MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS, Diapositivas de Física Médica

¡Descarga MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS y más Diapositivas en PDF de Física Médica solo en Docsity! MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS V i v e t u p r o p ó s i t o GUÍA DE TRABAJO VISIÓN Ser una de las 10 mejores universidades privadas del Perú al año 2020, reconocidos por nuestra excelencia académica y vocación de servicio, líderes en formación integral, con perspectiva global; promoviendo la competitividad del país. Universidad Continental Material publicado con fines de estudio Código: UC1060 2016 MISIÓN Somos una universidad privada innovadora y comprometida con el desarrollo del Perú, que se dedica a formar personas competentes, integras y emprendedoras, con visión internacional, para que se conviertan en ciudadanos responsables e impulsen el desarrollo de sus comunidades, impartiendo experiencias de aprendizaje vivificantes e inspiradores; y generando una alta valoración mutua entre todos los grupos de interés 5 Tema Nº 9: ANALISIS ESTRUCTURAL DE ARMADURAS 75 Guía de práctica N° 9 80 Tema Nº 10: FRICCIÓN 82 Guía de práctica N° 10 87 Tema Nº 11: MOMENTO DE INERCIA 89 Guía de práctica N° 11 95 Tema Nº 12: TRABAJO VIRTUAL 97 Guía de práctica N° 12 101 TERCERA UNIDAD Tema Nº 13: CINEMÁTICA DE PARTICULAS 103 Guía de práctica N° 13 109 Tema Nº 14: SEGUNDA LEY DE NEWTON 111 Guía de práctica N° 14 113 Tema Nº 15: CINEMÁTICA Y MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS 115 Guía de práctica N° 15 130 CUARTA UNIDAD Tema Nº 16: CINÉTICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES 132 Guía de práctica N° 16 138 Tema Nº 17: VIBRACIONES MECÁNICAS 140 Guía de práctica N° 17 150 ANEXOS 154 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y ENLACES 6 PRIMERA UNIDAD TEMA Nº 1: INTRODUCCIÓN 1.1 CONCEPTOS Y PRINCIPIOS. MECÁNICA: La mecánica se puede definir como la ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Se divide en tres partes: la mecánica de cuerpos rígidos, la mecánica de cuerpos deformables y la mecánica de fluidos: En este material estudiaremos la mecánica de la cuerpos rígidos, la misma que es un requisito básico para el estudio de las otras ramas de la ingeniería. La mecánica de cuerpos rígidos es esencial para el diseño y el análisis de muchos tipos de elementos 7 estructurales, componentes mecánicos, mecanismos diversos, o dispositivos electrónicos que pueden encontrarse en la práctica de la ingeniería. La mecánica de cuerpos rígidos se divide en dos áreas: Estática y dinámica. Estática: Estudia el equilibrio de los cuerpos, cuerpos en reposo o a velocidad constante. Dinámica: Estudia el movimiento generado por la interacción de cuerpos, denominados fuerzas externas, representadas en las leyes de Newton. Unidades Mecánicas del Sistema Internacional, cantidades básicas: Longitud: Usada para describir la posición de un punto en el espacio y describir el tamaño de un sistema físico. Define distancias y propiedades geométricas. Tiempo: El tiempo se concibe como una secuencia de eventos. Masa: Es una medición de una cantidad de materia usada para comparar la acción de un cuerpo con la de otro. Fuerza: Es la acción ejercida de un cuerpo sobre otro. La interacción puede darse por contacto físico o entre cuerpos separados como las fuerzas gravitacionales, eléctricas y magnéticas. Una fuerza se caracteriza por completo con su magnitud, dirección, sentido y punto de aplicación. Concepciones importantes: Partícula: Es el modelo matemático de un cuerpo y se representa como un punto, se considera la masa del cuerpo, pero no sus dimensiones. Cuerpo Rígido: Es una combinación de un gran número de partículas que ocupan posiciones fijas entre sí, tal que las propiedades del material no tendrán que tomarse en cuenta al estudiar los efectos de las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo. Fuerza concentrada: Una fuerza concentrada representa el efecto de una carga que se supone actúa en cierto punto de un cuerpo. Una carga puede representarse mediante una fuerza concentrada, siempre que el área sobre la que se aplique la carga sea muy pequeña en comparación con el tamaño total del cuerpo. Un ejemplo sería la fuerza de contacto entre una rueda y el suelo. 10 Reglas básicas: Las cantidades definidas por varias unidades que son múltiplos de otras se separan mediante un punto para evitar la confusión con la notación de prefijos, como se observa en 2 2 (kg)( ) kg. N m m W mg s s    . Asimismo, m.s significa metro- segundo (metro por segundo) en tanto que ms representa (mili-segundo). Con excepción de la unidad base kilogramo, por lo general evite el uso de prefijos en el denominador de las unidades compuestas. Por ejemplo, no escriba N/mm, sino kN/m; asimismo, m/mg debe escribirse como Mm/kg. 1.3 CONCEPTOS Y PRINCIPIOS DEL ALGEBRA VECTORIAL Las cantidades físicas en ingeniería se definen mediante escalares y vectores. Cantidad escalar: Un escalar es cualquier cantidad física que se puede especificar por completo mediante su magnitud o módulo. La longitud, la masa, la energía y el volumen son ejemplos de cantidades escalares. Cantidad vectorial: Un vector es cualquier cantidad física que requiere tanto de magnitud como de dirección y sentido para su descripción completa. La fuerza, el desplazamiento, la velocidad y el impulso son ejemplos de cantidades vectoriales. 1.3.1 MAGNITUDES VECTORIALES Para el estudio de los fenómenos de la naturaleza la Física distingue dos tipos cantidades: escalares y vectoriales. La Física trabaja con ambas. Una cantidad vectorial es aquella que cumple tres condiciones o propiedades: - Magnitud - Dirección y - Sentido Por ejemplo, un automóvil puede estar desplazándose a lo largo de la Panamericana Norte, desde Lima a Trujillo, a 90 km/h. En este caso se está haciendo referencia a la Velocidad de dicho automóvil, y por supuesto que se cumplen las tres condiciones antes mencionadas: - Magnitud : 90 km/h (= 25 m/s) - dirección : a lo largo de la Panamericana Norte - Sentido : de Lima a Trujillo (Sur a Norte) Son ejemplos de cantidades vectoriales: - La fuerza - El desplazamiento - El momento de una fuerza - La aceleración - El campo eléctrico 11 - El campo magnético, entre otros. Los vectores analíticamente se representan: Vector A : A , A El módulo del vector A : A , A Gráficamente, un vector se representa mediante un segmento orientado, donde la magnitud del segmento es el módulo del vector, le recta “L ” otorga la dirección y se le llama directriz, el sentido del vector lo indicamos mediante la flecha. (Fig 1.1). O P A L Fig. (1.1).- La “flecha OP” es la representación geométrica de un vector En la fig.(1.1), el punto “O” es el origen del vector y el punto “P” es su extremo o “cabeza”. La orientación lo da el sentido de la flecha y, en cierto modo; su “longitud” es un indicador de su módulo o magnitud. En cambio, entre, las cantidades que sólo poseen magnitud se pueden citar: - El calor - El trabajo - La densidad de masa, entre otros. Existen varios tipos de vectores, tales como – por ejemplo - los vectores libres, vectores consecutivos y los vectores concurrentes, por citar algunos. Vectores libres: son aquellos que tienen libertad en su punto de aplicación, por ejemplo, el momento de un par se aplica a cualquier punto de un cuerpo rígido (fig. 1.2) (a) (b) (c) Fig.(1.2).- Un vector libre tal como un momento de par se puede aplicar en cualquier punto de un cuerpo rígido. El momento C aplicado en los puntos A, B y F de un cuerpo rígido. Vectores consecutivos.- son aquellos que están uno a continuación de otro, tal como se ilustra en la fig. (1.3) 12 X Y Z A B C D EF Fig.(1.3).- Los vectores A , B , C , D , E y F son consecutivos. El extremo de uno es el origen del siguiente. Vectores concurrentes.- Tienen un punto común de aplicación (fig. 1.4) Fig.(1.4).- Conjunto de fuerzas concurrentes en la esquina E de un cuerpo rígido rectangular. 1.3.2 SISTEMA RECTANGULAR DE COORDENADAS Y VECTOR DE POSICION Todo punto del espacio tiene una coordenada (x,y,z) en un marco de referencia rectangular y su ubicación está definida por su vector de posición r , tal como se ilustra en la fig,(1.5). El módulo de un vector de posición está representado – en coordenadas rectangulares tridimensionales – por la diagonal de una caja rectangular imaginaria. X Y Z r Fig.(1.5).- El vector de posición ( r ) tiene por origen el origen de coordenadas. 15 El módulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes rectangulares. Por ejemplo, el módulo del vector de posición de la fig,(1.8) es: 2 2 2  r a L h en este caso, representa la diagonal de la caja rectangular Y en general, el módulo para un vector cualesquiera, es: 2 2 2 x y zA A A A   (1.6.1) 1.3.7 VECTOR DESPLAZAMIENTO ENTRE DOS PUNTOS CONOCIDOS Sean los puntos conocidos, los puntos; P1(a1,b1,c1) y P2(a2,b2,c2) los cuales se ilustran en la fig.(1.10). El vector desplazamiento viene dado por: R = (a2 – a1). i + (b2 – b1). j + (c2 – c1). k = Δa. i + Δb. j + Δc. k 1.7.1) Y su módulo, de acuerdo a (1.6.1): (1.7.2) x y z P (a ,b ,c )2 2 2 2 P (a ,b ,c )1 1 1 1 R Fig.(1.10).- Vector desplazamiento entre los puntos P1 y P2 1.3.8 SUMA Y RESTA DE VECTORES Los vectores se pueden sumar gráficamente o analíticamente. Gráficamente, aplicando la conocida ley del paralelogramo o el método del triángulo. Reviste mayor interés e importancia la forma analítica porque permite cuantificar el valor de una suma o una resta. Sean los vectores: A = Ax. i + Ay. j + Az.k B = Bx. i + By. j + Bz. k C = Cx. i + Cy. j + Cz.k      2 2 22 1 2 1 2 1     R a a b b c c 16 Entonces, la suma de estos tres vectores es la llamada resultante, la cual viene a ser igual a: R = A + B +C = (Ax + Bx + Cx). i + (Ay + By + Cy). j + (Az + Bz + Cz). k OPUESTO (o NEGATIVO) DE UN VECTOR Como su nombre lo indica es el mismo vector, con su mismo módulo y dirección, pero sentido contrario al vector dado. Por ejemplo, sea un vector A arbitrario dado por (1.3), donde: A = Ax. i + Ay. j + Az.k = [Ax,Ay,Az] entonces, el negativo (u opuesto) de A será - A = - Ax. i - Ay. j - Az.k = - [Ax,Ay,Az] RESTA DE DOS VECTORES La resta de dos vectores se puede considerar como la suma del primero más el negativo del segundo, es decir: ( )A B A B    1.3.9 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Dados dos vectores A y B , tal como se muestra en la fig,(1.11), cuyos módulos son A y B, respectivamente, y forman un ángulo “θ” entre ellos. x y z A B  Fig.(1.11).- Dos vectores concurrentes A y B , que forman un ángulo “θ” Se define el producto escalar de A y B como: cosA B A B    (1.9.1) El resultado del producto escalar es un escalar. 17 DESARROLLO DEL PRODUCTO ESCALAR Dados dos vectores A y B rectangularmente: A = Ax. i + Ay. j + Az.k B = Bx. i + By. j + Bz. k El desarrollo del primer miembro de (1.8) es igual a: x x y y z zA B A B A B A B    (1.9.2) Para esto se ha tomado en cuenta que: 1i i j j k k   y 0i j i k j i j k k i k j      1.3.10 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Dados dos vectores concurrentes A y B, que forman un ángulo θ, contenidos en un plano Ω, tal como se ilustra en la fig,(1.12), el producto vectorial de estos dos vectores es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano Ω y por ende perpendicular a los vectores A y B. Entonces C = A x B (1.10.1) Para determinar el sentido del producto vectorial se puede aplicar la regla del tornillo de rosca derecha o la regla de “la mano derecha”. El módulo del producto vectorial se define como:    A B A B sen (1.10.2) y representa el “área” de la región formado por el paralelogramo, formado por los vectores A y B, según se ilustra en la fig.(1.13). Z C = A x B Ω O B Y A θ X Fig.(1.12).- El vector C es el producto vectorial de los vectores A y B y es 20 PROYECCION DE UN VECTOR EN LA DIRECCION DE OTRO VECTOR En cambio, la proyección de un vector A en la dirección de otro vector B es vector cuyo módulo es la componente de A sobre B. En otras palabras, es la proyección ortogonal de A sobre B, tal como se ilustra en la fig.1.16 Fig.(1.16).- Proyección de un vector A en la dirección de B Como todo vector es igual a su módulo multiplicado por un vector unitario en la dirección y sentido de dicho vector, y como el módulo de la proyección es la componente dada por (1.16.b), entonces se tiene: PA/B = CA/B.uB Pero uB = B/B de donde, la proyección (vectorial) de un vector A en la dirección de B es igual al cociente entre el producto escalar de estos vectores y el cuadrado del módulo de B, todo esto, multiplicado por el vector sobre el cual se proyecta (B): 2B       A B A B P B (1.11.3) 1.3.12 CONDICIONES DE NORMALIDAD Y PARALELISMO ENTRE VECTORES CONDICION DE NORMALIDAD (PERPENDICULARIDAD) De la definición del producto escalar (1.9.1), dos vectores A y B son perpendiculares si el ángulo que forman entre sí es igual a 90° y por ende el coseno es cero. Por lo tanto: Si: (1.12.1) CONDICION DE PARALELISMO Dos vectores son paralelos si ambos tienen la misma dirección y sentido, aunque no necesariamente sus módulos.  A B A B (1.12.2) Donde el factor λ es un parámetro constante cuyas unidades depende de la naturaleza de los vectores A y B. 0  A B A B  A BPA/BuB 21 1.3.13 EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR Dada la figura 3D (paralelepípedo) cuyas aristas son los vectores A, B y C, se demuestra que el volumen de ese cuerpo es: Volumen = (A x B) C N = A x B C B VOL = (A X B) . C A Fig.(1.19).- El volumen de un paralelepípedo se puede determinar si se dan vectorialmente sus aristas. Los vectores A y B son aristas de su base (de acuerdo a la posición mostrada) y el vector C es la tercera arista oblicua. 22 PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 1 TEMA N° 1: Algebra Vectorial Sección : …………………………..……………………. Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana Apellidos : ……………………………..…………………………. Nombres : …………………………………..……………………. Fecha : …../..…/2016 Duración: Indic. Tiempo Tipo de Práctica: Individual ( ) Grupal ( ) INSTRUCCIONES: Resuelva cada problema en forma ordenada y con procedimientos completos, diagramas y cálculos pertinentes. 1) Le dan los vectores 2 3A i j  y 3 3B i j   . Un tercer vector C está en el plano XY y es perpendicular a A ; el producto escalar con C con B es 18. Con esta información obtenga las componentes del vector C . Respuesta: 18 12C i j   2) Determinar el módulo del vector P más pequeño, de modo que la resultante de P Q , sea lo menor posible. Se conoce que: 800Q  Q P 120° Respuesta: P = 400 3) Hallar el ángulo que forman el vector A (más pequeño posible), con B , tal que: M A B  , se sitúe sobre la recta 1L . B 20° L1 Respuesta: 110° 4) Se ha girado los ejes de coordenadas cartesianas, formando un nuevo eje tri-rectangular, representado por los vectores: ' 2x i y j k   , y' 5 2xi j k   , z' 2i j zk   , halle x, y, z para se cumpla la condición. 25 2.3 Diagrama de cuerpo libre Para aplicar la ecuación de equilibrio debemos tomar en cuenta todas las fuerzas conocidas y desconocidas que actúan sobre la partícula. La mejor manera de hacer esto es pensar en la partícula como aislada y “libre” de su entorno. Un dibujo que muestra la partícula junto con todas las fuerzas que actúan sobre ella se denomina diagrama de cuerpo libre (DCL). Entre las fuerzas más comunes para analizar el equilibrio de partículas tenemos: a) Fuerza gravitacional: Debida a la interacción con el planeta, se representa por un vector dirigido hacia abajo. A su magnitud se le denomina comúnmente peso (W). La magnitud del peso de un cuerpo se relaciona con su masa así: W mg Unidades en el SI: W = Peso (en newton) m = Masa (en kilogramos) g = Aceleración de la gravedad = 9.81 m/s2 b) Fuerzas en cables y poleas: Para partículas supondremos que todos los cables (o cuerdas) tienen un peso insignificante y que no se pueden deformar. Además, un cable puede soportar sólo una tensión o fuerza de “jalón” que actúa en la dirección del cable. La fuerza de tensión desarrollada en un cable continuo que pasa sobre una polea sin fricción, debe tener una magnitud constante para mantener al cable en equilibrio. En la figura el cable se somete a una tensión T en toda su longitud. c) Fuerzas en resortes: Si un resorte elástico lineal (o cuerda) de longitud no deformada lo se usa como soporte de una partícula, su longitud cambiará en proporción directa a la fuerza F que actúe sobre él, figura adjunta. Una característica que define la “elasticidad” de un resorte es la constante de resorte o rigidez, k. La magnitud de la fuerza ejercida en un resorte elástico lineal que tiene una rigidez k y está deformado (alargado o acortado) una distancia igual a s = l - lo, medida desde su posición sin carga, es: F ks 26 Procedimiento para trazar el DCL de una partícula: 1º Trace un perfil delineado. Imagine que la partícula está aislada o “liberada” de su entorno al trazar su perfil delineado. 2º Muestre todas las fuerzas. Indique sobre este bosquejo todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Éstas pueden ser fuerzas activas, que tienden a poner la partícula en movimiento, o fuerzas reactivas, que son el resultado de las restricciones o soportes que tienden a evitar el movimiento. 3º Identifique cada una de las fuerzas. Las fuerzas que son conocidas deben ser marcadas con sus propias magnitudes y direcciones. Para representar las magnitudes y direcciones de las fuerzas desconocidas se usan letras. Ejemplo de DCL: La cubeta se mantiene en equilibrio mediante el cable, e instintivamente sabemos que la fuerza en el cable debe ser igual al peso de la cubeta. Al trazar un diagrama de cuerpo libre de la cubeta podemos entender por qué esto es así. Este diagrama muestra que sólo hay dos fuerzas que actúan sobre la cubeta, a saber, su peso W y la fuerza T del cable. 2.4 Procedimiento para el análisis del equilibrio de una partícula en el plano 1º Diagrama de cuerpo libre.  Establezca los ejes x, y en cualquier orientación adecuada.  Marque en el diagrama todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas conocidas y desconocidas.  Puede suponer el sentido de una fuerza con una magnitud desconocida. 2º Aplique las ecuaciones de equilibrio: 0xF  , 0yF  , 0zF   Las componentes son positivas si están dirigidas a lo largo de un eje positivo, y negativas si están dirigidas a lo largo de un eje negativo.  Como la magnitud de una fuerza siempre es una cantidad positiva, si la solución produce un resultado negativo, esto indica que el sentido de la fuerza es el inverso del mostrado sobre el diagrama de cuerpo libre. 27 PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 2 Tema: Equilibrio de una partícula en el plano Sección : …………………………..……………………. Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana Apellidos : ……………………………..…………………………. Nombres : …………………………………..……………………. Fecha : …../..…/2016 Duración: Indic. Tiempo Tipo de Práctica: Individual ( ) Grupal ( ) INSTRUCCIONES: Resuelva cada problema en forma ordenada con procedimientos completos, diagramas y cálculos pertinentes. 1. En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine el rango de valores de Q para los cuales la tensión no será mayor que 60 lb en cualquiera de los cables. 2. Tres cables se unen en el cruce del anillo C. Determinar las tensiones en los cables de AC y BC causada por el peso del cilindro de 30 kg 3. El collarín deslizante esta en equilibrio en A y en la barra no hay rozamiento. Determina la masa de la barra 30 12. Determinar la fuerza que actúa a lo largo del eje de cada uno de los tres puntales necesarios para dar soporte al bloque de 500kg. Referencias bibliográficas consultadas y/o enlaces recomendados Beer F., Jhonston R., (2010). “Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática”. Décima edición. Mc. Graw-Hill Interamericana. México. Hibbeler, R.C. (2012). “Ingeniería Mecánica – Estática”. Décimo segunda edición. Pearson Educación. México. Bedford Fowler. (2013) “Mecánica Vectorial para Ingenieros”. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. Estados Unidos. Meriam J.L. y Kraige L.G. (2007). “Mecánica para Ingenieros”. Estática. Séptima Edición. Editorial Reverté S.A. España. 31 TEMA Nº 3: FUERZAS EN EL ESPACIO 3.1 Vectores cartesianos en el espacio: Las operaciones del álgebra vectorial, cuando se aplican a la resolución de problemas en tres dimensiones, se simplifican considerablemente si primero se representan los vectores en forma vectorial cartesiana, lo cual servirá para encontrar la fuerza resultante de un sistema de fuerzas concurrentes. Vector unitario: Vector de magnitud unitaria que indica la dirección y sentido de algún vector dado, luego para A : A A A   Vectores unitarios cartesianos. En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos i, j, k, se usa para designar las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente. 3.2 Representación de un vector cartesiano en tres dimensiones: Representación gráfica de un vector cartesiano en el espacio Forma cartesiana de un vector Magnitud de un vector cartesiano Dirección de un vector cartesiano Dada por los cosenos directores: cos cos cosyx zx y z AA A A A A      2 2 2cos cos cos 1x y z     32 ˆ ˆ r AB 3.3 Vector de Posición: Se define como un vector fijo que localiza un punto en el espacio en relación con otro punto. Desde el origen hasta un punto P. Desde un punto A hasta otro punto B. r  xi  yj  ẑ r  (xB  xA )î  ( yB  yA ) ̂j  (zB  zA )ẑ 3.4 Vector fuerza en términos de su magnitud y dos puntos sobre su línea de acción: F | F | .ûAB F | F | . 3.5 Suma de fuerzas concurrentes en el espacio: | r AB | La suma de dos o más vectores se simplifican considerablemente si los vectores se expresan en términos de sus componentes cartesianas. Dados los vectores: El vector resultante R está dado por: 35 PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 3 Tema: Fuerzas en el Espacio Sección : …………………………..……………………. Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana Apellidos : ……………………………..…………………………. Nombres : …………………………………..……………………. Fecha : …../..…/2016 Duración: Indic. Tiempo Tipo de Práctica: Individual ( ) Grupal ( ) INSTRUCCIONES: Resuelva cada problema en forma ordenada con procedimientos completos, diagramas y cálculos pertinentes. 1. A fin de mover un camión volcado, se atan dos cables en A y se jalan mediante las grúas B y C como se muestra en la figura. Si se sabe que la tensión en el cable AB es de 10 kN y en el cable AC es de 7.5 kN, determine la magnitud y dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los dos cables. 2. Para el sistema mostrado considere la masa de la carga igual a 50 kg. Determine la altura d del cable AB de manera que la fuerza en los cables AD y AC tengan cada una respectivamente la mitad del valor de la fuerza del cable AB. Asignatura: Mecánica Vectorial 36 3. Determine el peso máximo de la caja si la tensión desarrollada en cualquiera de los cables no debe exceder 450 lb. 4. Si cada uno de los cables puede soportar una tensión máxima de 1000 N, determine la masa máxima del cilindro para que se pueda mantener el equilibrio. 5. Un contenedor de peso W está suspendido del aro A, al cual se unen los cables AC y AE. Una fuerza P se aplica al extremo F de un tercer cable que pasa sobre una polea en B y a través del anillo A y que está unido al soporte en D. Si se sabe que W = 1 000 N, determine la magnitud de P. (Sugerencia: La tensión es la misma en todos los tramos del cable FBAD.) Asignatura: Mecánica Vectorial 37 6. La bola de 80 lb está suspendida del anillo horizontal usando tres resortes, cada resorte tiene longitud no alargada de 1.5 pies y rigidez de 50 lb/pie. Determine la distancia vertical h del anillo hasta el punto A por equilibrio. Referencias bibliográficas consultadas y/o enlaces recomendados Beer F., Jhonston R., (2010). “Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática”. Décima edición. Mc. Graw-Hill Interamericana. México. Hibbeler, R.C. (2012). “Ingeniería Mecánica – Estática”. Décimo segunda edición. Pearson Educación. México. Bedford Fowler. (2013) “Mecánica Vectorial para Ingenieros”. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. Estados Unidos. Asignatura: Mecánica Vectorial 40 i M  r Dirección. La dirección de Mo está definida por su eje de momento, el cual es perpendicular al plano que contiene la fuerza F, y por su brazo de momento d. Para establecer el sentido de dirección de Mo se utiliza la regla de la mano derecha. De acuerdo con esta regla, el curveo natural de los dedos de la mano derecha cuando éstos se doblan sobre la palma representa la tendencia para la rotación. En dos dimensiones, este vector se representa con la flecha curva como en la figura b. Por consiguiente, el sentido de rotación puede ser anti horario (positivo) u horario (negativo) 4.4 Formulación vectorial del momento de una fuerza respecto a un punto: El momento de una fuerza F con respecto al punto O, es decir, con respecto al eje del momento que pasa por O y es perpendicular al plano que contiene a O y a F, puede expresarse por el producto vectorial. M o  r  F j k o x ry rz F x F y F Z Aquí r representa un vector de posición trazado desde O hasta cualquier punto que se encuentre sobre la línea de acción de F 4.5 Principio de momentos o Teorema de Varignon: “El momento con respecto a un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto O”. Asignatura: Mecánica Vectorial 41 obtener:  4.6 Momento de una fuerza con respecto a un eje: El momento de una fuerza respecto a un eje L se puede M eje   (r  F )  es el vector unitario del eje L r es el vector de posición trazado desde cualquier punto del eje a un punto cualquiera de la línea de acción de la fuerza.  x  y  z M eje  r x r y r z Fx Fy FZ 4.7 Momento de un par Se dice que dos fuerzas F y -F que tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos forman un par. Obviamente, la suma de las componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. Aunque las dos fuerzas no originarán una traslación del cuerpo sobre el que están actuando, éstas sí tenderán a hacer lo rotar. El momento de un par se da por la suma de los momentos de las fuerzas respecto a un punto O: r: Vector de posición que va del punto B al punto A cualesquiera. En la siguiente figura se verifica que la magnitud del momento par está dada por: Asignatura: Mecánica Vectorial 43 4.8 Pares equivalentes Se sabe que los vectores momento de los pares son vectores libres, se pueden sumar o restar independientemente de su posición en el espacio. Luego, el único movimiento que un par le pue de impartir a un cuerpo rígido es una rotación. Como cada uno de los tres pares mostrados tiene el mismo momento M (la misma dirección y la misma magnitud M = 120 lb. in), se puede esperar que los tres pares tengan el mismo efecto sobre la caja. 4.8 Reducción de un sistema de fuerzas a un sistema equivalente de fuerza y momento par. Considérese un sistema de fuerzas F1, F2, F3, . . . que actúan sobre un cuerpo rígido en los pun tos A1, A2, A3, . . ., definidos por los vectores de posición r1, r2, r3, etc. (fıgura a). La fuerza F1 puede ser trasladada de A1 a un pun to da do O, si se agrega al sistema original de fuerzas un par de momento M1, igual al momento r1 x F1 de F1 con respecto a O. Si se repite este procedimiento con F2, F3, ……., se obtiene el sistema mostrado en la fıgura b, que consta de: las fuerzas origina les, ahora actuando en O, y los vectores de par que han sido agregados. Como ahora las fuerzas son concurrentes, pueden ser sumadas vectorialmente y reemplazadas por su resultante R. De manera si mi lar, los vectores de par M1, M2, M3, ……. pueden sumarse vectorialmente y ser reemplazados por un solo vector par R oM . Por tanto cualquier sistema de fuerzas, sin importar qué tan complejo sea, pue de ser reducido a un Sistema equivalente fuerza-par que actúa en un punto dado O. (figura C). Asignatura: Mecánica Vectorial 46 SEGUNDA UNIDAD TEMA Nº 5: EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS Ya hemos aprendido que la estática es el análisis de cuerpos en equilibrio, incluidos los puentes, las presas y los edificios. Ahora que ya hemos aprendido a calcular momentos, podemos enfrentarnos a problemas de equilibrio más interesantes. En este tema establecemos las ecuaciones de equilibrio y describimos modelos sencillos de los diversos tipos de soportes utilizados en ingeniería. Luego mostramos cómo usar las ecuaciones de equilibrio para obtener información respecto a los sistemas de fuerzas y momentos que actúan sobre los cuerpos. 5.1 Condiciones para el equilibrio de un cuerpo rígido El sistema mostrado de fuerzas y momentos de par que actúan sobre un cuerpo (figura a) puede reducirse a una fuerza resultante y un momento de par equivalentes en cualquier punto arbitrario O sobre el cuerpo o fuera de él (figura b). La condición para el equilibrio es que tanto la fuerza como el momento de par resultantes sean iguales a cero. Matemáticamente, el equilibrio de un cuerpo se expresa como: Asignatura: Mecánica Vectorial 47  La primera de estas ecuaciones establece que la suma de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a cero. Ello verifica traslación nula.  La segunda ecuación establece que la suma de los momentos de todas las fuerzas en el sistema con respecto al punto O, añadida a todos los momentos de par es igual a cero. Con lo cual se verifica rotación nula. 5.2 Equilibrio en dos dimensiones: Muchas aplicaciones en ingeniería implican sistemas de fuerzas y momentos. Por ejemplo, fuerzas y momentos ejercidos sobre diferentes vigas y estructuras planas, pinzas, algunas grúas y otras máquinas, así como ciertos tipos de puentes y presas. Aquí analizamos soportes, diagramas de cuerpo libre y las ecuaciones de equilibrio para aplicaciones bidimensionales. Ecuaciones escalares de equilibrio en dos dimensiones. Cuando las cargas y las reacciones de un cuerpo en equilibrio forman un sistema bidimensional de fuerzas y momentos (momentos perpendiculares al plano), se encuentran relacionadas por tres ecuaciones escalares de equilibrio: punto0 0 0x y cualquierF F M     Soportes: Algunos tipos muy comunes de soportes se representan con modelos estilizados llamados convenciones de soporte. Los soportes reales a menudo se parecen a los modelos estilizados; pero, aunque no se parecieran, los representamos por medio de estos modelos si los soportes reales ejercen las mismas (o aproximadamente las mismas) reacciones que los modelos. MODELADO DE SOPORTES USADOS EN APLICACIONES BIDIMENSIONALES Asignatura: Mecánica Vectorial 48 Diagrama de cuerpo libre: Para construir el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo rígido o cualquier grupo de cuerpos considerados como un solo sistema, deben darse los siguientes pasos: 1º Trace el contorno: Idealice el cuerpo aislado o recortado “libre” de sus restricciones y conexiones, y delinee (en un bosquejo) su contorno. Asignatura: Mecánica Vectorial 51 PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 5 Tema: Equilibrio de Cuerpos Rígidos en 2D Sección : …………………………..……………………. Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana Apellidos : ……………………………..…………………………. Nombres : …………………………………..……………………. Fecha : …../..…/2016 Duración: Indic. Tiempo Tipo de Práctica: Individual ( ) Grupal ( ) INSTRUCCIONES: Resuelva cada problema en forma ordenada con procedimientos completos, diagramas y cálculos pertinentes. 1. Sin tomar en cuenta la fricción determine la tensión ene le cable ABD y la reacción en C, cuando θ = 60º . 2. Determine la mínima masa m1 del cilindro requerida para causar la pérdida de contacto en A. 3. Para la viga y las cargas mostradas, determine el rango de valores de W para los que la magnitud del par en D no excede 40 lb.ft. Asignatura: Mecánica Vectorial 52 4. La grúa está conectada mediante un pasador colocado en A y sujeta en B por un collar liso. Determine la posición x del gancho, que lleva una carga de 5000 lb, tal que genere las reacciones máximas y mínimas en los soportes. Calcule esas reacciones en cada caso. Ignore el peso de la grúa. Considere: 4 ≤ x ≤ 10 pies. 5. Determine una expresión general para la fuerza normal NA ejercida por la pared vertical lisa sobre la barra delgada y uniforme de masa m y longitud L. La masa del cilindro es m1, considere las poleas ideales. Determine además el valor de m1 para el cual se cumple que a) NA = mg/2 y b) NA = 0 Referencias bibliográficas consultadas y/o enlaces recomendados Beer F., Jhonston R., (2010). “Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática”. Décima edición. Mc. Graw-Hill Interamericana. México. Hibbeler, R.C. (2012). “Ingeniería Mecánica – Estática”. Décimo segunda edición. Pearson Educación. México. Meriam J.L. y Kraige L.G. (2007). “Mecánica para Ingenieros”. Estática. Séptima Edición. Editorial Reverté S.A. España. Asignatura: Mecánica Vectorial 53 TEMA N° 6: EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES Hemos visto que cuando un cuerpo en equilibrio está sometido a un sistema bidimensional de fuerzas y momentos, no se pueden obtener más de tres ecuaciones independientes de equilibrio. En el caso de un sistema tridimensional de fuerzas y momentos, se pueden obtener hasta seis ecuaciones independientes de equilibrio: las tres componentes de la suma de las fuerzas deben ser nulas y las tres componentes de la suma de los momentos respecto a cualquier punto deben también ser iguales a cero. El procedimiento para determinar las reacciones sobre cuerpos sometidos a sistemas tridimensionales de fuerzas y momentos -dibujar el diagrama de cuerpo libre y aplicar las ecuaciones de equilibrio- es el mismo que para el de dos dimensiones. Sólo se requiere familiarizarse con las convenciones de soporte usadas en las aplicaciones tridimensionales. 6.1 Equilibrio en tres dimensiones: Muchas aplicaciones en ingeniería implican sistemas de fuerzas y momentos en sistemas espaciales, por ejemplo, fuerzas y momentos ejercidos sobre estructuras espaciales, grúas y máquinas, así como techos, puentes y presas. Aquí analizamos soportes, diagramas de cuerpo libre y las ecuaciones de equilibrio para aplicaciones bidimensionales. Ecuaciones vectoriales de equilibrio en tres dimensiones: Las dos condiciones para lograr el equilibrio de un cuerpo rígido pueden ser expresadas matemáticamente en forma vectorial como: 0 0O F M     donde F es la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo y OM es la suma de los momentos de par y los momentos de todas las fuerzas con respecto a cualquier punto O localizado en o fuera del cuerpo. Ecuaciones escalares de equilibrio en tres dimensiones. Cuando las cargas y las reacciones de un cuerpo en equilibrio forman un sistema tridimensional de fuerzas y momentos, se encuentran relacionadas por seis ecuaciones escalares de equilibrio: 0 0 0 0 0 0 x y z x y z F F F M M M             Asignatura: Mecánica Vectorial 59 Diagrama de cuerpo libre: Para construir el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo rígido en tres dimensiones procedemos en forma análoga al análisis en dos dimensiones con las consideraciones de los soportes tridimensionales. Ejemplo: Para el letrero de densidad uniforme, apoyado en una rótula esférica en A y sujetado por cables en B y E. 6.2 Procedimiento para el análisis del equilibrio de una partícula en el espacio: 1º Diagrama de cuerpo libre.  Establezca los ejes x, y y z en una orientación adecuada.  Marque en el diagrama todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas y momentos de par conocidas y desconocidas.  Muestre las componentes desconocidas con un sentido positivo a lo largo de los ejes x, y y z.  Indique las dimensiones necesarias. 2º Aplique las ecuaciones de equilibrio.  Según la conveniencia se deben aplicar las ecuaciones escalares o las ecuaciones vectoriales.  En ocasiones serán necesarios usar ejes de dirección arbitraria para realizar la suma de fuerzas y momentos.  Si la solución produce un resultado negativo, esto indica que el sentido de la fuerza o momento de par es el inverso del mostrado sobre el diagrama de cuerpo libre. Asignatura: Mecánica Vectorial 60 PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 6 Tema: Equilibrio de Cuerpos Rígidos en 3D Sección : …………………………..………………. Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana Apellidos : ……………………………..…………………………. Nombres : …………………………………..……………………. Fecha : …../..…/2016 Duración: Indic. Tiempo Tipo de Práctica: Individual ( ) Grupal ( ) INSTRUCCIONES: Resuelva cada problema en forma ordenada con procedimientos completos, diagramas y cálculos pertinentes. 1. En la figura la placa está soportada por bisagras en A y en B, también por el cable CE. Las bisagras, propiamente alineadas, no generan pares sobre la placa, y la bisagra en A no genera una fuerza sobre la placa en la dirección del eje de la bisagra, además la magnitud del momento de la tensión en la cuerda respecto al eje z no debe ser mayor de 337Nm. Determine para tal condición el peso máximo de la placa que puede ser soportado por el sistema. 2. El elemento horizontal de peso despreciable está sujetado por una rótula en O, determine las magnitudes de las tensiones en los cables y la magnitud de la reacción en O. Asignatura: Mecánica Vectorial 61 3. La placa de peso W con centro de gravedad en G es soportada en el plano horizontal como se muestra, determine las magnitudes de cada una de las tensiones y el peso máximo a soportar si la tensión que soportan los cables no debe exceder a 27.3 kN. 4. El elemento de peso despreciable es soportado por una rótula en O, un cable AE y un cojinete de empuje (que no genera pares). Sobre la barra actúan una fuerza P y un par C, ambos paralelos al eje x. Determine las magnitudes de las reacciones en D y en O, así como la tensión en el cable. Referencias bibliográficas consultadas y/o enlaces recomendados Beer F., Jhonston R., (2010). “Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática”. Décima edición. Mc. Graw-Hill Interamericana. México. Hibbeler, R.C. (2012). “Ingeniería Mecánica – Estática”. Décimo segunda edición. Pearson Educación. México. Bedford Fowler. (2013) “Mecánica Vectorial para Ingenieros”. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. Estados Unidos. Meriam J.L. y Kraige L.G. (2007). “Mecánica para Ingenieros”. Estática. Séptima Edición. Editorial Reverté S.A. España. MECÁNICA VECTORIAL 64 Centroides de Líneas: Para alambres de sección constante. Centro de Gravedad de Áreas: Consideraciones importantes.  El centroide representa el centro geométrico de un cuerpo, es una propiedad geométrica y no considera los materiales del cuerpo. El centro de gravedad es una propiedad física y si considera los materiales que componen el cuerpo.  Este punto coincide con el centro de masa o con el centro de gravedad sólo si el material que compone el cuerpo es uniforme u homogéneo.  Las fórmulas usadas para localizar el centro de gravedad o el centroide simplemente representan un balance entre la suma de momentos de todas las partes del sistema y el momento de la “resultante” para el sistema.  En algunos casos, el centroide se ubica en un punto fuera del objeto, como en el caso de un anillo, donde el centroide está en el centro del anillo. Además, este punto se encontrará sobre cualquier eje de simetría del cuerpo. MECÁNICA VECTORIAL 65 Centroides de formas comunes de áreas y de líneas. Forma x y Área Área triangular h 3 bh 2 Un cuarto de área circular 4r 3 4r 3 r 2 4 Área semicircular 0 4r 3  r 2 2 Un cuarto de área elíptica 4a 3 4b 3 ab 4 Área semielíptica 0 4b 3 ab 2 Área semiparabólica 3a 8 3h 5 2ah 3 Área parabólica 0 3h 5 4ah 3 Enjuta parabólica 3a 4 3h 10 ah 3 Enjuta general n 1 a n  2 n 1 h 4n  2 ah n  1 Sector circular 2r sen 3 0  r 2 Forma x y Longitud Un cuarto de arco circular 2r  2r  r 2 Arco semicircular 0 2r   r Arco de círculo r sen  0 2 r MECÁNICA VECTORIAL 66 Determinación de Centroides por Integración El centro de gravedad o centroide de un objeto o forma, se puede determinar mediante integraciones simples por el siguiente procedimiento. 1º Seleccionar un elemento diferencial. Seleccione un sistema coordenado apropiado, especifique los ejes coordenados, y luego elija un elemento diferencial para la integración: Para líneas dL, para áreas: dA, con una longitud finita y ancho diferencial, para volúmenes, el elemento puede ser un disco circular de volumen dV, con un radio finito y espesor diferencial. 2º Tamaño y brazos de momento. Exprese la longitud dL, el área dA, o el volumen dV del elemento en términos de las coordenadas que describen la curva. Exprese los brazos de momento para el centroide o centro de gravedad del elemento en términos de las coordenadas que describen la curva. 3º Integraciones. Sustituya las formulaciones para dL, dA o dV en las ecuaciones apropiadas y exprese la función en el integrando en términos de la misma variable aplicada al espesor del elemento. Los límites de la integral se definen a partir de las dos ubicaciones extremas del espesor diferencial del elemento, de manera que cuando los elementos se “suman” o la integración se realiza, toda la región queda cubierta. 8.2 Cuerpos compuestos: Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos “más simples” conectados, los cuales pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etcétera. Un cuerpo de este tipo a menudo puede ser seccionado o dividido en sus partes componentes y, si se conocen el peso y la ubicación de cada una de esas partes, es posible eliminar la necesidad de la integración para determinar el centro de gravedad de todo el cuerpo. Veamos el caso de una placa mostrada en la figura siguiente: Procedimiento para determinar el centroide de un cuerpo compuesto: 1º Separar el cuerpo en partes de formas conocidas. 2º Determinar el centroide de cada parte por separado. Además determinar el área de cada parte y el área total. MECÁNICA VECTORIAL 69 3. Para el elemento de máquina que se muestra en la figura, localice las coordenadas del centro de gravedad. 4. Localice el centroide al área sombreada. 5. Localice el centroide del alambre que se dobla en la forma que se muestra. Referencias bibliográficas consultadas y/o enlaces recomendados Hibbeler, R.C. (2012). “Ingeniería Mecánica – Estática”. Décimo segunda edición. Pearson Educación. México. Meriam J.L. y Kraige L.G. (2007). “Mecánica para Ingenieros”. Estática. Séptima Edición. Editorial Reverté S.A. España. MECÁNICA VECTORIAL 70 TEMA N° 8: FUERZAS DISTRIBUIDAS Existen situaciones en las que un cuerpo puede estar sometido a una carga que se encuentra distribuida por toda su superficie. Por ejemplo, la presión del viento sobre la superficie de un señalamiento, la presión del agua dentro de un tanque o en una presa como en la fotografía previa, o el peso de la arena sobre el piso de un contenedor de almacenaje, son todas cargas distribuidas. La presión ejercida sobre cada punto de la superficie indica la intensidad de la carga. Ésta se mide por pascales Pa (o N/m2) en unidades SI o lb/pie2 en el sistema de uso común en Estados Unidos. Carga distribuida de viento sobre la torre Carga distribuida del agua sobre la pared de la presa MECÁNICA VECTORIAL 71 9.1 CARGA UNIFORME A LO LARGO DE UN SOLO EJE Si la viga de la figura es de ancho constante y está sometida a una carga de presión que actúa sólo a lo largo del eje x, esta carga se puede describir como una función p =p(x) en N/m2 y se puede representar como una carga distribuida coplanar y se cumple que: w(x) = p (x) b. Este sistema de fuerzas paralelas se puede representar por una fuerza equivalente FR que actúa en una ubicación específica sobre la viga. Magnitud de la carga distribuida La fuerza resultante que representa la carga distribuida es equivalente al área bajo el diagrama de carga. Ubicación de la carga distribuida Esta coordenada en el eje x ubica el centroide C del área bajo la curva: MECÁNICA VECTORIAL 74 4. Cuando el agua de la marea A desciende, la compuerta de marea gira automáticamente abriéndose para drenar el agua de la ciénaga B. Para la condición de marea alta mostrada, determine las reacciones horizontales desarrolladas en la articulación e y en el tope D. La longitud de la compuerta es de 6 m y su altura de 4 m. pagua = 1 .0 Mg/m3. 5. La sección transversal de un dique de concreto tiene la forma que se muestra en la figura. Para una sección del dique de 1 ft de ancho, determine a) la resultante de las fuerzas de reacción ejercidas por el suelo sobre la base AB del dique, b) el punto de aplicación de la resultante de las fuerzas de reacción encontradas en el inciso a) y c) la resultante de las fuerzas de presión ejercidas por el agua sobre la cara BC del dique. Referencias bibliográficas consultadas y/o enlaces recomendados Beer F., Jhonston R., (2010). “Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática”. Décima edición. Mc. Graw-Hill Interamericana. México. Hibbeler, R.C. (2012). “Ingeniería Mecánica – Estática”. Décimo segunda edición. Pearson Educación. México. Bedford Fowler. (2013) “Mecánica Vectorial para Ingenieros”. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. Estados Unidos. Meriam J.L. y Kraige L.G. (2007). “Mecánica para Ingenieros”. Estática. Séptima Edición. Editorial Reverté S.A. España. MECÁNICA VECTORIAL 75 TEMA Nº 9: ANALISIS ESTRUCTURAL ARMADURAS DEFINICIÓN DE ARMADURA Uno de los principales tipos de estructuras que se usan en la ingeniería es la armadura. Ésta proporciona una solución práctica y económica para muchas situaciones de ingeniería, en especial para el diseño de puentes y edificios. Una armadura consta de elementos rectos que se conectan en nodos. Los elementos de la armadura sólo están conectados en sus extremos; por tanto, ningún elemento continúa más allá de un nodo. Por ejemplo, en la figura no existe un elemento AB, en su lugar existen dos elementos distintos AD y DB. La mayoría de las estructuras reales están hechas a partir de varias armaduras unidas entre sí para formar una armadura espacial. Cada armadura está diseñada para soportar aquellas cargas que actúan en su plano y, por tanto, pueden ser tratadas como estructuras bidimensionales. Los elementos de una armadura, por lo general, son delgados y sólo pueden soportar cargas laterales pequeñas; por eso todas las cargas deben estar aplicadas en los nodos y no sobre los elementos. Cuando se va a aplicar una carga concentrada entre dos nodos o cuando la armadura debe soportar una carga distribuida, como en el caso de la armadura de un puente, debe proporcionarse un sistema de piso, el cual, mediante el uso de travesaños y largueros, transmite la carga a los nodos. Los pesos de los elementos de la armadura los cargan los nodos. Cada elemento de una armadura puede considerarse como un elemento a dos fuerzas. MECÁNICA VECTORIAL 76 Armaduras típicas Armaduras simples Estas armaduras consisten de sistemas formados básicamente de tres barras unidas por pasadores en sus extremos, formando un triángulo, y luego agregando dos nuevas barras por cada nuevo nudo formamos armaduras cada vez màs grandes. La experiencia verifica que una configuración triangular es la mejor forma de disponer las barras para soportar cargas sin desplomarse, es decir, se obtiene un sólido rígido estable. Armadura plana: Es aquella en la cual las barras y demás elementos de la armadura están contenidos en un mismo plano. Elementos de una armadura  Barras o elementos: AB, BC, AH, BH, ……  Nudos o nodos: A, B, C, H, ……… MECÁNICA VECTORIAL 79 c) En la sección elegida se deben graficar las fuerzas externas, reacciones en apoyos si los hubiera y las fuerzas internas en las barras cortadas. d) Se aplican las condiciones del equilibrio a la sección elegida: (ΣF=0, ΣM=0) determinando así las fuerzas en las barras que se desean analizar. En ocasiones se requieren hacer varios cortes para obtener resultados esperados. Asignatura: Mecánica Vectorial 80 PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 9 Tema: Análisis Estructural – Armaduras Sección : …………………………..……………………. Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana Apellidos : ……………………………..……………………… Nombres : …………………………………..…………………. Fecha : …../..…/2016 Duración: Indic. Tiempo INSTRUCCIONES: Resuelva cada problema en forma ordenada con procedimientos completos, diagramas y cálculos pertinentes. 1. Determine en cada caso las fuerzas en cada elemento de las armaduras mostradas: (Considere recto el ángulo ABD en la primera armadura) 2. Despreciando los pesos de los elementos de la armadura, cuyas dimensiones están en metros, apoyada en un pasador en A y en un rodillo en G. Determine la magnitud de la fuerza en el elemento DH y PI. 3. Despreciando los pesos de los elementos, determine, indicando si existe tensión o compresión las fuerzas axiales en los elementos GH, y CD. Asignatura: Mecánica Vectorial 81 4. La armadura representada por triángulos rectángulos isósceles. Los miembros que se cruzan en los dos tramos del centro son varillas delgadas que no pueden trabajar a compresión. Conservar las dos varillas que trabajan a tensión y calcular sus valores. Determine además la fuerza en el miembro MN. 5. Si la fuerza máxima que cualquier miembro puede soportar es de 4kN en tensión y 3 kN en compresión, determine la fuerza máxima P que puede ser soportada en el punto B. Considere d = 1m. Referencias bibliográficas consultadas y/o enlaces recomendados Beer F., Jhonston R., (2010). “Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática”. Décima edición. Mc. Graw-Hill Interamericana. México. Hibbeler, R.C. (2012). “Ingeniería Mecánica – Estática”. Décimo segunda edición. Pearson Educación. México. Meriam J.L. y Kraige L.G. (2007). “Mecánica para Ingenieros”. Estática. Séptima Edición. Editorial Reverté S.A. España. Asignatura: Mecánica Vectorial 84 N esta dirigida hacia arriba, para equilibrar el peso W. N actua a cierta distancia x a la derecha de la linea de accion de W Esta localizacion es el centroide o el centro geometrico del diagrama de cargas, de manera que aplicada en ese punto, equilibra el efecto de “inclinacion o volcado” causado por P. Movimiento inminente Cuando P se incrementa lentamente, F aumenta de manera similar hasta que toma un valor maximo FS, llamado el limite de fuerza estatica de friccion. Este limite de friccion estatica Fs es directamente proporcional a la fuerza resultante normal N. Fs sN La constante de proporcionalidad μs se conoce como el coeficiente de friccion estatica. El angulo Φs que Fs forma con N se llama angulo de friccion estatica. F arctan arctan arctan( )s ss s N N N                Valores tipicos de μs Asignatura: Mecánica Vectorial 85 Movimiento Cuando P es mayor que Fs, la fuerza de friccion toma un valor que es ligeramente menor que Fs, llamada fuerza de friccion cinetica. El bloque no se mantendra en equilibrio (P > Fs) sino que deslizara acelerándose. La caida de Fs (estatica) a Fk (cinetica) se puede explicar examinando las superficies de contacto. Cuando P > Fs, P tiene la capacidad de suavizar o “cortar” las protuberancias. La fuerza resultante Fk es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza normal resultante. N, Fk = μkN. La constante de proporcionalidad μk es el coeficiente de friccion cinetica. μk es tipicamente 25% mas pequeno que μs La resultante Rk tiene una linea de accion definido por Φk, (el angulo de friccion cinetica) F arctan arctan arctan( )k kk k N N N                F es la fuerza de friccion estática si se mantiene el equilibrio. F es la fuerza límite de fricción estática cuando alcanza el valor maximo necesario en el que se puede manterner el euilibrio Fs. F se llama de friccion cinética cuando ocurre deslizamiento entre las superficies en contacto. Asignatura: Mecánica Vectorial 86 10.3. Cuñas Una cuña es una maquina simple que se usa para transformar una fuerza aplicada en otra mucho mas grande, dirigida aproximadamente a 90 grados de la fuerza aplicada. Tambien se usan las cunas para dar un pequeño desplazamiento o para ajustar una carga pesada. Ejemplo una cuña para levantar un bloque de peso W aplicando una fuerza P a la cuña DCL de la cuña y el bloque: Excluimos el peso de la cuña porque es pequeño comparado con el del bloque. Asignatura: Mecánica Vectorial 90 TEMA Nº 11: MOMENTO DE INERCIA La cantidad denominada momento de inercia aparece con frecuencia en los análisis de problemas de ingeniería. Por ejemplo, los momentos de inercia de áreas se utilizan en el estudio de fuerzas distribuidas y en el cálculo de deflexiones de vigas. El momento ejercido por la presión sobre una placa plana sumergida se puede expresar en términos del momento de inercia del área de la placa. En dinámica, los momentos de inercia de masa se usan para calcular los movimientos rotatorios de objetos. Para estudiar estas aplicaciones, los momentos de inercia deben ser parte de nuestro "vocabulario" técnico. En este tema mostraremos cómo calcular los momentos de inercia de áreas simples o de cuerpos y luego usaremos resultados llamados teoremas de los ejes paralelos para calcular los momentos de inercia de áreas o cuerpos más complejos. Para el caso de vigas con cargas laterales éstas hacen que la viga se flexione; por tanto, la viga debe ser resistente a la flexión para soportar cargas. La resistencia a la flexión depende directamente del momento de inercia del área de su sección transversal. A mayor momento de inercia la viga aumenta su resistencia. En condiciones reales, la forma de las secciones transversales de las vigas, como los pasos a desnivel carreteros, o de vías férreas, o de marcos de edificios están configurados para tener grandes momentos de inercia. Momentos de Inercia de un área La propiedad del área de una sección transversal que determina la resistencia a la flexión respecto a un eje particular de una viga se denomina momento de inercia del área. Respecto a la figura se define: Asignatura: Mecánica Vectorial 91 Ix = Momento de inercia del área A respecto al eje x. Iy = Momento de inercia del área A respecto al eje y. Tener presente que los momentos de inercia son cantidades siempre positivas, no nulas, y sus unidades son m4 (SI), pie4 (sistema inglés). Momento de inercia polar: Además de los momentos de inercia respecto a los ejes anteriores, muy importante para rotación de placas se define respecto al polo O o eje z, donde r es la distancia perpendicular desde el polo hasta el elemento dA: Se verifica, dado que: Radio de giro de un área: El radio de giro de un área respecto a un eje tiene unidades de longitud y es una cantidad que se usa a menudo en mecánica estructural para el diseño de columnas, se determinan así: kx  I x ; A k y  I y ; A kz  I z A Los radios de giro son cantidades siempre positivas, no nulas, y sus unidades son m (SI), pie (sistema inglés). Teorema de los ejes paralelos para un área: También llamado Teorema de Steiner. El teorema de los ejes paralelos puede usarse para determinar el momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje que sea paralelo a un eje que pasa a través de su centroide y del cual se conozca el momento de inercia. Donde: son los momentos de inercia del área A respecto a los ejes centroidales. ”El momento de inercia de un área con respecto a un eje es igual al momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo que pase a través del centroide del área, más el producto del área y el cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes”. Asignatura: Mecánica Vectorial 92 Producto de inercia: La propiedad de un área, llamada el producto de inercia, es necesaria a fin de determinar los momentos de inercia máximo y mínimo para el área. Estos valores máximo y mínimo son propiedades importantes necesarias para diseñar elementos estructurales y mecánicos como vigas, columnas y flechas. El producto de inercia del área de la figura siguiente con respecto a los ejes x y y se define como:  El producto de inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia, por ejemplo, m4, mm4 o pies4, pulg4. Sin embargo, como x o y pueden ser cantidades negativas.  El producto de inercia puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de la ubicación y orientación de los ejes coordenados. Por ejemplo, el producto de inercia Ixy para área será cero si el eje x, o el eje y, es un eje de simetría para el área, como en la figura mostrada a continuación. Aquí, cada elemento dA localizado en el punto (x, y) tiene un elemento dA correspondiente en (x, -y). Como los productos de inercia para esos elementos son, respectivamente, xy dA y _xy dA, la suma algebraica o integración de todos los elementos que se elijan de esta manera se cancelarán uno a uno. En consecuencia, el producto de inercia para el área total se convierte en cero. De la definición también se infiere que el “signo” de esta cantidad depende del cuadrante donde se ubique el área. Como en el gráfico siguiente se muestra el, si el área se gira de un cuadrante a otro, el signo de Ixy cambiará. Asignatura: Mecánica Vectorial 95 PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 11 Tema: Momento de Inercia Sección : …………………………..……………………. Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana Apellidos : ……………………………..…………………………. Nombres : …………………………………..……………………. Fecha : …../..…/2016 Duración: Indic. Tiempo Tipo de Práctica: Individual ( ) Grupal ( ) INSTRUCCIONES: Resuelva cada problema en forma ordenada con procedimientos completos, diagramas y cálculos pertinentes. 1. Para las secciones transversales de las vigas mostradas. ¿Cuál tiene mayor momento de inercia respecto al eje x? 2. En cada caso, para el área sombreada determine el momento de inercia con respecto al eje x y al eje y, además el radio de giro para cada eje. 3. Como se muestra en la figura, dos ángulos de L76 x76 x 6.4 mm se sueldan a un canal C250 x 22.8. Determine los momentos de inercia de la sección combinada con respecto a los ejes centroidales paralelo y perpendicular al alma del canal, respectivamente. Asignatura: Mecánica Vectorial 96 4. Dos canales se sueldan a una placa de acero de d x 12 in., como se muestra en la figura. Determine el ancho d para el cual la relación de los momentos de inercia de los momentos de inercia centroidales de la sección es 16. 5. Dos ángulos de L5 x 3 x 0.5 in. se sueldan a una placa de acero de 0.5 in. Determine la distancia b y los momentos centroidales de inercia ̅� e ̅y de la sección combinada si se sabe que Iy = 4 Ix . Referencias bibliográficas consultadas y/o enlaces recomendados Beer F., Jhonston R., (2010). “Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática”. Décima edición. Mc. Graw-Hill Interamericana. México. Hibbeler, R.C. (2012). “Ingeniería Mecánica – Estática”. Décimo segunda edición. Pearson Educación. México. Bedford Fowler. (2013) “Mecánica Vectorial para Ingenieros”. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. Estados Unidos. Asignatura: Mecánica Vectorial 97 TEMA Nº 12: TRABAJO VIRTUAL El Principio de Trabajos Virtuales (P.T.V.) fue utilizado por Galileo (1564-1642) para el diseño y cálculo de mecanismos y desarrollado teóricamente con un enunciado más matemático y formal por Lagrange (1736-1813), ya que desarrolla la teoría variacional y escribe su “Mecánica Analítica” donde coloca las bases de dicha disciplina. No obstante a lo anterior el núcleo teórico del P.T.V. fue enunciado por Santiago Bernouilli (1654-1705) y por Daniel Bernouilli (1700-1782): “Si una estructura, estando en equilibrio, sufre una deformación virtual debido a la acción de una carga adicional, el trabajo virtual externo de la carga en cuestión, es igual al trabajo virtual interno, desarrollado por las tensiones causadas por la carga”. En cuanto a lo que concierne a la mecánica de cuerpos rígidos, dado que por definición estos cuerpos no sufren deformación sino desplazamientos, el P.T.V. debe ser reformulado. El mismo fue enunciado por Johann Bernouilli en el año 1717 de la siguiente manera: “Dado un cuerpo rígido mantenido en equilibrio por un sistema de fuerzas, el trabajo virtual efectuado por este sistema, durante un desplazamiento virtual, es nulo”. Por tal motivo algunos autores prefieren llamar la P.T.V como Principio de los Desplazamientos Virtuales (P.D.V.), sin embargo en el presente texto se conservar´a la denominación original. Trabajo Para empezar definiremos algunos conceptos que serviran de base al Principio de Trabajos Virtuales. Trabajo de una Fuerza. Consideremos una partícula A, mostrada en la figura, que sufre un desplazamiento dr debido a la aplicación de una fuerza F . La partícula material A, cuyo vector posición inicial es r , pasa a ocupar la posición A’ definida por el verctor r +dr . El trabajo de la fuerza F correspondiente al desplazamiento dr se define como: Asignatura: Mecánica Vectorial 100 Trabajo virtual Los trabajos que hemos definido eran realizados en desplazamientos reales, en movimientos que ocurren. Pero también podemos imaginarnos unos desplazamientos hipotéticos, que no tienen por qué ocurrir: a esos desplazamientos se les llama desplazamientos virtuales, y al trabajo realizado por las fuerzas en esos desplazamientos ficticios, recibe el nombre de trabajo virtual. Para distinguir desplazamientos reales y virtuales, utilizaremos el símbolo delta ( ) para designar los desplazamientos virtuales y los trabajos virtuales correspondientes. rU F  Donde: r : desplazamiento virtual. Principio de los trabajos virtuales Un sistema de cuerpos rígidos conectados está en equilibrio si y sólo si el trabajo virtual realizado por todas las fuerzas y pares exteriores que actúan sobre el sistema es igual a cero para cualquier desplazamiento virtual: En posición de equilibrio: r ri i i U F    Se puede aplicar, dadas las fuerzas, para determinar la posición de equilibrio o a la inversa, para calcular cuanto debe valer alguna fuerza para que haya equilibrio en una posición determinada. Aunque se puede aplicar para cualquier desplazamiento del sistema, conviene utilizar desplazamientos compatibles con los enlaces para minimizar el número de fuerzas que den trabajo. Hay además que expresarlo sólo en función de las coordenadas independientes Asignatura: Mecánica Vectorial 101 PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 12 Tema: Trabajo virtual Sección : …………………………..……………………. Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana Apellidos : ……………………………..…………………………. Nombres : …………………………………..……………………. Fecha : …../..…/2016 Duración: Indic. Tiempo Tipo de Práctica: Individual ( ) Grupal ( ) INSTRUCCIONES: Resuelva cada problema en forma ordenada con procedimientos completos, diagramas y cálculos pertinentes. 1. El sistema de la figura se usa para transportar personas de un nivel a otro , usando un mecanismo que aplica un par M a la barra AD. El peso del viajero, asiento y barra CD es W1, actuando en G. Las otras dos barras son idénticas y uniformes, pesando cada una W2. Hallar la relación entre M y el ángulo de equilibrio. 2. Las barras articuladas AB y BC tienen longitudes de 3 y 4 m. Un hilo ideal une los puntos medios de ambas barras. La única carga que se considera es la vertical aplicada en B de 250 N. El sistema está en equilibrio en la posición representada. Determinar mediante el método de los trabajos virtuales, la tensión en el cable 3. Con el metodo de trabajo virtual, determine la magnitud del par M requerido para mantener en equilibrio el mecanismo mostrado en la figura . Asignatura: Mecánica Vectorial 102 4. Determine la fuerza vertical P que debe aplicarse en G para mantener el equilibrio del mecanismo que muestra cada figura. 5. Para el mecanismo mostrado en la figura, determine las expresiones para θ y para la tension en el resorte que corresponden a la posicion de equilibrio. El resorte de constante k tiene una longitud sin estirar h. Por esto ignore el peso del mecanismo. Referencias bibliográficas consultadas y/o enlaces recomendados Beer F., Jhonston R., (2010). “Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática”. Décima edición. Mc. Graw-Hill Interamericana. México. Hibbeler, R.C. (2012). “Ingeniería Mecánica – Estática”. Décimo segunda edición. Pearson Educación. México. Bedford Fowler. (2013) “Mecánica Vectorial para Ingenieros”. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. Estados Unidos.