Optimizaciond e recursos, Ejercicios de Procesos de Producción. Universidad Alas Peruanas (UAP) - Lima
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Solución Gráfica de un PL

Solución Gráfica de un PL

Matemáticas

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Matemáticas Solución Gráfica de un PL

El método gráfico de solución de problemas de programación lineal (PL) sólo aplica a problemas con dos variables de decisión; sin embargo, ilustra adecuadamente los conceptos que nos permitirán entender la naturaleza del problema PL y de alĺı entender los métodos de solución algebraicos. Primeramente graficaremos la región factible. Después ilustraremos el comportamiento de funciones lineales para entender cómo determinar los puntos óptimos.

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Ejemplo 1

Suponga que se desea resolver el problema PL:

Max z = 3 x + 2 y

sujeto a 2 x + y ≤ 100 R5 x + y ≤ 80 R4 x ≤ 40 R3 x ≥ 0 R1

y ≥ 0 R2

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Nuestra primera meta es graficar en el plano la región factible; es decir, graficar la totalidad de puntos del plano que satisfacen las restricciones. Notemos que las restricciones se deben cumplir simultáneamente. Es decir, que los puntos deben cumplir la restricción R1, la restricción R2, y aśı sucesivamente hasta la restricción R5. Desde el punto de vista de teoŕıa básica de conjuntos, la región factible es la intersección de los conjuntos que satisfacen por separado cada una de las restricciones. Para avanzar en nuestra meta, debemos saber cómo determinar los puntos del plano que satisfacen una desigualdad lineal. Distinguimos dos casos:

cuando en la desigualdad sólo aparece una variable de decisión (es decir, la otra variable tiene coeficiente cero)

cuando en la desigualdad aparecen las dos variables de decisión (es decir, ambas tienen coeficientes diferentes de cero en tal desigualdad)

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Cuando sólo aparece una variable

En este caso, cuando cambiamos el śımbolo de desigualdad por el śımbolo de igualdad lo que obtenemos es el conjunto frontera del conjunto de puntos que cumple la desigualdad. En este caso, dicha frontera es una ĺınea horizontal o vertical: por inspección, es fácil determinar el lado de dicha frontera que cumple la desigualdad.

x = 0

x ≥ 0

y = 0

y ≥ 0

x = 40

x ≤ 40

40

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Cuando aparecen las dos variables

Nuevamente, cambiamos el śımbolo de desigualdad por el śımbolo de igualdad y lo que obtenemos es una ĺınea recta. Esta recta es fácil de graficar usando la técnica de intersección con los ejes: hacemos cero una de las variables y despejamos para la otra variable. De nuevo, la recta es la frontera de nuestro conjunto: por inspección, es fácil determinar el lado de dicha frontera que cumple la desigualdad.

2 x + y = 100

2 x + y ≤ 100

100

50

x + y = 80

x + y ≤ 80

80

80

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Región factible

Se forma haciendo una intersección de los conjuntos de puntos que hemos encontrado (El punto S(20, 60) se determina resolviendo el sistema 2 x + y = 100 y x + y = 80; el punto R(20, 60) se determina resolviendo el sistema 2 x + y = 100 y x = 40).

P(0, 0) Q(40, 0)

R(40, 20)

S(20, 60)

T (0, 80)

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Crecimiento de z = 3 x + 2 y

De momento, nos olvidamos de la región factible y vemos en qué dirección crece la función z : siendo el gradiente de la función ∇z =< ∂z∂x = 3,

∂z ∂y = 2 > determinamos que en tal dirección crece

z ; direcciones perpendiculares a ∇z (< 2,−3 >) dan las curvas de nivel.

∇z

z = 0

z = 30

z = 60

z = 90

z = 120

z = 150

z = 180

z = 210

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Localización del Óptimo

Ahora graficamos las curvas de nivel de z encima de la región factible y determinamos aquel punto de la región factible que queda en la curva de nivel de mayor valor (caso de maximización).

z = 0

z = 30

z = 60

z = 90

z = 120

z = 150

z = 180

z = 210

∇z

P(0, 0) Q(40, 0)

R(40, 20)

S(20, 60), óptimo con z = 180

T (0, 80)

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Ejemplo 2

Se desea resolver el problema PL:

Min z = 4 x − y

sujeto a −2 x + 3 y ≤ 90

3 x + 5 y ≤ 245 2 x + 2 y ≥ 40 x ≤ 40 x ≥ 0

y ≥ 0

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Región factible

Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas correspondientes buscando intersecciones y determinamos por inspección el lado de la recta que cumple la desigualdad.

P(20, 0) Q(40, 0)

R(40, 25)

S(15, 40)

T (0, 30)

U(0, 20)

X (81.6, 0)

Y (0, 49)

Z(−45, 0) O

x ≤ 40

3 x + 5 y ≤ 245−2 x + 3 y ≤ 90

2 x + 2 y ≥ 40

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Localización del óptimo

En este caso el problema es de minimización; aśı, en la dirección opuesta al gradiente la función se minimiza. Para determinar el óptimo, debemos buscar la curva de nivel en la dirección opuesta al gradiente de menor valor que toca a la región factible.

P(20, 0) Q(40, 0)

R(40, 25)

S(15, 40)

T (0, 30)

U(0, 20)

O

∇z

z = −60 z = −30

z = 0 z = 30

z = 60 z = 90

z = 120 z = 150

z = 180 z = 210

Mı́nimo con z = −30

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Ejemplo 3

Suponga que se desea resolver el problema PL:

Max z = 2 x + y

sujeto a 2 x + y ≤ 100 R5 x + y ≤ 80 R4 x ≤ 40 R3 x ≥ 0 R1

y ≥ 0 R2

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Región factible

En este ejemplo, la región factible es la misma que en el ejemplo 1. Pero ha cambiando la función objetivo; el gradiente es ∇ z =< 2, 1 > y las curvas de nivel son tales que son paralelas a uno de los lados de la región factible. Y esa curva es la de mayor valor en el problema de maximización. Por tanto, habrá infinitas soluciones: todos los puntos del segmento S̄R son máximos.

P(0, 0) Q(40, 0)

R(40, 20)

S(20, 60)

T (0, 80)

∇z

z = 0 z = 20

z = 40 z = 60

z = 80 z = 100

z = 120

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Ejemplo 4

Se desea resolver el problema PL:

Max z = x + y

sujeto a 6 x + 5 y ≥ 300

20 x + 20 y ≤ 100 y ≥ 30

x ≥ 0

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Región factible

Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas correspondientes buscando intersecciones y determinamos por inspección el lado de la recta que cumple la desigualdad. En este ejemplo la región factible es vaćıa: no hay valores de x y de y que satisfagan simultáneamente todas las restricciones.

P(50, 0)

Q(0, 50)

R(0, 60)

T (0, 30)

O

y ≥ 30

6 x + 5 y ≥ 300

20 x + 20 y ≤ 100

x ≥ 0 x

y

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Ejemplo 5

Se desea resolver el problema PL:

Max z = −3 x + y

sujeto a −4 x + 3 y ≤ 60

2 x + 3 y ≥ 30 x − y ≤ 20 x ≥ 0

y ≥ 0

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Región factible

Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas correspondientes buscando intersecciones y determinamos por inspección el lado de la recta que cumple la desigualdad. En este ejemplo la región factible es infinita: se extiende indefinidamente entre dos rectas que se abren.

P(20, 0)Q(15, 0)

R(0, 10)

T (0, 20)

O

x − y ≤ 20 2 x + 3 y ≥ 30

−4 x + 3 y ≤ 60

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Obtención del óptimo

A pesar que la región factible es no acotada, el gradiente crece en una dirección hacia donde la región está acotada: por tanto, el óptimo existe y está en el punto T (0, 20).

P(20, 0)Q(15, 0)

R(0, 10)

T (0, 20)

O

z = −60z = −40 z = −20z = 0

z = 20 z = 40

z = 60 z = 80

∇ z

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Ejemplo 6

Se desea resolver el problema PL:

Max z = 3 x − y

sujeto a −4 x + 3 y ≤ 60

2 x + 3 y ≥ 30 x − y ≤ 20 x ≥ 0

y ≥ 0

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Obtención del óptimo

Este problema tiene la misma región factible que el problema previo pero la función crece en dirección opuesta entonces es posible encontrar puntos sobre la frontera x − y = 20 con evaluación cada vez mayor. El problema no tiene máximo; el valor de la función no es acotado.

P(20, 0)Q(15, 0)

R(0, 10)

T (0, 20)

Oz = −60 z = −40

z = −20 z = 0

z = 20 z = 40

z = 60 z = 80

z = 100

∇ z Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Aprendizajes?

Sobre la región factible:

puede ser vaćıa (ejemplo 4), acotada (ejemplos 1,2 y 3) o infinita (ejemplos 5 y 6).

cuando no es vaćıa. . .

es faceteada: sus caras son realizadas por cortes rectos; por ello es que es convexa, es decir, no tiene partes sumidas; por ello es que para dos puntos en la región factible, el segmento que los une está totalmente dentro de la región factible.

cuando es acotada y no vaćıa. . .

los puntos extremos la definen completamente.

Matemáticas Solución Gráfica de un PL

Aprendizajes?

Una función lineal definida sobre un segmento de recta se convierte en una función lineal en una variable; y por lo tanto, toma sus valores máximos o ḿınimos en los extremos del intervalo (aún en el caso que sea constante la función).

Al optimizar un PL que tiene región factible acotada y no vaćıa, los valores máximos y ḿınimos los toma en un punto extremo de la región factible (en una esquina del poliedro que es la región factible).

Al optimizar un PL que tiene región factible no acotada pueden ocurrir dos posibilidades:

que el máximo o el ḿınimo lo tome en un punto extremo ó que el problema no sea acotado: es decir, que no es posible encontrar un valor óptimo porque siempre es posible encontrar un punto en la región factible con una evaluación mejor.

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