Medios Continuos - Mecánica - Ingeniería, Apuntes de Mecánica. Universidad Politécnica de Cartagena
josem
josem23 de octubre de 2012

Medios Continuos - Mecánica - Ingeniería, Apuntes de Mecánica. Universidad Politécnica de Cartagena

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Mecanica de Medios Continuos
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Microsoft PowerPoint - Tema01-mmCC

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 1

“MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS Y CIENCIA DE MATERIALES”

Universidad de Alicante Departamento de Ingeniería de la Construcción e Infraestructuras Urbanas

Dr. Salvador Ivorra Chorro

Capítulo 1:

DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES.

1.Introducción. 2.Concepto de Tensión. 3.Componentes cartesianas del vector de tensiones. Lema de Cauchy. 4.Cambio de Sistema de referencia. 5.Ecuaciones de Equilibrio Interno y en el Contorno. 6.Componentes Intrínsecas de la Tensión. Valores y Direcciones Principales. 7.Invariantes. Valores extremos de la Tensión 8.Representaciones geométricas del estado tensional.

- El elipsoide de Lamé - Los círculos de Mohr - Componentes esférica y desviadora de T. Representación en

el espacio de tensiones principales.

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 2

MECÁNICA RACIONAL

- Mecánica del punto material

- Mecánica de los cuerpos Rígidos

-Mecánica de los Medios continuos

- Mecánica de sólidos

- Mecánica de fluidos

- Teoría de la elasticidad (Comportamiento elástico)

-Teoría de la Plasticidad, Viscoelasticiad y Viscoplasticiad

- Resistencia de materiales (Cualquier tipo de

comportamiento bajo hipótesis simplificativas)

MAGNITUDES ESTÁTICAS EXTERNAS

Fuerzas: F(x,y,z)

MAGNITUDES CINEMÁTICAS EXTERNAS

Desplazamientos: u(x,y,z)

MAGNITUDES ESTÁTICAS INTERNAS

Tensiones: σ(x,y,z)

MAGNITUDES CINEMÁTICAS INTERNAS

Deformaciones: ε(x,y,z)

Ecuaciones de Equilibrio

Ecuaciones de compatibilidad

MODELO MATEMÁTICO

Ley de comportamiento

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 3

TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

Mecánica de los Medios Continuos y Ciencia de Materiales.

Ing. de Caminos FjFi

fext

Ai

Ai

Ai Pext

Pext

Pext

Pext

Pext

Π

Pext

Pext

Pext

Fuerzas internas

Pext

Pext

Y

Z X

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

Mecánica de los Medios Continuos y Ciencia de Materiales.

Ing. de Caminos

Y

Z X

{n} {F}

ds

dx

S F

S nP

∆ =

→∆ lim

0 }{φ

TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

Pi(x,y,z)

Pi(x,y,z) Pi(x,y,z)

{n}

P

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 4

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

Mecánica de los Medios Continuos y Ciencia de Materiales.

Ing. de Caminos

Y

Z X

TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

σx

σy

σz

τxy

τxz

τyx τyz

τzx

τzy

ENTORNO DIFERENCIAL HEXAÉDRICO ALREDEDOR DEL PUNTO P

ELEMENTO DIFERENCIAL

PLANO: TENSIONES NORMALES Y

TANGENCIALES

X

Y

τyx

τxy

τyx

τxy

σx σx

σy

σy

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

Mecánica de los Medios Continuos y Ciencia de Materiales.

Ing. de Caminos

TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

σx = tensión normal al plano x = 0

σy = tensión normal al plano y =0

τxy = tensión tangencial; el primer subíndice indica la dirección de la normal al plano sobre el que actúa y el segundo la dirección de la misma.

CARAS VISTAS: Aquellas cuyas normales exteriores coinciden con las direcciones positivas de los ejes coordenados

CARAS OCULTAS: Donde ocurre al contrario

TENSIONES NORMALES POSITIVAS:

En las caras vistas cuando tienen el mismo sentido de las normales exteriores. Al contrario, caras ocultas

TENSIONES TANGENCIALES POSITIVAS: En las caras vistas cuando tienen la dirección positiva del semieje al que son paralelas. Al contrario, caras ocultas

CRITERIOS DE SIGNOS Y NOTACIÓN

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 5

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

Mecánica de los Medios Continuos y Ciencia de Materiales.

Ing. de Caminos

TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

σx = tensión normal al plano x = 0

σy = tensión normal al plano y =0

σy = tensión normal al plano z =0

τxy = tensión tangencial; el primer subíndice indica la dirección de la normal al plano sobre el que actúa y el segundo la dirección de la misma.

………..

COMPONENTES CARTESIANAS DE LA TENSIÓN

Reciprocidad de las tensiones

Y

Z X

σx

σy

σz

τxy

τxz

τyx τyz

τzx

τzy

Planteamos eq. de momentos en el c.d.g. del elemento hexaédrico

0 2

····2 2

····2 =− dzdydxdydzdx zyyz ττ

zyyz ττ =

Alrededor del eje x:

Sólido elástico bidimensional en equilibrio:

ds

dx

dy

{n}

τxy

τyx

σy

α

β

α

Tx

Tyσx

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

Mecánica de los Medios Continuos y Ciencia de Materiales.

Ing. de Caminos

TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

LEMA DE CAUCHY

ds

dx

dy

X

Y

C as

o m

ás s

en ci

llo

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 6

Sólido elástico bidimensional en equilibrio:

ds

dx

d y

{n}

τxy

τyx

σy

α

β

α φx

φyσx

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

Mecánica de los Medios Continuos y Ciencia de Materiales.

Ing. de Caminos

TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

LEMA DE CAUCHY

C as

o m

ás s

en ci

llo

Aplicando las condiciones de equilibrio en la figura anterior:

0 0

0 0

=⋅−⋅−⋅→=

=⋅−⋅−⋅→=

∑ ∑

dydxdsF

dxdydsF

yxyyy

xyxxx

τσφ

τσφ

La relación entre dx y dy vendrá dada por:

⎩ ⎨ ⎧

⋅= ⋅=

α β

cos cos

dsdy dsdx

Sólido elástico bidimensional en equilibrio:

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

LEMA DE CAUCHY Caso más sencillo

ατβσφ

βτασφ

coscos

coscos

⋅⋅+⋅⋅=⋅

⋅⋅+⋅⋅=⋅

dsdsds

dsdsds

xyyy

yxxx

Expresión que puede escribirse en forma matricial:

{ } [ ] { }nT

yyx

xyx

y

x

⋅=

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

⋅⎥ ⎦

⎤ ⎢ ⎣

⎡ =

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

φ

β α

στ τσ

φ φ

cos cos

Vector normal al plano ds definido por sus cosenos directores

Vector de tensiones asociado a un plano de normal {n}

Tensor de tensiones de Cauchy

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 7

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

LEMA DE CAUCHY

Generalización al caso tridimensional

Se adopta para ello un elemento diferencial de volumen de forma tetraédrica:

Y

Z

X

{n}

{φn}

A través de un planteamiento similar al adoptado para el caso bidimensional -caso plano- (mediante la aplicación de las ecuaciones del equilibrio) se llega a:

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ ⋅

⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

= ⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

γ β α

σττ τστ ττσ

φ φ φ

cos cos cos

zyzxz

yzyxy

xzxyx

n z

n y

n x

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

(Recordatorio: Cosenos directores de un vector)

Cosenos directores:

Y

Z

X

α

β

γ

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⋅=

⋅= ⋅=

γ

β α

cos

cos cos

FF

FF FF

z

y

x

F

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 8

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA

x

y

x1 y1

α

V

Vy’ Vx’

Vx

Vy

{ } [ ]{ }vCv VV

VsenVV

senVVV

zz

yxy

yxx

·'·cos·

··cos

'

'

'

=⇒ ⎪ ⎭

⎪ ⎬

=

+−=

+=

αα

αα

PARA EL CASO PLANO

{Vy’·-sen α,Vy’cosα} {VX’·cos α,Vx’senα}

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA

{ } [ ]{ }vCv v v v

sen sen

v v v

z

y

x

z

y

x

·'· 100 0cos 0cos

'

'

'

=⇒ ⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

⎡ −=

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ αα αα

1][][][]]·[[ −=⇒= CCICC t Propiedad de la matriz de rotación:

APLICANDO EL LEMA DE CAUCHY:

{ } [ ] { } { } [ ] { }'''

nT

nT

⋅=

⋅=

φ

φ { } { } [ ] { }nCTC ]·'·[]·[' == φφ

{ } [ ] { }nCTCC t ]·]'·[·[]··[[C] t =φ

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 9

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

Mecánica de los Medios Continuos y Ciencia de Materiales.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA

APLICANDO EL LEMA DE CAUCHY:

{ } [ ] { } { } [ ] { }'''

n

n

⋅=

⋅=

σφ

σφ { } { } [ ] { }nCTC ]·'·[]·[' == φφ

{ } [ ] { }nCTCC t ]·]'·[·[]··[[C] t =φ

[ ] ]]'·[·[[T] CTC t= [ ] tCTC ]]·[·[[T]' =

EXPRESIONES QUE PERMITEN OBTENER EL TENSOR DE TENSIONES DE UNO EN FUNCIÓN DE OTRO

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

SEGUNDA SESIÓN DE TEORÍA

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 10

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO

Sólido elástico bidimensional en equilibrio:

C as

o m

ás s

en ci

llo

τxy

τxy

τxy

τxy

σx

σx

σy

σy dyy y

∂ ∂

+ σ

dy y yz

∂ ∂

+ τ

dx x xy

∂ ∂

+ τ

dx x

x

∂ ∂

+ σ

dx

dy

Está sometido a un conjunto de: - fuerzas de volumen

- un conjunto de fuerzas de superficie: tensiones en sus caras

{fx, fy}

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO

Sólido elástico bidimensional en equilibrio:

C as

o m

ás s

en ci

llo

τxy

τxy

σx

σx

σy

σy dyy y

∂ ∂

+ σ

dx x xy

∂ ∂

+ τ

dx x

x

∂ ∂

+ σ

dx

dy

PLANTEANDO EL EQUILIBRIO DE FUEZAS:

00

:similar modoun de

0

:ndoSimplifica

0

0

= ∂

∂ +

∂ ∂

+→=

= ∂

∂ +

∂ ∂

+

=⋅⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ⋅

∂ +⋅⎟⎟

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ⋅

∂ +⋅⋅

→=

xy fF

yx f

dxdy y

dydx x

dydxf

F

xyx yy

yxxx x

yxy x

x

τσ

τσ

τσ

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1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO

Sólido elástico bidimensional en equilibrio:

C as

o m

ás s

en ci

llo

⎪ ⎪ ⎭

⎪ ⎪ ⎬

= ∂

∂ +

∂ +

= ∂

∂ +

∂ ∂

+

0

0

xy f

yx f

xyy y

xyx x

τσ

τσ

Generalización al caso tridimensional

Dzyxen

zyx f

zyx f

zyx f

zyzxz z

yzyxy y

xzxyx x

∈∀

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪ ⎪

= ∂

∂ +

∂ +

∂ ∂

+

= ∂

∂ +

∂ +

∂ +

= ∂

∂ +

∂ +

∂ ∂

+

),,(

0

0

0

σττ

τστ

ττσ

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO

cn

cn

{ } { } { } Cz)y,(x, ]·[ ∈∀== ccc FnTφ Fuerzas aplicadas en el contornoEcuación de Cauchy

en el contorno

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1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

COMPONENTES INTRÍNSECAS

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ ⋅

⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

= ⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

γ β α

σττ τστ ττσ

φ φ φ

cos cos cos

zzyzx

yzyyx

xzxyx

n z

n y

n x

A través de la MATRIZ DE TENSIONES de Cauchy podemos conocer el vector de tensiones {Tn} correspondiente a un plano cuya normal exterior sea {n}

Se obtienen las componentes en las tres coordenadas

{Txn, Tyn, Tzn} del vector tensión

Este vector se podrá descomponer como la suma de otros dos:

- Una componente perpendicular al plano, en la dirección del unitario {n}

- Una componente contenida en el plano al cual {n} es perpendicular

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

Mecánica de los Medios Continuos y Ciencia de Materiales.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

{σ}

{τ}

{φ}

{n}

π

- Una componente perpendicular al plano, en la dirección del unitario {n}

- Una componente contenida en el plano al cual {n} es perpendicular

COMPONENTES INTRÍNSECAS

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1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

Componente normal: componente perpendicular al plano considerado

}]·{·[}{}·{}{ nTnn tt == φσ

Componente tangencial: componente contenida en el plano considerado

22}{ σφτ −=

{σ}

{τ}

{φn}

{n} π

COMPONENTES INTRÍNSECAS

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

¿Existirá alguna orientación para la cual únicamente existan tensiones normales?

Si {n} es una dirección del tensor de tensiones en la que esto se cumpla, y σ es la tensión asociada a esa dirección, se tendrá que verificar que:

{ } }{][}{][ nInT ⋅⋅=⋅= σφ Es decir:

Sistema que quedará de la forma:

( ) }0{}{][][ }0{}{][}{][

=⋅⋅−

=⋅⋅−⋅

nIT

nInT

σ

σ

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 14

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

Mecánica de los Medios Continuos y Ciencia de Materiales.

Ing. de Caminos

TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

¿Existirá alguna orientación para la cual únicamente existan tensiones normales?

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ =

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ ⋅

⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

− −

0 0 0

z

y

x

zyzxz

yzyxy

xzxyx

n n n

σσττ τσστ ττσσ

Sistema cuya solución será distinta de la trivial si se cumple:

0= −

− −

σσττ τσστ ττσσ

zyzxz

yzyxy

xzxyx

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

¿Existirá alguna orientación para la cual únicamente existan tensiones normales?

Las raíces de la ecuación de tercer grado resultantes de la resolución del determinante serán los valores para que el sistema de ecuaciones anterior sea compatible.

0·· 32 2

1 3 =−+− III σσσECUACIÓN CARACTERÍSTICA

La solución siempre de esta ecuación siempre son tres valores REALES.

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 15

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

TERCERA SESIÓN DE TEORÍA

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

Tensiones principales AUTOVALORES

Son aquellas tensiones en cuya dirección únicamente se producen tensiones normales. No aparecen tensiones tangenciales.

Si σi son diferentes {ni} son perpendiculares entre si.

Si (o similar) existe un plano de direcciones principales perpendiculares a {n3} pues {n1}= {n2}

Si las tres son iguales campo HIDROSTÁTICO Cualquier dirección es principal

321 σσσ ≠=

CARACTERÍSTICAS

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 16

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

Direcciones principales AUTOVECTORES

Son las direcciones en las que no se producen tensiones tangenciales.

Sustituyendo los valores σ1 σ2 σ3 (autovalores), obtendremos los vectores relacionados con cada unos de estos autovalores (autovectores), que serán las direcciones principales de la matriz inicial.

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES τzx

σx

τzy

σy τyz

σz

τzx

σ3

σ1

σ2

DIAGONALIZACIÓN

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1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

INVARIANTES

Los valores de las tensiones principales y de sus correspondientes direcciones:

No dependen del sistema de referencia escogido.

Dependen del punto analizado.

Dependen del estado tensional del sólido en el punto analizado.

Si la solución es invariable respecto del sistema de ref. inicial escogido

También son invariables los coeficientes de la ecuación característica.

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

INVARIANTES

0= −

− −

σσττ τσστ ττσσ

zyzxz

yzyxy

xzxyx

0·· 32 2

1 3 =−+− III σσσ

3213

313221

2

3211

··...

···

...

σσσ σττ τστ ττσ

σσσσσσ

στ τσ

στ τσ

στ τσ

σσσσσσ

===

++=

==++=

++=++=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

yxy

xyx

zxz

xzx

zyz

yzy

zyx

I

I

I

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 18

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

VALORES EXTREMOS: TENSIONES NORMALES

Evaluemos la componente intrínseca normal

}]·{·[}{}·{}{ nTnn tt == φσ

Para ejes principales

{ } 232221 3

2

1

··· 00

00 00

· γσβσασ γ β α

σ σ

σ γβα ++=

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ ⋅

⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

El ve

cto r e

s

un ita

rio

332 2

31 2

22 3

2 2

2 1

)·()·(

)1·(··

σσσβσσασ

βασβσασσ

+−+−=

−−++=

COMPONENTE INTRÍNSECA NORMAL

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

VALORES EXTREMOS: TENSIONES NORMALES

Para calcular máximos y mínimos:

332 2

31 2 )·()·( σσσβσσασ +−+−=

)·(·2),(

)·(·2),(

32

31

σσβ β

βασ

σσα α

βασ

−= ∂

−= ∂

Para σi distintos, la única solución válida es α =β=0 la tercera dirección principal (0,0,±1)

Para σi iguales indeterminación!! existen infinitas direcciones

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 19

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

VALORES EXTREMOS: TENSIONES NORMALES

332 2

31 2 )·()·( σσσβσσασ +−+−=

Como se cumple σ1 > σ2 > σ3 mínimo relativo

Al evaluar la segunda derivada distinguimos si hablamos de máximos o de mínimos

)(2),(

)·(2),(

322

2

312

2

σσ β

βασ

σσ α

βασ

−= ∂

−= ∂

Por un procedimiento similar se obtiene que

σ2 , σ3 Máximos relativos

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

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5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

VALORES EXTREMOS: TENSIONES TANGENCIALES

Aplicamos la expresión de la componente intrínseca tangencial

Por un procedimiento similar al que se ha aplicado para las tensiones normales se obtienen los valores máximos/mínimos relativos de las tensiones tangenciales:

22}{ σφτ −=

( ) ( )2232221232222212 ······ γσβσασγσβσαστ ++−++=

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5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

VALORES EXTREMOS: TENSIONES TANGENCIALES

Por un procedimiento similar se obtienen los valores máximos/mínimos relativos de las tensiones tangenciales:

{ }

{ }

{ } 2

1· 1 1

0

2

2 1·

0 1 1

2

2 1·

1 0 1

2

32

21

31

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

± ±=

− =

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ ± ±

= −

=

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

±

± =

− =

cc

bb

aa

n

n

n

σστ

σστ

σστ

σ1 σ2

σ3

{ }an

PLANOS QUE FORMAN 45º CON LOS PLANOS COORDENADOS

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

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5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

CUARTA SESIÓN DE TEORÍA

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DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

ELIPSOIDE DE LAMÉ

Para un plano con una orientación cualquiera, la aplicación del LEMA DE CAUCHY nos permite calcular su vector tensión asociado

}]·{[}{ nT

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ =

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ ⋅

⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

⎡ =

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

γσ βσ ασ

γ β α

σ σ

σ

φ φ φ

· · ·

00 00 00

3

2

1

3

2

1

3

2

1

n

n

n

Direcciones principales

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ =

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪

γ β α

σ φ

σ φ

σ φ

3

3

2

2

1

1

n

n

n Vector unitario

1222 =++ γβα

12 3

2 3

2 2

2 2

2 1

2 1 =++

σ φ

σ φ

σ φ

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DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

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5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

ELIPSOIDE DE LAMÉ

12 3

2 3

2 2

2 2

2 1

2 1 =++

σ φ

σ φ

σ φ

Ecuación de un elipsoide

elipsoidedelSemiejes

3

2

1

⇒ ⎪ ⎭

⎪ ⎬

σ σ σ Valores extremos

relativos, tal y como se ha demostrado

Condicionamientos geométricos

σi = σj Elipsoide de revolución

σ1 = σ2 = σ3 Esfera. Estado hidrostático de tensiones

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 22

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

CIRCULOS DE MOHR Concepto

Es una representación gráfica en el plano σ-τ de los infinitos planos que pueden pasar alrededor de un punto

σn0

τ

Componente intrínseca tangencial del vector tensión

Componente intrínseca normal del vector tensión

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DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

CIRCULOS DE MOHR Concepto

γ = 0

X

Y

Z

σ1

σ2

σ3

τ

σ2 σ1 σ0

X

Y

Z

σ1

σ2

σ3

σ

τ

σ30

β = 0

σ1σσ2

α = 0

X

Y

Z

σ1

σ2

σ3

τ

0 σ3

σn 123

τY

XZ

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 23

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

CIRCULOS DE MOHR Descripción/Demostración

De la definición de componente intrínseca tangencial:

{ } { }φφστ ·22 t=+

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ =

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ ⋅

⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

⎡ =

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎪ ⎩

⎪ ⎨

γσ βσ ασ

γ β α

σ σ

σ

φ φ φ

· · ·

00 00 00

3

2

1

3

2

1

3

2

1

n

n

n

Aplicando el Lema de Cauchy para un tensor en direcciones principales

22 3

22 2

22 1

22 ··· γσβσαστσ ++=+ 2

3 2

2 2

1 ··· γσβσασσ ++=

1222 =++ γβα Condición de unitario

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

CIRCULOS DE MOHR Descripción/Demostración

22 3

22 2

22 1

22 ··· γσβσαστσ ++=+ 2

3 2

2 2

1 ··· γσβσασσ ++=

1222 =++ γβα

Sistema de ecuaciones a resolver

))·(( ))·((

))·(( ))·((

))·(( ))·((

2313

2 212

3212

2 312

1312

2 322

σσσσ τσσσσγ

σσσσ τσσσσβ

σσσσ τσσσσα

−− +−−

=

−− +−−

=

−− +−−

=

Siendo:

σ1 > σ2 > σ3

Estos resultados solo tendrán sentido cuando la parte derecha de la igualdad sea positiva

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 24

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

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5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

CIRCULOS DE MOHR Descripción/Demostración

))·(( ))·((

))·(( ))·((

))·(( ))·((

2313

2 212

3212

2 312

1312

2 322

σσσσ τσσσσγ

σσσσ τσσσσβ

σσσσ τσσσσα

−− +−−

=

−− +−−

=

−− +−−

=

0))·((

0))·((

0))·((

2 21

2 31

2 32

≥+−−

≤+−−

≥+−−

τσσσσ

τσσσσ

τσσσσ

Ecuación de una circunferencia: 22

0 2

0 )()( Ryyxx =−+− 22

0 2

0 )()( R=−+− ττσσ

22 0

2 00

2 )(·2 R=−++− ττσσσσ

0·)·(

0···

0))·((

2 3232

2

2 3232

2

2 32

≥+++−

≥++−−

≥+−−

τσσσσσσ

τσσσσσσσ

τσσσσ

Identificando

2 )( 32

0 σσσ +=

00 =τ

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

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TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

CIRCULOS DE MOHR Descripción/Demostración

22 0

2 00

2 )(·2 R=−++− ττσσσσ

0·)·(

0···

0))·((

2 3232

2

2 3232

2

2 32

≥+++−

≥++−−

≥+−−

τσσσσσσ

τσσσσσσσ

τσσσσ

Identificando

2 )( 32

0 σσσ +=

00 =τ

32 2

2 32 ·

2 )( σσσσ =−⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ + R

⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −=

2 32 σσR

En Resumen: Puntos por fuera de una circunferencia de:

Centro:

Radio: ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −=

2 32 σσR

2 )( 32

0 σσσ +=

Salvador Ivorra Chorro - U.Alicante - Octubre/2005 25

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

Mecánica de los Medios Continuos y Ciencia de Materiales.

Ing. de Caminos

TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

CIRCULOS DE MOHR Descripción/Demostración

En Resumen: Puntos por fuera de una circunferencia de:

Centro:

Radio: ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ +=

2 32 σσR

2 )( 32

0 σσσ −=

σn

τ

σ2Oσ3

α = 0 π

τ

σn

1. INTRODUCCIÓN 2. CONCEPTO DE TENSIÓN 3. COMPONENTES CARTESIANAS

DEL VECTOR DE TENSIONES. LEMA DE CAUCHY.

4. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.

5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO Y EN EL CONTORNO

6. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA TENSIÓN. VALORES Y DIRECCIONES PRINCIPALES.

7. INVARIANTES. VALORES EXTREMOS DE LA TENSIÓN

8. REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL ESTADO TENSIONAL.

Mecánica de los Medios Continuos y Ciencia de Materiales.

Ing. de Caminos

TEMA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

CIRCULOS DE MOHR Descripción/Demostración

σn

τ

σ2σ3

α = 0

σ1

γ = 0

β = 0

2 )( 32 σσ −

2 )( 31 σσ −

⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ +

2 32 σσ

⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ +

2 31 σσ

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