Para calcular la solución, si existe, se utiliza el método de subida.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2x + y + z = 7 4x + 2y = 8 −3x − y + z = −2.

Solución:

El sistema es compatible determinado y es equivalente al sistema que tiene como

matriz ampliada

 2 1 1 70 1 5 17 0 0 1 3

, es decir, es equivalente al sistema: 

2x + y + z = 7 y + 5z = 17

z = 3.

Para encontrar las soluciones se parte de la tercera ecuación z = 3 y se va susti- tuyendo en las siguientes:{

y + 5z = 17 z = 3

} → y = 2.

 y + 5z = 17

y = 2 z = 3

→ x = 1. La solución es x = 1, y = 2, z = 3.

Ejemplo 37.

1.11. Procedimiento de Gauss-Jordan para el estudio y resolución de sistemas

El proceso de eliminación de Gauss-Jordan consiste en estudiar el sistema equiva- lente cuya matriz ampliada es la matriz de Hermite de la ampliada del sistema.

Discutir y resolver si es posible, por el método de Gauss-Jordan, el siguiente

sistema:  2x + y + z = 7 4x + 2y = 8 −3x − y + z = −2.

Solución:

Se calcula una matriz escalonada equivalente a la ampliada: 2 1 1 74 2 0 8 −3 −1 1 −2

 ∼  2 1 1 70 1 5 17

0 0 1 3

 . El sistema es compatible determinado, pues rg(A) = rg(A|B) = 3. Se calcula la matriz de Hermite: 2 1 1 74 2 0 8

−3 −1 1 −2

 ∼  2 1 1 70 1 5 17

0 0 1 3

 ∼  1 0 0 10 1 0 2

0 0 1 3

 . La solución es: x = 1, y = 2, z = 3.

Ejemplo 38.

Grado en Enología. UCA 17

Apuntes de Matemáticas I

Discutir y resolver, si es posible, por el método de Gauss-Jordan, el siguiente

sistema:  x + y + 2z + 3t = −1 −x − 2y − 3z − 4t = 0 2x + 3y + 5z + 7t = 1.

Solución:

Partiendo de la matriz ampliada y efectuando las operaciones elementales nece-

sarias se obtiene una matriz escalonada: 1 1 2 3 −1−1 −2 −3 −4 0 2 3 5 7 1

 ∼  1 1 2 3 −10 −1 −1 −1 −1

0 0 0 0 2

 . Como rg(A) = 2 y rg(A|B) = 3, el sistema es incompatible, no tiene solución.

Ejemplo 39.

Discutir y resolver por el método de Gauss-Jordan, el siguiente sistema: x + y + 2z = 0

y = 1 2x + y + 4z = −1.

Solución:

Partiendo de la matriz ampliada y efectuando las operaciones elementales nece-

sarias se obtiene una matriz escalonada equivalente: 1 1 2 00 1 0 1 2 1 4 −1

 ∼  1 1 2 00 1 0 1

0 0 0 0

 . Como rg(A) = rg(A|B) = 2 < 3 = número de incógnitas. El sistema es compati- ble indeterminado.

Para obtener las innitas soluciones se calcula la matriz de Hermite. 1 1 2 00 1 0 1 2 1 4 −1

 ∼  1 1 2 00 1 0 1

0 0 0 0

 ∼  1 0 2 −10 1 0 1

0 0 0 0

 . El sistema dado es equivalente al sistema{

x+ 2z = −1 y = 1.

Las variables cuyos coecientes son los pivotes de la matriz de Hermite se llaman

variables principales y el resto variables secundarias o parámetros.

En este caso las variables principales son x e y y z es la secundaria o parámetro. Sea z = α, entonces las innitas soluciones son:

x = −1− 2α y = 1 z = α.

Donde α ∈ IR.

Ejemplo 40.

Grado en Enología. UCA 18

Apuntes de Matemáticas I

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 3y − 6z + 6u + 4v = −5

3x − 7y + 8z − 5u + 8v = 9 3x − 9y + 12z − 9u + 6v = 15.

Solución:

Se aplica el método de Gauss para discutir el sistema: 0 3 −6 6 4 −53 −7 8 −5 8 9 3 −9 12 −9 6 15

 ∼  3 −9 12 −9 6 150 2 −4 4 2 −6

0 0 0 0 1 4.

 . Se obtiene rg(A) = rg(A|B) = 3 < 5 = número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Se sigue hasta obtener la matriz de Hermite. 3 −9 12 −9 6 150 2 −4 4 2 −6

0 0 0 0 1 4

 ∼  1 0 −2 3 0 −240 1 −2 2 0 −7

0 0 0 0 1 4

 . Por tanto el sistema es equivalente a:

x − 2z + 3u = −24 y − 2z + 2u = −7

v = 4

Las variables cuyos coecientes son los pivotes, x, y, v, son las variables prin- cipales, y el resto z, u, son las variables secundarias o parámetros. Si z = α y u = β, entonces las innitas soluciones del sistema son:

x = −24 + 2α − 3β y = −7 + 2α − 2β z = α u = β v = 4

α, β ∈ IR.

Ejemplo 41.

1.12. Sistemas homogéneos

Denición 1.12.1 Un sistema de m ecuaciones y n incógnitas homogéneo es:

 a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0

... ...

... ...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0

donde aij ∈ IR, i = 1, 2, · · · ,m, j = 1, 2, · · · , n.

Observación 1.12.1 En los sistemas homogéneos:

1. Siempre es compatible, pues rg(A) = rg(A|B).

2. La solución trivial, es decir, xi = 0, i = 1, . . . , n, es solución.

3. Si rg(A) = n, el sistema es compatible determinado, la única solución es la trivial.

4. Si rg(A) < n, el sistema es compatible indeterminado.

Grado en Enología. UCA 19

Apuntes de Matemáticas I

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones x + 2y + z = 0

2x − y + z = 0 x − 2y + 2z = 0

3x + 2y − z = 0.

Solución:

La matriz de coecientes: 1 2 1 2 −1 1 1 −2 2 3 2 −1

 ∼ 

1 2 1 0 5 1 0 0 1 0 0 0

 . Se verica rg(A) = 3 =no de incógnitas. La única solución es la trivial:

x = y = z = 0.

Ejemplo 42.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones x + 2y + 3z + 4t = 0

2x + 3y + 4z + 5t = 0 3x + 4y + 5z + 6t = 0 4x + 5y + 6z + 7t = 0.

La matriz de los coecientes:

A =

 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7

 ∼ 

1 0 −1 −2 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0

 . El rg(A) = 2 < 4 = número de incógnitas. El sistema es compatible indetermi- nado, tiene innitas soluciones.

Es equivalente al sistema{ x −z − 2t = 0

y + 2z + 3t = 0.

En este caso x e y son las variables principales y z y t los parámetros. Si z = α y t = β, las innitas soluciones son:

x = α+ 2β y = −2α− 3β z = α t = β

α, β ∈ IR.

Ejemplo 43.

Grado en Enología. UCA 20

Apuntes de Matemáticas I

1.13. Determinantes. Deniciones

Denición 1.13.1 A una matriz A ∈ Mn(IR), se le asocia un número llamado determinante de A y se denota |A|.

Si A = (a), entonces |A| = a, a ∈ IR.

Si A =

( a11 a12 a21 a22

) , entonces

|A| = ∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12. Si A =

 a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

, entonces, |A| =

∣∣∣∣∣∣ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a31a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.

Calcular los determinantes de las siguientes matrices:

(−5), ( −1 2 3 1

) ,

( 4− √ 3 2 +

√ 5

3 + √ 2 3−

√ 2

) ,

 1 −3 −42 2 −1 3 5 −1

 . Solución:

| − 5| = −5.∣∣∣∣ −1 23 1 ∣∣∣∣ = (−1) · 1− 2 · 3 = −7.

∣∣∣∣ 4−√3 2 +√53 +√2 3−√2 ∣∣∣∣ = 6− 6√2− 3√3 +√3√2− 3√5−√5√2.

∣∣∣∣∣∣ 1 −3 −4 2 2 −1 3 5 −1

∣∣∣∣∣∣ = 1 · 2 · (−1) + (−3) · (−1) · 3 + 2 · 5 · (−4)− −(−4) · 2 · 3− (−3) · 2 · (−1)− (−1) · 5 · 1 =

= −10.

Ejemplo 44.

1.14. Cálculo del determinante de una matriz desarrollando por cualquiera de sus

las o columnas

Denición 1.14.1 Sea A ∈ Mn(IR). El menor complementario del elemento aij es el determinante de la submatriz que resulta de suprimir en A la la i y la columna j. Se representa por αij.

Grado en Enología. UCA 21

Apuntes de Matemáticas I

Calcular los menores complementarios de todos los elemntos de la matriz

A =

( −1 3 −2 1

) .

Solución:

α11 = 1 α12 = −2 α21 = 3 α22 = −1.

Ejemplo 45.

Calcular los menores complementarios de todos los elemntos de la matriz

A =

 1 3 02 3 1 2 2 1

 . Solución:

α11 =

∣∣∣∣ 3 12 1 ∣∣∣∣ = 1 α12 = ∣∣∣∣ 2 12 1

∣∣∣∣ = 0 α13 = ∣∣∣∣ 2 32 2 ∣∣∣∣ = −2

α21 =

∣∣∣∣ 3 02 1 ∣∣∣∣ = 3 α22 = ∣∣∣∣ 1 02 1

∣∣∣∣ = 1, α23 = ∣∣∣∣ 1 32 2 ∣∣∣∣ = −4

α31 =

∣∣∣∣ 3 03 1 ∣∣∣∣ = 3 α32 = ∣∣∣∣ 1 02 1

∣∣∣∣ = 1 α32 = ∣∣∣∣ 1 32 3 ∣∣∣∣ = −3.

Ejemplo 46.

Denición 1.14.2 El adjunto del elemento aij es Aij:

Aij = (−1)i+j · αij .

Calcular los adjuntos de todos los elemntos de la matriz A =

( −1 3 −2 1

) .

Solución:

A11 = (−1)1+1α11 = +α11 = 1 A12 = (−1)1+2α12 = −α12 = 2 A21 = (−1)2+1α21 = −α21 = −3 A22 = (−1)2+2α22 = +α22 = −1.

Ejemplo 47.

Calcular los adjuntos de todos los elementos de la matriz A =

 1 3 02 3 1 2 2 1

. Solución:

A11 = +α11 = 1 A12 = −α12 = 0 A13 = +α13 = −2 A21 = −α21 = −3 A22 = +α22 = 1 A23 = −α23 = 4 A31 = +α31 = 3 A32 = −α32 = −1 A33 = +α33 = −3.

Ejemplo 48.

Grado en Enología. UCA 22

Apuntes de Matemáticas I

Teorema 1.14.1 Cálculo del determinante de una matriz. El determinante de una matriz A ∈Mn(IR) es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera por sus correspondientes adjuntos.

Si se considera la la i:

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ...+ ainAin = n∑ k=1

aikAik, i = 1, 2, ..., n.

Observación 1.14.1 El desarrollo de un determinante por los elementos de una línea reduce el cálculo de un determinante de orden n al cálculo de determinantes de orden n− 1.

Calcular el determinante

∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 3 −2 7 1 −1 0 3 2 5 0 −2 −3 6 −3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ desarrollándolo por los elemen- tos de la primera la.

Solución:∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 3 −2 7 1 −1 0 3 2 5 0 −2 −3 6 −3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = +4 ∣∣∣∣∣∣ −1 0 3 5 0 −2 6 −3 1

∣∣∣∣∣∣− 3 ∣∣∣∣∣∣

1 0 3 2 0 −2 −3 −3 1

∣∣∣∣∣∣+ +(−2)

∣∣∣∣∣∣ 1 −1 3 2 5 −2 −3 6 1

∣∣∣∣∣∣− 7 ∣∣∣∣∣∣

1 −1 0 2 5 0 −3 6 −3

∣∣∣∣∣∣ = = 4 (−39)− 3 (−24) + (−2) (94)− 7 (−21) = −125.

Ejemplo 49.

Observación 1.14.2 El cálculo del determinante es más fácil si se elige una línea que contenga ceros.

Calcular el determinante

∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 3 −2 7 1 −1 0 3 2 5 0 −2 −3 6 −3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣. Solución:

Desarrollando por los elementos de la tercera columna:∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 3 −2 7 1 −1 0 3 2 5 0 −2 −3 6 −3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2 ∣∣∣∣∣∣ −1 −1 3 2 5 −2 −3 6 1

∣∣∣∣∣∣− (−3) ∣∣∣∣∣∣ 4 3 7 1 −1 3 2 5 −2

∣∣∣∣∣∣ = −125.

Ejemplo 50.

1.15. Propiedades de los determinantes

Sea A ∈Mn(IR), A = (aij).

1. Si A es triangular superior o inferior, |A| = a11 · a22 . . . ann.

2. |A| = |At| .

3. Si todos los elementos de una línea de A son nulos, entonces |A| = 0.

Grado en Enología. UCA 23

Apuntes de Matemáticas I

4. Si dos las (columnas) de A son proporcionales, entonces |A| = 0.

5. Si dos las (columnas) de A son iguales, entonces |A| = 0.

6. Si se permutan entre sí dos las (columnas) de A, el determinante cambia de signo.

7. Si todos los elementos de una línea de A se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

Calcular

∣∣∣∣∣∣ 7 0 21 3 −2 4 0 −1 0

∣∣∣∣∣∣. Solución:∣∣∣∣∣∣ 7 0 21 3 −2 4 0 −1 0

∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ 7 · 1 7 · 0 7 · 3 3 −2 4 0 −1 0

∣∣∣∣∣∣ = 7 · ∣∣∣∣∣∣ 1 0 3 3 −2 4 0 −1 0

∣∣∣∣∣∣ = 7 · (−5) = −35.

Ejemplo 51.

Calcular

∣∣∣∣∣∣ a a2 3a 3 −2 4 0 −1 0

∣∣∣∣∣∣. Soluación:∣∣∣∣∣∣ a a2 3a 3 −2 4 0 −1 0

∣∣∣∣∣∣ = a ∣∣∣∣∣∣ 1 a 3 3 −2 4 0 −1 0

∣∣∣∣∣∣ = a · (−5) = −5a.

Ejemplo 52.

8. Si a una la (columna) de A se le suma otra la (columna) multiplicada por un número, el determinante no varía.

Calcular

∣∣∣∣∣∣ −2 10 12 5 −25 −31 1 4 −6

∣∣∣∣∣∣ . Solución:

∣∣∣∣∣∣ −2 10 12 5 −25 −31 1 4 −6

∣∣∣∣∣∣ C521 C631 =

∣∣∣∣∣∣ −2 10 + 5 · (−2) 12 + 6 · (−2) 5 −25 + 5 · (5) −31 + 6 · (5) 1 4 + 5 · 1 −6 + 6 · 1

∣∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣∣ −2 0 0 5 0 −1 1 9 0

∣∣∣∣∣∣ = −18.

Ejemplo 53.

1.15.1. Método del pivote para el cálculo de determinantes

El método consiste en utilizar las propiedades de los determinantes para obtener uno triangular. Para ello se escoge un elemento se hacen ceros todos los demás

Grado en Enología. UCA 24

Apuntes de Matemáticas I

elementos de la línea. Este será el pivote.

Calcular

∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −4 3 4 3 −9 5 10 −3 0 1 −2 1 −4 0 6

∣∣∣∣∣∣∣∣. Solución:

Se escoge el 1 de la primera columna como pivote:∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −4 3 4 3 −9 5 10 −3 0 1 −2 1 −4 0 6

∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −4 3 4 0 3 −4 −2 0 −12 10 10 0 0 −3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ . Se continúa hasta obtener un determinante triangular:

∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −4 3 4 0 3 −4 −2 0 −12 10 10 0 0 −3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −4 3 4 0 3 −4 −2 0 0 −6 2 0 0 −3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −4 3 4 0 3 −4 −2 0 0 −6 2 0 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −18.

Ejemplo 54.

1.16. Cálculo del rango de una matriz utilizando determinantes

Denición 1.16.1 Sea A ∈Mn×m(IR) Se llama menor de orden k de la matriz A al determinante de la matriz cuadrada de orden k que se obtiene al suprimir m− k las y n− k columnas de la matriz A.

Calcular todos los menores de orden tres de la matriz A =

 3 6 5 91 1 2 4 1 −2 3 7

 . Solución:

∣∣∣∣∣∣ 3 6 5 1 1 2 1 −2 3

∣∣∣∣∣∣ = 0, ∣∣∣∣∣∣ 3 6 9 1 1 4 1 −2 7

∣∣∣∣∣∣ = 0, ∣∣∣∣∣∣ 3 5 9 1 2 4 1 3 7

∣∣∣∣∣∣ = 0, ∣∣∣∣∣∣

6 5 9 1 2 4 −2 3 7

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Ejemplo 55.

Denición 1.16.2 El rango de una matriz A ∈ Mn×m(IR) es el orden del mayor menor no nulo de la matriz. Se denota por rg(A).

Observación 1.16.1 El rango de A es k si A tiene algún menor de orden k distinto de cero, y todos los menores de orden superior a k son nulos.

Grado en Enología. UCA 25

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