Permutaciones y particiones - Teoría combinatoria - Apuntes - Universidad del Zulia - Capítulo6 - Parte3, Apuntes de Teoría combinatoria. Universidad de Salamanca (USAL)
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Permutaciones y particiones - Teoría combinatoria - Apuntes - Universidad del Zulia - Capítulo6 - Parte3, Apuntes de Teoría combinatoria. Universidad de Salamanca (USAL)

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6.4 Particiones, numeros de Stirling de segunda clase y numeros de Bell Una particion de un conjunto X es una coleccion fAi : i 2 Ig de subconjuntos no vacos de X, disjuntos dos a dos y tales que su union sea X. C...
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Teoŕıa Combinatoria 75

6.4 Particiones, números de Stirling de segunda clase y números de Bell

Una partición de un conjunto X es una colección {Ai : i ∈ I} de subconjun- tos no vaćıos de X, disjuntos dos a dos y tales que su unión sea X. Cada partición de X permite definir una relación de equivalencia en X en la cual x ∼ y si y sólo si x, y ∈ Ai para algún i ∈ I. Rećıprocamente cada relación de equivalencia en X induce una partición de X, a saber aquella constitúıda por las clases de equivalencia. Es claro que esta correspondencia entre particiones de X y relaciones de equivalencia en X es biyectiva.

Cada función f : X → Y induce una relación de equivalencia en su dominio definiendo a ∼ b si y sólo si f(a) = f(b). A la partición de X determinada por esta relación de equivalencia se le llama núcleo de la función f . Si f es sobreyectiva y el conjunto Y tiene k elementos y1, . . . , yk entonces el núcleo de f se compone también de k clases, a saber f−1(y1), . . . , f−1(yk). El número de particiones (o lo que es lo mismo, el número de relaciones de equivalencia) que admite un conjunto de n elementos se denomina número de Bell de orden n, y lo denotaremos Bn. Aceptaremos por convención que B0 = 1, aunque esto puede también justificarse observando que el conjunto vaćıo admite exactamente una partición, a saber la partición vaćıa (es decir la partición sin miembro alguno). El número de particiones que admite un conjunto de n elementos con exactamente k clases se denomina número de Stirling de segunda clase con ı́ndices n y k y lo denotaremos mediante el śımbolo

{ n k

} . Es claro que si n > 0 entonces

{ n 0

} = 0. También es obvio que

si n < k entonces { n k

} = 0. Aceptaremos por convención, o en virtud del

mismo razonamiento que hicimos más arriba para B0, que {0

0

} = 1.

A continuación demostraremos varias propiedades de los números de Stirling de segunda clase.

Proposición 6.4.1. Para todo n > 0 se cumple:{ n

1

} = { n

n

} = 1,

{ n

2

} = 2n−1 1,

{ n

n− 1

} = ( n

2

)

Demostración: Si X = {x1, . . . , xn} es un conjunto con n > 0 elementos entonces la única partición de X con una sola clase es obviamente {X}. A su vez, la única partición de X con n clases es {{x1}, . . . , {xn}} y aśı quedan probadas las dos primeras igualdades. En cuanto a la tercera hagamos co- rresponder a cada subconjunto A de X , no vaćıo y distinto del propio X, la

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partición {A,X \ A}. De este modo se obtienen todas las particiones de X en dos clases, pero cada una de ellas aparece dos veces puesto que A y X\A determinan la misma partición. Como X tiene 2n subconjuntos, descontan- do y X y dividiendo entre dos resulta (2n − 2)/2 = 2n−1 1. Por último, para probar la cuarta igualdad basta observar que cualquier partición de X en n− 1 clases debe constar de una clase de dos elementos y n− 2 clases de un elemento cada una. Pero una partición de este tipo queda determinada una vez que sabemos cual es la clase con dos elementos, para lo cual hay precisamente

( n 2

) posibilidades.

Proposición 6.4.2. Para todo n > 0 y k > 0 se cumple:{ n

k

} = { n− 1 k − 1

} + k { n− 1 k

}

Demostración: Sea X = {x1, . . . , xn}. Las particiones de X en k clases pueden clasificarse en dos categoŕıas: las que contienen la clase {xn} y las que no la contienen. Las primeras son

{ n−1 k−1 }

, puesto que si {xn} es una clase debe haber k − 1 clases adicionales, cuya unión será {x1, . . . , xn−1}. En las particiones de la segunda categoŕıa el elemento xn debe pertenecer a alguna de las k clases, que contendrá también algún otro elemento. Quitando xn re- sultará una partición de {x1, . . . , xn−1} con k clases, de las cuales hay

{ n−1 k

} .

Sin embargo aplicando este procedimiento cada partición de {x1, . . . , xn−1} en k clases se obtiene k veces, pues xn podŕıa estar en cualquiera de las k clases. De este modo resulta que el número de particiones en la segunda categoŕıa es k

{ n−1 k

} .

La relación que acabamos de demostrar, análoga a la fórmula de Stifel para los coeficientes binomiales y a la Proposición (6.2.2) para los números de Stirling de primera clase, permite calcular los números de Stirling de segunda clase recursivamente y construir una tabla semejante al triángulo de Pascal:

n \ k 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 0 1 2 0 1 1 3 0 1 3 1 4 0 1 7 6 1 5 0 1 15 25 10 1 6 0 1 31 90 65 15 1

Teoŕıa Combinatoria 77

En este triángulo, luego de llenar los lados con ceros y unos, se obtiene cada número sumando al que está en la fila superior y un lugar a la izquierda, el que está encima multiplicado por su número de columna. En la fila 5 y columna 3 se tiene por ejemplo

{5 3

} = 7 + 6× 3 = 25.

Proposición 6.4.3. { n+ 1 k + 1

} =

nj=0

( n

j

){ j

k

}

Demostración: Sea X = {x1, x2, . . . , xn+1}. En cada partición de X en k + 1 clases eliminemos la clase que contiene a xn+1. Queda entonces una partición de un subconjunto B de {x1, . . . , xn} en k clases. Rećıprocamente si a una partición de un conjunto B ⊂ {x1, . . . , xn} en k clases le agregamos la clase X \ B (que no es vaćıa pues al menos contiene a xn+1) resulta una partición de X en k+1 clases. Las dos correspondencias que hemos definido son claramente inversas una de la otra, por lo tanto aplicando el principio de correspondencia y luego el de la suma resulta que:{

n+ 1 k + 1

} =

B⊂{x1,...,xn}

{ |B| k

}

Para concluir la demostración basta observar que para cada j = 0, 1, . . . , n hay exactamente

( n j

) subconjuntos B de {x1, . . . , xn} con j elementos.

Proposición 6.4.4. El número de funciones sobreyectivas de un conjunto de n elementos en otro de k elementos es k!

{ n k

} .

Demostración: En primer lugar probaremos que si dos funciones f y g de un conjunto X en otro Y son sobreyectivas y tienen el mismo núcleo, entonces existe una única biyección σ : Y → Y tal que f = σ ◦ g. En efecto, si y ∈ Y sea x ∈ X tal que g(x) = y y definamos σ(y) = f(x). La definición es buena pues si x′ es otro elemento de X tal que g(x′) = y entonces g(x′) = g(x) y como g y f tienen el mismo núcleo resulta f(x′) = f(x). Es claro que con esta definición se cumple que σ ◦ g = f , y como g es sobre σ es la única función que satisface esta relación. Como f es sobre resulta también que σ lo es. En cuanto a la inyectividad si σ(y1) = σ(y2) sean x1, x2 tales que g(xi) = yi, i = 1, 2. Entonces σ(g(x1)) = σ(g(x2)) y por lo tanto f(x1) = f(x2), pero como f y g tienen el mismo núcleo resulta

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que g(x1) = g(x2), es decir y1 = y2. La propiedad de tener el mismo núcleo induce obviamente una relación de equivalencia en la familia de las funciones de X sobre Y . Si |X| = n y |Y | = k entonces en virtud de lo que acabamos de probar cada clase de equivalencia debe tener k! elementos (tantos como biyecciones σ : Y → Y ) y el número de clases de equivalencia será igual al número de particiones de X en k clases, es decir

{ n k

} . Por lo tanto el número

total de funciones de X sobre Y es k! { n k

} .

Proposición 6.4.5.{ n

k

} =

1 k!

n1+···+nk=n

ni>0

( n

n1, . . . , nk

)

Demostración: Es consecuencia inmediata de las Proposiciones (6.4.4) y (3.2.4).

Proposición 6.4.6.{ n

k

} =

1 k!

n−1∑ j=0

(1)j ( k

j

) (k − j)n = 1

k!

kj=1

(1)k−j ( k

j

) jn

Demostración: Es consecuencia inmediata de las Proposiciones (6.4.4) y (4.2.1).

Proposición 6.4.7. nj=0

( k

j

){ n

j

} j! = kn

Demostración: Sean X e Y dos conjuntos tales que |X| = n y |Y | = k. Toda función de X en Y es sobre algún subconjunto de Y . Como el número total de funciones de X en Y es kn tenemos entonces que:∑

B⊂Y |Sobre(X,B)| = kn

Pero para cada j entre 0 y k hay ( k j

) subconjuntos de Y con j elementos, y

el número de funciones de X sobre cada uno de ellos es j! { n j

} según (6.4.4).

Una aplicación del principio de la suma concluye la demostración.

Teoŕıa Combinatoria 79

Proposición 6.4.8.

xn = nj=0

{ n

j

} [x]j

Demostración: El polinomio

P (x) = xn − nj=0

{ n

j

} [x]j

se anula para cualquier entero positivo k por la Proposición (6.4.7). Por lo tanto, debe ser idénticamente nulo.

Proposición 6.4.9. Supongamos que λ1, . . . , λn son enteros no negativos tales que λ1 +2λ2 + · · ·+nλn = n. Entonces el número de particiones de un conjunto de n elementos con λi clases de i elementos para i = 1, . . . , n es:

n! (1!)λ1(2!)λ2 · · · (n!)λnλ1!λ2! · · ·λn!

Demostración: Podemos suponer sin pérdida de generalidad que el con- junto de n elementos es Nn. Escribamos las n! permutaciones de los números del 1 al n en forma de sucesión y a cada una de ellas hagámosle corresponder una partición de Nn de la siguiente manera: con los primeros λ1 elementos formamos λ1 clases de un elemento cada una; con los siguientes λ2 pares de elementos formamos λ2 clases de dos elementos cada una, y aśı sucesivamen- te. Es claro que de este modo se obtienen todas las particiones de Nn con λi clases de i elementos para cada i = 1, . . . , k, pero cada una de ellas apa- rece repetida (1!)λ1(2!)λ2 · · · (n!)λnλ1!λ2! · · ·λn! veces. En efecto, para cada k = 1, . . . , n hay λk clases de k elementos, y los elementos de cada una de estas clases pueden permutarse entre śı de k! maneras. Esto da cuenta del factor (k!)λk . Por otra parte las λk clases de k elementos pueden permutarse entre śı de λk! maneras.

Proposición 6.4.10. La función generatriz exponencial de los números de Stirling de segunda clase

{ n k

} para k ≥ 0 fijo es (et − 1)k/k!.

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