Problemas resueltos, Ejercicios de Matemáticas y Estadística Aplicada. Universidad Complutense de Madrid (UCM)
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Problemas resueltos, Ejercicios de Matemáticas y Estadística Aplicada. Universidad Complutense de Madrid (UCM)

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Asignatura: Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales, Profesor: Maria del Rosario , Carrera: Antropología Social y Cultural, Universidad: UCM
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1) La media semanal de asistencia a la biblioteca de la familia, es la media de los cuatro

familiares que es 4,75 horas.

2) Cogemos la proporción muestral como estimador puntual, p=0´31, esto quiere decir que

el 31% de las personas de la ciudad hacen deporte.

3) Para averiguar ambos apartados tomamos a todos los recién nacidos en el hospital,

durante esos 6 meses como la población total, y la muestra a estudiar son los 15 recién

nacidos elegidos.

(a) X=2946´13 kg es el peso medio de la población.

(b) P=0´47, es decir, el 47% de los recién nacidos son niños.

4) La probabilidad de que la altura media este dentro del intervalo de confianza es de un

95%. Así que lo siguiente que tenemos que hacer es averiguar el radio y el pto. medio del

intervalo:

R = 1´76−1´60

2 = 0´08 ; Pto. Medio =

1´60−1´76

2 = 1´68

Con estos resultados podemos decir que el error máximo es claramente de 0´08. Al ser el

punto medio de la altura 1´68 solo puede de tener como límite de error el 0´08.

5) Probabilidades en una distribución N(0,1):

(a) P(Z ≤ 1´28) = 0´8997

(b) P(Z ≥ 0´65) - P(Z ≤ 0´65) = 1 - 0´7422 = 0´2578

(c) P(Z ≥ 1´17) - P(Z ≤ 1´17) =1 – 0´879 = 0´121

(d) P(Z ≥ -1´76) = P(Z ≤ 1´76) = 0´9608

6) Tenemos una variable, Z, con una distribución (0,1).

(a) Para P (Z ≤ K) = 0´8485, obtenemos K de la tabla de la normal y nos da

que K= 1´03.

(b) P(Z ≥ K) = 0´9972 como la probabilidad es mayor de 0´5 (por tanto su área

también), el valor va a ser negativo y tenemos que mirar en los caracteres

negativos de la tabla; donde K = -2´77

(c) Al ser P( 1 ≤ Z ≤ K) = 0´15, tenemos que averiguar la probabilidad de P (Z

≤ K) para saber K:

P (1 ≤ Z ≤ K) = P (Z ≤ K) – P (Z ≤ 1) = P (Z ≤ K) – 0´8413

P (Z ≤ K) – 0´8413 = 0´15; P (Z ≤ K) = 0´9913; K = 2´38

(d) P(Z ≤ 2 + K) =0´9896; obtenemos que 2 + K = 2´31; K = 2´31 – 2 = 0´31

7) Distribución N (23 ; 3), probabilidades:

(a) P (x ≤ 30); sustituimos en la fórmula: �� = ��−��

�� ; �� =

30−23

3 = 2´33. Por lo

que la probabilidad de P (z ≤ 2´33) = 0´9901

(b) P(x ≥ 15); z = -2´67. Como es negativo lo invertimos: P(z ≥ -2´67) = P (z ≤

2´67) = 0´9962

(c) P (19 ≤ x ≤ 21); al estar comprendido entre dos valores obtenemos:

z1 = - 1´33 y z2 = - 0´67. Así queda P( -1´33 ≤ x ≤ -0´67), lo resolvemos:

P (z ≤ -0´67) - P (z ≤ -1´33) = [1 -P (z ≤ 0´67)] – [1 -P (z ≤ 1´33)] = (1-

0´7486)-(1+0´9082) = 0´1596

(d) P (25 ≤ x ≤ 29); al igual que el apartado anterior hayamos dos valores: z1

= 0´67 y z2 =2; por lo que P (0´67 ≤ z ≤ 2) = P (z ≤ 2) - P (z ≤ 0´67) =

0´9772 – 0´7486 =0´2286

8) Distribución N(9; 0´5), valor de K:

(a) P (x ≤ K) = 0´9608, sabemos que z = ��−9

0´5 ; por lo que P(�� ≤

��−9

0´5 ) = 0´9608;

��−9

0´5 = 1´76; K = 9´88

(b) P (x ≥ K) = 0´5199; P (z ≥ ��−9

0´5 ) = 0´5199; - (

��−9

0´5 ) = 0´519; K = 8´74

(c) P (x ≤ K) = 0´8212; P(�� ≤ ��−9

0´5 ) = 0´8212;

��−9

0´5 = 0´92; K = 9´46

(d) P (x ≥ K) = 0´883; P(�� ≥ ��−9

0´5 ) = 0´883; -(

��−9

0´5 ) = 1´19; K =8´405

9) NC = 95%, Valor crítico Zα/2- . Con estos datos definimos P (-Zα/2- ≤ Z ≤ Zα/2) = 0´95

P (Z ≤ Zα/2) = 1 +

����

100

2 =

1 + 95

100

2 =

1´95

2 = 0´975. Así que según la tabla de distribución normal

Zα/2 = 1´96

10) Valores críticos:

(a) α =0´37, lo sustituimos en la fórmula: ∝

2 =

0´37

2 = 0´185; 1 -

2 = 1 – 0´185

= 0´815

�� (�� ≤ ���� 2 ) = 0´815; ����

2 = 0´9

(b) α = 0´006; sustituimos en la formula α/2 = 0´003; 1- ∝

2 = 0´997

�� (�� ≤ ���� 2

) = 0´997; ���� 2

= 2´75

(c) α = 0´04; ∝

2 = 0´02; 1-

2 = 0´98

�� (�� ≤ ���� 2

) = 0´98; ���� 2

= 2´06

11) Intervalo característico:

(a) 90%; 1 – α = 0´9 ; ���� 2 = 1´645; el intervalo sería (µ - 1´645 *α, µ + 1´645 *α)

(b) 95%; 1 – α = 0´95; ; ���� 2 = 1´96; intervalo (µ - 1´96 *α, µ + 1´96 *α)

(c) 99%; 1 – α = 0´99; ; ���� 2 = 2´575; intervalo (µ - 2´575 *α, µ + 2´575 *α)

12) Distribución N(70, 6) :

(a) 90 %; 1 – α = 0´9 ; ���� 2 = 1´645; (70 - 1´645 *6, 70 + 1´645 *6) = (60, 13; 79,

87)

(b) 95%; 1 – α = 0´95; ; ���� 2 = 1´96; (70 - 1´96 *6, 70 + 1´96 *6) = (58, 24; 81,

76)

(a) 99%; 1 – α = 0´99; ; ���� 2 = 2´575; (70 - 2´575 *6, 70 + 2´575 *6) = (54, 55; 85,

45)

13) Intervalo de confianza ( 45, 13; 51, 03) con un 95% de posibilidades de que variable este

en el intervalo:

Normal N (0,1); ���� 2 = z0´025; sustituimos P (Z ≤ zα/2) =

1+ ���� 100

2 =

1+ 95

100

2 =

1´95

2 =

0´975, y encontramos que en la tabla de distribución normal: P (-���� 2 ≤ Z ≤ zα/2)

= 1´96

(a) Encontramos el error en el radio del intervalo, siendo E = 51´03−45´13

2 =

2´95Escriba aquí la ecuación.

(b) Y como hemos visto en clase la media la encontramos a la mitad exacta del

intervalo, lo averiguamos de la siguiente manera: x = 51´03+45´13

2 = 48´08

14) 82 pacientes; x = 37´6º C ; σ =1´08º C; con el nivel de confianza que es de 99%, hayamos

���� 2 :

1 – α = 0´99; α = 0´01; ��

2 = 0´005; ����

2 = ��0´005 =2´58. Después sustituimos en la expresión que

forma el intervalo de confianza: (�� − ���� 2

��

√�� ; �� + ����

2

��

√�� ) = (37´6 − (2´58) ∗

1´08

√82 ; 37´6 +

2´58 ∗ 1´08

√82 )= (37´6-0´31; 37´6 + 0´31) = (37´29; 37´91) es el intervalo de confianza

15) Muestra =120, media edad = 6´92 años:

Nivel de confianza = 95%; 1 – α = 0´95; α = 0´05; ��

2 = 0´025; ����

2 = ��0´025 =1´96. Como en el

ejercicio anterior sustituimos los datos en la expresión del I.Confianza que es (�� −

���� 2

��

√�� ; �� + ����

2

��

√�� ). Sustituyendo nos queda lo siguiente:

(6´92 − (1´96) ∗ 2´3

√120 ; 6´92 + 1´96 ∗

2´3

√120 ) = (6´92 – 0´41; 6´92+0´41) = (6´51; 7´33) es el

intervalo

16) Muestra = 650, 270 eran de un partido. Averiguar estimador puntual con el nivel de

confianza del 95%

Para tener un estimulador inicial averiguamos la proporción de los votantes que va tener:

p = 270

650 = 0´415. A continuación desarrollamos el nivel de confianza del 95 %; 1 – α = 0´95;

α = 0´05; ��

2 = 0´025; ����

2 = ��0´025 =1´96. Averiguamos en intervalo de confianza P (�� − ����

2 ∗

√ ��∗��

�� ; �� + ����

2 ∗ √

��∗��

�� ) = (0´415 − (1´96 ∗ √

0´415∗0´585

650 ); 0´415 + (1´96 ∗ √

0´415∗0´585

650 ))

= (0´377; 0´453) es el intervalo que se requiere

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