optimizacion, Apuntes de Matemáticas. Universidad de Sevilla (US)
jorgegilbeato
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Asignatura: matematicas I, Profesor: María Josefa Chaves de Diego, Carrera: Ingeniería de Edificación, Universidad: US
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D pt o. M at em át ic a A pl ic ad a I

Tema 3: Optimización de funciones

1. Extremos relativos

La condición necesaria pero no suciente para que una función y = f(x) alcance un máximo o un mínimo relativo en un punto x0 es que f

′(x0) sea nula (la recta tangente en dicho punto es horizontal) o no exista. A estos puntos x0 se les denominan puntos críticos. Si y = f(x) es una función sucientemente regular en un intervalo abierto de x0 tal que f

′(x0) = 0, se tiene:

Si f ′′(x0) > 0, entonces x0 es un mínimo relativo.

Si f ′′(x0) < 0, entonces x0 es un máximo relativo.

Si f ′′(x0) = 0, supongamos que f m)(x0) es la primera derivada de

f(x) no nula en x0:

Si m es par y f m)(x0) < 0, entonces x0 es un máximo relativo.

Si m es par y f m)(x0) > 0, entonces x0 es un mínimo relativo.

Si m es impar, entonces x0 es un punto de inexión.

Denición Extremos relativos Sea f(x1, x2, . . . , xn) una función escalar de n variables denida en una región abierta D que contiene

a un punto P (x10, x20, . . . , xn0). Diremos que el punto P es un mínimo relativo si existe un entorno Eδ(P ) para el cual es f(x1, x2, . . . , xn) ≥ f(P ) para todo punto (x1, x2, . . . , xn) ∈ D ∩ Eδ(P ).

Sea f(x1, x2, . . . , xn) una función escalar de n variables denida en una región abierta D que contiene a un punto P (x10, x20, . . . , xn0). Diremos que el punto P es un máximo relativo si existe un entorno Eδ(P ) para el cual es f(x1, x2, . . . , xn) ≤ f(P ) para todo punto (x1, x2, . . . , xn) ∈ D ∩ Eδ(P ).

Teorema Condición necesaria de extremo relativo La condición necesaria pero no suciente para que una función escalar de n variables f(x1, x2, . . . , xn)

denida en una región abierta D que contiene a un punto P (x10, x20, . . . , xn0) alcance un máximo o mínimo relativo en dicho punto es que se cumpla una de estas dos condiciones:

f ′xi(x10, x20, . . . , xn0) = 0 para todo i = 1, 2, . . . , n.

f ′xi(x10, x20, . . . , xn0) no existe para algún i = 1, 2, . . . , n.

Estos puntos P (x10, x20, . . . , xn0) se denominan puntos críticos. Los puntos críticos que no son extremos relativos se denominan puntos de silla.

Teorema Condición suciente de extremo relativo Dada una función escalar f(x1, x2, . . . , xn) de n variables, sea H(P ) su matriz hessiana evaluada en

un punto crítico P . Sean ∆k = |hij |1≤i,j≤k para k = 1, 2, . . . , n sus n menores principales 1.

Si todos los menores principales son positivos, entonces el punto P es un mínimo relativo.

Si todos los menores principales son distintos de cero y van alternando su signo, siendo el primero2

de ellos negativo, el punto P es un máximo relativo.

1Determinantes de las submatrices que se obtienen al considerar sólo las k primeras las y columnas 2El menor formado por la primera la y por la primera columna

1

D pt o. M at em át ic a A pl ic ad a I

Si los menores principales son nulos a partir de uno de ellos en adelante y los no nulos son positivos o van alternando su signo siendo el primero de ellos negativo, no puede armarse nada sobre el carácter del punto crítico P .

En cualquier otro caso el punto P no es un extremo relativo.

Corolario Condición suciente de extremo relativo para funciones de dos variables Sea f(x, y) una función escalar de dos variables con derivadas parciales segundas continuas en una

región abierta que contiene al punto P (x0, y0), en el cual f ′ x(x0, y0) = 0 y f

′ y(x0, y0) = 0, y sea H el

hessiano3 de f(x, y) evaluado en el punto P (x0, y0).

Si H > 0 y f ′′xx(x0, y0) > 0, entonces P (x0, y0) es un mínimo relativo.

Si H > 0 y f ′′xx(x0, y0) < 0, entonces P (x0, y0) es un máximo relativo.

Si H < 0, entonces P (x0, y0) es un punto de silla.

Si H = 0, entonces el criterio no da ninguna conclusión.

2. Extremos condicionados

Denición Sea D el conjunto de puntos {x1, x2, . . . , xn} que verican todas las ligaduras4. Diremos que la función

U(x1, x2, . . . , xn) posee en un punto P interior a D un extremo relativo condicionado a las ligaduras ϕi(x1, x2, . . . , xn) = 0 (con i = 1, 2, . . . , k < n) si la restricción

5 de U(x1, x2, . . . , xn) al conjunto D posee en P un extremo relativo.

Denición Dada una función U(x1, x2, . . . , xn) cuyas n variables están ligadas por una o varias ecuaciones de

ligadura, ϕ1(x1, x2, . . . , xn) = 0, ϕ2(x1, x2, . . . , xn) = 0, . . ., ϕk(x1, x2, . . . , xn) = 0 con k < n, se llama Función de Lagrange Φ a la generada de la forma siguiente:

Φ = U + λ1ϕ1 + λ2ϕ2 + · · ·+ λkϕk

donde λ1, λ2, . . ., λk son coecientes indeterminados conocidos por el nombre de multiplicadores de Lagrange.

Teorema Método de los multiplicadores de Lagrange Si en la denición anterior las funciones U , ϕ1, ϕ2, . . ., ϕk son sucientemente regulares, los puntos que

hacen mínima o máxima a la función de Lagrange hacen mínima o máxima a la función U(x1, x2, . . . , xn) cuyas variables están ligadas por las funciones ϕ1(x1, . . . , xn) = 0, ϕ2(x1, . . . , xn) = 0, . . ., ϕk(x1, . . . , xn) = 0 con k < n.

3. Extremos absolutos

Denición Extremos absolutos Sea f(x1, x2, . . . , xn) una función escalar de n variables denida en un conjunto D ⊂ Rn que contiene

a un punto P . Diremos que el punto P es un mínimo absoluto si f(P ) ≤ f(x1, x2, . . . , xn) para todo (x1, x2, . . . , xn) ∈ D.

3Determinante de la matriz hessiana, formada por las derivadas parciales de segundo orden 4Sistema de ecuaciones que deben vericar todas las variables del problema de extremos 5La misma función pero denida sólo en D

2

D pt o. M at em át ic a A pl ic ad a I

Sea f(x1, x2, . . . , xn) una función escalar de n variables denida en un conjunto D ⊂ Rn que contiene a un punto P . Diremos que el punto P es un máximo absoluto si f(P ) ≥ f(x1, x2, . . . , xn) para todo (x1, x2, . . . , xn) ∈ D.

Teorema Teorema de Weierstrass Sea f(x1, x2, . . . , xn) una función escalar de n variables continua en un subconjunto cerrado y acotado

de su dominio. Entonces, dicha función alcanza su máximo y mínimo absolutos en dicho subconjunto.

Sea f(x1, x2, . . . , xn) una función escalar de n variables continua en un subconjunto cerrado y acotado A de su dominio. Para hallar sus extremos absolutos se realiza el siguiente proceso:

Calculamos los puntos críticos de la función f(x1, x2, . . . , xn) que pertenecen al interior del subconjunto A (problema de extremos libres).

Calculamos lo puntos críticos de la función f(x1, x2, . . . , xn) sobre la frontera del subconjunto A (problema de extremos condicionados).

Calculamos, si existen, los vértices del subconjunto A.

Evaluamos la función f(x1, x2, . . . , xn) en todos los puntos obteni- dos. El máximo absoluto es aquél en el que la función toma el mayor valor, y el mínimo absoluto es aquél en el que la función toma el me- nor valor.

4. Problemas propuestos

Problema 1.

Calcular los extremos relativos de la función f(x, y) = xy ex+2y.

Solución: P1(0, 0): punto de silla

P2(−1,−1/2): máximo relativo

Problema 2.

Calcular y clasicar los puntos críticos de la función f(x, y) = (y2 − 2x2) e−x2 . Solución: P1(0, 0): punto de silla

P2(1, 0): mínimo relativo

P3(−1, 0): mínimo relativo

Problema 3.

Obtener los extremos relativos de la función z = f(x, y) denida implícitamente por la ecuación z3 + x2 + y2 − (x+ y)z − 6 = 0. Solución: P (1, 1, 2): máximo relativo

Problema 4.

Dada la función f(x, y) = ln(yx)− yx− x2 − y2, se pide:

(a) Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano OXY que contiene a la tangente de pen- diente máxima en el punto P (1, 1,−3). Solución: x− y = 0

3

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(b) Calcular y clasicar los puntos críticos de la función.

Solución: P1( √ 3/3,

√ 3/3): máximo relativo

P2(− √ 3/3,−

√ 3/3): máximo relativo

(Examen diciembre, curso 20102011)

Problema 5.

Hallar los máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones:

(a) f(x, y) = −x2 − 5y2 + 4xy + 8x− 10y − 1 Solución: P (10, 3): máximo relativo

(b) f(x, y) = x2 − 3xy − y2 − 5x+ y + 3 Solución: P (1,−1): punto de silla

(c) f(x, y) = 2x3 + xy2 + 3x2

Solución: P2(−1, 0): máximo relativo

(d) f(x, y) = 4(x− 1)y − (x− 1)4 − y4

Solución: P1(1, 0): punto de silla

P2(2, 1) máximo relativo

P3(0,−1): máximo relativo

(e) f(x, y) = e−x sen y, con dominio D = {

(x, y) ∈ R2 /

0 ≤ y < 2π }

Solución: No existen extremos relativos

(f) f(x, y) = ex 2+y2−4y

Solución: P (0, 2): mínimo relativo

(g) z = f(x, y) denida implícitamente por (x+ y)2 + z2 − xy + 2z = 0 Solución: P1(0, 0, 0): máximo relativo

P2(0, 0,−2): mínimo relativo

(h) z(x, y) denida de forma implícita por x2 + y2 + z2 − 2x+ 2y − 4z − 10 = 0. Solución: P1(1,−1,−2): mínimo relativo

P2(1,−1, 6): máximo relativo

Problema 6.

Estudiar los extremos relativos de la función g(x, y) = y3 + 2x2 + y2 − 4y − 8.

Solución: P1

( 0, −1 +

√ 13

3

) : mínimo relativo

P2

( 0, −1−

√ 13

3

) : punto de silla

Problema 7.

Estudiar los extremos relativos de la función g(x, y) = x2 + y 3 /3 + xy − x− y − 2.

Solución: P1(0, 1): mínimo relativo

P2(3/4,−1/2): punto de silla

Problema 8.

Dada la función f(x, y) = x2 + y2 − 2axy cos y, ¾para qué valores de a la función tiene en el punto P (0, 0) un mínimo, un máximo o un punto de silla?

Solución: −1 < a < 1: mínimo relativo

a = ±1: no se sabe

a < −1 ó a > 1: punto de silla

4

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Problema 9.

Se considera la función z = f(x, y) = xy − a(x3 + y3).

(a) Hallar sus puntos críticos.

Solución: P1(0, 0) y P2(1/3a, 1/3a)

(b) Probar que si a 6= 0 la función f(x, y) tiene un único extremo relativo. (c) ¾Es posible obtener a para que en dicho extremo la función tome el valor z = −1?

Solución: No

Problema 10.

En la construcción de un conducto de agua entre los puntos P y S es necesario pasar por zonas en las que el coste por Km es diferente.

Si entre P y Q el coste por Km es 3ke, entre Q y R es 2ke, y entre R y S es ke, hallar x e y para que el coste total sea mínimo.

Solución: x = 1/√2 e y = 1/ √ 3

Problema 11.

(a) Clasicar los puntos críticos de la función f(x, y) = xy (6− x− y). Solución: P1(0, 0), P2(6, 0) y P3(0, 6): puntos de silla

P4(2, 2): máximo relativo

(b) Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide √

3 gira alrededor de uno de sus catetos gene- rando un cono circular recto. Hallar, empleando el método de los multiplicadores de Lagrange, las dimensiones del cono de volumen máximo.

(Nota: el volumen de un cono circular recto cuya base tiene área igual a S y cuya altura es h viene dado por 1/3S h)

Solución: Base: r = √ 2

Altura: h = 1

(Examen septiembre, curso 20092010)

Problema 12.

(a) Clasicar, según los valores del parámetro a, los extremos relativos de la función h(x, y) =

xy + a3

x + a3

y .

Solución: P (a, a): mínimo relativo si a 6= 0 y punto de silla si a = 0

5

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(b) Se considera la lámina plana denida por 2x2 + (y−3)2 ≤ 4. Hallar los puntos de dicha lámina que se encuentran a mayor y a menor distancia del origen de coordenadas, y obtener éstas.

Solución: Distancia mínima = 1 en P1(0, 1)

Distancia máxima = 5 en P2(0, 5)

Problema 13.

Dada la supercie z = 2 ln(xy)− x2 + 2/y, se pide:

(a) Hallar la ecuación del plano tangente a la supercie en el punto P (2, 4).

Solución: z = 2 ln 8 + 1− 3x+ 3y/8 (b) Clasicar los puntos críticos de la supercie.

Solución: P (1, 1): punto de silla

(c) Obtener los valores máximo y mínimo de la supercie sobre el recinto limitado por la curva xy = 1 y las rectas x = 2 e y = 2.

Solución: Máximo: 2 ln 2

Mínimo: 2 ln 2− 2 (Examen de junio, curso 20112012)

Problema 14.

(a) Hallar los extremos relativos de la función f(x, y) = 3y−x2−y2 +xy, justicando la condición de extremo.

Solución: P (1, 2): máximo relativo

(b) A una persona le toca la lotería y decide invertir en bolsa. Si invierte x miles de e en acciones del tipo A e y miles de e en acciones del tipo B, el benecio anual (en miles de e) que obtendrá viene dado por la función f(x, y) del apartado anterior. El rescate europeo a la banca española supone una serie de condiciones, entre las que se encuentran x2 +y2 ≤ 9, x ≥ 0 e y ≥ 0. Hallar cuánto tiene que invertir en cada tipo de acciones para obtener el mayor benecio posible.

Solución: 1000e en acciones del tipo A

2000e en acciones del tipo B

(Examen de septiembre, curso 20112012)

Problema 15.

La cubierta de una torre de planta circular x2 + y2 ≤ 1 sigue la forma de la supercie z = f(x, y) = x3 + xy2 + 2x2 + 2y2 − 4x+ 10. Para un estudio morfológico de dicha cubierta, se pide:

(a) Partiendo del punto P (0, 0, 10):

(a.1) ¾En qué dirección y sentido debemos ascender por la cubierta para hacerlo lo más rápido posible? Solución: u = (−4, 0)

(a.2) ¾Qué pendiente encontramos en el ascenso más rápido? Solución: 4

(a.3) ¾Qué dirección y sentido debemos considerar para obtener pendiente nula? Solución: v = (0, 4)

(a.4) ¾Cuál es el plano tangente a la cubierta en el punto dado? Solución: π: 4x+ z − 10 = 0

(b) ¾Cuál es la altura mayor de la cubierta y en qué punto o puntos se alcanza?

Solución: Altura = 15 en P1(−1, 0)

(c) ¾Cuál es la menor altura de la cubierta y en qué punto o puntos se alcanza?

Solución: Altura = 230/27 ≈ 8.52 en P2(2/3, 0) (Examen septiembre, curso 20102011)

6

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Problema 16.

Una varilla recta extensible tiene un extremo jo en el punto (6, 8) y el otro se puede colocar sobre un punto del círculo x2 + y2 ≤ 25. Calcular las longitudes máxima y mínima que puede tener la varilla.

Solución: Longitud mínima = 5

Longitud máxima = 15

Problema 17.

(a) Calcular los máximos y mínimos relativos de la función f(x, y) = xy(1− x− y). Solución: P1(0, 0), P2(1, 0) y P3(0, 1): puntos de silla

P4(1/3, 1/3): máximo relativo

(b) Una placa tiene la forma del recinto limitado por x2 +2y2 ≤ 2, x ≥ 0 e y ≥ 0. Se desea recortar de ella un trozo rectangular con dos lados sobre los lados rectos de la placa. Determinar, aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange, las dimensiones del rectángulo de perímetro máximo que se puede obtener.

Solución: 2 √ 3/3 ≈ 1.15 de ancho por

√ 3/3 ≈ 0.58 de alto

Problema 18.

Se tiene un vidrio triangular de vértices A(1, 1), B(1, 3) y C(3, 3). La cantidad de luz absorbida en un punto P (x, y) de dicho vidrio viene dada por f(x, y) = xy+ 2/x+ 4/y (en las unidades apropiadas). Hallar los puntos de máxima y mínima absorción.

Solución: Máxima absorción en (3, 3)

Mínima absorción en (1, 2)

Problema 19.

La temperatura de una placa circular de ecuación x2 − 2x + y2 − 3 ≤ 0 viene dada por T (x, y) = x2 + 3y2. Hallar los puntos que se encuentran a máxima y a mínima temperatura.

Solución: Temperatura máxima en (3/2,± √

(15)/2)

Temperatura mínima en (0, 0)

Problema 20.

La planta de un edicio viene dada por el recinto limitado por las curvas 2y = x2 y x2 + y2 = 3. Si el peso (en las unidades adecuadas) que soporta un punto P (x, y) de dicha planta viene dado por f(x, y) = x2 + y2 − 2y + 5, hallar los puntos que soportan el máximo y el mínimo peso. Solución: Peso máximo en (

√ 2, 1) y (−

√ 2, 1)

Peso mínimo en (0, 1)

Problema 21.

Hallar las alturas máxima y mínima de un edicio de planta circular delimitada por la circunferencia x2 + y2 = 2 y cuya cubierta es la supercie de ecuación z = x2 + y2 + xy + 3.

Solución: Altura máxima: 6

Altura mínima: 3

(Examen de diciembre, curso 20112012)

Problema 22.

Una pieza de hormigón usada en la construcción de un puente tiene la forma de la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 8. Si la resistencia a compresión en un punto de dicha pieza viena dada por f(x, y, z) = xy + z2 + 250 Kg/cm2, hallar los puntos de mayor y menor resistencia a compresión.

Solución: Mayor resistencia en (0, 0, 2 √ 2) y (0, 0,−2

√ 2)

Menor resistencia en (2,−2, 0) y (−2, 2, 0)

7

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Problema 23.

Se considera el sólido no homogéneo limitado por x2 + y2 ≤ z y por z ≤ 1. Si la densidad de dicho sólido viene dada por δ(x, y, z) = 1 + x+ y+ z, hallar los valores máximo y mínimo de la densidad.

Solución: Densidad máxima = 2 + √ 2

Densidad mínima = 1/2

Problema 24.

Consideramos la supercie que viene dada por la función z = f(x, y) = x3 + xy + y3.

(a) La pendiente que presenta la supercie en el punto (2,−3) y según la dirección del vector (1,−1) es:

−20 −3/2 −10 √

2 Ninguna de las anteriores.

(b) El valor de la función diferencial de z = f(x, y) en el punto (1,−1) para dx = 0.2 y dy = −0.1 es:

0 6 0.3 Ninguno de los anteriores.

(c) Los puntos críticos de z = f(x, y) son:

(0, 0), (−1/3,−1/3), (−1/3, 1/3), (1/3,−1/3) y (1/3, 1/3, ). (0, 0), (−1/3,−1/3) y (1/3, 1/3, ). (0, 0) y (−1/3,−1/3). Ninguno de las anteriores.

(d) El valor del hessiano de z = f(x, y) en el punto (1, 1) es:

0 35 1 Ninguno de los anteriores.

(e) La función z = f(x, y):

Alcanza un máximo relativo en el punto (−1/3,−1/3) y un mínimo relativo en el punto (0, 0). Dichos valores máximo y mínimo son 1/27 y 0, respectivamente.

Los puntos (−1/3, 1/3) y (1/3,−1/3) son puntos de silla de la supercie z = f(x, y).

Alcanza un mínimo relativo en el punto (1/3, 1/3) y dicho valor mínimo es 5/27.

Alcanza un máximo relativo en el punto (−1/3,−1/3) y dicho valor máximo es 1/27.

Problema 25.

Consideramos la supercie que viene dada por la función z = f(x, y) = −xy e− (x2+y2)/2.

(a) Sobre los puntos críticos de z = f(x, y):

Son 9 puntos. Son 5 puntos.

Son 4 puntos. Ninguno de las anteriores.

(b) Sobre los puntos de silla de la supercie z = f(x, y):

No presenta ningún punto de silla.

Los únicos puntos de silla son (2, 2), (−2,−2), (2,−2) y (−2, 2). El único punto de silla es el origen de coordenadas.

Ninguna de las anteriores.

8

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(c) Sobre los máximos relativos de la supercie z = f(x, y):

La supercie presenta dos máximos relativos de valores 1 y 1/e2.

La supercie presenta un único máximo relativo de valor 1/e, el cual es alcanzado en dos puntos.

La supercie presenta un único máximo relativo de valor e, el cual es alcanzado en un único punto.

Ninguna de las anteriores.

(d) Sobre los mínimos relativos de la supercie z = f(x, y):

La supercie presenta un único mínimo relativo de valor −1/e, el cual es alcan- zado en un único punto.

La supercie presenta dos mínimos relativos de valores −1/e2 y 0. La supercie presenta un único mínimo relativo de valor−e, el cual es alcanzado en un único punto.

Ninguna de las anteriores.

Problema 26.

Consideramos la supercie z = z(x, y) denida implícitamente por la ecuación f(x, y, z) = x2 − 4x+ y2 − 2y + 6z − z2 = 0.

(a) El plano tangente a la supercie en el punto (1,−1, 0) viene dado por:

x− z + 1 = 0 x− z − 1 = 0 Tal plano no existe porque el punto dado no pertenece a la supercie.

Ninguno de las anteriores.

(b) El valor del hessiano de z = z(x, y) en el punto (1,−1) para z = 6 es:

4/81

7/38

El hessiano no está denido para supercies dadas en forma implícita.

Ninguno de las anteriores.

(c) La supercie z = z(x, y):

No presenta extremos relativos ni puntos de silla.

Alcanza en los puntos (2, 1, 1) y (2, 1, 5) un mínimo y un máximo relativo, respectivamente.

Alcanza en los puntos (2, 1, 1) y (2, 1, 5) un máximo y un mínimo relativo, respectivamente.

Presenta un punto de silla en el punto (1,−1, 0).

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Problema 27.

La planta de un edicio está limitada superiormente por la curva x2 + y2 = 3 e inferiormente por 2y = x2; el peso (en las unidades adecuadas) que soporta un punto P (x, y) de dicha planta viene dado por f(x, y) = x2 + y2 − 2y + 7. Se trata de determinar los puntos de la planta que soportan el máximo y mínimo peso.

(a) Los puntos críticos que se obtienen para el problema de extremos absolutos son:

(0, 0), (0, 1) y (0,− √

3).

(0, 0), (0, 1), (0, √

3), (− √

2, 1) y ( √

2, 1).

(0, 0), (0, 1), (0,− √

3), (0, √

3), (− √

2, 1) y ( √

2, 1).

(0, 1), (− √

2, 1) y ( √

2, 1).

(b) Sobre el máximo peso:

Su valor es 10 + 2 √

3 y se alcanza en el punto (0,− √

3).

La función que determina el peso es creciente, por lo que no existe máximo absoluto.

Su valor es 6 y se alcanza en los puntos (− √

2, 1) y ( √

2, 1).

Su valor es 8 y se alcanza en los puntos (− √

2, 1) y ( √

2, 1).

(c) Sobre el mínimo peso:

Su valor es 6 y se alcanza en el punto (0, 1).

Su valor es 0 y se alcanza en el punto (0, 0).

Su valor es 10− 2 √

3 y se alcanza en el punto (0, √

3).

Su valor es 4 y se alcanza en el punto (0, 1).

Problema 28.

Como elemento ornamental se ha utilizado una columna siguiendo la forma de un hiperboloide de una hoja. Los puntos de este elemento sólido verican x2 +y2−2z2 ≤ 6, con 0 ≤ z ≤ 2, y presentan una densidad no homogénea que viene dada por δ(x, y, z) = x+ y + z + 5.

(a) Si se quiere determinar la densidad mínima y máxima que presenta la columna, se trata de un problema de:

Extremos relativos. Extremos condicionados.

Extremos absolutos. Ninguna de las anteriores.

(b) Sobre la densidad máxima:

Su valor es 8 y se alcanza en el punto (2, 2,−1)

Su valor es 2 √

3 + 5 y se alcanza en los puntos ( √

3, √

3, 0) y (1,−1, 2 √

3).

Su valor es 7 + 2 √

7 y se alcanza en el punto ( √

7, √

7, 2).

Su valor es 5 + 6 √

2 y se alcanza en los puntos ( √

8, √

8, √

8) y (− √

8, √

8, 3 √

8).

10

D pt o. M at em át ic a A pl ic ad a I

(c) Sobre la densidad mínima:

Su valor es 5 − 2 √

3 y se alcanza en los puntos (−1 − √

3,− √

3, 1) y (− √

3,− √

3, 0).

Su valor es 5− 2 √

3 y se alcanza en el punto (− √

3,− √

3, 0).

Su valor es 2 y se alcanza en el punto (−2,−2, 1).

Su valor es 5 + √

3 y se alcanza en el punto (1,−1, √

3).

5. Apéndice: polinomio de Taylor

Dada una función f : Rn → R continua y n veces diferenciable, se llama polinomio de Taylor de grado n de la función f(x) en un punto P al polinomio de grado menor o igual que n tal que su valor y el de sus n primeras derivadas en el punto P coinciden con las de la función f(x) en dicho punto. En el caso de que el punto P sea el origen de coordenadas, el polinomio de Taylor correspondiente se denomina polinomio de McLaurin. Sea f(x) una función sucientemente regulara en un entorno del punto x = x0. Entonces, su polinomio de Taylor de grado n en dicho punto viene dado por:

Pn(x) = f(x0) + f ′(x0) (x− x0) +

f ′′(x0)

2! (x− x0)2

+ f ′′′(x0)

3! (x− x0)3 + · · ·+

f (n)(x0)

n! (x− x0)n

Dada una función f(x) sucientemente regular en un entorno del punto x = x0, su polinomio de Taylor de grado n en dicho punto puede escribirse también de las siguientes formas:

Pn(x0 + dx) = f(x0) + f ′(x0) dx+

f ′′(x0)

2! dx2 +

f ′′′(x0)

3! dx3

+ · · ·+ f (n)(x0)

n! dxn

Pn(x0 + dx) = f(x0) + df(x0) + d2f(x0)

2! + · · ·+ d

n)f(x0)

n!

aDerivable todas las veces que necesitemos, con derivadas continuas

Teorema Sea f(x, y) una función sucientemente regular6 en un entorno del punto P (x0, y0). Entonces, su

polinomio de Taylor de grado n en dicho punto viene dado por:

Pn(x, y) = f(x0, y0) + df(x0, y0) + d2f(x0, y0)

2! + · · ·+ d

n)f(x0, y0)

n!

6Derivable todas las veces que necesitemos, con derivadas parciales continuas

11

D pt o. M at em át ic a A pl ic ad a I

Teorema Polinomio de Taylor de grado 1

P1(x, y) = f(x0, y0) + ∂f(x0, y0)

∂x (x− x0) +

∂f(x0, y0)

∂y (y − y0)

Polinomio de Taylor de grado 2

P2(x, y) = f(x0, y0) + ∂f(x0, y0)

∂x (x− x0) +

∂f(x0, y0)

∂y (y − y0)

+ 1

2

[ ∂2f(x0, y0)

∂x2 (x− x0)2 + 2

∂2f(x0, y0)

∂x∂y (x− x0) (y − y0) +

∂2f(x0, y0)

∂y2 (y − y0)2

] Polinomio de Taylor de grado 3

P3(x, y) = f(x0, y0) + ∂f(x0, y0)

∂x (x− x0) +

∂f(x0, y0)

∂y (y − y0)

+ 1

2

[ ∂2f(x0, y0)

∂x2 (x− x0)2 +

∂2f(x0, y0)

∂xy (x− x0) (y − y0) +

∂2f(x0, y0)

∂y2 (y − y0)2

]

+ 1

6

[ ∂3f(x0, y0)

∂x3 (x− x0)3 + 3

∂3f(x0, y0)

∂x2∂y (x− x0)2 (y − y0)

+3 ∂3f(x0, y0)

∂x∂y2 (x− x0) (y − y0)2 +

∂3f(x0, y0)

∂y3 (y − y0)3

]

12

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