Problemas Resueltos Algebra I, Ejercicios de Álgebra Lineal. Universitat de València (UV)
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Problemas Resueltos Algebra I, Ejercicios de Álgebra Lineal. Universitat de València (UV)

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Asignatura: Àlgebra lineal, Profesor: jaon tent, Carrera: Matemàtiques, Universidad: UV
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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

Fernando Revilla Jiménez http://www.fernandorevilla.es

c© PROBLEMAS RESUELTOS DE ÁLGEBRA por Fernando Revilla Jiménez se distribuye bajo la licencia: Creative Commons Atribución-NoComercial-SinDerivar 4.0 Internacional.

ii

Prólogo

Los contenidos de éste libro corresponden a parte de mi labor docente hasta el curso académico 2008/2009 como

(a) Profesor de Álgebra, Cálculo, Variable compleja y Ecuaciones diferen- ciales para Ingenieŕıas y Facultades del distrito universitario de Madrid y que fueron impartidos en academias de enseñanza universitaria

(b) Jefe del Departamento de Matemáticas del IES Santa Teresa de Jesús de Madrid.

(c) Profesor de Métodos Matemáticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Madrid.

Dado que todos los problemas vienen resueltos, y en aras a la efectividad en el trabajo, se recomienda al lector que los trabaje previamente.

Madrid, a 24 de agosto de 2015.

iii

iv

Índice de problemas

1. Conjuntos 1

1.1. Concepto de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vaćıo . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Relaciones de inclusión y pertenencia . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Unión e intersección de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Propiedades de la unión e intersección . . . . . . . . . . . . . 4

1.6. Cardinal de la unión de tres conjuntos . . . . . . . . . . . . . 7

1.7. Partes de un conjunto, complementario y diferencia . . . . . . 8

1.8. Propiedades del complementario . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.9. Simplificaciones en las partes de un conjunto . . . . . . . . . 11

1.10. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.11. Unión e intersección generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.12. Función caracteŕıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.13. Asociatividad de la diferencia simétrica . . . . . . . . . . . . 17

1.14. Partes de uniones e intersecciones . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.15. Cardinales de las σ-álgebras contables . . . . . . . . . . . . . 18

2. Relaciones 21

2.1. Concepto de relación binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Relaciones de equivalencia (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Relaciones de equivalencia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5. Máximo, mı́nimo, cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6. Supremo, ı́nfimo, maximales y minimales . . . . . . . . . . . . 30

2.7. Orden total, buen orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8. Diagramas de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9. Relación de equivalencia en R[x] . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.10. Tres relaciones en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.11. Finura de las relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . 37

v

3. Funciones 41

3.1. Concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . 43

3.4. Aplicación identidad, aplicación inversa . . . . . . . . . . . . 46

3.5. Imágenes directas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6. Biyección entre (−1, 1) y R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.7. Aplicación involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.8. Factorización canónica de la función seno . . . . . . . . . . . 52

4. Grupos 55

4.1. Concepto de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2. Primeras propiedades de los grupos . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4. Tabla de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.5. Generadores de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.6. Grupos ćıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.7. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.8. Centro de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.9. Subgrupo normal y centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.10. Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.11. Grupo de clases residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.12. Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.13. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos . . . . . . . 80

4.14. Clasificación de homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . 81

4.15. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos . . 82

4.16. Grupo de las partes con la diferencia simétrica . . . . . . . . 84

4.17. Tres igualdades en un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.18. Grupo no ćıclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.19. Grupo de funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.20. Conjunto, grupo y aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.21. Relación y operaciones en el plano . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.22. Grupo de aplicaciones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.23. Centro de un grupo de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.24. Conmutador y subgrupo derivado . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.25. Grupo construido por biyección . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5. Anillos y cuerpos 97

5.1. Concepto de anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2. Anillo de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.3. Producto directo de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.4. Propiedades de los anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

vi

5.5. Grupo multiplicativo de las unidades . . . . . . . . . . . . . . 106

5.6. Anillo de los enteros de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.7. Anillo de clases residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.8. Anillos de integridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.9. Subanillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.10. Homomorfismos de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.11. Ideales de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.12. Ideal de las sucesiones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.13. Ideal bilátero f(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.14. Anillo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.15. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos . . 120

5.16. Concepto de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.17. Cuerpos Zp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.18. Caracteŕıstica de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.19. Homomorfismos entre cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.20. Anillo según parámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.21. Anillo y grupo de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.22. Máximo común divisor en los enteros de Gauss . . . . . . . . 129

5.23. Dominio de integridad no eucĺıdeo . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.24. Binomio de Newton en un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.25. Anillo de las funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.26. Anillo idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.27. Intersección de subcuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.28. Cuerpo infinito con caracteŕıstica finita . . . . . . . . . . . . 138

5.29. Cuerpo conmutativo con función sobre R+ . . . . . . . . . . . 139 5.30. Cuaternios de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6. Sistemas lineales sobre un cuerpo 143

6.1. Sistemas lineales escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.2. Reducción gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.3. Sistemas lineales según parámetros . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.4. Aplicaciones de los sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . 152

7. Matrices sobre un cuerpo 157

7.1. Concepto de matriz, suma de matrices . . . . . . . . . . . . . 157

7.2. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo . . . . . . . . 158

7.3. Producto de un escalar por una matriz . . . . . . . . . . . . . 159

7.4. Multiplicación de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.5. Matriz inversa (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.6. Matriz inversa (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.7. Inversa de orden n por el método de Gauss . . . . . . . . . . 175

7.8. Inversa de orden n por sistema de columnas . . . . . . . . . . 176

vii

7.9. Ecuaciones y sistemas matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.10. Transposición de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.11. Descomposición A = uvt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.12. Matriz nilpotente e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7.13. Potencia enésima por binomio de Newton . . . . . . . . . . . 185

7.14. Traza de una matriz, propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.15. Matrices mágicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.16. Matriz de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7.17. Inversa generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

8. Determinantes sobre un cuerpo 197

8.1. Determinantes sencillos (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8.2. Determinantes sencillos (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.3. Determinantes por triangularización (1) . . . . . . . . . . . . 202

8.4. Determinantes por triangularización (2) . . . . . . . . . . . . 204

8.5. Determinantes por inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8.6. Determinante de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8.7. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8.8. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria . . . . . 217

8.9. Determinante y sucesión de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . 219

8.10. Determinante con números combinatorios . . . . . . . . . . . 219

8.11. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

8.12. Determinante e inversa de orden n . . . . . . . . . . . . . . . 221

8.13. Determinante de I + v w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

8.14. Determinante por inducción y sistema lineal . . . . . . . . . . 223

9. Espacios vectoriales 227

9.1. Primeras propiedades de los espacios vectoriales . . . . . . . . 227

9.2. Espacio vectorial Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.3. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo . . . . . . . 230

9.4. Espacio vectorial K[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.5. Espacio vectorial de las funciones reales . . . . . . . . . . . . 232

9.6. Subcuerpo como espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 233

9.7. Subespacios vectoriales, caracterización . . . . . . . . . . . . 234

9.8. Suma e intersección de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . 237

9.9. Suma directa de dos subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . 240

9.10. Suma directa de varios subespacios . . . . . . . . . . . . . . . 243

9.11. Combinación lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

9.12. Dependencia e independencia lineal de vectores . . . . . . . . 247

9.13. Base de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

9.14. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base . . . 259

viii

9.15. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base . . . . 259 9.16. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base . . . 260 9.17. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base . 261 9.18. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base . . . . 262 9.19. Rango de una matriz. Dependencia lineal en Kn . . . . . . . . 263 9.20. Teorema de la base incompleta . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 9.21. Existencia de base en todo espacio vectorial . . . . . . . . . . 266 9.22. Dimensión de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 267 9.23. Teorema de la torre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 9.24. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales . . . . . . 271 9.25. Propiedades de la dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 9.26. Teorema de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 9.27. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 9.28. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 9.29. Ecuaciones de los subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 9.30. Bases de la suma e intersección de subespacios . . . . . . . . 284 9.31. Espacio vectorial cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 9.32. Cambio de base en orbitales atómicos . . . . . . . . . . . . . 290 9.33. Intersección de subespacios de (Z7)4 . . . . . . . . . . . . . . 291 9.34. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto . . 293 9.35. Realificación de un espacio vectorial complejo . . . . . . . . . 294 9.36. Subespacios transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

10. Aplicaciones lineales 297 10.1. Concepto de aplicación lineal (1) . . . . . . . . . . . . . . . . 297 10.2. Concepto de aplicación lineal (2) . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.3. Núcleo e imagen de una aplicación lineal . . . . . . . . . . . . 302 10.4. Teorema de las dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 10.5. Matriz de una aplicación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 10.6. Expresión matricial de una aplicación lineal . . . . . . . . . . 311 10.7. Núcleo e imagen del operador derivación . . . . . . . . . . . . 318 10.8. Clasificación de aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . 320 10.9. Espacio vectorial de las aplicaciones lineales . . . . . . . . . . 324 10.10.Composición de aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 327 10.11.Descomposición canónica, teorema de isomorf́ıa . . . . . . . 331 10.12.Cambio de base, matrices equivalentes . . . . . . . . . . . . . 334 10.13.Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes . . . 341 10.14.Anillo de los endomorfismos y grupo lineal . . . . . . . . . . 344 10.15.Espacio dual, base dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 10.16.Cambio de base en el espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . 351 10.17.Subespacio conjugado o anulador . . . . . . . . . . . . . . . 353 10.18.Aplicación transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

ix

10.19.Matrices de aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 357

10.20.Un endomorfismo nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

10.21.Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

10.22.Endomorfismo y suma S4 = 1 4 + ...+ n4 . . . . . . . . . . . 362

10.23.Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

10.24.Endomorfismo en un subespacio de C(R). . . . . . . . . . . . 365 10.25.Un operador traspuesto en el espacio dual . . . . . . . . . . . 367

10.26.Interpolación en el espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . 369

10.27.Clasificación de una familia de endomorfismos . . . . . . . . 373

10.28.Dos aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

10.29.Endomorfismo en C sobre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

11. Valores y vectores propios 379

11.1. Concepto de valor y vector propio . . . . . . . . . . . . . . . 379

11.2. Primeras propiedades de los valores y vectores propios . . . . 382

11.3. Polinomio caracteŕıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

11.4. Cálculo de valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . 388

11.5. Endomorfismos diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

11.6. Potencia enésima de una matriz por diagonalización . . . . . 399

11.7. Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

11.8. Diagonalización según parámetros . . . . . . . . . . . . . . . 403

11.9. Suma y producto de valores propios . . . . . . . . . . . . . . 407

11.10.Valores propios del endomorfismo inverso . . . . . . . . . . . 407

11.11.Diagonalización de un endomorfismo en R2×2 . . . . . . . . . 409 11.12.Diagonalización de un endomorfismo en R2[x] . . . . . . . . 410 11.13.Valores propios de una matriz nilpotente . . . . . . . . . . . 411

11.14.Logaritmo de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

11.15.Un determinante por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . 414

11.16.Diagonalización en un espacio complejo . . . . . . . . . . . . 416

11.17.Ĺımite de una sucesión matricial . . . . . . . . . . . . . . . . 418

11.18.Modelo de poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

11.19.Endomorfismo con modelo matemático . . . . . . . . . . . . 422

11.20.Endomorfismo idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

11.21.Ĺımite de sucesión de puntos diagonalizando en C . . . . . . 425 11.22.Valor propio y aśıntota horizontal . . . . . . . . . . . . . . . 428

11.23.Coseno de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

11.24.Matrices componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

12. Formas canónicas de Jordan 433

12.1. Bloques de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

12.2. Polinomio mı́nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

12.3. Forma canónica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

x

12.4. Cálculo de una base de Jordan (1) . . . . . . . . . . . . . . . 442

12.5. Cálculo de una base de Jordan (2) . . . . . . . . . . . . . . . 445

12.6. Potencia enésima por forma de Jordan . . . . . . . . . . . . . 447

12.7. Formas de Jordan de AB y BA . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

12.8. Forma canónica del operador derivación . . . . . . . . . . . . 451

12.9. Número e y exponencial de una matriz . . . . . . . . . . . . . 453

12.10.Formas de Jordan de rango 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

12.11.Espacio de funciones y forma de Jordan . . . . . . . . . . . . 461

12.12.Matrices con cuadrado nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

13. Formas bilineales y cuadráticas 467

13.1. Concepto de forma bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

13.2. Espacio vectorial de las formas bilineales . . . . . . . . . . . . 469

13.3. Matriz de una forma bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

13.4. Formas bilineales simétricas y antisimétricas . . . . . . . . . . 473

13.5. Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas475

13.6. Formas bilineales: cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . 476

13.7. Diagonalización de formas bilineales simétricas . . . . . . . . 478

13.8. Concepto de forma cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

13.9. Forma polar de una forma cuadrática . . . . . . . . . . . . . . 482

13.10.Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

13.11.Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss . . 485

13.12.Ley de inercia de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

13.13.Clasificación de formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . 489

13.14.Forma cuadrática mediante una integral . . . . . . . . . . . . 491

13.15.Mı́nimo de una función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . 492

13.16.Funciones convexas y formas cuadráticas . . . . . . . . . . . 494

13.17.Núcleo de una forma cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . 495

13.18.Forma cuadrática multiplicativa . . . . . . . . . . . . . . . . 498

13.19.Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices . . . 500

13.20.Forma bilineal y sistema diferencial . . . . . . . . . . . . . . 501

13.21.Cociente de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

14. Producto escalar 509

14.1. Concepto de producto escalar real . . . . . . . . . . . . . . . 509

14.2. Espacio euclideo, norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

14.3. Desigualdad de Schwartz, ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . 513

14.4. Ortogonalidad en el espacio eucĺıdeo . . . . . . . . . . . . . . 515

14.5. Bases ortonormales, método de Schmidt . . . . . . . . . . . . 516

14.6. Subespacio ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

14.7. Proyección ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

xi

14.8. Mı́nima distancia de un vector a un subespacio . . . . . . . . 525

14.9. Matrices ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

14.10.Operador traspuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

14.11.Operador ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

14.12.Operador simétrico, teorema espectral . . . . . . . . . . . . . 538

14.13.Giros alrededor de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

14.14.Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

14.15.Matrices hermı́ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

14.16.Concepto de forma sesquilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

14.17.Expresión matricial de una forma sesquilineal . . . . . . . . . 549

14.18.Concepto de forma hermı́tica o hermitiana . . . . . . . . . . 550

14.19.Producto escalar complejo, espacio unitario . . . . . . . . . . 552

14.20.Expresión matricial del producto escalar complejo . . . . . . 555

14.21.Matrices unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

14.22.Descomposición en valores singulares . . . . . . . . . . . . . 558

14.23.Matrices normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

14.24.Matrices de proyección y simetŕıa . . . . . . . . . . . . . . . 564

14.25.Lema de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

14.26.Simetŕıa de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

14.27.Gram-Schmidt con integral impropia . . . . . . . . . . . . . 573

14.28.Proyección ortogonal en R2[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 14.29.Signatura en un espacio eucĺıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . 576

14.30.Un endomorfismo antisimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

14.31.Un endomorfismo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

14.32.Automorfismo en un espacio eucĺıdeo . . . . . . . . . . . . . 582

14.33.Endomorfismo, forma cuadrática y cono . . . . . . . . . . . . 585

14.34.Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales . . . . . . 587

14.35.Diagonalización simultánea, sistema diferencial . . . . . . . . 588

14.36.Q(A) = (traza A)2 − 2 detA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 14.37.Una matriz normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

15.Álgebra de los números complejos 593

15.1. Cuerpo de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . 593

15.2. Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . 595

15.3. Ráız cuadrada de un número complejo . . . . . . . . . . . . . 598

15.4. Forma trigonométrica de los números complejos . . . . . . . . 599

15.5. Miscelánea de números complejos (1) . . . . . . . . . . . . . . 604

15.6. Miscelánea de números complejos (2) . . . . . . . . . . . . . . 609

xii

16.Polinomios en una variable 613 16.1. División eucĺıdea de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 16.2. Factorización de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 16.3. Fórmulas de Cardano-Vieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620 16.4. Ráıces en progresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 16.5. Ráıces múltiples de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 16.6. Ráız cuádruple según parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . 626 16.7. Polinomio de interpolación de Lagrange . . . . . . . . . . . . 627 16.8. Ecuación de tercer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628 16.9. Miscelánea de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 16.10.Descomposición en suma de productos de ráıces . . . . . . . 633 16.11.Seno de 72 grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 16.12.Familia de polinomios p(x2) = p(x)p(x+ 1) . . . . . . . . . . 636 16.13.Cotas de las ráıces de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . 638 16.14.Ráıces de f(x) = x3 + βx2 − βx− 1 . . . . . . . . . . . . . . 638

17.Cónicas 641 17.1. Clasificación de cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 17.2. Rectas que componen las cónicas degeneradas . . . . . . . . . 645 17.3. Ecuaciones reducidas de las cónicas . . . . . . . . . . . . . . . 646 17.4. Centro y ejes de las cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 17.5. Giros y traslaciones en las cónicas . . . . . . . . . . . . . . . 652 17.6. Familia uniparamétrica de cónicas . . . . . . . . . . . . . . . 655 17.7. Circunferencia, cónica y forma cuadrática . . . . . . . . . . . 656 17.8. Ejes de una cónica por diagonalización simultanea . . . . . . 657

18.Superficies 661 18.1. Superficies regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 18.2. Superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 18.3. Superficie de revolución y cónica . . . . . . . . . . . . . . . . 665 18.4. Superficies de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 18.5. Una cuádrica como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . 669 18.6. Cuádrica, giro y traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670 18.7. Una curva plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 18.8. Miscelánea de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672

19.Programación lineal 677 19.1. Método del simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677 19.2. Máximo de una integral por el método del simplex . . . . . . 681 19.3. Método del simplex. Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . 683 19.4. Aprovechamiento de un monte . . . . . . . . . . . . . . . . . 684

xiii

xiv

Caṕıtulo 1

Conjuntos

1.1. Concepto de conjunto

1. Escribir por extensión A = {x : x es ráız de p(x) = x2 − 7x+ 12}. 2. Escribir por comprensión B = {3, 4, 5, 6, 7}. 3. Analizar si son iguales los siguientes pares de conjuntos

(a) A = {a, 2, 3}, B = {3, 3, 2, a}. (b) C = {verde, rojo}, D = {x : x es color del arco iris}.

4. Escribir por comprensión los conjuntos

A = {−1,−3,−5,−7.− 9, . . .}, B = {4, 8, 12, 16, 20, . . .}.

5. Definir por extensión el conjunto S = {x ∈ R : x3 − x2 = 0}. 6. Sean a, b, c, d elementos de un conjunto X. Demostrar que {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} si y solamente si a = c y b = d.

Solución. 1. Hallemos las ráıces de la ecuación dada

x = 7± √

49− 48 2

= 7± 1

2 ⇔ x = 4 o x = 3.

Es decir, A = {3, 4}.

2. Los elementos de B son los números naturales mayores o iguales que 3 y menores o iguales que 7. Por tanto:

B = {x : x es número natural con 3 ≤ x ≤ 7}.

3. (a) Todo elemento que pertenece a A, pertenece a B y todo elemento que pertenece a B, pertenece a A, lo cual implica que A = B. Nótese que es irrelevante el que se repita la escritura de algún elemento.

1

1.2 Inclusión de conjuntos. Conjunto vaćıo

(b) Todo elemento que pertenece a C, pertenece a D. Sin embargo, no to- do elemento que pertenece a D pertenece a C (por ejemplo, el color azul). Concluimos que C 6= D.

4. El conjunto A está formado por los números impares negativos y el B por los múltiplos de 4 positivos, por tanto:

A = {x : x es entero impar negativo}, B = {x : x es múltiplo positivo de 4}.

5. Los elementos de S son los números reales que cumplen x3 − x2 = 0 o de forma equivalente x2(x− 1) = 0, cuyas soluciones son x = 0, x = 1. Por tanto S = {0, 1}.

6. Tenemos que demostrar

{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} ⇔ a = b y b = d.

⇐) Si a = b y c = d, trivialmente {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}} ⇒) Por hipótesis

{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} . (1)

Analizamos dos casos:

Caso 1: a 6= b. En éste caso, {a} 6= {a, b}. Entonces, el conjunto de la derecha en (1) ha de tener dos elementos, lo cual implica que c 6= d. Sólo se puede verificar la igualdad (1) si {a} = {c} y {a, b} = {c, d}, por tanto a = c y b = d.

Caso 2: a = b. En éste caso, {a} = {a, b}. Entonces, el conjunto de la derecha en (1) ha de tener un único elemento, es decir ha de ser {c} = {c, d}. Esto último implica que c = d.

1.2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vaćıo

1. Se considera el conjunto A = {a, b, c}. Escribir todos los subconjuntos de A. 2. Un subconjunto A de B se dice que es propio si existe al menos un ele- mento de B que no pertenece a A. Escribir todos los subconjuntos propios de M = {1, 2}. 3. Demostrar que el conjunto vaćıo es único. 4. Sea X un conjunto. Al conjunto ∅X = {x ∈ X : x 6= x} se le llama subcon- junto vaćıo de X (y claramente no contiene elemento alguno). Demostrar que para dos conjuntos cualesquiera X e Y se verifica ∅X = ∅Y .

Caṕıtulo 1. Conjuntos

Solución. 1. El conjunto vaćıo y A son subconjuntos de A. Los subconjuntos de A con un elemento son {a}, {b} y {c}, y con dos elementos son {a, b}, {a, c} y {b, c}. Por tanto, todos los subconjuntos de A son:

∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A.

2. Los subconjuntos de M son ∅, {1}, {2} y M = {1, 2}. De la definición dada, inmediatamente se deduce que los subconjuntos propios de M son ∅, {1} y {2}.

3. Si ∅ y ∅′ son conjuntos vaćıos, se verifica ∅ ⊂ ∅′ y ∅′ ⊂ ∅, luego ∅ = ∅′.

4. Recordemos que si P y Q son dos proposiciones, P ⇒ Q significa ”no P y Q”, en consecuencia, P : x ∈ ∅X (que es falso) implica Q : x ∈ ∅Y , es decir ∅X ⊂ ∅Y . De manera análoga, ∅Y ⊂ ∅X .

1.3. Relaciones de inclusión y pertenencia

Analizar cuales de las siguientes fórmulas son ciertas para todo conjunto A (1) ∅ ∈ ∅. (2) ∅ ∈ {∅}. (3) ∅ ⊂ ∅. (4) ∅ ∈ A. (5) ∅ ⊂ A. (6) A ∈ A. (7) A ∈ {A}. (8) A ⊂ A. (9) A ∈ P(A). (10) A ⊂ P(A).

Solución. (1) Falsa. ∅ no tiene elementos. (2) Cierta. {∅} es un conjunto, y ∅ es elemento de {∅}. (3) Cierta. El vaćıo está contenido en todo conjunto, en particular ∅ ⊂ ∅. (4) Falsa. Basta considerar A = ∅ y aplicar el apartado (1). (5) Cierta. El vaćıo está contenido en todo conjunto. (6) Falsa. Basta considerar A = ∅ y aplicar el apartado (4). (7) Cierta. {A} es un conjunto, y A es elemento de {A}. (8) Cierta. Si x ∈ A, entonces x ∈ A. (9) Cierta. Al ser A es subconjunto de A, se verifica A ∈ P(A). (10) Falsa. Si A = {1} entonces P(A) = {∅, {1}}. Se verifica 1 ∈ A, pero 1 6∈ P(A). Por tanto A no está contenido en P(A).

1.4. Unión e intersección de conjuntos

1. Dados los conjuntos A = {a, b, c, 7, 4}, B = {b, 1, 5, c}, hallar A ∪ B y A ∩B. 2. Demostrar que M = {0, 2} y B = {x : x ∈ R con x2 − 1 = 0}, son conjuntos disjuntos. 3. Todos los alumnos de una clase que practican natación o atletismo o ambos deportes, practican también tenis, natación o ambos deportes. Los

1.5 Propiedades de la unión e intersección

que practican natación y atletismo practican también natación y tenis. ¿ Es cierto que los que practican atletismo también practican tenis?

Solución. 1. De las definiciones de unión e intersección de conjuntos, de- ducimos inmediatamente que: A ∪B = {a, b, c, 7, 4, 1, 5}, A ∩B = {b, c}.

2. Dos conjuntos A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅, es decir si no tienen elementos comunes. Los elementos del conjunto B son las soluciones de la ecuación x2 − 1 = 0, es decir B = {−1, 1}, luego M ∩B = ∅. Por tanto, M y B son disjuntos.

3. Denotemos por N,A, T a los conjuntos de los alumnos de la clase que practica natación, atletismo y tenis respectivamente. La hipótesis todos los alumnos de la clase que practican natación o atletismo o ambos deportes, practican también tenis, natación o ambos deportes equivale a:

N ∪A ⊂ T ∪N (1).

La hipótesis los que practican natación y atletismo practican también nata- ción y tenis equivale a:

N ∩A ⊂ N ∩ T (2).

El aserto los que practican atletismo también practican tenis equivale a:

A ⊂ T (3).

Veamos que se verifica (3), o equivalentemente que x 6∈ T ⇒ x 6∈ A. Tene- mos:

x 6∈ T ⇒ x 6∈ T ∩N ⇒ (por (2)) x 6∈ N ∩A.

Dado que x 6∈ N ∩A, o bien ocurre x 6∈ A o bien x 6∈ N (o ambos). Caso 1: x 6∈ A. Ya estaŕıa demostrado (3). Caso 2: x 6∈ N . En éste caso, x 6∈ T ∪ N (por hipótesis x 6∈ T ) y por (1), deducimos x 6∈ N ∪ A lo cual implica que x 6∈ A (pues x 6∈ N). Concluimos pues que los que practican atletismo también practican tenis.

1.5. Propiedades de la unión e intersección

Demostrar las siguientes propiedades para conjuntos cualesquiera dados: 1. Asociativa de la unión: (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). 2. Asociativa de la intersección: (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). 3. Conmutativa de la unión: A ∪B = B ∪A. 4. Conmutativa de la intersección: A ∩B = B ∩A.

Caṕıtulo 1. Conjuntos

5. Idempotentes de la unión y de la intersección: A ∪A = A, A ∩A = A. 6. Elemento ı́nfimo para la unión e intersección: A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅. 7. Distributiva de la intersección respecto de la unión: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 8. Distributiva de la unión respecto de la intersección: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 9. Leyes de simplificación: (a) (A ∪B) ∩A = A. (b) (A ∩B) ∪A = A.

Solución. 1. Quedará demostrada la igualdad si demostramos los conteni- dos:

(A ∪B) ∪ C ⊂ A ∪ (B ∪ C). (1)

A ∪ (B ∪ C) ⊂ (A ∪B) ∪ C. (2)

Sea x ∈ (A∪B)∪C. Esto significa x ∈ A∪B o x ∈ C. Si ocurre lo primero, será x ∈ A o x ∈ B. Si x ∈ A, será x ∈ A∪ (B ∪C); si x ∈ B será x ∈ B ∪C y por tanto x ∈ A ∪ (B ∪ C). Por último, si x ∈ C, será x ∈ B ∪ C y por tanto x ∈ A ∪ (B ∪ C). Hemos demostrado (1).

Sea x ∈ A∪ (B ∪C). Esto significa x ∈ A o x ∈ B ∪C. Si ocurre lo primero, será x ∈ A ∪ B y por tanto x ∈ (A ∪ B) ∪ C. Si x ∈ B ∪ C, será x ∈ B o x ∈ C. Si x ∈ B, será x ∈ A ∪ B y por tanto x ∈ (A ∪ B) ∪ C; si x ∈ C será x ∈ (A ∪B) ∪ C. Hemos demostrado (2). 2. Sea x ∈ (A∩B)∩C. Esto significa x ∈ A∩B y x ∈ C y por tanto, x ∈ A y x ∈ B y x ∈ C lo cual implica que x ∈ A y x ∈ B∩C, es decir x ∈ A∩(B∩C).

Sea x ∈ A∩ (B ∩C). Esto significa x ∈ A y x ∈ B ∩C y por tanto, x ∈ A y x ∈ B y x ∈ C lo cual implica que x ∈ A∩B y x ∈ C, es decir x ∈ (A∩B)∩C. Del doble contenido demostrado, concluimos que

(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

3. Sean A y B conjuntos arbitrarios. Sea x ∈ A∪B. Esto significa que x ∈ A o x ∈ B y, en cualquiera de los dos casos, x ∈ B ∪ A. Hemos demostrado A ∪B ⊂ B ∪A.

Sea x ∈ B ∪A. Esto significa que x ∈ B o x ∈ A y, en cualquiera de los dos casos, x ∈ A∪B. Hemos demostrado B∪A ⊂ A∪B. Podemos pues concluir que A ∪B = B ∪A.

4. Sean A y B conjuntos arbitrarios. Sea x ∈ A∩B. Esto significa que x ∈ A y x ∈ B lo cual implica que que x ∈ B y x ∈ A, es decir x ∈ B ∩A. Hemos demostrado A ∩B ⊂ B ∩A.

1.5 Propiedades de la unión e intersección

Sea x ∈ B ∩ A. Esto significa que x ∈ B y x ∈ A lo cual implica que que x ∈ A y x ∈ B, es decir x ∈ A ∩ B. Hemos demostrado B ∩ A ⊂ A ∩ B. Podemos pues concluir que A ∩B = B ∩A.

5. Sea A conjunto arbitrario. Si x ∈ A ∪A, será x ∈ A o x ∈ A, y en ambos casos x ∈ A. Si x ∈ A, en virtud de la definición de unión, x ∈ A ∪ A. Podemos pues concluir que A ∪A = A. Si x ∈ A ∩ A, será x ∈ A y x ∈ A, y por tanto, x ∈ A. Si x ∈ A, en virtud de la definición de intersección, x ∈ A ∩ A. Podemos pues concluir que A ∩A = A.

6. Si x ∈ A∪ ∅ entonces x ∈ A o x ∈ ∅. Dado que el conjunto vaćıo no tiene elementos, necesariamente x ∈ A. Si x ∈ A, por la definición de unión, se cumple x ∈ A ∪ ∅. Es decir, A ∪ ∅ = A. Un elemento x pertenece a A∩∅, si y sólo si x ∈ A y x ∈ ∅. Ningún elemento x cumple las dos condiciones anteriores, por tanto A ∩ ∅ = ∅.

7. Veamos que A∩ (B ∪C) ⊂ (A∩B)∪ (A∩C). En efecto, x ∈ A∩ (B ∪C) implica x ∈ A y x ∈ B ∪ C, es decir o bien x ∈ A y x ∈ B o bien x ∈ A y x ∈ C. En el primer caso x ∈ A ∩ B y en el segundo x ∈ A ∩ C. En ambos casos, x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C). Veamos que (A∩B)∪(A∩C) ⊂ A∩(B∪C). En efecto, x ∈ (A∩B)∪(A∩C) implica x ∈ A∩B o x ∈ A∩C. En el primer caso, x ∈ A y x ∈ B, por tanto x ∈ A y x ∈ B∪C lo cual implica x ∈ A∩(B∪C). En el segundo caso, x ∈ A y x ∈ C, por tanto x ∈ A y x ∈ B∪C lo cual implica también x ∈ A∩(B∪C).

8. Veamos que A∪ (B ∩C) ⊂ (A∪B)∩ (A∪C). En efecto, x ∈ A∪ (B ∩C) implica x ∈ A o x ∈ B ∩ C. En el primer caso, x ∈ A ∪ B y x ∈ A ∪ C lo cual implica x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪C). En el segundo caso, x ∈ B y x ∈ C. Es decir, x ∈ A ∪B y x ∈ A ∪ C, lo cual implica x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C). Veamos que (A∪B)∩(A∪C) ⊂ A∪(B∩C). En efecto, x ∈ (A∪B)∩(A∪C) implica x ∈ A ∪ B y x ∈ A ∪ C. Si x ∈ A, entonces x ∈ A ∪ (B ∩ C). Si x 6∈ A, al pertenecer a A ∪B y a A ∪ C, necesariamente x ∈ B y x ∈ C. Es decir, x ∈ B ∩ C y por tanto, x ∈ A ∪ (B ∩ C).

9. (a) Si x ∈ (A ∪ B) ∩ A, entonces x ∈ A ∪ B y x ∈ A lo cual implica trivialmente que x ∈ A. Si x ∈ A, entonces x ∈ A ∪ B y x ∈ A lo cual implica x ∈ (A ∪B) ∩A.

(b) Si x ∈ (A ∩ B) ∪ A, entonces x ∈ A ∩ B o x ∈ A, y en ambos casos, x ∈ A. Si x ∈ A, entonces x ∈ (A ∩B) ∪A.

Caṕıtulo 1. Conjuntos

1.6. Cardinal de la unión de tres conjuntos

Sea M un conjunto finito (es decir, con un número finito de elementos). Se denota por card M , por #(M) o bien por |A| al cardinal de M . Sean ahora A,B,C tres conjuntos finitos. Demostrar las fórmulas:

(a) |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|. (b) |A∪B ∪C| = |A|+ |B|+ |C| − |A∩B| − |A∩C| − |B ∩C|+ |A∩B ∩C|. (c) Aplicación. Calcular cuantos números naturales menores o iguales que 1000 existen que no sean múltiplos no de 3, ni de 5, ni de 7.

Solución. (a) Si escribimos |A|+ |B| estamos contando dos veces cada ele- mento de A ∩B, en consecuencia |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|. (b) Usando las propiedad asociativa de la unión, el apartado (a) y la propie- dad distributiva de la intersección respecto de la unión:

|A ∪B ∪ C| = |(A ∪B) ∪ C| = |A ∪B|+ |C| − |A ∪B) ∩ C| = |A|+ |B| − |A ∩B|+ |C| − |(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)|. (1)

Usando el apartado (a) y las propiedades asociativa e idempotente de la intersección:

|(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)| = |A ∩ C|+ |B ∩ C| − |(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)| = |A ∩ C|+ |B ∩ C| − |A ∩B ∩ C|. (2)

Usando (1) y (2) queda:

|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|.

(c) Llamemos A3, A5 y A7 los conjuntos de los múltiplos de 3, 5 y 7 respec- tivamente y que son menores o iguales que 1000. Entonces, A3∩A5, A3∩A5, A5 ∩A7, y A3 ∩A5 ∩A7 son respectivamente los conjuntos cuyos elementos son los múltiplos de 15, 21, 35 y 105 respectivamente y que son menores o iguales que 1000. Tenemos:

1000 = 3 · 333 + 1 1000 = 5 · 200 1000 = 7 · 142 + 6

 |A3| = 333 |A5| = 200 |A7| = 142,

1000 = 15 · 66 + 10 1000 = 21 · 47 + 13 1000 = 35 · 28 + 20

 |A3 ∩A5| = 66 |A5 ∩A7| = 47 |A5 ∩A7| = 28,

1000 = 105 · 9 + 55⇒ |A3 ∩A5 ∩A7| = 9.

1.7 Partes de un conjunto, complementario y diferencia

Aplicando la fórmula del cardinal de la unión de tres conjuntos

|A3 ∪A5 ∪A7| = 333 + 200 + 142− 66− 47− 28 + 9 = 543.

El conjunto A3 ∪ A5 ∪ A7 está formado por los múltiplos de 3, o de 5, o de 7 y que son menores o iguales que 1000. Nos piden por tanto el cardinal de (A3 ∪A5 ∪A7)c . Entonces,

|(A3 ∪A5 ∪A7)c| = 1000− 543 = 457

es el cardinal de los números naturales menores o iguales que 1000 existen que no son múltiplos ni de 3, ni de 5, ni de 7.

1.7. Partes de un conjunto, complementario y di- ferencia

1. Dado U = {a, b, c, d}, determinar P(U). 2. Determinar los conjuntos P(∅), P (P(∅)) , P (P (P(∅))) . 3. En P(Q), determinar Zc y Z− N. 4. Sea A = {a1, . . . , an} un conjunto con n elementos. Hallar el número de elementos de P(A). 5. Dados dos conjuntos A y B su diferencia simétrica se define como el conjunto A∆B = (A−B) ∪ (B −A). Demostrar que se verifica la igualdad

A∆B = (A ∪B)− (A ∩B).

6. Para dos conjuntos A y B demostrar que A = (A ∩ B) ∪ (A − B) y que es una representación de A como unión de conjuntos disjuntos. 7. Siendo A,B,C subconjuntos de un conjunto universal U, demostrar que A− (B − C) = (A−B) ∪ (A ∩ C) 8. Demostrar que existe un único A ∈ P(C) tal que para todo X ∈ P(C), se verifica A∆X = X∆A = X.

Solución. 1. Escribamos los subconjuntos de U atendiendo a su número de elementos: Con 0 elementos: ∅. Con 1 elemento: {a}, {b},{c},{d}. Con 2 elementos: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c},{b, d}, {c, d}. Con 3 elementos: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}. Con 4 elementos: U . Por tanto

P(U) = { ∅, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, U }.

Caṕıtulo 1. Conjuntos

2. Claramente P(∅) = {∅} y P (P(∅)) = {∅, {∅}}. Para hallar con más clari- dad P (P (P(∅))), podemos considerar un conjunto U = {a, b} y determinar P(U) :

P(U) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} .

Ahora, basta sustituir a por ∅ y b por {∅} :

P (P (P(∅))) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}} .

3. Zc está formado por los elementos de Q que no están en Z, es decir por los números racionales que no son enteros. Por tanto:

Zc = {x ∈ Q : x no es fracción entera}.

Z− N está formado por los elementos de Z que no están en N, es decir por los números enteros negativos

Z− N = {−1,−2,−3, . . .}.

4. Contemos los subconjuntos de A, atendiendo al número de elementos. Hay 1 =

( n 0

) subconjuntos con 0 elementos (el conjunto vaćıo). Hay n =

( n 1

) subconjuntos con 1 elemento,

( n 2

) con dos elementos, ... ,

( n k

) con k elementos,

... , 1 = ( n n

) con n elementos (el conjunto A). Sumando y aplicando la fórmula

del binomio de Newton obtenemos el cardinal de P(A) :

card P(A) = ( n

0

) +

( n

1

) +

( n

2

) + . . .+

( n

n

) =

( n

0

) 1n · 10 +

( n

1

) 1n−1 · 11 +

( n

2

) 1n−2 · 12 + . . .+

( n

n

) 10 · 1n

= (1 + 1)n = 2n = 2card A.

5. Demostremos el doble contenido. Tenemos:

x ∈ A∆B ⇒ x ∈ (A−B) ∪ (B −A)⇒

 x ∈ A−B

o x ∈ B −A

 x ∈ A y x 6∈ B

o x ∈ B y x 6∈ A

 x ∈ A ∪B y x 6∈ A ∩B

o x ∈ A ∪B y x 6∈ A ∩B

⇒ x ∈ (A ∪B)− (A ∩B).

Es decir, A∆B ⊂ (A ∪B)− (A ∩B). Por otra parte:

x ∈ (A ∪B)− (A ∩B)⇒

 x ∈ A ∪B

y x 6∈ A ∩B

1.7 Partes de un conjunto, complementario y diferencia

 Caso 1. x ∈ A⇒ x 6∈ B ⇒ x ∈ A−B

y Caso 2. x ∈ B ⇒ x 6∈ A⇒ x ∈ B −A

⇒ x ∈ (A−B) ∪ (B −A).

Es decir, (A ∪B)− (A ∩B) ⊂ A∆B.

6. Para demostrar la igualdad dada, podemos demostrar el doble contenido. Sin embargo, optaremos por considerar A y B contenidos en otro conjunto U que hace el papel de universal (por ejemplo, U = A ∪B). Entonces, usando conocidas propiedades:

(A ∩B) ∪ (A−B) = (A ∩B) ∪ (A ∩Bc) = A ∩ (B ∪Bc) = A ∩ U = A.

Por otra parte:

(A ∩B) ∩ (A−B) = (A ∩B) ∩ (A ∩Bc) = (A ∩A) ∩ (B ∩Bc) = A ∩ ∅ = ∅.

Es decir, la unión es disjunta.

7. Usando las propiedades del complementario y la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión:

A− (B − C) = A ∩ (B − C)c = A ∩ (B ∩ Cc)c = A ∩ (Bc ∪ (Cc)c) = A ∩ (Bc ∪ C) = (A ∩Bc) ∪ (A ∩ C) = (A−B) ∪ (A ∩ C).

8. La diferencia simétrica ∆ es operación conmutativa. En efecto:

A∆X = A ∪X −A ∩X = X ∪A−X ∩A = X∆A.

por tanto, el problema equivale a demostrar que existe un único A ∈ P(C) tal que para todo X ∈ P(C), se verifica A∆X = X. Unicidad. Si tal A existe, se ha de cumplir A∆X = X para todo X ∈ P(C), en particular para X = C. Pero

A∆C = C ⇔ A ∪ C −A ∩ C = C ⇔ C −A = C,

y la última igualdad solamente se verifica si A = ∅. Existencia. Si A = ∅, se verifica

A∆X = ∅∆X = ∅ ∪X − ∅ ∩X = X − ∅ = X.

Queda pues demostrada la propiedad requerida.

Caṕıtulo 1. Conjuntos

1.8. Propiedades del complementario

En P(U) demostrar: 1. ∅c = U, U c = ∅. 2. (Ac)c = A. 3. (a) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc, (b) (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (Leyes de Morgan). 4. A ⊂ B ⇒ Bc ⊂ Ac. 5. (a) A ∪Ac = U. (b) A ∩Ac = ∅.

Solución. 1. Tenemos ∅c = {x ∈ U : x 6∈ ∅}. Pero todo elemento x ∈ U no pertenece a ∅, en consecuencia ∅c = U . Tenemos U c = {x ∈ U : x 6∈ U}. Pero ningún elemento x puede a la vez pertenecer y no pertenecer a U , en consecuencia U c = ∅.

2. Por una parte, x ∈ (Ac)c ⇒ x 6∈ Ac = {y ∈ U : y /∈ A} ⇒ x ∈ A, es decir, (Ac)c ⊂ A. Por otra, x ∈ A⇒ x 6∈ Ac ⇒ x ∈ (Ac)c, es decir A ⊂ (Ac)c.

3. (a) Demostramos directamente la igualdad escribiendo equivalencias:

x ∈ (A∪B)c ⇔ x 6∈ A∪B ⇔ x 6∈ A y x 6∈ B ⇔ x ∈ Ac y x ∈ Bc ⇔ x ∈ Ac∩Bc.

(b) Análogamente:

x ∈ (A∩B)c ⇔ x 6∈ A∩B ⇔ x 6∈ A o x 6∈ B ⇔ x ∈ Ac o x ∈ Bc ⇔ x ∈ Ac∪Bc.

4. Si x ∈ Bc, entonces x 6∈ B. Como por hipótesis A ⊂ B, se verifica x 6∈ A, es decir x ∈ Ac.

5. (a) Los conjuntos A y Ac están contenidos en U por las definiciones de conjunto universal y de complementario. Por tanto, si x ∈ A ∪ Ac, o bien x ∈ A o bien x ∈ Ac y en ambos casos x ∈ U. Es decir, A ∪ Ac ⊂ U . Si x ∈ U , o bien x ∈ A, o bien x 6∈ A. De forma equivalente, o bien x ∈ A o bien x ∈ Ac lo cual implica que x ∈ A ∪Ac . Es decir, U ⊂ A ∪Ac. (b) Tenemos las equivalencias

x ∈ A ∩Ac ⇔ x ∈ A y x ∈ Ac ⇔ x ∈ A y x 6∈ A.

No existe elemento alguno x tal que x ∈ A y x 6∈ A, lo cual implica que A ∩Ac = ∅.

1.9. Simplificaciones en las partes de un conjunto

1. Siendo A,B,C subconjuntos de un conjunto universal U, determinar el complementario del conjunto (A ∪Bc ∪ Cc) ∩ (A ∪B ∪ Cc).

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