Permutaciones y particiones - Teoría combinatoria - Apuntes - Universidad del Zulia - Capítulo6 - Parte4, Apuntes de Teoría combinatoria. Universidad de Salamanca (USAL)
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Permutaciones y particiones - Teoría combinatoria - Apuntes - Universidad del Zulia - Capítulo6 - Parte4, Apuntes de Teoría combinatoria. Universidad de Salamanca (USAL)

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Demostracion: Utilizando (6.4.5) se tiene: 1X n=k 1 n!  n k  tn = 1X n=k 1 n!k! X n1  nk=n  n n1; : : : ; nk  tn = 1 k! 1X n=k X n1  nk=n 1 n1!    nk! ! tn = 1 k!  t 1! t2 2! t3 3!    k = (et
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80 José H. Nieto

Demostración: Utilizando (6.4.5) se tiene:

n=k

1 n!

{ n

k

} tn =

n=k

1 n!k!

n1+···+nk=n

( n

n1, . . . , nk

) tn

= 1 k!

n=k

( ∑ n1+···+nk=n

1 n1! · · ·nk!

) tn

= 1 k!

( t

1! + t2

2! + t3

3! + · · ·

)k =

(et − 1)k

k!

Proposición 6.4.11.

Bn = nk=0

{ n

k

}

Demostración: Clasifique las particiones de un conjunto de n elementos según el número de clases que contengan, y aplique el principio de la suma.

Proposición 6.4.12.

Bn+1 = nk=0

( n

k

) Bk

Demostración: Todas las particiones de Nn+1 pueden obtenerse escogien- do primero el conjunto de elementos F ⊂ Nn que acompañarán a n + 1 en su clase y efectuando luego una partición de Nn \ F . Por lo tanto:

Bn+1 = ∑ F⊂Nn

Bn−|F | = nk=0

F⊂Nn |F |=k

Bn−k

= nk=0

( n

k

) Bn−k =

nk=0

( n

k

) Bk

(la última igualdad es consecuencia de la simetŕıa de los coeficientes bino- miales).

Teoŕıa Combinatoria 81

Proposición 6.4.13. La función generatriz exponencial de los números de Bell es:

n=0

Bn n! tn = ee

t−1

Demostración: Aplicando las Proposiciones (6.4.10) y (6.4.11) se tiene: n=0

Bn n! tn =

n=0

1 n!

( nk=0

{ n

k

}) tn

= k=0

n=k

1 n!

{ n

k

} tn =

k=0

1 k!

(et − 1)k = eet−1

(Otras demostraciones de este resultado conocido como “fórmula de Bell” pueden verse en [R6], [B1] y [T1]. Vea también el Ejercicio 13).

Triángulo de Bell Los números de Bell pueden obtenerse a partir del siguiente triángulo, en el cual Bn es el último número de la fila n. La regla de formación de cada fila es la siguiente: se coloca como primer elemento el último número de la fila anterior, luego se suma este primer elemento con el número que está arriba suyo y el resultado se coloca como segundo número de la fila, la suma de éste con el que está arriba suyo es el tercero, y aśı sucesivamente. La fila número 5 por ejemplo se obtuvo aśı: su primer elemento es el último de la fila 4, es decir el 15. El segundo elemento es 15 + 5 = 20, el tercero 20 + 7 = 27, el cuarto 27 + 10 = 37 y el quinto y último B5 = 37 + 15 = 52. El proceso comienza colocando B1 = 1 en la primera fila. La justificación de este procedimiento se deja al lector (ver Ejercicio 16).

n=1 1 n=2 1 2 n=3 2 3 5 n=4 5 7 10 15 n=5 15 20 27 37 52 n=6 52 67 87 114 151 203 n=7 203 255 322 409 523 674 877 n=8 877 . . .

82 José H. Nieto

Para finalizar, recomendamos al lector el interesante art́ıculo de divul- gación de Martin Gardner [G1] sobre los números de Bell.

6.5 Ejercicios

1. Pruebe que el número de Stirling de primera clase [ n k

] es igual a la

suma de todos los productos de n − k números distintos entre 1 y n− 1. Por ejemplo,

[5 3

] = 1 · 2 + 1 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 2 · 4 + 3 · 4 = 35.

Deduzca como corolario la siguiente acotación:[ n

k

] ( n− 1 k − 1

)2 (n− k)!

2. (Algoritmo de ordenación por selección) El siguiente algoritmo ordena el arreglo x[1], . . . , x[n] en forma ascen- dente:

Paso 1. k ← 1 Paso 2. Si k > n− 1 finalizar. Paso 3. j ← k; M ← x[k]; i← j + 1 Paso 4. Si i > n ir al Paso 8.

Paso 5. Si x[i] > M ir al Paso 7.

Paso 6. M ← x[i]; j ← i Paso 7. i← i+ 1; Ir al Paso 4. Paso 8. x[j]← x[k]; x[k]←M ; k ← k + 1; Ir al Paso 2.

Calcule el número de veces que se ejecuta cada paso distinto del Paso 6. Pruebe que si x[1], . . . , x[n] es una permutación de los números del 1 al n tomada al azar entonces el valor esperado del número de veces que se ejecuta el Paso 6 es (n+ 1)Hn − n.

3. Demuestre la Proposición (6.4.9) a partir de la (6.1.3).

4. Pruebe que {

n n−2 }

= ( n 3

) + 3 ( n 4

) 5. Pruebe que

{ n n−3 }

= ( n 4

) + 10

( n 5

) + 15

( n 6

)

Teoŕıa Combinatoria 83

6. Pruebe que el número de particiones de Nn en k clases que no conten- gan elementos consecutivos es

{ n−1 k−1 }

.

Como aplicación, muestre que el número de banderas con n franjas horizontales que se pueden pintar con k colores, de modo que aparezcan todos los colores y no haya franjas adyacentes del mismo color, es k! { n−1 k−1 }

.

7. Pruebe que para un k fijo, la función generatriz de los números de Stirling de segunda clase

{ n+k k

} es:

n=0

{ n+ k k

} xn =

1 (1− x)(12x) · · · (1− kx)

8. Pruebe que el número de Stirling de segunda clase { n k

} es igual a la

suma de todos los productos de n − k factores entre 1 y k , donde puede haber factores repetidos. Por ejemplo,{

5 3

} = 1 · 1 + 1 · 2 + 1 · 3 + 2 · 2 + 2 · 3 + 3 · 3 = 25

9. Los polinomios [x]0 = 1, [x]1 = x, . . . , [x]n = x(x− 1) · · · (x− n + 1) forman una base del espacio vectorial de los polinomios a coeficientes reales y grado menor o igual a n , del mismo modo que los polinomios 1, x, x2, . . . , xn. Exprese las matrices de cambio de una a otra base utilizando los números de Stirling. Multiplicando una de estas matrices por su inversa obtenga relaciones entre los números de Stirling de primera y segunda clase.

10. Si n > 1 es producto de k factores primos distintos, pruebe que el número de descomposiciones de n en producto de factores mayores que 1 es Bk.

11. Pruebe que el número de particiones de Nn tales que cada clase tiene al menos dos elementos es igual al número de particiones de Nn−1 tales que al menos una clase tiene exactamente un elemento.

12. Demuestre la Proposición (6.4.12) a partir de las Proposiciones (6.4.3) y (6.4.11).

84 José H. Nieto

13. Obtenga la fórmula de Bell multiplicando la función generatriz expo- nencial de la sucesión {Bn} por el desarrollo en serie de ez y usando la Proposición (6.4.12).

14. Demuestre la “fórmula de Dobinsky”:

Bn+1 = 1 e

( 1n

0! +

2n

1! +

3n

2! + · · ·

) 15. Pruebe que el número de particiones de Nn tales que ninguna clase

contiene elementos consecutivos es Bn−1.

16. Justifique la contrucción del triángulo de Bell.

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