NUMEROS, Apuntes de Dirección de Empresas. Universitat de Barcelona (UB)
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Asignatura: Teoría de Números, Profesor: Carlos Ivorra, Carrera: Direcció de Màrqueting i Gestió Comercial, Universidad: ISM-ESIC
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Carlos Ivorra Castillo

TEORÍA DE NÚMEROS

La aritmética superior nos proporciona un con- junto inagotable de verdades interesantes — de ver- dades que además no están aisladas, sino en estrecha relación unas con otras, y entre las cuales, con cada sucesivo avance de la ciencia, descubrimos nuevos y, a veces, completamente inesperados puntos de con- tacto.

C.F.Gauss

Índice General

Prefacio ix

Caṕıtulo I: Introducción a la teoŕıa algebraica de números 1 1.1 Ternas pitagóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 El Último Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Factorización única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 La ley de reciprocidad cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 El teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Ecuaciones diofánticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 Ecuaciones definidas por formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Caṕıtulo II: Cuerpos numéricos 19 2.1 Enteros algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Discriminantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Módulos y órdenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Determinación de bases enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5 Normas e Índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Caṕıtulo III: Factorización ideal 49 3.1 Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Divisibilidad ideal en órdenes numéricos . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Ejemplos de factorizaciones ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4 La función de Euler generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.5 Factorización ideal en órdenes no maximales . . . . . . . . . . . . 72 3.6 El problema de la factorización única real . . . . . . . . . . . . . 75

Caṕıtulo IV: Métodos geométricos 77 4.1 La representación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 Ret́ıculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3 El teorema de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4 El grupo de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.5 La representación logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.6 Cálculo de sistemas fundamentales de unidades . . . . . . . . . . 100 4.7 Cálculo del número de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

v

vi ÍNDICE GENERAL

Caṕıtulo V: Fracciones continuas 111 5.1 Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2 Desarrollos de irracionales cuadráticos . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3 Transformaciones modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4 Unidades de cuerpos cuadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.5 La fracción continua de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Caṕıtulo VI: Cuerpos cuadráticos 131 6.1 Formas cuadráticas binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.2 Equivalencia y similitud estricta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.3 Grupos de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.4 Ecuaciones diofánticas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.5 Cálculo de grupos de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Caṕıtulo VII: Números p-ádicos 157 7.1 Valores absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.2 Cuerpos métricos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.3 Criterios de existencia de ráıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.4 Series en cuerpos no arquimedianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Caṕıtulo VIII: El teorema de Hasse-Minkowski 181 8.1 Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.2 Formas cuadráticas sobre cuerpos p-ádicos . . . . . . . . . . . . . 185 8.3 Formas binarias en cuerpos p-ádicos . . . . . . . . . . . . . . . . 190 8.4 El teorema de Hasse-Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.5 La ley de reciprocidad cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.6 Conclusión de la prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Caṕıtulo IX: La teoŕıa de los géneros 209 9.1 Equivalencia modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.2 Géneros de formas y módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.3 El número de géneros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 9.4 El carácter de un cuerpo cuadrático . . . . . . . . . . . . . . . . 229 9.5 Representaciones por formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . 234 9.6 Grupos de clases y unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Caṕıtulo X: El Último Teorema de Fermat 253 10.1 El caso p = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10.2 El teorema de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Caṕıtulo XI: La función dseta de Dedekind 261 11.1 Convergencia de la función dseta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 11.2 Productos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 11.3 Caracteres de grupos abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 11.4 Caracteres modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 11.5 La función dseta en cuerpos ciclotómicos . . . . . . . . . . . . . . 285 11.6 El cálculo de L(1, χ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

ÍNDICE GENERAL vii

11.7 Enteros ciclotómicos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Caṕıtulo XII: Sumas de Gauss 299 12.1 Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 12.2 Sumas de Gauss y la ley de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . 301 12.3 El signo de las sumas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 12.4 El número de clases en cuerpos cuadráticos . . . . . . . . . . . . 310

Caṕıtulo XIII: Cuerpos ciclotómicos 315 13.1 La fórmula del número de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 13.2 El primer factor del número de clases . . . . . . . . . . . . . . . . 317 13.3 Los números de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 13.4 El segundo factor del número de clases . . . . . . . . . . . . . . . 328 13.5 Numeros p-ádicos ciclotómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 13.6 La caracterización de los primos regulares . . . . . . . . . . . . . 337

Caṕıtulo XIV: Números trascendentes 347 14.1 El teorema de Lindemann-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 347 14.2 El teorema de Gelfond-Schneider . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Bibliograf́ıa 363

Índice de Tablas 365

Índice de Materias 366

Prefacio

Este libro pretende servir de introducción a la teoŕıa algebraica de números a un lector con una cierta base de álgebra moderna (un poco de álgebra lineal, un poco de teoŕıa de anillos, un poco de teoŕıa de cuerpos y un poco de teoŕıa de grupos). Además del interés que por śı misma puede despertar en cualquier matemático, el algebrista puede ver en ella el origen histórico de muchos de los conceptos que maneja y un campo inmenso donde aplicarlos. Es fácil caer en la falsa opinión de que la teoŕıa de números es una colección de resultados anecdóticos e intrascendentes sobre los números naturales o enteros, y es dif́ıcil mostrar en pocas palabras lo erróneo de esta creencia. Por ello hemos dedicado el primer caṕıtulo a presentar una panorámica de la teoŕıa de números en general y del contenido de este libro en particular. A partir de ah́ı el lector puede hacerse una primera estimación de si realmente le interesa la teoŕıa, aunque lo cierto es que su auténtico encanto y su magnificencia no caben en el primer caṕıtulo de ningún libro.

ix

Caṕıtulo I

Introducción a la teoŕıa algebraica de números

El interés del hombre por los números es tan antiguo como la civilización. Son muchos los pueblos antiguos que se interesaron por los números bien por ra- zones prácticas inmediatas, bien por su relación con la astronomı́a y el cómputo del tiempo o incluso asociados a la adivinación y el esoterismo. Entre todos ellos destacan los griegos, que llegaron a desarrollar una teoŕıa de números pura guiada por criterios estrictamente matemáticos en el sentido moderno de la pa- labra. Los griegos descubrieron las leyes básicas de la aritmética. Conoćıan la división eucĺıdea, los números primos, el cálculo del máximo común divisor y el mı́nimo común múltiplo, etc. Quizá el lector crea que esto significa dominar completamente los números naturales, pero no es aśı ni mucho menos. Lo que hicieron los griegos al desarrollar la aritmética elemental fue simplemente des- cubrir el lenguaje de los números, lo cual no equivale a entender lo que se lee en ese lenguaje. Para entender lo que queremos decir consideraremos un ejemplo tomado de la Aritmética de Diofanto.

1.1 Ternas pitagóricas

En el siglo III, Diofanto trató en su Aritmética el problema de encontrar ternas de números naturales no nulos x, y, z tales que x2 + y2 = z2. Estas ternas se llaman ternas pitagóricas, pues según el teorema de Pitágoras permiten construir triángulos rectángulos con lados enteros. Los egipcios las usaban para construir ángulos rectos en arquitectura. Entre los ejemplos más conocidos están 32 + 42 = 52, 52 + 122 = 132, 72 + 242 = 252. ¿Cómo encontrarlas todas?

En primer lugar notamos que si (x, y, z) es una terna pitagórica, también lo es (mx,my,mz) para cualquier número m y, rećıprocamente, dada una terna pitagórica (x, y, z), podemos dividir sus componentes por su m.c.d. para ob- tener otra que cumpla además (x, y, z) = 1. Una terna cuyos elementos no tengan divisores comunes se llama primitiva. Si encontramos un método para

1

2 Caṕıtulo 1. Introducción a la teoŕıa algebraica de números

hallar todas las ternas primitivas, las restantes se obtienen multiplicándolas por números arbitrarios, luego el problema está resuelto. Las ternas anteriores son todas primitivas.

Ante todo observemos que un divisor primo de dos de las componentes de una terna pitagórica, divide a la tercera. Por ejemplo, si p | x y p | z, entonces p | z2 −x2, con lo que p | y2 y por lo tanto p | y. Esto significa que, en realidad, las componentes de una terna pitagórica primitiva son primas entre śı dos a dos. En particular no puede haber más de una componente par. Un número es par o impar si y sólo si lo es su cuadrado, y la suma y la diferencia de números impares es par. Como consecuencia si dos de las componentes son impares, la restante ha de ser par, es decir, en una terna primitiva hay siempre dos componentes impares y una par.

Ahora veamos que z ha de ser impar. En otro caso lo son x e y, es decir, x = 2m+ 1, y = 2n+ 1, luego x2 = 4m2 + 4m+ 1, y2 = 4n2 + 4n+ 1. Al tomar clases módulo 4 resulta que [z]2 = [x]2 + [y]2 = [1] + [1] = [2]. Sin embargo ninguna clase módulo 4 tiene a [2] por cuadrado: [0]2 = [0], [1]2 = [1], [2]2 = [0], [3]2 = [1].

Como la situación de x e y es simétrica, podemos suponer que x es par e y impar. Según lo visto z es también impar. Consecuentemente z + y, z − y son ambos pares. Digamos que x = 2u, z + y = 2v, z − y = 2w.

Ahora x2 = z2 − y2 = (z + y)(z − y), luego u2 = vw, v > 0, w > 0. Por otro lado (v, w) = 1, ya que si un primo p divide a ambos, entonces

p | (v + w) = 1 2 (z + y) +

1 2 (z − y) = 1

2 2z = z,

p | (v − w) = 1 2 (z + y) 1

2 (z − y) = y,

y como (y, z) = 1, esto es contradictorio. Por la factorización única, es claro que si vw = u2 con (v, w) = 1, v > 0,

w > 0, entonces tanto v como w han de ser cuadrados (cada uno ha de contener cada primo un número par de veces porque aśı le ocurre a u). Pongamos v = p2

y w = q2. Obviamente (p, q) = 1. Aśı tenemos que z = v + w = p2 + q2, y = v − w = p2 − q2. En particular

q < p. Como z e y son impares, p y q deben tener paridad opuesta. Sustituyendo

en las fórmulas anteriores queda

x2 = z2 − y2 = p4 + 2p2q2 + q4 − p4 + 2p2q2 − q4 = 4p2q2 = (2pq)2,

luego x = 2pq. En consecuencia la terna original queda de la forma

(x, y, z) = (2pq, p2 − q2, p2 + q2),

donde p, q son números naturales primos entre śı, q < p y de paridad opuesta. Rećıprocamente, es fácil comprobar que cualquier terna en estas condiciones

es una terna pitagórica primitiva. Por lo tanto ya sabemos enumerarlas todas. La tabla 1.1 contiene las correspondientes a los valores de p ≤ 7.

1.2. El Último Teorema de Fermat 3

Tabla 1.1: Ternas pitagóricas

p q x y z 2 1 4 3 5 3 2 12 5 13 4 1 8 15 17 4 3 24 7 25 5 2 20 21 29 5 4 40 9 41 6 1 12 35 37 6 5 60 11 61 7 2 28 45 53 7 4 56 33 65 7 6 84 13 85

En una tablilla cuneiforme aproximadamente del año 1.500 a.C. se ha en- contrado una enumeración de ternas pitagóricas, entre las cuales se encontraba (4.961, 6.480, 8.161). Se obtiene con p = 81 y q = 40.

La clasificación de las ternas pitagóricas es un ejemplo t́ıpico de lo que fue la teoŕıa de números desde los griegos hasta mediados del siglo XVII. Hay una in- finidad de resultados similares que describen el comportamiento de los números enteros. Problemas fáciles de enunciar y comprender y a menudo con soluciones fáciles de enunciar y comprender, pero tales que el argumento que lleva desde el planteamiento hasta la solución puede llegar a ser incréıblemente ingenioso y laborioso. Esto iba a cambiar en los siglos posteriores. En la sección siguiente presentamos uno de los problemas que contribuyó más a dicho cambio.

1.2 El Último Teorema de Fermat

En el siglo XVII los matemáticos estaban más interesados por explorar ideas nuevas, como el recién descubierto cálculo diferencial, que por los viejos proble- mas sobre números enteros que se estudiaba en los libros de Euclides, Diofanto, etc. Se teńıa la impresión de que no hab́ıa mucho que descubrir en este campo. Uno de los principales responsables de que se renovara el interés por la teoŕıa de números fue Pierre de Fermat, quien, según era habitual en la época, retaba a otros matemáticos a resolver problemas que él mismo hab́ıa resuelto o al menos conjeturado. Éstos eran del estilo de determinar qué números naturales pueden expresarse como suma de dos cuadrados, o de tres, o de cuatro, etc., o qué números coinciden con la suma de sus divisores propios, o hallar las soluciones enteras de determinadas ecuaciones . . .

La facilidad para formular conjeturas sencillas mediante cálculos directos haćıa a los problemas mucho más intrigantes. Por ejemplo, fueron muchos los matemáticos que intentaron sin éxito probar algo tan simple (de enunciar y de

4 Caṕıtulo 1. Introducción a la teoŕıa algebraica de números

constatar emṕıricamente) como que todo número natural es suma de cuatro cuadrados. La primera prueba es de Lagrange. Entre los muchos resultados que probó Fermat se encuentra el siguiente:

Teorema 1.1 La ecuación, x4 + y4 = z2 no tiene soluciones enteras positivas.

Demostración: Si existen soluciones positivas de la ecuación x4 +y4 = z2, entonces (x2, y2, z) es una terna pitagórica. Notar que si dividimos x, y, z por su m.c.d. obtenemos números primos entre śı que siguen cumpliendo la ecuación, luego podemos suponer que (x, y, z) = 1, y claramente esto implica que en realidad son primos entre śı dos a dos y que la terna (x2, y2, z) es primitiva.

Según los resultados de la sección anterior, x2 = 2pq, y2 = p2−q2, z = p2+q2, donde p y q son números enteros primos entre śı, de distinta paridad y p > q > 0 (intercambiamos x con y si es necesario para que x2 sea el par).

Ahora, p2 = y2 + q2, luego (q, y, p) es otra terna pitagórica, lo que obliga a que p sea impar, luego q ha de ser par, y aśı q = 2ab, y = a2 − b2, p = a2 + b2, para ciertos enteros a y b primos entre śı, de paridad opuesta, a > b > 0 (notar que se trata de una terna primitiva porque (p, q) = 1).

Por lo tanto x2 = 4ab(a2 + b2) y en consecuencia ab(a2 + b2) = (x/2)2. Por otra parte (a, b) = 1 implica fácilmente que (ab, a2 + b2) = 1.

Ahora usamos un argumento muy simple pero importante: si el producto de dos números naturales primos entre śı es un cuadrado, entonces ambos son cuadrados, pues cada uno de ellos debe tener cada factor primo con exponente par.

Concluimos que ab y a2 + b2 son cuadrados y, por el mismo argumento, también lo son a y b. Digamos a = u2, b = v2, a2 + b2 = w2.

Entonces u4 + v4 = a2 + b2 = w2 = p < p2 + q2 = z < z2. En resumen, si existe una terna de números positivos (x, y, z) de manera que

x4 + y4 = z2, existe otra (u, v, w) que cumple lo mismo pero con w2 < z2. Si existieran tales ternas debeŕıa haber una con z mı́nimo, lo cual es falso según lo visto, por lo que la ecuación no tiene solución.

En particular el teorema anterior implica que la ecuación x4 + y4 = z4 no tiene soluciones positivas. Es conocido que Fermat creyó en cierta ocasión haber probado que esto mismo es cierto para cualquier exponente distinto de 2. Es prácticamente seguro que cometió un error y que se dio cuenta de ello, pues jamás afirmó públicamente tener tal prueba y el problema ha resistido el ataque de los mejores matemáticos de los últimos doscientos años. Simplemente, Fermat anotó su presunto hallazgo en un margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto y después olvidó, o no consideró necesario, tachar la nota. Tras su muerte, uno de sus hijos hizo públicas las notas de su padre, entre las cuales figuraba esa pequeña declaración de haber probado lo que desde entonces se conoce como Último Teorema de Fermat, esto es, la afirmación:

La ecuación xn + yn = zn no tiene soluciones enteras positivas para exponentes n > 2.

1.3. Factorización única 5

El nombre no hace referencia a que fuera el último resultado que Fermat hubiera demostrado, sino a que a principios del siglo XIX todas las afirmaciones que Fermat hab́ıa dejado enunciadas sin demostración hab́ıan sido demostradas o refutadas salvo ésta, que era, pues, el último ‘teorema’ de Fermat cuya prueba faltaba encontrar.

El teorema anterior muestra que Fermat śı hab́ıa probado (y comunicado) la prueba para exponente n = 4. Más aún, esto implica de hecho que el teorema de Fermat es cierto para cualquier exponente de la forma n = 4k. En efecto, si existieran números positivos (x, y, z) tales que x4k + y4k = z4k, entonces (xk, yk, zk) seŕıa una solución a la ecuación x4 + y4 = z4, lo cual es imposible. En particular el Último Teorema de Fermat es cierto para las potencias de dos.

De aqúı se sigue ahora que si el Último teorema de Fermat es cierto para exponentes primos impares, entonces es cierto para todo exponente. En efecto, si existen soluciones positivas a una ecuación xn+yn = zn, entonces n no puede ser potencia de 2, luego existe un primo impar p tal que p | n, o sea, n = pk, para cierto entero k, luego (xk, yk, zk) es una solución positiva a la ecuación xp + yp = zp.

Observemos que si p es impar el Último Teorema de Fermat equivale a la no existencia de soluciones enteras no triviales (o sea, con xyz = 0) de la ecuación

xp + yp + zp = 0,

lo que muestra que en realidad el papel de las tres variables es simétrico. Esto simplifica algunos argumentos.

Euler demostró el teorema de Fermat para p = 3, ya en el siglo XIX, el joven Dirichlet y el anciano Legendre demostraron independientemente el caso p = 5, pero Dirichlet fracasó al abordar el caso p = 7, y sólo consiguió una prueba para exponente 14. La complejidad de los argumentos aumentaba tan rápidamente que p = 7 era prácticamente intratable. Más adelante Kummer llegó a probar el teorema de Fermat para todos los exponentes menores que 100. Evidentemente esto no fue el resultado de cálculos más prolijos todav́ıa, sino de nuevas ideas. Lo explicaremos con más detalle en la sección siguiente.

1.3 Factorización única

La clasificación de las ternas pitagóricas, aśı como el teorema 1.1, descansan sobre la aritmética elemental. Sin embargo, la potencia de estos métodos pronto se ve superada por la dificultad de los problemas que surgen de forma natural. El Último Teorema de Fermat es un caso extremo, pero hay ejemplos más simples. El resultado siguiente es uno de los problemas planteados por Fermat:

Teorema 1.2 Las únicas soluciones enteras de la ecuación

y2 + 2 = x3

son y = ±5, x = 3.

6 Caṕıtulo 1. Introducción a la teoŕıa algebraica de números

Demostración: En primer lugar, y ha de ser impar, pues si fuera par, y2 + 2 seŕıa divisible entre 2, pero no entre 4, mientras que x3 seŕıa divisible entre 2, luego entre 8.

Ahora consideramos el anillo Z [

2 ]

= {a + b √ −2 | a, b ∈ Z}. En este

anillo la ecuación factoriza en la forma( y +

√ −2

)( y −

√ −2

) = x3. (1.1)

Consideramos la norma N : Z [

2 ] −→ N dada por

N ( a + b

√ −2

) =

( a + b

√ −2

)( a− b

√ −2

) = a2 + 2b2.

Es fácil ver que esta norma es multiplicativa (se trata de la norma de la extensión Q

(√ −2

)/ Q en el sentido de la teoŕıa de cuerpos). Si x, y cumplen

la ecuación, entonces un divisor común c + d √ −2 de y +

√ −2 y de y −

√ −2

en Z [

2 ]

dividiŕıa también a su suma 2y y a su diferencia 2 √ −2. Tomando

normas, c2 + 2d2 | 4y2, c2 + 2d2 | 8. Por lo tanto c2 + 2d2 | 4. Las únicas posibilidades son c = ±1, d = 0 o bien c = 0, d = ±1 o bien

c = ±2, d = 0. En los dos primeros casos obtenemos una unidad y en los otros obtenemos un elemento de norma 2 o 4, que no puede dividir a y +

√ −2, cuya

norma es y2 + 2, impar. Aśı pues, y+

√ −2, y−

√ −2 son primos entre śı. Ahora bien, si dos números

primos entre śı son un cubo, tal y como afirma (1.1), entonces cada uno de ellos lo es, es decir, y +

√ −2 =

( a + b

√ −2

)3 para ciertos enteros a y b. Igualando los coeficientes de obtenemos que 1 = b(3a2 2b2), lo que sólo es

posible si b = 1 y a = ±1, de donde y = ±5 y por lo tanto x = 3. En realidad la prueba anterior tiene una laguna: si un producto de números

primos entre śı es un cubo perfecto, cada factor será también un cubo perfecto siempre y cuando se trate de elementos de un anillo con factorización única, es decir, donde todo elemento se descomponga de forma única (salvo orden y asociación) en producto de primos, y además cada unidad sea un cubo. Lo cierto es que el anillo Z

[√ −2

] tiene estas propiedades, pero no lo hemos justificado.

Ejercicio: Probar que las únicas unidades del anillo Z [

2 ]

son ±1.

Ejemplo En el anillo Z [

5 ]

tenemos las factorizaciones

6 = 2 · 3 = ( 1 +

√ −5

)( 1 +

√ −5

) . (1.2)

Si consideramos la norma N ( x+ y

√ −5

) = x2 + 5y2 vemos que, al igual que en

el caso de Z [

2 ] , conserva productos, y los únicos elementos de norma 1 son

±1. Además no hay elementos de norma 2 o 3. De todo esto se sigue que los cuatro factores de (1.2) son irreducibles y no asociados, pues tienen norma 4, 9 y 6, luego un factor propio de cualquiera de ellos habŕıa de tener norma 2 o 3. Por consiguiente nos encontramos ante una doble factorización en irreducibles no primos.

1.3. Factorización única 7

La clave de la prueba del teorema 1.2 ha sido sin duda la factorización (1.1) en el anillo Z

[√ −2

] . Paulatinamente los matemáticos fueron comprendiendo

que estructuras algebraicas abstractas como Z [

2 ]

o, más en general, anillos, módulos, ideales, grupos, etc. proporcionaban herramientas poderosas para ob- tener resultados sobre los números enteros. Muchas pruebas basadas en largos e ingeniosos cálculos de carácter elemental pod́ıan ser sustituidas por pruebas cortas, conceptuales y claras basadas en estructuras algebraicas cada vez más abstractas. En la mayoŕıa de los casos, la posibilidad de dar una prueba ele- mental resultaba prácticamente inconcebible.

En la prueba del caso p = 3 del teorema de Fermat, Euler partió de la descomposición

x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2),

mientras que Dirichlet y Legendre, en sus pruebas para p = 5, consideraron

x5 + y5 = (x + y)(x4 − x3y + x2y2 − xy3 + y4).

El eje de los argumentos respectivos era el mismo argumento que hemos em- pleado en la prueba de 1.2, es decir, determinar cuándo los factores son primos entre śı, en tal caso argumentar que si el producto es un cubo o una potencia quinta, lo mismo le ha de suceder a cada factor y después analizar las implica- ciones de este hecho. Es fácil comprender que el aumento de la complejidad del segundo factor volv́ıa los argumentos cada vez más enrevesados.

Un paso importante fue dado por Lamé cuando pensó en considerar el anillo de los enteros ciclotómicos

Z[ω] = {ap−1ωp−1 + · · · a1ω + a0 | ap−1, . . . , a0 Z},

donde ω es una ráız p-ésima primitiva de la unidad. En efecto, si en la factori- zación

xp − 1 = (x− 1)(x− ω) · · · (x− ωp−1)

sustituimos x por x/y y multiplicamos por −yp obtenemos

xp + yp = (x + y)(x + ωy) · · · (x + ωp−1y). (1.3)

Lamé conjeturó que si Z[ω] tuviera factorización única tal vez seŕıa posible generalizar los argumentos de los casos que hemos comentado para obtener una prueba completa del teorema de Fermat, con la ventaja de trabajar con factores lineales. Por ello muchos matemáticos de principios del siglo XIX investigaron la factorización de enteros ciclotómicos. Cauchy trato sin éxito de encontrar un algoritmo de división eucĺıdea. Fue en este contexto, estudiando los enteros ciclotómicos, en el que Kummer pudo obtener el resultado que citábamos antes, en virtud del cual el teorema de Fermat es cierto para exponentes menores que 100. Kummer descubrió que los anillos de enteros ciclotómicos no siempre tienen factorización única, pero que la conjetura de Lamé era correcta.

8 Caṕıtulo 1. Introducción a la teoŕıa algebraica de números

1.4 La ley de reciprocidad cuadrática

La lógica matemática nos enseña que no puede existir una teoŕıa de números completa, en el sentido de que existen propiedades de los números naturales que son ciertas sin que exista ningún motivo por el cual lo sean, es decir, sin que existan argumentos que lo prueben, ni mucho menos que lo expliquen. En un término medio tenemos una amplia familia de resultados que podemos probar, pero que en el fondo no comprendemos, en el sentido de que la prueba sólo es una comprobación de que todo encaja más o menos sorprendentemente. Pero en el extremo opuesto tenemos una importante clase de resultados que no sólo sabemos demostrar, sino que podemos considerarlos bien comprendidos en el sentido de que sabemos explicarlos a partir de principios generales conceptual- mente simples. Si comparamos la teoŕıa de números con la f́ısica, estos tres tipos de situaciones se corresponden respectivamente con 1) hechos puntuales, como que un determinado d́ıa ha llovido en determinado sitio, cosa cuya necesidad no cabe esperar que se pueda demostrar elegantemente a partir de ninguna teoŕıa f́ısica, 2) leyes basadas directamente en la experiencia, como el comportamiento qúımico de los distintos átomos, que la qúımica f́ısica sólo justifica con precisión en muy pocos casos particulares, y 3) leyes como las que rigen los fenómenos eléctricos, que, además de haber sido obtenidas emṕıricamente, todas ellas pue- den explicarse perfectamente a partir de las ecuaciones de Maxwell.

Del mismo modo que las leyes fundamentales de la f́ısica sólo pueden enun- ciarse en el contexto de teoŕıas abstractas que involucran conceptos muy distan- tes de la experiencia cotidiana, el gran descubrimiento de la teoŕıa de números del siglo XIX fue que las leyes fundamentales sobre los números involucran esen- cialmente conceptos algebraicos abstractos, de forma que las propiedades que se observan sobre los números enteros son reflejos más o menos lejanos de estas leyes generales. En este sentido, la auténtica teoŕıa sobre los números enteros es la teoŕıa sobre los objetos algebraicos (o anaĺıticos) donde se pueden enunciar dichas leyes generales.

Las Disquisitiones Arithmericae de Gauss, publicadas a principios del siglo XIX, constituyeron el primer paso por el que la teoŕıa de números pasó de ser una colección de resultados dispersos con pruebas técnicas superficiales, a ser la profunda y potente teoŕıa que es en la actualidad. La parte mas importante de las Disquisitiones es la teoŕıa sobre formas cuadráticas binarias, con la que se pueden hallar todas las soluciones enteras de cualquier ecuación de la forma p(x, y) = 0, donde p(x, y) es un polinomio de segundo grado con coeficientes en- teros. Aunque no es éste el momento de entrar en detalles, es importante dejar claro que no estamos hablando un algoritmo ingenioso para manipular ecua- ciones, sino de una teoŕıa algebraica que, en lenguaje moderno, emplea grupos finitos, congruencias módulo subgrupos, caracteres, matrices, determinantes, módulos, etc.

Gauss probó que los resultados fundamentales concernientes a las formas cuadráticas sobre los números enteros pod́ıan deducirse de un principio general, un resultado descubierto por Euler, pero del que éste no fue capaz de probar más que una mı́nima porción. Gauss lo redescubrió y lo demostró en el contexto

1.4. La ley de reciprocidad cuadrática 9

de su teoŕıa de formas cuadráticas. Se trata de la famosa Ley de Reciprocidad Cuadrática. Para enunciarla debemos introducir algunos conceptos.

Definición 1.3 Sea p un primo impar. Diremos que un número natural n primo con p es un resto cuadrático módulo p si n ≡ x2 (mód p), para cierto entero x. En caso contrario (siempre suponiendo que n es primo con p) diremos que n es un resto no cuadrático módulo p. Definimos el śımbolo de Legendre como

( n

p

) =

 

1 si n es un resto cuadrático módulo p −1 si n es un resto no cuadrático módulo p

0 si p | n

Es obvio que si a ≡ b (mód p) entonces (a/p) = (b/p). Conviene pensar en el śımbolo de Legendre desde el siguiente punto de vista

algebraico: Sea Up el grupo de las unidades de Z/pZ. La aplicación Up −→ U2p dada por x → x2 tiene por imagen al grupo de las clases de restos cuadráticos módulo p, y su núcleo es ±[1] (pues el polinomio x2 1 sólo puede tener dos ráıces). Por lo tanto Up/U

2 p ∼= 1}, y el śımbolo de Legendre (cuando p  n)

es la composición de la aplicación n → [n] con este isomorfismo. Ahora es claro que para todo a, b,(

ab

p

) =

( a

p

) ( b

p

) .

Ley de reciprocidad cuadrática

1. Sean p y q primos impares distintos entonces

(a) Si p ≡ 1 (mód 4) o q ≡ 1 (mód 4) entonces( p

q

) =

( q

p

) .

(b) Si p ≡ 1 (mód 4) y q ≡ 1 (mód 4) entonces( p

q

) =

( q

p

) .

2. (Primera Ley Suplementaria) Si p es un primo impar(1 p

) =

{ 1 si p ≡ 1 (mód 4)

1 si p ≡ 3 (mód 4)

3. (Segunda Ley Suplementaria) Si p es un primo impar( 2 p

) =

{ 1 si p ≡ ±1 (mód 8)

1 si p ≡ ±1 (mód 8)

10 Caṕıtulo 1. Introducción a la teoŕıa algebraica de números

Seŕıa dif́ıcil explicar aqúı en poco espacio la importancia teórica de estos hechos, pero la tienen. Lo que śı podemos mostrar fácilmente (aunque no sea lo más importante) es que la ley de reciprocidad permite calcular fácilmente cualquier śımbolo de Legendre. Por ejemplo,(

15 71

) =

( 3 71

) ( 5 71

) =

( 71 3

) ( 71 5

) =

( 2 3

) ( 1 5

) = 1,

donde alternativamente hemos aplicado la ley de reciprocidad para invertir los śımbolos y hemos reducido los ‘numeradores’ módulo los ‘denominadores’.

Pero destaquemos ante todo que la Ley de Reciprocidad es lo más opuesto a un resultado elemental. Si el lector reflexiona sobre lo que significa que un primo p sea un resto cuadrático módulo q y que q sea un resto cuadrático módulo p, seguro que no encuentra ninguna conexión, por mı́nima que sea, que le pueda sugerir un intento de prueba (a no ser que ya esté familiarizado con la teoŕıa de números). Pese a ello ah́ı tenemos una relación que además resulta ser sorprendentemente simple en cuanto a su enunciado. Hoy se conoce casi un centenar de pruebas distintas de la Ley de Reciprocidad Cuadrática. La primera demostración que encontró Gauss era muy técnica, hasta el punto de desalentar a sus mejores alumnos. Poco después encontró otra basada en lo más sutil de su teoŕıa de formas cuadráticas, esta vez de estructura mucho más simple. Más tarde encontró otra basada en técnicas anaĺıticas. Se conocen otras debidas a Dirichlet (que usa análisis de Fourier), a Kronecker (basada en las propiedades de los enteros ciclotómicos), hay otra de carácter elemental mucho más corta (basada en argumentos de Gauss), pero la prueba que más ha penetrado en el contenido de la ley de reciprocidad se debe a Artin, data de mediados del siglo XX y en esencia la explica en términos de cohomoloǵıa de grupos.

El camino que lleva desde la ley de reciprocidad de Gauss a la de Artin fue iniciado por el propio Gauss, quien conjeturó una ley de reciprocidad cúbica y una bicuadrática, aunque no pudo probarlas. Gauss comprendió que el śımbolo de Legendre no es simplemente una notación cómoda para enunciar la ley de reciprocidad, sino que el asociar las clases módulo p con las potencias de 1 juega un papel importante. La razón por la que los números enteros satisfacen una ley de reciprocidad cuadrática es que Z contiene una ráız cuadrada primitiva de la unidad, por lo que una ley de reciprocidad cúbica hab́ıa de buscarse en el cuerpo Q

(√ −3

) , es decir, el cuerpo ciclotómico tercero, y una ley de reciprocidad

bicuadrática hab́ıa de buscarse en el cuerpo Q (

1 ) , el cuerpo ciclotómico

cuarto. Aśı lo hizo y las encontró. Precisamente, el anillo Z[i] se conoce como anillo de los enteros de Gauss a ráız de sus investigaciones sobre la reciprocidad bicuadrática.

Las primeras demostraciones de las leyes de reciprocidad cúbica y bicuadrá- tica se deben a Eisenstein, quien encontró además un fragmento de una ley de reciprocidad p-ésima, estudiando, por supuesto, el anillo de enteros ciclotómicos de orden p. Kummer compaginó sus investigaciones sobre el Último Teorema de Fermat con la búsqueda de una ley de reciprocidad general. Ambos problemas apuntaban hacia los cuerpos ciclotómicos. Sus investigaciones fueron continua-

1.5. El teorema de Dirichlet 11

das por Kronecker y sus disćıpulos, en una ĺınea que llevó hasta la ya citada Ley de Reciprocidad de Artin, una de las cumbres de la teoŕıa de números moderna.

1.5 El teorema de Dirichlet

Hay un problema más que llevó al estudio de los enteros ciclotómicos. An- tes que Gauss, Legendre hab́ıa abordado también el problema de demostrar la Ley de Reciprocidad Cuadrática, y consiguió demostrarla aceptando sin demos- tración un hecho muy sencillo de enunciar y que los datos emṕıricos corrobo- raban: Para todo natural n no nulo, cada una de las clases del grupo Un de las unidades módulo n contiene al menos un número primo. Gauss no consi- guió demostrar este hecho, pero se las arregló para evitarlo. Dirichlet vislumbró una posible conexión con los cuerpos ciclotómicos que efectivamente le llevó hasta una demostración de lo que hoy se conoce como Teorema de Dirichlet sobre Primos en Progresiones Aritméticas, pues admite el siguiente enunciado elemental.

Teorema de Dirichlet Si a, b son números enteros primos entre śı, entonces la progresión aritmética an + b, para n = 1, 2, . . . contiene infinitos primos.

Aunque no estamos en condiciones de explicar la idea que guió a Dirichlet, digamos al menos que está relacionada con que el grupo de Galois de la extensión ciclotómica n-sima de Q es isomorfo a Un. El teorema de Dirichlet es una herramienta importante en la teoŕıa de números y, aunque en ocasiones puede ser evitado (como hizo Gauss para probar la Ley de Reciprocidad) ello suele llevar a caminos torcidos que restan naturalidad a las demostraciones. Por este motivo la prueba de Dirichlet fue muy celebrada, además de porque fue uno de los primeros éxitos importantes de la teoŕıa anaĺıtica de números.

1.6 Ecuaciones diofánticas

Una ecuación diofántica es simplemente una ecuación polinómica de la que se buscan las soluciones enteras. Se llaman aśı en honor al matemático griego Dio- fanto, aunque en todos los libros que se conservan no hay ningún resultado sobre ecuaciones diofánticas en este sentido moderno. Él buscaba siempre soluciones racionales en lugar de enteras.

Todos los resultados que hemos probado en este caṕıtulo son soluciones de ecuaciones diofánticas. Del mismo modo que el estudio de los sistemas de ecua- ciones lineales dio lugar al álgebra lineal, las ecuaciones diofánticas están en la base de las distintas ramas de la teoŕıa de números. Sabemos que no puede exis- tir una teoŕıa general de ecuaciones diofánticas en el mismo sentido que la hay para los sistemas de ecuaciones lineales, pero hay muchos resultados aplicables a familias concretas de ecuaciones. Ya hemos comentado que Gauss dedicó gran parte de sus Disquisitiones arithmeticae a encontrar un método para resolver cualquier ecuación diofántica de segundo grado con dos variables.

12 Caṕıtulo 1. Introducción a la teoŕıa algebraica de números

Observar que las ecuaciones diofánticas con una variable son triviales, pues resolverlas se reduce a aproximar anaĺıticamente las ráıces del polinomio que determina la ecuación y comprobar si son enteras. Si pasamos a ecuaciones con dos variables, las de grado 1 también son sencillas.

Ejercicio: Dar un método para determinar todas las soluciones enteras de una ecuación de la forma ax + by = c, donde a, b, c ∈ Z.

Aśı pues, el primer caso no trivial es el de las ecuaciones de segundo grado con dos variables (el caso estudiado por Gauss). Puede probarse que mediante cambios de variable adecuados el problema puede reducirse a estudiar ecuaciones definidas por formas cuadráticas, es decir, ecuaciones de la forma

ax2 + bxy + cy2 = d. (1.4)

Notemos que si a = 0 o c = 0 el problema es trivial, pues una de las incógnitas ha de ser un divisor de d y hay un número finito de soluciones. Supongamos, pues, a = 0 = c. Veamos hasta dónde podemos llegar mediante razonamientos elementales para encontrar aśı el núcleo del problema.

Factorizamos el polinomio ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β), y entonces la ecuación se convierte en

a(x− αy)(x− βy) = d.

Los números α y β son −b± √ b24ac 2a . Sea D = b

2 4ac. El número D se llama discriminante de la forma cuadrática ax2 + bxy + cy2.

Si D = 0 entonces α = β = −b/2a. Multiplicando por 4a obtenemos la ecuación (2ax + by)2 = 4ad, cuyas soluciones enteras son fáciles de hallar.

Si D = k2 = 0, entonces multiplicando por 4a queda

(2ax + ky)(2ax− ky) = 4ad,

que a su vez se reduce a un número finito de sistemas de ecuaciones de la forma

2ax + ky = u, 2ax− ky = v,

donde u y v recorren las factorizaciones de 4ad. Si d = 0 el número de soluciones es finito. Si d = 0 la ecuación se reduce a 2ax±ky = 0, cuya solución es sencilla.

Nos queda el caso en que D no es un cuadrado perfecto. Entonces α y β son elementos del cuerpo Q

(√ D

) . Más aún, son conjugados en el sentido de la

teoŕıa de Galois. Si llamamos N a la norma en Q (

D ) , la ecuación se expresa

en la forma N(x− αy) = d/a. (1.5)

Por lo tanto, la solución de una ecuación diofántica de la forma (1.4) se reduce (salvo casos triviales) a encontrar elementos de la forma x − αy con norma igual a d/a.

Pensar en encontrar elementos de un cuerpo con una norma determinada en lugar de en encontrar pares de enteros que cumplan una ecuación determinada es

1.6. Ecuaciones diofánticas 13

un cambio de perspectiva muy importante. Con todo, el problema no es simple. Buena muestra de ello es que la menor solución de la ecuación x2 61y2 = 1 es la dada por x = 1.766.319.049, y = 226.153.980.

Lo que hemos ganado es que ahora podemos dar un tratamiento sistemático al problema. Es prácticamente imposible trabajar en general con una ecuación con coeficientes indeterminados, pero es muy cómodo teorizar sobre extensio- nes de Galois. Más aún, un estudio directo de una ecuación de grado 2 seŕıa dif́ıcilmente generalizable a ecuaciones de grados superiores, mientras que en lugar de trabajar concretamente con ecuaciones del tipo (1.5), podemos con- siderar ecuaciones similares definidas por normas de extensiones arbitrarias de Q, sin que ello suponga apenas ningún esfuerzo adicional. Ello nos llevará a un método para resolver una familia de ecuaciones diofánticas que incluye todas las del tipo (1.4), pero también muchas otras de grados arbitrariamente grandes. Vamos a plantear el problema en toda su generalidad:

Sea K una extensión finita de Q, es decir, K es un cuerpo tal que Q ⊂ K ⊂ C y como espacio vectorial sobre Q tiene dimensión finita (en el caso anterior seŕıa K = Q

(√ D

) , que tiene dimensión 2 sobre Q). Un cuerpo en estas condiciones

se denomina cuerpo numérico. La teoŕıa de Galois nos da que la extensión tiene un elemento primitivo,

es decir, existe un ζ ∈ K tal que K = Q(ζ) (en el caso anterior ζ = √ D ).

Todo elemento de K es algebraico sobre Q, es decir, para cada α ∈ K existe un único polinomio mónico irreducible p(x) Q[x] tal que p(a) = 0. Además p(x) divide a cualquier polinomio de Q[x] que tenga a α por ráız. A este polinomio lo llamaremos polinomio mı́nimo de α y lo abreviaremos por pol mı́nα.

En particular el grado de pol mı́n ζ es el grado de K, es decir, la dimensión de K como Q-espacio vectorial. Llamémoslo n.

La teoŕıa de Galois nos da también que pol mı́n ζ tiene n ráıces distintas en C, llamémoslas ζ1, . . . , ζn (con ζ = ζ1), aśı como que para i = 1, . . . , n existe un isomorfismo σi : K −→ Q(ζi) tal que σi(ζ) = ζi. Es fácil ver que σ1, . . . , σn son los únicos monomorfismos de K en C, luego no dependen de la elección de ζ.

(En el caso anterior los conjugados de √ D son ±

√ D y los monomorfismos

son la identidad y la conjugación que env́ıa √ D a

√ D. De hecho son isomor-

fismos, aunque si K no es una extensión de Galois puede ocurrir que Q(ζi) no esté contenido en K).

El cuerpo L = Q(ζ1, . . . , ζn) es la clausura normal de K, es decir, la menor extensión de Galois sobre Q que contiene a K. Los monomorfismos σi son las restricciones a K de los automorfismos de L.

Si σ es un automorfismo de L, entonces σi ◦ σ es un monomorfismo de K, luego se trata de uno de los σj . Además si i = j, entonces σi ◦ σ = σj ◦ σ (pues difieren sobre ζ). Por lo tanto la composición con σ permuta los monomorfismos σi. El cuerpo K tiene asociada una norma N : K −→ Q definida por

N(α) = σ1(α) · · ·σn(α).

La norma de un número α es ciertamente un número racional, debido a que cualquier automorfismo σ de L permuta los factores de N(α), y por consiguiente

14 Caṕıtulo 1. Introducción a la teoŕıa algebraica de números

σ ( N(α)

) = N(α). Si α1, . . . , αr son elementos no nulos de K definimos

N(x1α1+· · ·+xrαr) = ( x1σ1(α1)+· · ·+xrσ1(αr)

) · · ·

( x1σn(α1)+· · ·+xrσn(αr)

) Es claro que se trata de una forma de grado n (una forma es un polinomio

cuyos monomios tienen todos el mismo grado). Tener en cuenta que el producto de formas es una forma y que los factores que definen N(x1α1 + · · ·+ xrαr) son formas.

Al igual que ocurre con N(α), todo automorfismo σ de L permuta los factores de N(x1α1 + · · · + xrαr), luego

σ ( N(x1α1 + · · · + xrαr)

) = N(x1α1 + · · · + xrαr).

La teoŕıa de Galois nos da entonces que N(x1α1+· · ·+xrαr) Q[x1, . . . , xr]. Si x1, . . . , xr ∈ Q, entonces N(x1α1 + · · · + xrαr) es simplemente la norma

de x1α1 + · · · + xrαr. Un módulo M de K será un subgrupo de (K,+) generado por un conjunto

finito α1, . . . , αr de elementos de K, es decir,

M = 〈α1, . . . , αr〉Z = {a1α1 + · · · + arαr | a1, . . . , ar ∈ Z}.

Hemos visto que hallar las soluciones de una ecuación diofántica definida por una forma cuadrática (1.4) con discriminante no cuadrado perfecto equivale a encontrar las soluciones de (1.5), lo que a su vez equivale a encontrar los ele- mentos del módulo M = 1, α〉 de norma d/a. En general, uno de los problemas que resolveremos en este libro será el de determinar las soluciones enteras de una ecuación del tipo

N(x1α1 + · · · + xrαr) = m,

lo cual equivale a su vez a encontrar los elementos del módulo M = 〈α1, . . . , αr〉Z de norma m. El método que daremos puede considerarse una generalización de la teoŕıa de Gauss sobre formas cuadráticas binarias. En la sección siguiente damos algunos resultados adicionales que terminan de perfilar el planteamiento del problema.

1.7 Ecuaciones definidas por formas

Cada forma F (x1, . . . , xr) con coeficientes enteros plantea dos problemas básicos:

1. Determinar las soluciones de la ecuación diofántica F (x1, . . . , xr) = m, para cada entero m.

2. Determinar qué enteros m están representados por F , es decir, admiten una expresión del tipo F (x1, . . . , xr) = m para ciertos enteros x1, . . . , xr.

1.7. Ecuaciones definidas por formas 15

La teoŕıa que vamos a desarrollar resolverá estos problemas para una familia bastante amplia de formas. Para empezar, éstas habrán de admitir una repre- sentación del tipo N(x1α1 + · · · + xrαr), y entonces los problemas indicados se pueden reformular, tal y como vimos en la sección anterior, en términos del módulo generado por los números algebraicos α1, . . . , αr.

Una técnica básica en la resolución de ecuaciones es transformarlas en otras equivalentes, es decir, con las mismas soluciones, pero cada vez más sencillas. Aunque esto no basta para resolver ecuaciones diofánticas, al menos nos da cierta libertad para simplificar el problema lo más posible. En primer lugar no- temos que al multiplicar una ecuación por una constante (racional) no nula, las soluciones (enteras) no vaŕıan, por lo que en muchos casos podremos considerar que una forma y uno cualquiera de sus múltiplos son ‘la misma forma’, en el sentido de que podremos reemplazar una por otra. Esto supone que admitimos trabajar con formas con coeficientes racionales, no necesariamente enteros.

Hay otro sentido en el que dos formas pueden ser mutuamente reemplazables:

Definición 1.4 Diremos que dos formas F (x1, . . . , xr), G(y1, . . . , ys) del mismo grado son equivalentes (en sentido amplio) si cada una puede obtenerse de la otra a partir de un cambio de variables lineal con coeficientes enteros. Diremos que son equivalentes si r = s y la matriz del cambio de variables tiene determinante ±1 (con lo que tenemos dos cambios de variables mutuamente inversos).

Por ejemplo, las formas

x2 + 7y2 + z2 6xy + 6yz − 2xz y 2u2 − v2

son equivalentes (en sentido amplio), pues los cambios de variables

x = 3v u = −x + 2y + z y = u + v v = x− y − z z = −u + v

convierten una en otra. Es claro que en esta situación una solución entera de una de las formas

da lugar a una solución entera de la otra mediante las fórmulas de cambio de variables, luego sabemos resolver una si y sólo si sabemos resolver la otra.

Ejercicio: Probar que si los números algebraicos α1, . . . , αr y β1, . . . , βs generan un mismo módulo de un cuerpo numérico K entonces las formas N(x1α1 + · · · + xrαr) y N(x1β1 + · · · + xsβs) son equivalentes en sentido amplio, y si ambos son bases del mismo módulo entonces son equivalentes.

Este ejercicio muestra que a cada módulo le podemos asociar una única clase de equivalencia (en sentido amplio) de formas, aśı como que toda forma es equivalente en sentido amplio a una forma N(x1α1 + · · · + xrαr), donde α1, . . . , αr forman una base de un cierto módulo. (Notemos que todo módulo es un Z-módulo finitamente generado y libre de torsión, luego es libre.)

El teorema siguiente muestra cómo la equivalencia de formas nos permite pasar a formas con propiedades adicionales de interés:

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