¡Descarga Mecánica Vectorial - Dinámica y más Apuntes en PDF de Dinámica solo en Docsity! Mecánica Vectorial - Dinámica Ing. Arturo Huber Gamarra Moreno PROBLEMAS SEMANA 2 Problema: La velocidad de una partícula viene dada por 𝐯 = [𝟏𝟔𝒕𝟐 𝒊 + 𝟒𝒕𝟑 𝒋 + (𝟓𝒕 + 𝟐) 𝒌] 𝒎 𝒔⁄ , donde t es en segundos. Si la partícula está en el origen cuando 𝒕 = 𝟎 , determine la magnitud de la aceleración de la partícula cuando 𝒕 = 𝟐 𝒔 . Además, ¿cuál es la posición coordenada (𝒙, 𝒚, 𝒛) de la partícula en este instante? Datos 𝐯 = [𝟏𝟔𝒕𝟐 𝒊 + 𝟒𝒕𝟑 𝒋 + (𝟓𝒕 + 𝟐) 𝒌] 𝒎 𝒔⁄ donde t es en segundos cuando 𝒕 = 𝟎 ⟹ 𝒓 = 𝟎 cuando 𝒕 = 𝟐 𝒔 hallar: 𝒂 =? ? ? ? y cuando 𝒓 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) =? ? ? Solución aceleración (𝒂) 𝐚 = 𝒅𝐯 𝒅𝒕 = 𝒅 𝒅𝒕 [𝟏𝟔𝒕𝟐 𝒊 + 𝟒𝒕𝟑 𝒋 + (𝟓𝒕 + 𝟐) 𝒌] 𝐚 = (𝟑𝟐𝐭 𝒊 + 𝟏𝟐𝒕𝟐 𝒋 + 𝟓 𝒌) 𝒎 𝒔𝟐⁄ cuando 𝒕 = 𝟐 𝒔 𝐚 = (𝟑𝟐 ∗ 𝟐 𝒊 + 𝟏𝟐 ∗ 𝟐𝟐 𝒋 + 𝟓 𝒌) 𝐚 = (𝟔𝟒 𝒊 + 𝟒𝟖 𝒋 + 𝟓 𝒌) 𝒎 𝒔𝟐⁄ Magnitud de aceleración (𝒂) 𝒂 = √𝟔𝟒𝟐 + 𝟒𝟖𝟐 + 𝟓𝟐 𝒂 = 𝟖𝟎. 𝟏𝟔 𝒎 𝒔𝟐⁄ Posición coordenada (𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝐯 = 𝐝𝐫 𝒅𝒕 ⟹ 𝒅𝐫 = 𝐯𝐝𝐭 𝒅𝐫 = [𝟏𝟔𝒕𝟐 𝒊 + 𝟒𝒕𝟑 𝒋 + (𝟓𝒕 + 𝟐) 𝒌]𝐝𝐭 Integrando ∫ 𝒅𝐫 𝒓 𝟎 = ∫[𝟏𝟔𝒕𝟐 𝒊 + 𝟒𝒕𝟑 𝒋 + (𝟓𝒕 + 𝟐) 𝒌]𝐝𝐭 𝒕 𝟎 𝐫 = [ 𝟏𝟔 𝟑 𝒕𝟑 𝒊 + 𝒕𝟒 𝒋 + (𝟐. 𝟓𝒕𝟐 + 𝟐𝒕)𝒌] 𝟎 𝒕 𝐫 = [ 𝟏𝟔 𝟑 𝒕𝟑 𝒊 + 𝒕𝟒 𝒋 + (𝟐. 𝟓𝒕𝟐 + 𝟐𝒕)𝒌] 𝒎 cuando 𝒕 = 𝟐 𝒔 𝐫 = [ 𝟏𝟔 𝟑 ∗ 𝟐𝟑 𝒊 + 𝟐𝟒 𝒋 + (𝟐. 𝟓 ∗ 𝟐𝟐 + 𝟐 ∗ 𝟐)𝒌] 𝐫 = [𝟒𝟐. 𝟔𝟕 𝒊 + 𝟏𝟔 𝒋 + 𝟏𝟒 𝒌] 𝒎 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟒𝟐. 𝟔𝟕, 𝟏𝟔, 𝟏𝟒) 𝒎 Mecánica Vectorial - Dinámica Ing. Arturo Huber Gamarra Moreno Problema: La partícula viaja a lo largo del camino definido por la parábola 𝒚 = 𝟎. 𝟓𝒙𝟐. Si la componente de velocidad a lo largo del eje x es 𝒗𝒙 = (𝟓𝒕) 𝒇𝒕 𝒔⁄ donde t está en segundos, determine la distancia de la partícula desde el origen O y la magnitud de su aceleración cuando 𝒕 = 𝟏 𝒔. Cuando 𝒕 = 𝟎, 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟎 Datos 𝒚 = 𝟎. 𝟓𝒙𝟐 𝒗𝒙 = (𝟓𝒕) 𝒇𝒕 𝒔⁄ donde t está en segundos Cuando 𝒕 = 𝟏 𝒔. Determine la distancia 𝒅 =? ? ? de la partícula desde el origen O y la magnitud de su aceleración 𝒂 =? ? ? Además: Cuando 𝒕 = 𝟎 [ 𝒙 = 𝟎 𝒚 = 𝟎 Solución Hallando la distancia 𝒅 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 (𝟏) De datos 𝒗𝒙 = 𝒅𝒙 𝒅𝒕 ⟹ 𝒅𝒙 = 𝒗𝒙⏟ 𝟓𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙 = 𝟓𝒕𝒅𝒕 Integrando ∫ 𝒅𝒙 𝒙 𝟎 = 𝟓 ∫ 𝒕𝒅𝒕 𝒕 𝟎 𝒙 = 𝟐. 𝟓𝒕𝟐 (𝟐) Cuando 𝒕 = 𝟏 𝒔 en (2) 𝒙 = 𝟐. 𝟓 ∗ 𝟏𝟐 ⟹ 𝒙 = 𝟐. 𝟓 𝒇𝒕 También de datos: 𝒚 = 𝟎. 𝟓𝒙𝟐 (𝟑) Remplazando (2) en (3) 𝒚 = 𝟎. 𝟓(𝟐. 𝟓𝒕𝟐) 𝟐 = 𝟑. 𝟏𝟐𝟓𝒕𝟒 (𝟒) Cuando 𝒕 = 𝟏 𝒔 en (4) 𝒚 = 𝟑. 𝟏𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟒 ⟹ 𝒚 = 𝟑. 𝟏𝟐𝟓 𝒇𝒕 En (1) 𝒅 = √𝟐. 𝟓𝟐 + 𝟑. 𝟏𝟐𝟓𝟐 𝒅 = 𝟒 𝒇𝒕 La magnitud de su aceleración cuando 𝒕 = 𝟏 𝒔. 𝒂 = √𝒂𝒙 𝟐 + 𝒂𝒚 𝟐 (𝟓) Hallando 𝒂𝒙 𝒂𝒙 = 𝒅𝒗𝒙 𝒅𝒕 = 𝒅 𝒅𝒕 (𝟓𝒕) 𝒂𝒙 = 𝟓 𝒇𝒕 𝒔𝟐⁄ Hallando 𝒂𝒚 En (4) se tiene: 𝒚 = 𝟑. 𝟏𝟐𝟓𝒕𝟒 Derivando 2 veces la ecuación anterior 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝟑. 𝟏𝟐𝟓 𝒅 𝒅𝒕 (𝒕𝟒) 𝒗𝒚 = 𝟑. 𝟏𝟐𝟓 ∗ 𝟒 𝒕𝟑 𝒅𝒗𝒚 𝒅𝒕⏟ 𝒂𝒚 = 𝟑. 𝟏𝟐𝟓 ∗ 𝟒 𝒅 𝒅𝒕 (𝒕𝟑) 𝒂𝒚 = 𝟑. 𝟏𝟐𝟓 ∗ 𝟒 ∗ 𝟑 ∗ 𝒕𝟐 (𝟔) Cuando 𝒕 = 𝟏 𝒔 en (6) 𝒂𝒚 = 𝟑. 𝟏𝟐𝟓 ∗ 𝟒 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟐 𝒂𝒚 = 𝟑𝟕. 𝟓 𝒇𝒕 𝒔𝟐⁄ En (5) 𝒂 = √𝟓𝟐 + 𝟑𝟕. 𝟓𝟐 𝒂 = 𝟑𝟕. 𝟖𝟑 𝒇𝒕 𝒔𝟐⁄
