Polinomio de Taylor, Apuntes de Biología. Universidad Autónoma de Madrid (UAM)
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Asignatura: mates, Profesor: Rafael Orive, Carrera: Biología, Universidad: UAM
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MATEMÁTICAS Primer curso de Bioloǵıa

Curso 2017-2018

FÓRMULA DE TAYLOR

La fórmula de Taylor, ó desarrollo de Taylor, ó polinomio de Taylor, consiste en la relación alrededor de un punto x0 entre una función y = f(x) y un polinomio que se construye a partir de información que se dispone de la función f y sus derivadas en el punto x0.

Definición. Llamamos polinomio de Taylor de grado N de f en x0 a:

PN (x;x0) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +

f ′′(x0)

2! (x− x0)2 + · · ·+

fN)(x0)

N ! (x− x0)N , (1)

donde denotamos fN)(x0) la derivada N -éxima de f en x0, y N ! el factorial del número natural N , es decir, N ! = N · (N − 1) · · · · 3 · 2 · 1.

Ejemplo 1. Consideramos la función f(x) = ex. Dado que f(0) = 1 y f ′(0) = 1, el polinomio de Taylor de grado 1 de f en 0 es

P1(x; 0) = 1 + x.

Además, como f ′′(0) = 1, entonces

P2(x; 0) = 1 + x+ x2

2 .

Y aśı podemos añadir términos al polinomio tanto como derivadas conozcamos y/ó necesitemos. En particular,

PN (x; 0) = 1 + x+ x2

2 + · · ·+ x

N

N ! .

Ejemplo 2. Observemos que los anteriores polinomios de la función f(x) = ex los hemos hecho con la información obtenida de la función y sus derivadas en el punto x0 = 0. Ahora, construyamos polinomios de Taylor de otra función, f(x) = sin(x), utilizando la información obtenida de evaluar la función y sus derivadas en π/4. Notemos que

sin(π/4) = 1√ 2 , cos(π/4) =

1√ 2 ,

entonces, los sucesivos polinomios de Taylor son:

P1(x;π/4) = 1√ 2

+ 1√ 2

( x− π

4

) ,

P2(x;π/4) = 1√ 2

+ 1√ 2

( x− π

4

) − 1

2 √

2

( x− π

4

)2 ,

P3(x;π/4) = 1√ 2

+ 1√ 2

( x− π

4

) − 1

2 √

2

( x− π

4

)2 − 1

6 √

2

( x− π

4

)3 .

La definición del polinomio de Taylor nos muestra que si evaluamos en x0 en (1) resulta que

PN (x0;x0) = f(x0).

1

Calculamos la derivada del polinomio (1) y resulta el polinomio de grado N − 1:

P ′N (x;x0) = f ′(x0) + f

′′(x0)(x− x0) + · · ·+ fN)(x0)

(N − 1)! (x− x0)N−1.

Evaluando en x0, se tiene que P ′N (x0;x0) = f

′(x0).

Calculamos la segunda derivada del polinomio (1) y resulta el polinomio de grado N−2 (obtenlos tú!!!):

P ′′N (x;x0) = f ′′(x0) + f

3)(x0)(x− x0) + · · ·+ fN)(x0)

(N − 2)! (x− x0)N−2.

Evaluando en x0, se tiene que P ′′N (x0;x0) = f

′′(x0).

Derivando sucesivamente se tiene que las derivadas del polinomio en x0 coinciden con las derivadas de f en x0. En particular,

P N) N (x;x0) = f

N)(x0).

Esta coincidencia de las derivadas es la propiedad caracteŕıstica del polinomio de Taylor que se refleja en ele siguiente Teorema:

Teorema 1. Sea f una función N veces diferenciable en x0. Entonces, el único polinomio PN (·) que verifica

f(x0) = PN (x0), f ′(x0) = P

′ N (x0), · , fN)(x0) = P

N) N (x0), (2)

es el polinomio de Taylor de grado N de f en x0 definido en (1).

Ahora, el polinomio de Taylor de grado N de f en x0 es una aproximación de la función f alrededor de x0. En particular, se tiene:

Teorema 2. Sea f una función N + 1 veces diferenciable en x0. Sea PN (x;x0) su polinomio de Taylor de grado N definido en (1). Entonces, existe un valor a entre x y x0 tal que

f(x)− PN (x;x0) = fN+1)(a)

(N + 1)! (x− x0)N+1. (3)

Al término de la derecha de la fórmula anterior también se le conoce como residuo o error en x del polinomio de Taylor de grado N de f en x0 que denotamos por

E(f, PN (x;x0)) = fN+1)(a)

(N + 1)! (x− x0)N+1, con a ∈ I(x, x0). (4)

Aplicación práctica: El polinomio de Taylor se parece más o menos a la función f(x) si el error definido en (4) toma valores pequeños o despreciables. Esto va a ser posible de determinar combinando la información disponible de la derivadas de f con evaluar x cercanos a x0.

Ejemplo 3. Sea la función f(x) = log(x) (logaritmo neteriano) y considerando el punto x0 = 1. Notemos en primer lugar, que la función es continua en ese punto y podemos diferenciar tantas veces como queramos. En particular,

f(1) = 0, f ′(1) = 1, f ′′(1) = −1, f3)(1) = 2, f4)(1) = −6, . . . .

2

Por lo tanto, los sucesivos polinomios de Taylor son

P1(x; 1) = x− 1,

P2(x; 1) = x− 1− (x− 1)2

2 ,

P3(x; 1) = x− 1− (x− 1)2

2 +

(x− 1)3

3 ,

P4(x; 1) = x− 1− (x− 1)2

2 +

(x− 1)3

3 − (x− 1)

4

4 , . . . .

En la gráfica podemos visualizar la representación de estos polinomios (ĺıneas discontinuas, con los colores rojo, verde, magenta y cián para los polinomios de ordenes de 1 a 4, respectivamente) y de la función logaritmo alrededor de x = 1 (ĺınea continua azul). Notemos que según aumentamos el orden del polinomio, su representación se pega más a la del logaritmo alrededor de un entorno de 1 cada vez mayor. Pero podemos observar que si nos alejamos un poco a la izquierda de 1 se alejan dichas gráficas. Esto es natural porque la función logaritmo tiene una aśıntota vertical en x = 0 mientras que ningún polinomio es discontinuo. Por otra parte, a la derecha del 1 también podemos ver que los polinomios de Taylor no pueden permanecer cerca de f según nos vamos alejando de 1. Efectivamente, como la derivada N + 1 del logaritmo neteriano es

fN+1)(x) = (−1)NN ! xN+1

,

entonces el error en x entre f y el polinomio de Taylor de grado N de f en 1 es

E(log(x), PN (x; 1)) = (−1)N

(N + 1)

( x− 1 a

)N+1 , con a ∈ I(x, x0),

el cual no podemos hacer pequeño según nos alejamos suficientemente de 1. Que para valores cercanos a 1 funcionan bien los polinomios de Taylor para a aproximarnos a los valores que toma f también lo podemos comprobar en la siguiente tabla.

En 1,1 Error 1,1 En 0,9 Error 0,9

P1(x) 0,1 −4, 69 · 10−3 -0,1 −5, 36 · 10−3 P2(x) 0,095 3, 10 · 10−4 -0,105 −3, 60 · 10−4 P3(x) 0, 0953̄ −1, 99 · 10−5 −0, 1053̄ −2, 72 · 10−5 P4(x) 0, 0953083̄ 1, 84 · 10−6 −0, 1053583̄ −2, 18 · 10−6

3

En las columnas “En 1,1” y “En 0,9” tenemos los valores de los cuatro primeros polinomios de Taylor evaluados en los respectivos valores. Por otra parte, tras evaluar en mi calculadora tengo que

log(1, 1) = 0, 09531017980432486, log(0, 9) = −0, 10536051565782630.

Aśı, en las columnas “Error 1,1” y “Error 0,9” tenemos la diferencia entre el valor obtenido en la calculadora y los obtenidos por los polinomios de Taylor, es decir, log(1, 1) − Pk(1, 1) y log(0, 9)− Pk(0, 9).

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