Mecánica Vectorial - Dinámica, Apuntes de Dinámica

¡Descarga Mecánica Vectorial - Dinámica y más Apuntes en PDF de Dinámica solo en Docsity! Mecánica Vectorial - Dinámica Ing. Arturo Huber Gamarra Moreno PROBLEMAS SEMANA 3 Problema: El carro A y el bloque de la figura pesan 𝟏𝟐𝟓 𝑵 y 𝟐𝟓𝟎 𝑵, respectivamente. Los objetos están en reposo y el resorte de constante 𝒌 = 𝟒𝟏𝟕 𝑵/𝒎 no está deformado cuando los bloques se encuentran en la posición mostrada en la figura. Determine la velocidad y la aceleración del bloque B cuando esté 𝟎, 𝟑 𝒎 debajo de su posición inicial. Datos 𝑾𝑨 = 𝟏𝟐𝟓 𝑵 ⟹ 𝒎𝑨 = 𝑾𝑨 𝒈 = 𝟏𝟐𝟓 𝟗. 𝟖𝟏 ⟹ 𝒎𝑨 = 𝟏𝟐. 𝟕𝟒 𝑲𝒈 𝑾𝑩 = 𝟐𝟓𝟎 𝑵 ⟹ 𝒎𝑩 = 𝑾𝑩 𝒈 = 𝟐𝟓𝟎 𝟗. 𝟖𝟏 ⟹ 𝒎𝑩 = 𝟐𝟓. 𝟒𝟖𝟒 𝑲𝒈 Resorte de constante 𝒌 = 𝟒𝟏𝟕 𝑵/𝒎 no está deformado en la posición mostrada Cuando B esté 𝟎, 𝟑 𝒎 debajo de su posición inicial mostrada hallar: 𝒗𝑩 =? ? ? y 𝒂𝑩 =? ? ? Solucion Carro A Diagramas DCL DMA Ecuaciones movimiento +⃗⃗ ∑𝑭𝒙 = 𝒎𝑨 (𝒂𝒙)𝑨⏟ 𝒂 𝑻 − 𝒌𝒙 = 𝒎𝑨𝒂 𝑻 = 𝒎𝑨𝒂 + 𝒌𝒙 (𝟏) Bloque B Diagramas Ecuaciones movimiento ↓ +∑𝑭𝒚 = 𝒎𝑩 (𝒂𝒚)𝑩⏟ 𝒂 𝑾𝑩 − 𝑻 = 𝒎𝑩𝒂 𝑻 = 𝑾𝑩 −𝒎𝑩𝒂 (𝟐) Igualando (1) = (2) 𝒎𝑨𝒂 + 𝒌𝒙 = 𝑾𝑩 −𝒎𝑩𝒂 𝟏𝟐. 𝟕𝟒𝒂 + 𝟒𝟏𝟕𝒙 = 𝟐𝟓𝟎 − 𝟐𝟓. 𝟒𝟖𝟒𝒂 𝟑𝟖. 𝟐𝟐𝟒𝒂 = 𝟐𝟓𝟎 − 𝟒𝟏𝟕𝒙 Entre 𝟑𝟖. 𝟐𝟐𝟒 𝒂 = 𝟔. 𝟓𝟒 − 𝟏𝟎. 𝟗𝟏𝒙 (𝟑) La ecuacion (3) se puede escribir 𝒅𝒗 𝒅𝒕 = 𝟔. 𝟓𝟒 − 𝟏𝟎. 𝟗𝟏𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕⏟ 𝒗 = 𝟔. 𝟓𝟒 − 𝟏𝟎. 𝟗𝟏𝒙 𝒗𝒅𝒗 = (𝟔. 𝟓𝟒 − 𝟏𝟎. 𝟗𝟏𝒙)𝒅𝒙 Integrando: ∫𝒗𝒅𝒗 𝒗 𝟎 = ∫(𝟔. 𝟓𝟒 − 𝟏𝟎. 𝟗𝟏𝒙)𝒅𝒙 𝒙 𝟎 𝟏 𝟐 𝒗𝟐 = 𝟔. 𝟓𝟒𝒙 − 𝟓. 𝟒𝟓𝒙𝟐 Cuando B esté 𝟎, 𝟑 𝒎 debajo de su posición 𝒙 = 𝟎. 𝟑 𝒎 𝟏 𝟐 𝒗𝟐 = 𝟔. 𝟓𝟒 ∗ 𝟎. 𝟑 − 𝟓. 𝟒𝟓 ∗ 𝟎. 𝟑𝟐 𝒗 = 𝒗𝑩 = 𝟏. 𝟕𝟏 𝒎 𝒔⁄ Hallando aceleración 𝒂𝑩 en (3) 𝒂 = 𝟔. 𝟓𝟒 − 𝟏𝟎. 𝟗𝟏 ∗ 𝟎. 𝟑 𝒂 = 𝒂𝑩 = 𝟑. 𝟐𝟕 𝒎 𝒔𝟐⁄ Mecánica Vectorial - Dinámica Ing. Arturo Huber Gamarra Moreno Problema: El bloque de 𝟏𝟎 𝒍𝒃 tiene una velocidad inicial de 𝟏𝟎 𝒇𝒕 𝒔⁄ sobre el plano liso. Si una fuerza 𝑭 = (𝟐. 𝟓 𝒕) 𝒍𝒃 donde t está en segundos, actúa en el bloque durante 3 s, determine la velocidad final del bloque y la distancia que el bloque viaja durante este tiempo. Datos 𝑾 = 𝟏𝟎 𝒍𝒃; 𝒗𝟎 = 𝟏𝟎 𝒇𝒕 𝒔⁄ 𝑭 = (𝟐. 𝟓 𝒕) 𝒍𝒃 donde t está en segundos Para 𝒕 = 𝟑 𝒔 determine la velocidad final 𝒗 =? ? ? del bloque y la distancia 𝒔 =? ? ? que el bloque viaja durante este tiempo Solución: 𝑾 = 𝒎𝒈⟹ 𝒎 = 𝑾 𝒈 Donde 𝒎 se da Slug y 𝒈 = 𝟑𝟐. 𝟐 𝒇𝒕 𝒔𝟐⁄ Tipo de movimiento: Rectilíneo Diagramas Ecuaciones de movimiento +⃗⃗ ∑𝑭𝒙 = 𝒎𝒂 𝟐. 𝟓𝒕 = 𝑾 𝒈 𝒂 𝟐. 𝟓𝒕 = 𝟏𝟎 𝟑𝟐. 𝟐 𝒂 𝒂 = 𝟖. 𝟎𝟓𝒕 (𝟏) La ecuación (1) se puede escribir: 𝒅𝒗 𝒅𝒕 = 𝟖. 𝟎𝟓𝒕 𝒅𝒗 = 𝟖. 𝟎𝟓𝒕 𝒅𝒕 Integrando ∫ 𝒅𝒗 𝒗 𝒗𝟎=𝟏𝟎 𝒇𝒕 𝒔⁄ = 𝟖. 𝟎𝟓∫𝒕𝒅𝒕 𝒕 𝟎 ∫ 𝒅𝒗 𝒗 𝒗𝟎=𝟏𝟎 𝒇𝒕 𝒔⁄ = 𝟖. 𝟎𝟓∫𝒕𝒅𝒕 𝒕 𝟎 𝒗 − 𝟏𝟎 = 𝟖. 𝟎𝟓 ∗ 𝟏 𝟐 𝒕𝟐 𝒗 = 𝟖. 𝟎𝟓 ∗ 𝟏 𝟐 𝒕𝟐 + 𝟏𝟎 (𝟐) Para 𝒕 = 𝟑 𝒔 𝒗 = 𝟖. 𝟎𝟓 ∗ 𝟏 𝟐 ∗ 𝟑𝟐 + 𝟏𝟎 𝒗 = 𝟒𝟔. 𝟐𝟑 𝒇𝒕 𝒔⁄ Hallando distancia 𝒔 La ecuación (2) se puede escribir: 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟖. 𝟎𝟓 ∗ 𝟏 𝟐 𝒕𝟐 + 𝟏𝟎 𝒅𝒔 = (𝟖. 𝟎𝟓 ∗ 𝟏 𝟐 𝒕𝟐 + 𝟏𝟎)𝒅𝒕 Integrando ∫𝒅𝒔 𝒔 𝟎 = ∫(𝟖. 𝟎𝟓 ∗ 𝟏 𝟐 𝒕𝟐 + 𝟏𝟎)𝒅𝒕 𝒕 𝟎 𝒔 = 𝟖. 𝟎𝟓 ∗ 𝟏 𝟔 𝒕𝟑 + 𝟏𝟎𝒕 Para 𝒕 = 𝟑 𝒔 𝒔 = 𝟖. 𝟎𝟓 ∗ 𝟏 𝟔 ∗ 𝟑𝟑 + 𝟏𝟎 ∗ 𝟑 𝒔 = 𝟔𝟔. 𝟐𝟑 𝒇𝒕 Mecánica Vectorial - Dinámica Ing. Arturo Huber Gamarra Moreno Problema: Si 𝑷 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵 y el coeficiente de fricción cinética entre la caja de 𝟓𝟎 𝒌𝒈 y el plano inclinado es 𝝁𝒌 = 𝟎.𝟐𝟓, determinar la velocidad de la caja después de haber subido 𝟔 𝒎 por el plano. La caja parte del reposo. Datos 𝑷 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵 ; 𝒎 = 𝟓𝟎 𝒌𝒈, 𝝁𝒌 = 𝟎. 𝟐𝟓 ; 𝒗𝟎 = 𝟎 Determinar la velocidad (𝒗 =? ? ? ) de la caja después de haber subido 𝟔 𝒎 por el plano Solucion Diagramas ` Ecuaciones de movimiento ↖ +∑𝑭𝒚 = 𝒎𝒂𝒚⏟ 𝟎 𝑷𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎° − 𝟓𝟎 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° + 𝑵 = 𝟎 𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎° − 𝟓𝟎 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° + 𝑵 = 𝟎 𝑵 = 𝟐𝟐𝟒. 𝟕𝟖 𝑵 ↗ +∑𝑭𝒙 = 𝒎𝒂𝒙⏟ 𝒂 𝑷𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° − 𝟓𝟎 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎° − 𝒇 = 𝒎𝒂 𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° − 𝟓𝟎 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎° − 𝒇⏟ 𝑵∗𝝁𝒌 = 𝟓𝟎𝒂 𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° − 𝟓𝟎 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 ∗ 𝟎. 𝟓 − 𝟐𝟐𝟒. 𝟕𝟖 ∗ 𝟎. 𝟐𝟓 = 𝟓𝟎𝒂 𝒂 = 𝟎. 𝟗𝟎 𝒎 𝒔𝟐⁄ Hay 2 formas de calcular la velocidad PRIMERA FORMA: Como 𝒂 = 𝟎. 𝟗𝟎 La ecuación anterior se puede escribir 𝒅𝒗 𝒅𝒕 = 𝟎. 𝟗𝟎 𝒅𝒗 𝒅𝒔 𝒅𝒔 𝒅𝒕⏟ 𝒗 = 𝟎. 𝟗𝟎 𝒗𝒅𝒗 = 𝟎. 𝟗𝟎𝒅𝒔 Integrando: ∫ 𝒗𝒅𝒗 𝒗 𝒗𝟎=𝟎 = 𝟎. 𝟗𝟎∫𝒅𝒔 𝒔 𝟎 𝟏 𝟐 𝒗𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟎𝒔 Después de haber subido 𝟔 𝒎 en ecuación anterior se tiene 𝟏 𝟐 𝒗𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟎 ∗ 𝟔 𝒗 = 𝟑. 𝟐𝟖𝟔 𝒎 𝒔⁄ PRIMERA FORMA: Como 𝒂 = 𝟎. 𝟗𝟎 𝒗𝟐 = 𝒗𝟎 𝟐 + 𝟐𝒂𝒔 𝒗 = √𝟎 + 𝟐 ∗ 𝟎. 𝟗𝟎 ∗ 𝟔 ⟹ 𝒗 = 𝟑. 𝟐𝟖𝟔 𝒎 𝒔⁄ Mecánica Vectorial - Dinámica Ing. Arturo Huber Gamarra Moreno Problema: El carro de mina de 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒈 sube la pendiente usando el cable y el motor M. Durante un corto tiempo, la fuerza en el cable es 𝑭 = (𝟑𝟐𝟎𝟎 𝒕𝟐) 𝑵 donde t está en segundos. Si el carro tiene una velocidad inicial 𝒗𝟏 = 𝟐 𝒎 𝒔⁄ a 𝒔 = 𝟎 y 𝒕 = 𝟎, determine la distancia que mueve hacia arriba del plano cuando 𝒕 = 𝟐 𝒔. Datos 𝒎 = 𝟒𝟎𝟎 𝑲𝒈 Fuerza en el cable es 𝑭 = (𝟑𝟐𝟎𝟎 𝒕𝟐) 𝑵 donde 𝒕 está en segundos. Cuando 𝒗𝟏 = 𝟐 𝒎 𝒔⁄ [ 𝒔 = 𝟎 𝒕 = 𝟎 Determine la distancia 𝒔 =? ? ? que mueve hacia arriba del plano cuando 𝒕 = 𝟐 𝒔. Solución Diagramas Ecuaciones de movimiento ↗ +∑𝑭𝒙 = 𝒎𝒂𝒙⏟ 𝒂 𝟑𝟐𝟎𝟎𝒕𝟐 −𝑾𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎𝒂 𝟑𝟐𝟎𝟎𝒕𝟐 − 𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 ∗ 𝟖 𝟏𝟕 = 𝟒𝟎𝟎𝒂 𝒂 = 𝟖𝒕𝟐 − 𝟒. 𝟔𝟐 (𝟏) La ecuacion (1) se pues escribir 𝒅𝒗 𝒅𝒕 = 𝟖𝒕𝟐 − 𝟒.𝟔𝟐 𝒅𝒗 = (𝟖𝒕𝟐 − 𝟒. 𝟔𝟐)𝒅𝒕 Integrando ∫ 𝒅𝒗 𝒗 𝒗𝟏=𝟐 𝒎 𝒔⁄ = ∫(𝟖𝒕𝟐 − 𝟒. 𝟔𝟐)𝒅𝒕 𝒕 𝟎 ∫ 𝒅𝒗 𝒗 𝒗𝟏=𝟐 𝒎 𝒔⁄ = ∫(𝟖𝒕𝟐 − 𝟒. 𝟔𝟐)𝒅𝒕 𝒕 𝟎 𝒗 − 𝟐 = 𝟖 𝟑 𝒕𝟑 − 𝟒. 𝟔𝟐𝒕 𝒗 = 𝟖 𝟑 𝒕𝟑 − 𝟒.𝟔𝟐𝒕 + 𝟐 (𝟐) La ecuacion (2) se pues escribir 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝟖 𝟑 𝒕𝟑 − 𝟒. 𝟔𝟐𝒕 + 𝟐 𝒅𝒔 = ( 𝟖 𝟑 𝒕𝟑 − 𝟒. 𝟔𝟐𝒕 + 𝟐)𝒅𝒕 Integrando ∫𝒅𝒔 𝒔 𝟎 = ∫( 𝟖 𝟑 𝒕𝟑 − 𝟒. 𝟔𝟐𝒕 + 𝟐)𝒅𝒕 𝒕 𝟎 𝒔 = 𝟖 𝟏𝟐 𝒕𝟒 − 𝟐. 𝟑𝟏𝒕𝟐 + 𝟐𝒕 Cuando 𝒕 = 𝟐 𝒔. 𝒔 = 𝟖 𝟏𝟐 ∗ 𝟐𝟒 − 𝟐. 𝟑𝟏 ∗ 𝟐𝟐 + 𝟐 ∗ 𝟐 𝒔 = 𝟓. 𝟒𝟑 𝒎 Mecánica Vectorial - Dinámica Ing. Arturo Huber Gamarra Moreno Problema: La rigidez del resorte es 𝒌 = 𝟐𝟎𝟎 𝑵/𝒎 y no está estirado cuando el bloque de 𝟐𝟓 𝒌𝒈 está en A. Determine la aceleración del bloque cuando 𝒔 = 𝟎. 𝟒 𝒎. La superficie de contacto entre el bloque y el plano es lisa.