MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS capitulo 2, Resúmenes de Estática

¡Descarga MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS capitulo 2 y más Resúmenes en PDF de Estática solo en Docsity! 2.1 CAPÍTULO 2 ESTÁTICA DE PARTÍCULAS Introducción 2.2 Fuerza sobre una partícula. Resultante de dos fuerzas 2.3 Vectores 2.4 Adición o suma de vectores 2.5 Resultante de varias fuerzas concurrentes 2.6 Descomposición de una fuerza en sus componentes 2.7 Componentes rectangulares de una fuerza. Vectores unitarios 2.8 Adición de fuerzas sumando sus componentes X y Y 2.9 Equilibrio de una partícula 2.10 Primera ley del movimiento de Newton 2.11 Problemas relacionados con el equilibrio de una partícula. Diagramas de cuerpo libre 2.12 Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio 2.13 Fuerza definida en términos de su magnitud y dos puntos sobre su línea de acción 2.14 Adición de fuerzas concurrentes en el espacio 2.15 Equilibrio de una partícula en el 16 espacio Figura 2.1 2.1. INTRODUCCIÓN En este capítulo se estudiará el efecto de las fuerzas que actúan so- bre las partículas. Primero se aprenderá a sustituir dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula por una sola fuerza que tenga el mis- mo efecto que ellas. Esta fuerza equivalente sola es la resultante de las fuerzas varias que actúan sobre la partícula. Después se derivarán las relaciones que existen entre las distintas fuerzas que actúan sobre una partícula en un estado de equilibrio y se usarán para determinar algu- nas de las fuerzas que actúan sobre dicha partícula. El uso de la palabra “partícula” no significa que este capítulo se li- mite al estudio de pequeños corpúsculos. Quiere decir que el tamaño y la forma de los cuerpos en consideración no afectará en la solución de los problemas tratados en este capítulo, y que todas las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo dado se supondrán aplicadas en un mismo punto. Puesto que tal suposición se verifica en muchas aplicaciones prácticas, se podrán resolver un buen número de problemas de inge- niería. La primera parte de este capítulo está dedicada al estudio de las fuerzas obtenidas en un mismo plano y la segunda al análisis de las fuer- zas en el espacio tridimensional. FUERZAS EN UN PLANO 2.2. FUERZA SOBRE UNA PARTÍCULA. RESULTANTE DE DOS FUERZAS Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y se caracte- riza por su punto de aplicación, magnitud o módulo y dirección. Pero las fuerzas sobre una partícula tienen el mismo punto de aplicación. Por tanto, cada fuerza considerada en este capítulo estará completa- mente definida por su magnitud o módulo y dirección. La magnitud o módulo de una fuerza se caracteriza por cierto nú- mero de unidades. Como se indicó en el capítulo 1, las unidades del Sl usadas por los ingenieros para medir la magnitud de una fuerza son el newton (N) y su múltiplo el kilonewton (kN), igual a 1 000 N, mien- tras que las unidades del sistema de uso común en Estados Unidos, empleadas con el mismo fin, son la libra (Ib) y su múltiplo la kilolibra (kip), igual a 1000 Ib. La dirección de una fuerza se define por la lí- nea de acción y el sentido de la fuerza, La línea de acción es la lnea recta infinita a lo largo de la cual actúa la fuerza; se caracteriza por el ángulo que forma con algún eje fijo (figura 2.1). a) b) La fuerza en sí se representa por un segmento de esa línea; me- diante el uso de una escala apropiada, puede escogerse la longitud de este segmento para representar la magnitud de la fuerza. Finalmente, el sentido de la fuerza debe indicarse por una punta de flecha. En la definición de una fuerza es importante indicar su sentido. Dos fuerzas como las mostradas en las figuras 2.1a y b, que tienen la misma mag- nitud y la misma línea de acción pero diferente sentido, tendrán efec- tos opuestos sobre una partícula. La evidencia experimental muestra que dos fuerzas P y Q que actúan sobre una partícula A (figura 2.2a) pueden sustituirse por una sola fuerza R que produce el mismo efecto sobre la partícula (figura 2.2c). A esta fuerza se le llama resultante de las fuerzas P y Q y puede obtenerse, como se muestra en la figura 2.2b, constru- yendo un paralelogramo con P y Q como lados. La diagonal que pasa por A representa la resultante. Esto se conoce como la ley del paralelogramo para la adición de dos fuerzas, y se basa en la eviden- cia experimental; no puede probarse ni derivarse de manera matemá- tica. 2.3. VECTORES En apariencia las fuerzas no obedecen las reglas de la adición defini- das en la aritmética o en el álgebra ordinaria. Por ejemplo, dos fuer- zas que actúan formando un ángulo recto, una de 4 lb y otra de 3 lb, suman una fuerza de 5 lb y no una de 7 lb. La fuerzas no son las úni- cas cantidades que siguen la ley del paralelogramo para la adición. Co- mo se verá más adelante, los desplazamientos, velocidades, aceleracio- nes y momentos son otros ejemplos de cantidades físicas que poseen magnitud y dirección y que se suman siguiendo la ley del paralelogra- mo. Estas cantidades pueden representarse matemáticamente por vec- tores, mientras que aquellas cantidades físicas que no tienen direc- ción, como volumen, masa o energía se representan por números ordi- narios o escalares. Los vectores se definen como expresiones matemáticas que po- seen magnitud, dirección y sentido, los cuales se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Los vectores se representan por fle- chas en las ilustraciones y se distinguen de las cantidades escalares en este texto mediante el uso de negritas (P). En la escritura a mano, un vector puede caracterizarse dibujando una pequeña flecha arriba de la letra usada para representarlo (P) o subrayando la letra (P). El úl- timo método es preferible puesto que el subrayado también puede usarse en una máquina de escribir o computadora. La magnitud de un vector determina la longitud de la flecha correspondiente. En este li- bro se usarán letras cursivas para representar la magnitud de un vec- tor. Así, la magnitud del vector P se representa como P. Un vector con el que se representa una fuerza que actúa sobre una partícula tiene un punto de aplicación bien definido, a saber, la partí- cula misma. A tal vector se le llama vector fijo o ligado, y no puede cambiarse su posición sin modificar las condiciones del problema. Sin embargo, otras cantidades físicas, como los pares (véase capítulo 3), se pueden representar por vectores que pueden moverse libremente en el espacio; a estos vectores se les conoce como libres. Existen otras can- tidades físicas, como las fuerzas sobre un cuerpo rígido (véase capítu- A Figura 2.2 a) c) 2.3. Vectores 17 20 Estática de partículas Figura 2.12 P /, Figura 2.13 15P 2P Si los vectores dados son coplanares, es decir, si están contenidos en el mismo plano, su suma puede obtenerse fácilmente en forma grá- fica. En ese caso, se prefiere la aplicación repetida de la regla del trián- gulo en vez de la ley del paralelogramo. En la figura 2.9 la suma de los tres vectores P, Q y $ se obtuvo de esta forma: la regla del triángulo se aplicó primero para obtener la suma P + Q de los vectores P y Q; y volvió a aplicarse para obtener la suma de los vectores P + Q y $. Sin embargo, la determinación del vector P + Q pudo haberse omiti- do; obteniéndose directamente la suma de los tres vectores, como se muestra en la figura 2.10, acomodando los vectores en la forma de cola a punta y conectando la cola del primer vector con la punta del último. Ésta se conoce como la regla del polígono para la adición de vectores. Se observa que el resultado obtenido permanecerá sin cambio si, como se muestra en la figura 2.11, los vectores Q y $ se hubieran reem- plazado por la suma de Q + $. Entonces se puede escribir P+Q+S=(P+Q)+S=P+(Q+8) (2.4) esta ecuación expresa el hecho de que la adición de vectores es aso- ciativa. Es importante recordar que ya se demostró que la suma vec- torial de dos vectores es también conmutativa, por lo que se escribe P+Q+S=(P+Q)+S=S+(P+Q) (25) =S+(Q+P)=S+Q+P : Esta expresión, junto con otras que pudieran obtenerse en la misma forma, muestra que el orden en que se sumen varios vectores no im- porta (figura 2.12). Producto de un escalar y un vector. Como es conveniente representar la suma P + P como 2P, a la suma P + P + P como 3P, y en general a la suma de n vectores P iguales como el producto nP, se definirá el producto nP de un entero positivo n y un vector P, co- mo un vector que tiene la misma dirección que P y magnitud nP (léa- se n veces P). Al ampliar esta definición para incluir a todos los esca- lares y si recordamos la definición de un vector negativo dada en la sección 2.3, se define el producto kP de un escalar k y un vector P co- mo un vector que tiene la misma dirección y sentido que P (si k es po- sitivo), o la misma dirección pero sentido opuesto al de P (si k es ne- gativo) y una magnitud igual al producto de P y el valor absoluto de k (figura 2.13). 2.5. RESULTANTE DE VARIAS FUERZAS CONCURRENTES Considérese una partícula A sujeta a varias fuerzas coplanares, es de- cir, a varias fuerzas contenidas en el mismo plano (figura 2.14a). Co- mo todas estas fuerzas pasan por A, se dice que son concurrentes. Los vectores que representan las fuerzas que actúan sobre A pueden su- marse con la regla del polígono (figura 2.14b). Puesto que el uso de la regla del polígono es equivalente a la aplicación repetida de la ley del paralelogramo, el vector R obtenido representa la resultante de las fuer- zas concurrentes que intervienen, es decir, la fuerza que produce el mismo efecto sobre la partícula A que las fuerzas dadas. Como se in-  Figura 2.14 dicó antes, no importa el orden en el que se sumen los vectores P, Q y $ que representan las fuerzas sobre la partícula. 2.6. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUS COMPONENTES Se ha visto que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula pue- den sustituirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la partícula. De la misma manera, una sola fuerza F que actúa so- bre una partícula puede reemplazarse por dos o más fuerzas que pro- duzcan juntas el mismo efecto sobre la partícula. A estas fuerzas se les llama componentes de la fuerza original F, y al proceso de sustituirlas en lugar de F se le llama descomposición de la fuerza E en sus compo- nentes. En este sentido, para cada fuerza F existe un número infinito de conjuntos de componentes. Los conjuntos de dos componentes P y Q son los más importantes en cuanto a aplicaciones prácticas se refiere. Pero aun en este caso, el número de formas en las que una fuerza F puede descomponerse en sus componentes es ilimitado (figura 2.15). Dos casos son de especial interés: 1. Una de las dos componentes, P, se conoce. La segunda com- ponente, Q, se obtiene aplicando la regla del triángulo y uniendo la punta de P a la punta de F (figura 2.16); la magnitud, la dirección y el sentido de Q se determinan gráficamente o por trigonometría. Una vez que Q se ha determinado, ambas componentes P y Q deben aplicarse en A. 2. Se conoce la línea de acción de cada una de las componentes. La magnitud y el sentido de las componentes se obtiene al aplicar la ley del paralelogramo y trazando líneas, por la pun- ta de F, paralelas a las líneas de acción dadas (figura 2.17). De esta forma se obtienen dos componentes bien definidas P y Q, que pueden determinarse gráficamente o por trigono- metría aplicando la ley de los senos. Pueden encontrarse muchos otros casos; por ejemplo, cuando la dirección de una de las componentes se conoce y se busca que la mag- nitud de la otra sea lo más pequeña posible (véase problema resuelto 2,2). En todos los casos se traza un triángulo o un paralelogramo ade- cuado que satisfaga las condiciones. 2.6. Descomposición de una fuerza en sus componentes Figura 2.15 F A Figura 2.16 Figura 2.17 22 PROBLEMA RESUELTO 2.1 Las dos fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determínese su resultante. SOLUCIÓN Solución gráfica. Dibuje a escala un paralelogramo con lados iguales a P y Q. La magnitud y la dirección de la resultante se miden y se encuen- tra que son R=98N a=35% R=98N 235 «4 También puede usarse la regla del triángulo. Las fuerzas P y Q se dibu- jan de punta a cola y otra vez se obtienen la magnitud y la dirección de la re- sultante por medición directa. R=98N a =350 R=98N 235 4 Solución trigonométrica. Se usa otra vez la regla del triángulo; los dos lados y el ángulo que se forma entre ellos se conocen. Se aplica la ley de los cosenos. R? =P? + Q?— 2PQ cos B R? = (40 N)? + (60 N)? — 2(40 N)(60 N) cos 155" R=97.713N Ahora con la aplicación de la ley de los senos, se escribe senA _senB senA _ sen 155% OQ R 60N 97.73 N Al resolver la ecuación (1) para el seno de A, se tiene (60 N) sen 155% na 778 N Con la calculadora se obtiene primero el cociente, luego su arco seno y el resultado es A= 15.04" a =20 +A = 35,04" Con el uso de tres cifras significativas para escribir el reultado (véase sección 156): R=97.7N 235.0 4 Solución trigonométrica alternativa. Se construye el triángulo rec- tángulo BCD y se calcula CD = (60 N) sen 25? = 25.36 N BD = (60 N) cos 25? = 54,38 N Al usar entonces el triángulo ACD, se obtiene 25.36 N tnA= 24.38 N A = 15.04 R= 25.36 R=97.73N sen A Otra vez, a =20 +A = 35.04" R=97.7N 235.0 «4 SY 2.1 Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si se sabe que P = 75 N y Q = 125 N, determine en forma gráfica la magnitud y la dirección de su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo. 2.2 Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si se sabe que P = 60 1b y Q = 25 lb, determine gráfi- camente la magnitud y la dirección de su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo. 2.3 Los tirantes de cable AB y AD ayudan a sostener al poste AC. Si se sabe que la tensión es de 120 lb en AB y 40 lb en AD, determine gráfi- camente la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en A mediante a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo. Figura P2.3 2.4 Se aplican dos fuerzas en el punto B de la viga AB que se mues- tra en la figura. Determine gráficamente la magnitud y la dirección de su re- sultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo. 2.5 La fuerza de 300 Ib se debe descomponer en componentes a lo largo de las líneas a-a' y b-b”. a) Determine por trigonometría el ángulo u: si se sabe que la componente a lo largo de a-a' es de 240 lb. h) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de b-b'? 2.6 La fuerza de 300 Ib se debe descomponer en componentes a lo largo de las líneas a-a' y b-b'. a) Determine por trigonometría el ángulo u si se sabe que la componente a lo largo de b-b' es de 120 lb. b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de a-a'? 2.7. Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura. Si se sabe que la magnitud de P es 35 N, determine por trigonometría a) el ángulo a: requerido, si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho debe ser horizontal, y b) la magnitud correspondiente de R. *Las respuestas para todos los problemas cuyo número está en tipo redondo (como 2.1) se proporcionan al final del libro. Las respuestas para los problemas cuyo número está en cursiva (como 2.4) no se proporcionan. NESS oO P Figura P2.1 y P2.2 Figura P2.4 300 Ib b a, 60% a a p! Figura P2.5 y P2.6 50N S—, Figura P2.7 25 26 Estática de partículas Figura P2.9 y P2.10 2.8 Para el gancho del problema 2.1, se sabe que la magnitud de P es 75 N, determine por trigonometría a) la magnitud requerida de la fuerza Q, si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical, b) la magnitud correspondiente de R. 2.9 Un carrito que se mueve a lo largo de una viga horizontal está sometido a dos fuerzas, como se muestra en la figura. a) Si se sabe que O = 25", determine por trigonometría la magnitud de la fuerza P tal que la fuerza resultante ejercida sobre el carrito sea vertical. b) ¿Cuál es la magnitud cor- respondiente de la resultante? 2.10 Un carrito que se mueve a lo largo de una viga horizontal está sometido a dos fuerzas, como se muestra en la figura. Determine por tri- gonometría la magnitud de la fuerza P tal que la resultante sea una fuerza vertical de 2 500 N. 2.11. Un tanque de acero es colocado dentro de una excavación. Si se sabe que a: = 20%, determine por trigonometría a) la magnitud requerida de la fuerza P, si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser ver- tical, b) la magnitud correspondiente de R. 425 lb P 302 Figura P2.11 y P2.12 2.12 Un tanque de acero es colocado dentro de una excavación. Si se sabe que la magnitud de P es de 500 Ib, determine por trigonometría a) el ángulo a requerido, si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical, b) la magnitud correspondiente de R. 2.13 Para el gancho del problema 2.7, determine por trigonometría a) la magnitud y la dirección de la fuerza P más pequeña, para la cual la re- sultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho es horizontal, y b) la magnitud correspondiente de R. 2.14 Para el tanque de acero del problema 2.11 determine por trigonometría a) la magnitud y la dirección de la fuerza P más pequeña, para la cual la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho es vertical, y b) la magnitud correspondiente de R. 2.15 Resuelva el problema 2.2 mediante trigonometría. 2.16 Resuelva el problema 2.3 mediante trigonometría. 2.17 Resuelva el problema 2.4 mediante trigonometría. 2.18 Dos elementos estructurales A y B están remachados al apoyo que se muestra en la figura. Si se sabe que ambos elementos están en com- presión y que la fuerza en el elemento A es de 15 kN y en el elemento B es de 10 kN, determine por trigonometría la magnitud y la dirección de la re- sultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos A y B. 2.19 - Los elementos estructurales A y B están remachados al apoyo que se muestra en la figura. Si se sabe que ambos elementos están en compre- sión y que la fuerza en el elemento A es de 10 kN y en el elemento B es de 15 kN, determine por trigonometría la magnitud y la dirección de la resul- tante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos A y B. 2.20 - Para el gancho del problema 2.7, determine por trigonometría la magnitud y la dirección de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho, si se sabe que P = 75 N y QU = 50%. 2.7. COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA. VECTORES UNITARIOS! En muchos problemas será conveniente descomponer una fuerza en sus dos componentes perpendiculares entre sí. En la figura 2.18, la fuerza F se ha descompuesto en una componente F, a lo largo del eje x y una componente F, a lo largo del eje y. El paralelogramo trazado para obtener las dos componentes es un rectángulo, y las fuerzas F, y F, se llaman componentes rectangulares. Figura 2.18 Los ejes x y y suelen elegirse a lo largo de las direcciones hori- zontal y vertical, respectivamente, como se muestra en la figura 2.18; sin embargo, pueden seleccionarse en cualesquiera otras dos direc- ciones perpendiculares, tal como indica la figura 2.19. Para determinar las componentes rectangulares de una fuerza debe pensarse que las líneas de construcción mostradas en las figuras 2.18 y 2.19 son parale- las a los ejes x y y en lugar de perpendiculares a ellos. Esta práctica ayudará a evitar errores en la determinación de componentes oblicuas, como se vio en la sección 2.6. Las propiedades establecidas en las secciones 2.7 y 2.8 se pueden extender fácilmente a las componentes rectangulares de cualquier otra cantidad vectorial. 2.7. Componentes rectangulares de una fuerza. Vectores unitarios Figura P2.18 y P2.19 A Figura 2.19 27 30 Estática de partículas Figura 2.25 2.8. ADICIÓN DE FUERZAS SUMANDO SUS COMPONENTES X Y Y En la sección 2.2 se estudió que las fuerzas deben sumarse de acuer- do con la ley del paralelogramo. A partir de esta ley se derivaron en las secciones 2.4 y 2.5 otros dos métodos más directos aplicables a la so- lución gráfica de los problemas: la regla del triángulo para la suma de dos fuerzas y la regla del polígono para la adición de tres o más fuer- zas. También se vio que el triángulo de fuerzas usado para definir la resultante de dos fuerzas podría usarse para obtener una solución tri- gonométrica. Cuando se van a sumar tres o más fuerzas, no puede obtenerse una solución trigonométrica práctica del polígono de fuerzas que define a la fuerza resultante. En este caso puede obtenerse una solución analí- tica del problema si se descompone cada fuerza en sus elementos rec- tangulares. Considere, por ejemplo, las tres fuerzas P, Q y S que ac- túan sobre una partícula A (figura 2.254). Su resultante R está definida por la relación R=P+Q+S (2.11) Si se descompone cada fuerza en sus componentes rectangulares, se escribe Ri +Ryj= Pai + P,j+ Qui + Qyj + Sii + Syj = (P. + Qu + Sai + (Py + Qy + Sy)j de donde se tiene que By= PEF QL+S: Ry=P,+Qy+S, (2.12) o, en forma breve, R¿=YF, —R,=*F, (2.13) Por tanto, se puede concluir que las componentes escalares R, y Ry de la resultante R de varias fuerzas que actúan sobre una partícula se ob- tienen separando de manera algebraica las correspondientes compo- nentes escalares de las fuerzas dadas.* En la práctica, la determinación de la resultante R se realiza en tres etapas, como se ilustra en la figura 2,25. Primero, las fuerzas mostradas en la figura 2.254 se descomponen en sus componentes x y y (figura 2.25b). Con la suma de estas componentes x y y de R (figura 2,25c). Finalmente, la resultante R = Ryi + R,j se determina aplicando la ley del paralelogramo (figura 2.25d). El procedimiento que se acaba de describir se realiza con más eficiencia si los cálculos se tabulan. Aunque éste es el único método analítico práctico para la adición de tres o más fuerzas, con frecuencia también se le prefiere sobre la solu- ción trigonométrica en el caso de la suma de dos fuerzas. TObviamente, este resultado se puede aplicar también a la adición de otras cantidades vectoriales, aceleraciones o cantidades de movimiento. PROBLEMA RESUELTO 2.3 Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. De- termine la resultante de las fuerzas sobre el perno. F¿=110N SOLUCIÓN (Fa cos 20) Las componentes x y y de cada fuerza se determinan por trigonometría, como Na Y se muestra en la figura y se escriben en la tabla. De acuerdo con la conven- / ! 1 ción adoptada en la sección 2.7, un número escalar que representa la com- 1 1 1 1 ponente de una fuerza es positivo si la componente tiene el mismo sentido (Ey cos 30% que el correspondiente eje de coordenadas. Entonces, las componentes x que actúan a la derecha y las componentes y que actúan hacia arriba se repre- (Ez sen 20)i sentan por números positivos. (E, cos 15)i UE, Fa "sen 15)j Fuerza_| Magnitud, N Componente x, N_| Componente y, N F, 150 +129.9 +75.0 F 80 -27.4 +75.2 Fs 110 0 110.0 Fs 100 +96.6 -25.9 R,= +199.1 Ry = +143 En estas condiciones la resultante R de las cuatro fuerzas es R=Ri+Rji R=(199.1 Nji+ (143 N)j 4 La magnitud y la dirección de la resultante ya puede determinarse. Del triángulo mostrado en la figura, se tiene R Ry 143N a tana === a=4.10 n, (143 N)j P,= 1991 wi Es 1991N 143 N R= =1906N R=19.6N 24.1" 4 sen a El último cálculo puede facilitarse con el uso de calculadora, si el valor de R, se almacena en la memoria al introducirse, de manera que pueda ser llamado para dividirse entre sen a, (Véase también la nota al pie de la página 29.) 31 32 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN FORMA INDEPENDIENTE Como se vio en la lección anterior, la resultante de dos fuerzas puede ser determinada grá- ficamente o a partir de un triángulo oblicuo, con el uso de la trigonometría. A. Cuando están involucradas tres o más fuerzas, la determinación de su resultante R se lleva a cabo de manera más sencilla descomponiendo primero cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares. Se pueden encontrar dos casos, que dependen de la for: ma en que esté definida cada una de las fuerzas dadas: Caso 1. La fuerza E está definida por medio de su magnitud F y el ángulo a: que forma con el eje de las x. Las componentes x y y de la fuerza se pueden obtener, respec- tivamente, al multiplicar F por cos e y por sen a [ejemplo 1]. Caso 2. La fuerza E se define por medio de su magnitud F y las coordenadas de dos puntos A y B que se encuentran a lo largo de su línea de acción (figura 2.23). Por medio de la trigonometría, primero se puede determinar el ángulo a: que F forma con el eje x. Sin embargo, las componentes de F también se pueden obtener directamente a par- tir de las proporciones entre las diversas dimensiones involucradas, sin determinar realmente a [ejemplo 2]. B. Componentes rectangulares de la resultante. Las componentes R, y Ry de la re- sultante se pueden obtener con la suma algebraica de las componentes correspondientes de las fuerzas dadas [problema resuelto 2.3]. La resultante se puede expresar en forma vectorial con los vectores unitarios i y j, los cuales están dirigidos, respectivamente, a lo largo de los ejes x y y: R=Rái+Rj De manera alternativa, se pueden determinar la magnitud y la dirección de la resultante re- solviendo para R y para el ángulo que R forma con el eje x, el triángulo rectángulo de la- dos R, y Ey.