Resumen de Resposta frequencial, Resúmenes de Sistemas de Transmisión
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Resumen de Resposta frequencial, Resúmenes de Sistemas de Transmisión

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Asignatura: Circuits Lineals, Profesor: Margarita sanz, Carrera: Enginyeria Telemàtica, Universidad: UPC
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Teoria de Circuits

Fitxes sobre Filtres de primer i segon ordre

Autor: Margarita Sanz Primavera de 2013

El contingut d'aquest fitxer es distribueix sota una llicència Creative Commons

(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/)

RESPUESTA FRECUENCIAL La respuesta frecuencial es la evolución de las magnitudes

Amplificación = ∣H j∣ y Desfase = ∢H j en función de la frecuencia y se acostumbra a representar de forma gráfica.

Para determinarla,  se puede evaluar amplificación y desfase a partir las expresiones analíticas o mediante la utilización de métodos gráficos basados en el diagrama polo­cero de su H(s).

Método gráfico de obtención de la respuesta frecuencial

Factorizando numerador y denominador de H(j) en función de sus ceros y sus polos:

H j=K⋅  j−z1 ⋅ j−z2 ⋯ j−zm   j− p1⋅ j− p2⋯ j− pn

donde cada término entre paréntesis representa un vector en el plano “s” que parte de la ubicación del  cero o polo correspondiente y llega hasta  el  punto del  eje  jω  donde se pretende evaluar  la función de red.

Así para evaluar la amplificación y el desfase a una frecuencia determinada bastará con determinar el módulo y la fase de estos vectores ya que:

H j∣=∣K∣⋅∣ j−z1∣⋅∣ j−z2∣⋯∣ j−zm ∣ ∣ j− p1∣⋅∣ j−p2∣⋯∣ j−pn ∣

H j=∢K∢ j−z1 ∢ j−z2 ⋯∢ j−zm ­ ­∢ j−p1−∢ j− p2 ⋯−∢ j−pn

Banda de paso

La banda de paso viene delimitada por la denominada frecuencia de corte que es aquella a la que la

amplificación máxima se ve reducida por un factor de  1

2 (frecuencia de potencia mitad).

H jc∣= ∣H j∣max

2 con c la pulsación de corte.

Filtros de primer orden Filtro Paso Bajo

Función de red:

H s=K⋅ c

sc

Comportamiento asintótico y banda de paso:

H 0∣=∣K∣⋅ c c

=∣K∣ ∢H 0 =∢K0˚=∢K

H jc∣=∣K∣⋅ c

2⋅c = ∣K∣ 2 ∢H jc=∢K−45 ˚

H ∞∣=∣K∣⋅ c ∞ =0

H ∞=∢K−90 ˚

Expresiones generales de amplificación y desfase:

H ( jω)∣= ∣K∣⋅ωc √ωc2+ ω2

= ∣H (0)∣

√1+ ω2ωc2 ; ∣H ( j2π f )∣= ∣H (0)∣

√1+ ( ff c )2 ∢H j=∢Karctg c

; ∢H j2f =∢Karctg f f c

Curvas de respuesta frecuencial para > 0:

H(j)

0

c

-45˚

-90˚ 0

0

|H(j)| |K|

c

|K| √2

Filtro Paso Alto

Función de red:

H s=Ks sc

Comportamiento asintótico y banda de paso:

H 0∣=∣K∣⋅ 0c =0 ∢H 0

+=∢K90 ˚−0 ˚= =K90 ˚

H jc∣=∣K∣⋅ c

2⋅c = ∣K∣ 2

H jc=∢K90 ˚−45 ˚= =K45 ˚

H (∞)∣=∣K∣⋅∞∞=∣K∣ ∢H ∞=∢K90 ˚−90 ˚=

=K

Expresiones generales de amplificación y desfase:

H j∣= ∣K∣⋅

2c2 =∣K

2

c 2

12c2 ∣H ( j2π f )∣=∣H (∞)∣

f 2

f c 2

√1+ ( ff c )2 =

H (∞)∣

√1+ ( f cf )2

H j=∢K90 ˚arctg c H j2f =∢K90 ˚arctg

f f c =∢Karctg

f c f

Curvas de respuesta frecuencial para > 0:

H(j)

0 0˚ c

45˚

90˚

0 0

|H(j)| |K|

c

|K| √2

Filtro Pasa Todo (Desfasador)

Función de red:

H s=Ks−c sc

Comportamiento asintótico y a frecuencia ωc:

H 0∣=∣K∣⋅ c c

=∣K∣ ∢H 0=∢K180 ˚−0 ˚= =K180 ˚

H jc ∣=∣K∣⋅ 2c 2c

=∣K∣ ∢H jc=∢K135 ˚−45 ˚=

=K90 ˚

H ∞∣=∣K∣⋅∞∞=∣K∣ ∢H ∞=∢K90 ˚−90 ˚=

=K

Expresiones generales de amplificación y desfase:

H j∣=∣K

H j=∢K180 ˚arctg c −arctg c=∢K180 ˚−2⋅arctg c H j2f =∢K180 ˚−2⋅arctg f

f c

Curvas de respuesta frecuencial para > 0 :

0 0

|H(j)|

|K|

H(j)

00˚ c

90˚

180˚

Filtros de segundo orden Filtro Paso Banda

Función de red:

H (s )=Ks

s2+2 ξωo so 2

Frecuencia de resonancia:

H ( jω)∣= ∣K∣⋅ω

√(ωo2−ω2)2+4 ξ2ωo2ω2 =

K

√ 1ω2 (ωo2−ω2)2+4ξ2ωo2 ωmaxro

Comportamiento asintótico y a la frecuencia de resonancia:

Polos reales Polos complejos

En ambos casos:

H 0∣=0 ∢H 0+=∢K90 ˚

H jo∣= ∣K∣ 2o

H jo=∢K

H ∞∣=0 ∢H ∞=∢K−90 ˚ Banda de paso:

H jc∣= ∣K

 1c2 o2−c224 2o2 =

K∣ 2 2o

c=o 12± cs=o 12 ci=o 12− y cumplen cs⋅ci=o2

Ancho de banda:

Bw=cs−ci=2o

Factor de calidad Q:

Q= r Bw

= o

2o =

1 2

Curvas de respuesta frecuencial para > 0:

Expresiones generales de amplificación y desfase en función de los parámetros del filtro:

H s= H jo⋅

o Q s

s2 o Q

so 2

H j= j H jo⋅

o Q ⋅

j o Q

o 2−2

= H jo

1 jQ  o−o  ;

H j2f = H j2 f o

1 jQ ff of of   

H j∣= ∣ H jo∣

1Q2  o−o 2 ; ∣H j2f ∣= ∣H j2 f o∣

1Q2  ff of of 2

H j=∢H jo −artg [Q  o−o ] ; ∢H j2f =∢H j2f o−artg [Q ff of of ]

0 0

|H(j)|

o 

H(j)

0

o -90˚

90˚

Filtro Paso Bajo

Función de red:

H s=K⋅ o

2

s22oso 2

Frecuencia de resonancia:

H j∣= ∣K∣⋅o

2

o2−2242o22

max=r=o 1−22

H jr∣= ∣K∣⋅o

2

o2−o2 1−22242o4 1−22 ∣H jr∣=

K∣ 21−2

Comportamiento asintótico y a la frecuencia natural de resonancia, o :

Polos reales Polos complejos

En ambos casos:

H 0∣=∣K∣ ∢H 0 =∢K

H jo∣= ∣K∣ 2

H jo=∢K−90 ˚

H ∞∣=0 ∢H ∞=∢K−180 ˚

Curvas de respuesta frecuencial para > 0:

Banda de paso:

H jc∣= ∣K∣⋅o

2

o2−c2242o2c2 =

K∣ 221−2

c=o1−22±21−2

cs=o1−2221−2 ci=o1−22−21−2

• 00,38 dos frecuencias de corte y máximo fuera del origen.

• 0,38≤ 1

2 =0,7 una sola frecuencia de corte pero máximo fuera del origen

• ≥0,7 una sola frecuencia de corte y máximo en el origen

Expresiones generales de amplificación y desfase:

H ( jω)∣= ∣H (0)∣

√(1−ω2ωo2 )2+ 4 ξ2 ω2ωo2 ; ∣H ( j2π f )∣= ∣H (0)∣

√(1− f 2f o2 )2+ 4 ξ2 f 2f o2 ∢H j=∢Kartg

2 o  −

 o

; ∢H j2f =∢Kartg

2 f o f

f f o

H(j)

0

o

-90˚

-180˚ 0

0

|H(j)|

|K|

o 

Caso particular:  = 1

2 =0,7 Maximalmente plano (Butterworth)

El máximo se sitúa en el origen y la frecuencia de corte coincide con la frecuencia natural de  resonancia.

c=o   f c= f o   

Así, la amplificación y el desfase se pueden  en función de los parámetros del filtro de la forma:

H j2f ∣= ∣H 0 ∣

1 f 4f c4 ∢H j2f =∢Kartg 2

f c f

f f c

Curva de amplificación:

0 0

|H(j)| |K|

o 

|K| √2

Filtro Paso Alto

Función de red:

H s=Ks 2

s22oso 2

Frecuencia de resonancia:

H j∣= ∣K

o22−1242 o22 max=r=

o

1−22

H jr∣= ∣K

o2 1−22o2 −1242o2 1−22o2 ; ∣H jr∣= ∣K

21−2

Comportamiento asintótico y a la frecuencia natural de resonancia, o:

Polos reales Polos complejos

En ambos casos:

H 0∣=0 ∢H 0+=∢K180 ˚

H jo∣= ∣K∣ 2

H jo=∢K90 ˚

H ∞∣=∣K∣ ∢H ∞=∢K

Curvas de respuesta frecuencial para > 0:

Banda de paso:

H jc∣= ∣K∣⋅c

2

o2−c2242o2c2 =

K∣ 221−2

c= o

1−22±21−2

cs= o

1−22−21−2 ci=

o

1−2221−2

• 00,38 dos frecuencias de corte y máximo a frecuencia distinta de 

• 0,38≤ 1

2 =0,7  una sola frecuencia de corte pero máximo distinto de 

• ≥0,7 una sola frecuencia de corte y máximo en el 

Expresiones generales de amplificación y desfase:

H ( jω)∣= ∣H (∞)∣

√(1−ωo2ω2 )2+ 4 ξ2 ωo2ω2 ; ∣H ( j2π f )∣= ∣H (∞)∣

√(1− f o2f 2 )2+ 4 ξ2 f o2f 2 ∢H j=∢K180 ˚artg

2 o  −

 o

; ∢H j2f =∢K180 ˚artg

2 f o f

f f o

0 0

|H(j)|

|K|

o 

H(j)

0 0˚ o

90˚

180˚

Caso particular:  = 1

2 =0,7 Maximalmente plano (Butterworth)

El máximo se sitúa en el  y la frecuencia de corte coincide con la frecuencia natural de  resonancia.

c=o   f c= f o

Así, la amplificación y el desfase se pueden expresar en función de los parámetros del filtro de la  forma:

H j2f ∣= ∣H ∞∣

1 f c4f 4 ∢H j2f =∢K180 ˚artg 2

f c f

f f c

Curva de amplificación:

0 0

|H(j)| |K|

o 

|K| √2

Filtro de Banda Eliminada

Función de red:

H s=Ks 2z

2

s22oso 2

Caso particular:  z=o

Comportamiento asintótico y a la frecuencia del cero:

Polos reales Polos complejos

En ambos casos:

H 0∣=∣K∣ ∢H 0 =∢K

H jo∣=0 ∢H jo

­ =∢K−90 ˚

H jo +=∢K90 ˚

H ∞∣=∣K∣ ∢H ∞=∢K

Banda de paso:

H jc∣= ∣K

142 o2c2o2−c22 =∣K∣ 2

c=o 12± cs=o 12 ci=o 12−

que como se observa son las mismas que en el caso del filtro paso banda.

Curvas de respuesta frecuencial para > 0:

0 0

|H(j)| |K|

o 

|K| √2

H(j)

0

o

90˚

-90˚

Filtro Pasa Todo (Desfasador)

Función de red:

H s=Ks2−2oso

2

s22oso 2

Comportamiento asintótico y a la frecuencia del cero:

Polos reales Polos complejos

En ambos casos:

H 0∣=∣K∣ ∢H 0=∢K360 ˚

H jo∣=∣K∣ ∢H jo=∢K180 ˚

H ∞∣=∣K∣ ∢H ∞=∢K

Curvas de respuesta frecuencial para > 0 :

H(j)

0

180˚

o 0˚

360˚

0 0

|H(j)|

|K|

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