resumen examen didáctica matemáticas, Resúmenes de Logopedia . Universitat Autònoma de Barcelona (UAB)
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resumen examen didáctica matemáticas, Resúmenes de Logopedia . Universitat Autònoma de Barcelona (UAB)

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Asignatura: Tractament Medicoquirúrgic de les Disfonies, Profesor: Joaquim Llisterri, Carrera: Logopèdia, Universidad: UAB
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DIDÁCTICA DE LAS

MATEMÁTICAS TEMA 1

ASPECTOS CLAVE DEL TEMA - Diferencias empirismo/constructivismo. Explica una actividad que ilustre cada modelo de enseñanza-aprendizaje. Dentro del enfoque empirista no se contextualiza el conocimiento, se considera al alumno incapaz de construir conocimientos, el error está mal visto y no tiene lugar un aprendizaje significativo:

• El alumno aprende lo que el profesor/a explica y no aprende nada de aquello que no explica.

• El saber matemático explicado por el profesor/a, se imprime directamente en el alumno/a: trasvase de saberes.

• El error está relacionado con el fracaso, impidiendo al alumno llegar al éxito en su tarea.

Estas hipótesis dan lugar a la aparición del fenómeno ostensivo en matemáticas, el cual consiste en definir un concepto general, mostrando un ejemplar particular de dicho concepto (ejemplo del cuadrado). El modelo constructivista considera que el aprendizaje de ciertos conocimientos supone una actividad propia del sujeto (Chamorro, 2005). Se basa en cuatro hipótesis:

• El aprendizaje se apoya en la acción. • La adquisición de conocimientos pasa por estados de equilibrio y

desequilibrio en los cuales los conocimientos anteriores se ponen en duda.

• Se conoce en contra de los conocimientos anteriores. • Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social

pueden facilitar la adquisición de conocimientos.

- Explicar teoría de las situaciones a-didácticas a través de un ejemplo. Cuando nos referimos a situaciones didácticas, hacemos alusión a todas aquellas tareas, actividades o prácticas educativas que se caracterizan por ser diseñadas intencionalmente por un determinado sujeto (profesor) con el fin de enseñar un concepto, noción u objeto de conocimiento a otro sujeto (alumno). Una situación es no didáctica si nadie la ha organizado para que tenga lugar un aprendizaje. Bajo esta perspectiva, debemos tener en cuenta los dos posibles enfoques desde los cuales nos podemos aproximar a ellas: uno, más tradicional y empirista; otro, el enfoque planteado por Brousseau e su Teoría de Situaciones didácticas que parte de la idea de la creación de conocimiento como resultado de la adaptación a un medio.

Las situaciones didácticas de la Teoría de Brousseau vienen definidas como un juego en el que hay un jugador, el alumno, que se desenvuelve en un medio con una serie de características. La primera estrategia que el jugador pone en práctica para tratar de resolver el problema que se le plantea recibe el nombre de estrategia de base, la cual está asociada a unos conocimientos previos que posee el alumno y sin los cuales no comprendería el juego. Esta estrategia no coincide con lo que se quiere enseñar, ya que el aprendizaje va a consistir, y va a mostrarse, en el cambio de estrategia, lo que implica la modificación de los conocimientos que posee el alumno inicialmente y la aparición de un conocimiento concreto como resultado del cambio. El profesor conseguirá estas modificaciones mediante la gestión de las llamadas variables didácticas de la situación. Las variables didácticas son aquellos elementos que forman parte de la situación y que pueden ser modificados por el profesor de manera que afecta en las estrategias de resolución que el estudiante pone en funcionamiento, es decir, las variables didácticas son las características que forman parte del medio que el profesor modifica para provocar un cambio de estrategia en el alumno y que llegue al saber matemático deseado. Las situaciones didácticas de este tipo reciben el nombre de situaciones a- didácticas y deben cumplir las siguientes condiciones:

• El alumno debe poder entrever una respuesta al problema planteado. • El procedimiento de base debe mostrarse rápidamente como

insuficiente. • Debe existir un medio de validación de las estrategias. • Debe existir incertidumbre, por parte de alumno, en las decisiones a

tomar. • El medio debe permitir retroacciones. • El juego debe ser repetible. • El conocimiento buscado debe aparecer como el necesario para pasar

de la estrategia de base a la estrategia óptima. Al conjunto de todas las situaciones a-didácticas que persiguen que el alumno adquiera un determinado conocimiento se le denomina situación fundamental.

- Papel del error en el aprendizaje de las matemáticas. Un elemento fundamental que aparece en la construcción del aprendizaje es el error. El tratamiento que los maestros hacen del error puede estar relacionado con el fracaso escolar. En lugar de entender el error como algo que el alumno no sabe hacer, debería tomarse como indicio de que sabe alguna cosa incorrecta o incompleta, y partir de ahí para ayudarle a construir el conocimiento correcto. Esto no quiere decir que el profesor no deba actuar ante el error o que una clase funciona bien cuando el error aparece constantemente. El maestro debe plantearse una didáctica que tome en cuenta los errores de los alumnos.

Desde un punto de vista pedagógico, el error se puede clasificar en cuatro categorías:

• Errores de conocimiento (no se conoce una definición, una regla, un teorema…).

• Errores de saber hacer (no se usa correctamente una técnica, un algoritmo…). No se sabe utilizar un instrumento.

• Errores debidos a la utilización no pertinente de conocimientos o técnicas (no reconocimiento de situaciones en las que hay que utilizar una operación, un porcentaje…).

• Errores de lógica o razonamiento (confusión entre hipótesis y conclusión, mal encadenamiento de cálculo…).

Muchos errores pueden ser evitados si el maestro elige una progresión adecuada para aproximarse a un concepto, de forma que determinadas actividades ayuden a los alumnos a revisar los errores cometidos. La resolución de problemas desempeña un papel importante.

- Conocer qué es un obstáculo. Tipos Desde la perspectiva de Brousseau, el error no está únicamente relacionado con la falta de un conocimiento o procedimiento por parte del estudiante, sino que también se produce por el efecto de un conocimiento anterior que era válido para afrontar determinadas tareas, pero que ahora se muestra como insuficiente. Los errores de este tipo reciben el nombre de obstáculos y se caracterizan por:

• Siempre se trata de un conocimiento, no de una ausencia de él. • Dicho conocimiento permite al alumno producir respuestas

correctas en determinadas situaciones o problemas. • Dicho conocimiento se muestra como insuficiente y da lugar a

respuestas erróneas en ciertas situaciones. • Los errores producidos por estos obstáculos no son esporádicos sino

muy persistentes y resistentes a la corrección. Su rechazo puede provocar el aprendizaje de otro nuevo conocimiento.

TEMA 2 ASPECTOS CLAVE DEL TEMA

- Explica las diferencias entre ejercicios y problema. Por un ejemplo donde se vean las diferencias.

Características de los problemas Características de los ejercicios

Supone un reto, pues el sujeto no sabe a priori como encontrar la solución

Se ve claramente qué hay que hacer

La finalidad es buscar entre los conocimientos y experiencias que se poseen, para utilizar aquellos que son útiles para encontrar la solución. Proporciona experiencias sobre la utilidad y las aplicaciones del conocimiento matemático, desarrollando las competencias básicas

La finalidad es la aplicación mecánica de algoritmos para su entrenamiento y consolidación

Requiere tiempo para su resolución Se resuelve en poco tiempo La persona que se implica en la resolución lo hace emocionalmente

No se establece lazo emocional con la persona que lo resuelve

Pueden tener una o más soluciones y las vías para llegar a ellas pueden ser variadas

Tiene una única solución y un solo camino para llegar a ella

Da lugar a la construcción de un nuevo conocimiento o modificación de uno ya existente

No genera construcción de nuevos conocimientos

- ¿Qué es un problema? Tipos de problemas. Se trata de una importante actividad cognitiva que tiene muchas implicaciones tanto a nivel del propio aprendizaje de las matemáticas como a nivel general, pudiendo destacar tres principales valores:

• Valor instrumental: vista desde una doble perspectiva. Por un lado, como herramienta que permite la aplicación de conceptos, procesos y técnicas adquiridas previamente, dando valor, practicidad y sentido a los conocimientos matemáticos. Por otro, como estrategia y recurso para la enseñanza de contenidos.

• Valor funcional: como elemento útil en la vida y en el quehacer diario, facilitando una comprensión más completa, detallada y efectiva de todo lo que nos rodea.

• Valor formativo: como pieza fundamental en el desarrollo de capacidades y habilidades tales como:

a. Capacidad para extraer información, analizarla y tratarla para encontrar formas de resolución o posibles alternativas.

b. Capacidad de razonamiento. c. Capacidad de análisis a través de la síntesis.Capacidad para

establecer nexos y relaciones entre los conocimientos existentes y los recién adquiridos.

d. Desarrollo de la flexibilidad de pensamiento, la fluidez y la audacia. e. Desarrollo de aspectos como el esfuerzo y la concentración,

favoreciendo en un grado elevado la consecución de cierta autonomía personal y la confianza en sí mismos y sus capacidades.

f. Desarrollo de actitudes y aptitudes que favorecen el trabajo en equipo.

g. Desarrollo de la creatividad.

- Principales diferencias entre problemas estructurados y no estructurados. Pon un ejemplo. Los problemas estructurados son aquellos que se caracterizan porque se específica la incógnita, se ofrece toda la información necesaria, hay una única solución y hallarla depende de un número de pasos determinados a seguir, es decir, existe un algoritmo que nos permite llegar a la solución óptima.

En los problemas no estructurados la incóg nita puede no estar especificada, se propo rciona información de más o insufi ciente, puede resolverse de múltiples forma s, no hay un algoritmo determinado que nos facilite la resolución y pueden existir varias soluciones. Son problemas de carác ter abierto más relacionados con el enfoq ue constructivista, pudiendo vincularse con la metodología propia de la Teoría de Situa ciones de Brousseau.

- Explica dos estrategias de resol ución de problemas y pon un ejem plo que ilustre una de ellas. Resol ver un problema similar más senci llo. Calcula el área del terreno del que dispo ne un agricultor para plantar patatas. Utilizar alguna representación: figura, esquema, diagrama, tabla, etc. La mitad de los alumnos de un colegio van de excursión al museo arqueológico. De ellos, la mitad visita la sala de la prehistoria y la otra mitad va a la sala de Egipto. La mitad de los que van a la sala de Egipto ve la sala y el resto ve un vídeo. ¿Qué fracción representa a los alumnos que ven el vídeo?

TEMA 3 ASPECTOS CLAVE DEL TEMA

- ¿Cuáles son los descriptores básicos del dominio afectivo de las matemáticas? «La dimensión afectiva es un extenso rango de sentimientos y humores (estados de ánimo) que son generalmente considerados como algo diferente de la pura cognición». Tomaremos como descriptores básicos de esta dimensión creencias, actitudes y emociones.

Las creencias matemáticas son uno de los componentes del conocimiento subjetivo implícito del individuo (basado en la experiencia) sobre las matemáticas y su enseñanza y aprendizaje. Las concepciones que se

entienden como creencias conscientes son distintas de las creencias básicas, que son a menudo inconsciente y cuya componente afectiva está más enfatizada. Se definen, por tanto, en términos de experiencias y conocimientos subjetivos del estudiante y el profesor.

La actitud se define como una predisposición evaluativa que determina las intenciones personales e influye en el comportamiento. Consta de tres componentes: el componente cognitivo que se manifiesta en las creencias subyacentes a dicha actitud, el componente afectivo que se manifiesta en los sentimientos de aceptación o de rechazo de la tarea y un componente intencional hacia un cierto tipo de comportamiento. - Actitudes hacia la matemática: valoración y aprecio de esta disciplina y al interés por la materia y su aprendizaje, subrayan más el componente afectivo que el cognitivo. - Actitudes matemáticas: tienen un carácter marcadamente cognitivo y se refieren al modo de utilizar capacidades generales como la flexibilidad de pensamiento, la apertura mental, el espíritu crítico, la objetividad,... Las actitudes van a estar determinadas por las características personales del estudiante, relacionadas con su autoimagen académica y la motivación de logro

Las emociones son respuestas organizadas más allá de la frontera de los sistemas psicológicos, incluyendo lo fisiológico, cognitivo, motivacional y el sistema experiencial. Surgen en respuesta a un suceso interno o externo que tiene una carga de significado positiva o negativa para el individuo. Por lo tanto, son respuestas afectivas fuertes que no son sólo automáticas o consecuencia de activaciones fisiológicas, sino que serían el resultado complejo de aprendizaje, de la influencia social y de la interpretación.

TEMA 4 ASPECTOS CLAVE DEL TEMA

- ¿Qué es un juego? • Una actividad lúdica, entretenida y recreativa cuya finalidad es

divertirse. • Puede ser una actividad tanto física como mental. • Actividad que debe tener un conjunto de reglas claras que rigen el

juego, dejando claros los objetivos y que deben determinar cuando acaba el juego.

- Explicar tipos de juegos según Piaget Para Piaget,los juegos ayudan y permiten al niño la asimilación y comprensión de la realidad y el entorno, clasificándolos en tres tipos:

• El juego funcional: propios de los dos primeros años de vida. Permiten al niño explorar el mundo que le rodea de manera individual.

• El juego simbólico: comienza cuando el niño es capaz de evocar objetos, pudiendo representarlos.

Juego de reglas: aparece a partir de los 4 años e implica la socialización porque el desarrollo del juego necesita de más jugadores, y competición al establecerse unas normas que determinan el final del juego.

- Explica las características de un juego de reglas. Linaza (1991) estableció una serie de elementos comunes que caracterizan a los juegos de reglas:

El juego es libre

No condicionado por el exterior

Produce placer Predominan los medios sobre los fines

Las conductas lúdicas presentan

ciertas especificaciones

Solo el individuo que juega puede decidir si realmente está jugando

No se juega para conseguir ninguna recompensa más allá del juego

Produce una sensación placentera a quien lo práctica y no supone motivo de frustración

El objetivo principal son las acciones propias, es decir, jugar

Existen diferencias entre la conducta cuando se juega y las conducta seria

- Importancia del juego en el proceso de enseñanza-aprendizaje. En los juegos podemos encontrar gran cantidad de conceptos matemáticos que trabajar con el alumno. El juego es un recurso didáctico que supone un cambio en la manera de enseñar y aprender en clase de matemáticas, pues mediante el juego se pueden crear situaciones de gran valor educativo y cognitivo, donde el aprendizaje se produce de manera significativa mediante la investigación, la experimentación, el descubrimiento y la reflexión. Supone una enseñanza más activa, motivadora y creativa muy distinta de la que tiene lugar en situaciones de aprendizaje más clásicas y tradicionales basadas en un aprendizaje pasivo y verbalista.

La utilización del juego como recurso didáctico presenta las siguientes ventajas:

• La elección adecuada de un juego ayuda a descubrir, comprender y afianzar conceptos y procesos matemáticos por parte del alumno desde un enfoque constructivista y dinámico.

• Genera entusiasmo, diversión, interés, desbloqueo y gusto por estudiar matemáticas.

• Permite atender las necesidades individuales de cada alumno, mediante la modificación de las reglas y objetivos.

• Refuerza la autonomía del estudiante, sirviendo de preparación para hacer frente a posibles situaciones problemáticas.

Estimula el desarrollo de la autoestima de los niños y niñas.

Los juegos con contenidos matemáticos en Primaria se pueden emplear con diversos fines, entre los que destacan:

• Favorecer el desarrollo de contenidos matemáticos en general y del pensamiento lógico, geométrico y numérico en particular.

• Desarrollar estrategias a la hora de enfrentarse a situaciones problemáticas y desafíos.

• Introducir, reforzar o consolidar algún contenido concreto del currículo:

• Diversificar las propuestas didácticas y atender a la diversidad de los alumnos.

• Despertar en los alumnos el interés por la matemática a partir del factor motivacional de los juegos.

• Conectar lo matemático con la realidad que rodea al alumno y los posibles contextos y situaciones que se encuentra en su día a día.

- ¿Cuál debe ser el papel del maestro durante el juego en el aula? El papel del maestro mientras se desarrolla el juego en clase debe ser el de orientador y conductor, sin indicar a los estudiantes las posibles estrategias a seguir para ganar y garantizando que se cumplen las reglas, interviniendo como árbitro en el caso contrario. - Aspectos a tener en cuenta para seleccionar un juego para su utilización en el aula. El contenido matemático que se quiera priorizar
 Que no sean puramente de azar 
 Que tengan reglas sencillas y desarrollo corto Los materiales, atractivos, pero no necesariamente caros, ni complejos
 La procedencia: mejor si son juegos populares que existen fuera de la escuela.

- El juego y la Teoría de las Situaciones Didácticas El juego reúne varias de las características propias de la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau, presentando gran paralelismo como nos muestra Juan Miguel Belmonte en el capítulo del manual recomendado para estudiar este tema (Chamorro, 2005):

El alumno debe disponer de algún procedimiento inicial. El alumno no debe conocer el juego o al menos no todo él desde el comienzo, si conoce la forma de ganar siempre, será una rutina que no le aportará ningún nuevo aprendizaje.

El procedimiento de base debe revelarse rápidamente como insuficiente o ineficaz para el alumno. El juego en cierta forma debe fomentar la autonomía del alumno, si utilizando una estrategia no es capaz de conseguir superar el juego, debe modificar de forma rápida e intentando que sea por él mismo un nuevo intento.

Existe un medio para la validación. No observemos esta medida como un objetivo de evaluación, sino de autocomprobación para el propio niño.

Que exista incertidumbre en el alumno en cuanto a las decisiones a tomar. Es importante que el maestro adecue a las características del niño esta situación, el niño debe tener varios caminos para superar el juego, sin provocar frustración y sin que sea una rutina.

Que el medio permita retroacciones. Las sucesivas jugadas ofrecen la posibilidad de que el niño modifique sus acciones a partir de informaciones que se van produciendo durante el juego.

Que el juego sea repetible. Los niños podrán jugar una y otra vez, dejarán de jugar cuando deje de ser atractivo para ellos.

Que el conocimiento buscado deba necesitarse como requisito, de forma lógica, para pasar de la estrategia de base a la estrategia óptima. Nuestra tarea vamos a centrarla sobre los juegos que hacen evolucionar los conocimientos matemáticos del niño.

TEMA 5 ASPECTOS CLAVE DEL TEMA

- ¿Para qué, por qué, qué, cómo y cuándo evaluar? para qué= Detección de dificultades
 por qué= Tratar esas dificultades
 qué= Ejercicios y problemas: destrezas y emociones
 cómo= Observar a los alumnos, realizar rúbricas cualitativas e intentar diversidad de métodos para asegurarnos que la evaluación ha cumplido el propósito de ayudar a los alumnos. cuando= En todo momento

- Conocer qué es la discalculia Estas dificultades pueden tener naturaleza intrínseca al individuo - causadas por trastornos o lesiones- o naturaleza extrínseca -causadas por el entorno, fundamentalmente la situación de aprendizaje-. La discalculia es la «dificultad del alumno para comprender el número y dominar las combinaciones numéricas básicas y la solución de problemas.

Las DAM de naturaleza extrínseca habríamos de buscarlas al hablar de cada uno de los temas de esta asignatura, y tienen sobre todo un carácter emocional y afectivo hacia la materia.

-Conocer los tipos de discalculia Verbal: incapacidad para comprender conceptos matemáticos y relaciones presentadas verbalmente Cuando un niño al intentar numerar los objetos que componen una colección presentan dificultades para numerarlos Pratognósica: trastorno en la manipulación de objetos tal y como es requerida para hacer comparaciones de tamaño, cantidad, etc. 
Un estudiante que tiene dificultades para manejar el ábaco a la hora de realizar la operación 13 + 27 Léxica: describe la falta de habilidad para entender símbolos matemáticos o números Un estudiante que tiene dificultades para entender qué tiene que hacer al encontrarse escrita la operación 345: 25

Competencia matemática es la habilidad para utilizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y fracciones en el cálculo mental o escrito con el fin de resolver diversos problemas en situaciones cotidianas. El énfasis se sitúa en el proceso y la actividad, aunque también en los conocimientos. La competencia matemática entraña -en distintos grados- la capacidad y la voluntad de utilizar modos matemáticos de pensamiento (pensamiento lógico y espacial) y representación (fórmulas, modelos, construcciones, gráficos y diagramas). Conocimientos, capacidades y actitudes esenciales relacionados con esta competencia: Conocimiento de los números, las medidas y las estructuras, así como de las operaciones básicas y las representaciones matemáticas básicas, y la comprensión de términos y conceptos matemáticos y de las preguntas a las que las matemáticas pueden dar respuesta. Las personas deberían contar con las capacidades necesarias para aplicar los principios y los procesos matemáticos básicos en situaciones cotidianas de la vida privada y profesional, así como para seguir y evaluar cadenas argumentales. Deberían ser capaces de razonar matemáticamente, comprender una demostración matemática y comunicarse en el lenguaje matemático, así como de utilizar herramientas de ayuda adecuadas. Una actitud positiva se basa en el respeto de la verdad y en la voluntad de encontrar argumentos y evaluar su validez.

TEMA 6 ASPECTOS CLAVE DEL TEMA

- Explica la diferencia entre Subitización y Estimación puramente visual.

La subitización consiste en el reconocimiento inmediato de pequeñas cantidades de objetos hasta 4 o 5 sin necesidad de contar. Piaget se refería a los números pequeños, hasta 4 o 5, como «números perceptivos». Cuando se estima visualmente, se compara la colección de objetos que se tiene con otra colección bien presente o bien evocada mentalmente. No suele dar el número exacto de elementos de la colección.

- Explica la diferencia entre Correspondencia uno a uno y contar. Correspondencia uno a uno consiste en hacer un emparejamiento entre dos conjuntos que me permita garantizar que en los dos hay el mismo número de objetos. El procedimiento de contar implica saber enumerar una colección, lo que significa saber recorrer uno por uno los elementos sin dejar ninguno, ni repetir ninguno, conocer una secuencia de numerales (uno, dos, tres…) y realizar una correspondencia uno a uno entre los objetos de la colección y los numerales de la secuencia. Así, cardinar una colección es asignarle el último numeral de la secuencia de numerales al aplicar el conteo.

- Explica los cinco principios de la estrategia de conteo. Contar correctamente supone la asimilación de cinco principios del conteo: principio de correspondencia uno a uno, principio de orden estable, principio de cardinalidad, principio de abstracción y principio de irrelevancia del orden. a) Principio de correspondencia uno a uno Las acciones de señalar objetos y decir palabras que tienen lugar en el conteo deben ir cuidadosamente sincronizadas. El principio de correspondencia uno a uno supone que para que los niños puedan contar deben ser capaces de coordinar dos procedimientos: el de partición y el de etiquetación. Por partición entendemos que en cada momento del proceso de contar hay formados dos conjuntos de objetos: los que ya han sido contados y los que quedan por contar. Simultáneamente a este proceso de partición, los niños van asignando una etiqueta a cada uno de los objetos que van contando. Suelen tener integrado el principio de correspondencia cuando:

• Señalan todos los objetos que deben ser contados. • Señalan cada objeto una sola vez. • Cada vez que señalan un objeto le asignan una única etiqueta. • No utilizan ninguna etiqueta más de una vez.

Los errores de partición son más frecuentes que los de etiquetación: • Omitir elementos. • Repetir elementos. • Tendencia a regresar a un elemento cuando a ese elemento y los

próximos a él ya habían sido contados. • Dar por finalizado el conteo antes de haber tenido en cuenta todos los

elementos del conjunto. b) Principio de orden estable

Este principio supone que la lista de «palabras» o etiquetas que utilizamos para contar debe ser repetible (siempre la misma) y estar formada por etiquetas únicas (no debe repetirse ninguna etiqueta). Se distingue tres partes en las secuencias que utilizan los niños:

• Una parte exacta: que es estable y correcta. Corresponde con la primera parte de la secuencia. Los niños cuentan correctamente hasta cierto numeral y luego omiten alguno o algunos.

• Una parte estable incorrecta: los niños cometen omisiones, repeticiones e inversiones. Esta parte es estable pero cometen errores como los nombrados.

• Una parte final no estable incorrecta.

Niveles en la elaboración de las relaciones de orden y equivalencia: • Nivel de hilera: las palabras numéricas solo se pueden producir

recitando la secuencia entera. • Nivel de lista irrompible: se inicia un proceso de reflexión y

diferenciación de los numerales. Todavía deben empezar la secuencia desde el uno.

• Nivel de cadena fragmentable: la secuencia puede empezar desde cualquier numeral.

• Nivel de cadena numerable: mayor grado de abstracción y se cuentan como unidades.

• Nivel de cadena bidireccional.

c) Principio de cardinalidad Hace referencia al significado especial que tiene la última etiqueta empleada en una secuencia de con, por un lado, esta etiqueta se refiere a un solo objeto (aspecto ordinal), pero por otra parte hace también referencia a el conjunto formado por todos los elementos que han sido contados (aspecto cardinal). Por ejemplo, si tenemos que contar un montón de 8 lápices, diremos al contar: «uno», «dos», «tres», «cuatro», «cinco», «seis», «siete», «ocho». Suele considerarse que los niños dominan este principio cuando: repiten el último numeral de la secuencia de conteo o cuando ponen un énfasis especial al pronunciar este último numeral. En cualquier caso esta repetición del último numeral (o mayor énfasis) debe ser espontáneo, nunca obligado por la indicación del maestro (pues carecería de significado).

d) Principio de abstracción Este principio determina que los principios de correspondencia uno-a-uno, orden estable y cardinalidad pueden ser aplicados a cualquier muestra o colección de entidades. El principio de abstracción determina los elementos que pueden ser contados, estableciendo que el conteo puede ser aplicado a cualquier colección de objetos reales e imaginarios.

e) Principio de irrelevancia del orden

Da lo mismo por dónde empezamos cuando contamos una colección de objetos.

Recontar. Cuando se combinan dos colecciones, para determinar el cardinal de la colección final, juntan todos los elementos y los cuentan todos desde el uno.

Descontar. Estrategia inversa a la anterior a la que a una colección se le quita otra y se cuenta hacia atrás a partir del número inicial.

Sobrecontar. Cuando se combinan dos colecciones, para determinar el cardinal de la colección final, juntan todos los elementos y cuentan desde el cardinal de uno de los conjuntos hasta el final, es decir, si juntar una colección con 3 con otra con 5 elementos, los niños dirán, 3, 4, 5, 6, 7, 8, hay 8.

TEMA 7 ASPECTOS CLAVE DEL TEMA

- Diferencia entre Estrategias de modelización directa y conteo. Entre las estrategias que utilizan de modelización directa (Carpenter): • Juntar todo: representan las dos cantidades del problema, las juntan

y cuentan todos los contadores de la unión. • Quitar: se representa un conjunto con la cantidad más grande del

problema y se quita lo que dice la otra cantidad. • Añadir hasta: el objetivo es encontrar el número de objetos que se

añade al conjunto inicial para llegar a tener la cantidad final. El niño forma un conjunto equivalente a la cantidad inicial y le añade objetos hasta que la nueva colección de objetos resulta igual al total dado en el problema.

Quitar hasta: esta estrategia es parecida a la estrategia de «quitar» excepto en que los objetos se van quitando del conjunto mayor hasta que el número de objetos que quedan coincida con el número menor dado en el problema, entonces se cuentan los objetos que se han quitado.

Correspondencia uno a uno: con esta estrategia se resuelven problemas en los que hay que averiguar cuánto más grande es un conjunto que otro. Para ello se van emparejando los elementos de los dos conjuntos hasta que se agote la cantidad de uno de ellos. Entonces se cuentan los que se han quedado sin pareja.

Ensayo y error: estas estrategias suelen utilizarla inicialmente en problemas de cambio creciente con la cantidad inicial desconocida, ya que al no conocer la cantidad inicial, a la que después se le aplican los cambios que propone el enunciado, los niños proponen cantidades como cantidad inicial y representan el resto del problema. Si encajan los resultados, la cantidad propuesta será la cantidad inicial.

Cuando los niños son capaces de utilizar los numerales como contables, aparecen las estrategias de conteo. Estas son más eficientes y abstractas que la modelización con objetos físicos.

Contar a partir del primero o del mayor: se parte de una de las cantidades del problema y se añade el número de numerales que dice la otra cantidad.

Contar hasta: se cuenta cuántos numerales hay desde la cantidad menor hasta la cantidad mayor.

Contar hacia atrás: se cuenta hacia atrás desde el número mayor al número de numerales que dice la cantidad menor.

Contar hacia atrás hasta: se cuenta hacia atrás cuántos numerales hay desde la cantidad mayor hasta la cantidad menor.

- Explica cada estrategia para problemas aditivos y multiplicativos. Tipo de problema Modelización Conteo

Cambio creciente (con la cantidad final desconocida) y combinación (con el total desconocido)

Juntar todos Conteo a partir del primero (o del mayor)

Cambio creciente (con la cantidad de cambio desconocida)

Añadir hasta Contar hasta

Cambio decreciente (con la cantidad final desconocida)

Quitar Conteo regresivo

Cambio decreciente (con la cantidad de cambio desconocida)

Quitar hasta Conteo regresivo hasta

Comparación (con la diferencia desconocida)

Correspondencia uno a uno

Cambio creciente (con la cantidad inicial desconocida)

Ensayo y error Ensayo y error

Esta secuencia es importante a la hora de plantear problemas aritméticos verbales a los niños, es la secuenciación por orden de dificultad atendiendo a las estrategias que los niños son capaces de desarrollar.

• Problemas de cambio creciente con la cantidad inicial desconocida, lo resuelven con estrategias como contar hasta.

• Problemas de cambio decreciente con la cantidad inicial desconocida, con la estrategias de conteo progresivo (contar desde el primero o el mayor).

• Problemas de comparación con la diferencia desconocida, con estrategias como conteo regresivo y contar hasta.

Cambio decreciente con la cantidad final desconocida y combinación con parte desconocida, con la estrategias de contar hasta.

En los problemas de estructura multiplicativa: • Agrupamiento: esta estrategia se utiliza para los problemas de

estructura multiplicativa como «tengo 5 paquetes de galletas y en

cada paquete 3 galletas. ¿Cuántas galletas tengo?». Para resolver estos problemas los niños hacen 5 grupos con 3 elementos en cada uno de ellos y cuentan el número total de elementos. También se utiliza para los problemas de división medida en los que conocemos el número total de elementos y el número de elementos por grupo. Por ejemplo, «tenemos 15 galletas y queremos guardarlas en paquetes de 3 galletas cada uno, ¿cuántos paquetes puedo llenar?». En este caso, los niños cogen 15 contadores y van haciendo grupos de 3 hasta que ya no quedan contadores, después cuentan el número de grupos que han hecho.

Reparto: esta estrategia se utiliza para problemas de división partitiva donde hay que repartir una cantidad entre un número de grupos.

Las estrategias de conteo para la multiplicación y división se realizan mediante un conteo a saltos, llevando un doble conteo del número de grupos hasta llegar al número total de elementos. Así para resolver el problema: «En la granja hay 6 gallinas, y cada una ha puesto 3 huevos, ¿cuántos huevos han puesto en total?», se realiza un conteo a saltos de 3 en 3 por haber 3 elementos en cada grupos, contando 6 grupos que son las gallinas, siendo, 3, 6, 9, 12, 15 y 18, 18 huevos. No aparecen tan pronto como las estrategias de conteo en adición.

Para resolver un problema de producto de medidas como puede ser «un salón mide 4 metros de ancho por 6 metros de largo, ¿cuál es el área del salón?», puede utilizarse el modelo de área de rectángulo. Un problema de combinación multiplicativa puede representarse con un diagrama de árbol como el que sigue. El siguiente diagrama representa el problema «¿cuántos menús diferentes se pueden tomar con tres primeros y dos segundos diferentes?». También se puede representar como una tabla de doble entrada. Para un problema de matrices como «si colocamos 4 filas con 4 sillas en cada fila, ¿cuántas sillas tendremos?», se puede representar como sigue.

TEMA 8 ASPECTOS CLAVE DEL TEMA

- ¿Cuáles son los diferentes significados de una fracción? • Porción, en la que incluíamos:

•.0. La relación parte-todo. •.1. La medida. •.2. Las fracciones como cociente. •.3. La fracción como operador (Bajo esta interpretación, las fracciones se ven en el papel de transformaciones: «algo que actúa sobre una situación y la modifica». En este contexto vemos cómo una fracción actúa sobre una cantidad dada).

• La fracción como razón: Las fracciones se usan como un «índice comparativo» entre dos cantidades de una magnitud. Es una relación de parte a parte, no relación parte-todo. Este significado es importante para conceptos como la proporcionalidad entre magnitudes.

- Conocer la progresión didáctica de la fracción. Piaget, Inhelder y Szeminska (citado en Llinares, 1997) indican que para que un niño comprenda el concepto de relación parte-todo en contexto continuo de área deben tener una estructura cognitiva que le permite manejar las siguientes habilidades:

• Un todo está compuesto por elementos separables, una región es divisible.

• El todo se puede dividir en el número de partes deseado. • Las subdivisiones cubren todo, el número de partes cubrirán toda la

unidad. • El número de partes no coincide con el número de cortes. • Las partes son congruentes. • Cada parte se puede considerar también como un todo. • El todo se conserva.

Estas habilidades se ampliaron (Payne, citado por Llinares, et al., 1997) a las siguientes nociones para un aprendizaje inicial:

1. Control simbólico de la fracciones. 2. Utilización de contextos tanto continuos como discretos. 3. Fracciones mayores de la unidad. 4. Fracciones equivalentes.

a) Unidad Identificar el número de unidades, si tenemos cantidades mayores o menores de la unidad, que el todo. b) Partes de la unidad, partes congruentes Usando materiales concretos o manipulativos, ebemos trabajar las partes de la unidad, para identificar el número de partes de una unidad, que tienen el mismo tamaño, que son congruentes y que los niños deberán dividir una unidad en partes iguales. Por ejemplo, el plegado de papel. c) Nombres orales para partes de la unidad. Establecer el nombre de las fracciones. Para ello, el trabajo con las fracciones unitarias del tipo 1/n, donde n es el número de partes en las que está dividida la unidad. Tangram, regletas. d) Escribir fracciones para representar partes de la unidad. Para pasar a la notación escrita, el uso del conteo de fracciones unitarias facilita su notación. e) Representar fracciones con dibujos. Hasta este punto solo hay que trabajar con material manipulativo. Ahora deberíamos repetir los pasos anteriores con los diagramas. Se pueden realizar diferentes actividades dentro de esta etapa.

• Dada una figura (unidad) hay que identificar la parte que representa una fracción dada, o viceversa, damos la figura con una parte sombreada y se pide la fracción.

• Hallar la unidad cuando partimos de fracciones unitarias. Por ejemplo, «si la siguiente figura es ¼ de la unidad, ¿cuál es la unidad?». Las figuras que se da puede tener distintas formas.

• Hallar la unidad cuando partimos de una fracción cualquiera. Por ejemplo, si la anterior figura es ¾ de la unidad, ¿cuál es la unidad?

f) Ampliar la noción de fracción: se presentan las fracciones impropias, los números mixtos, el modelo discreto y la equivalencia tanto en comparación y orden como en operaciones.

TEMA 9 ASPECTOS CLAVE DEL TEMA

Gómez (1988) distingue entre cálculo mental y cálculo pensado. El primero se refiere a la recuperación de combinaciones numéricas básicas, como son las tablas de suma y las tablas de multiplicación. El segundo se refiere a estrategias en las que es necesaria una reflexión personal que manipula los números implicados para facilitar el cálculo. Introducir el cálculo mental y pensado se debe a que desarrolla la comprensión del sistema numérico decimal, enriquece y flexibiliza la experiencia numérica y algorítmica, da sentido a los grandes números, agiliza el pensamiento cuantitativo y ayuda a asimilar las propiedades de las operaciones aritméticas (Segovia y Lupiañez, 2011).

- Principales estrategias para aprender las tablas de la suma. CÁLCULO MENTAL La memorización de todos estos hechos numéricos se ve facilitada por estrategias como las que siguen (Gómez, 1988):

• Suma de ceros, ya que un número sumado con cero queda igual. • Conmutatividad, parece que hay combinaciones que son más fáciles

de recordar como 4 + 5, que se suele cambiar por 5 + 4. • Utilizar estrategias de conteo como hemos visto en el tema 4, «contar

a partir de un sumando». • Suma con 10, ya que cualquier unidad sumada a la decena

simplemente se cambia el cero por esa unidad. • La suma de dobles 1+1, 2+2, 3+3. • Dobles + 1, como por ejemplo, 6 + 7,= 6 + 6 + 1. • Combinaciones que suman 10, como 7 + 3, 6 + 4. • Paso al diez, en la que se realiza una descomposición para llegar a

«suma con 10», por ejemplo, 8 + 7 = 8 + (2 + 5) = (8 + 2) + 5 = 10 + 5 = 15.

CÁLCULO PENSADO • Recolocación: se agrupan los sumandos en familias más fáciles de

sumar, como por ejemplo, 38 + 51 + 62 + 49 = 38 + 62 + 51 + 49 = 100 + 100 = 200.

• Descomposición: se transforma la operación a otra equivalente más fácil, como por ejemplo 72 + 35= 72 + 30 + 5 = 102 + 5 = 107.

• Compensar: 46 + 29 = (46+4) + (29-4)= 50 + 25. • Paso a la potencia de 10 más cercana, por ejemplo, 98 + 23 = 98 +

2 + 21= 100 + 21 = 121. • Incremento en el que se descomponen uno de los números por sus

valores posicionales y se van añadiendo al otro sumando, por ejemplo, 354 + 156; 354 + 100 = 454, 454 + 50= 504, 504 + 6 = 510.

- Principales estrategias para aprender las tablas de la multiplicación. CÁLCULO MENTAL Las tablas de multiplicación se introducen a partir de segundo de Educación Primaria, habitualmente mostrando cada hecho numérico como sumas reiteradas, es decir, 3 × 2 = 2 + 2 + 2. Algunas estrategias que ayudan a construir y memorizar las tablas son:

• Utilizar la suma reitera, lo que permite calcular cada hecho numérico a partir del anterior.

• Utilizar la propiedad conmutativa. • Doblar y utilizar los dobles, por ejemplo 5 × 7 = (7 + 7, son catorce)

+ 14 +7. • Multiplicar por 10 implica añadir un cero. • Descomposiciones, como por ejemplo, 6 × 8 = (5 + 1) × 8. • Patrones, donde utilizamos efectos llamativos como en la tabla del 9

en el que si se colocan en la columna de las decenas del 0 al 9 de manera ascendente y en la columna de las unidades del 9 a 0 de forma creciente se obtiene la tabla del 9.

CÁLCULO PENSADO • Factorizaciones: como por ejemplo, 18 × 15 = 9 × 2 × 5 × 3 = 27 ×

10. • Distribución, donde se transforma uno o más factores en sumas o

diferencias, por ejemplo, 25 × 48 = 25 × (40 + 8).

- Conocer los materiales para trabajar el cálculo mental. Regletas de Cuisenaire Rejilla aritmética: Puede emplearse de forma muy flexible. Favorece el cálculo mental a través del aprendizaje de estrategias como el paso al 10 o el uso de dobles. Su característica más sobresaliente es que no impone una forma de hacer las operaciones, sino que puede «sugerir» distintas formas de operar, adaptándose de esta forma al pensamiento infantil.

Juegos educativos: arco y lógico piccolo

- Conocer las diferentes estrategias de estimación: reformulación.

El objetivo del trabajo con estimación consiste en crear una base de información sobre valoración de datos y control de su validez, que contribuya a educar las intuiciones más o menos espontáneas de los alumnos y a organizar sus experiencias, de forma que se disponga de una base rica en información para cuando el alumno tenga que iniciar un estudio sistemático sobre cálculo numérico y estadística. Algunas características de la estimación son que consiste en valorar una cantidad o el resultado de una operación, el sujeto que debe hacer la valoración tiene alguna información, referencia o experiencia sobre la situación que debe enjuiciar, la valoración se realiza por lo general de forma mental, se hace con rapidez y empleando números lo más sencillos posibles, el valor asignado no tiene que ser exacto pero sí adecuado para tomar decisiones y el valor asignado admite distintas aproximaciones, dependiendo de quién realice la valoración. Producir una estimación consiste básicamente en sustituir los datos del problema por aproximaciones que permitan reducir la complejidad de los cálculos manteniendo la proximidad necesaria al resultado exacto, aplicar un algoritmo de cálculo (mental) a estas aproximaciones, realizar una compensación (previa o posterior al algoritmo de cálculo) y hacer una valoración del resultado obtenido. Según este autor, las estrategias de estimación más frecuente son reformulación, traslación y compensación. REFORMULACIÓN Se realiza una modificación de los datos, para llegar a una situación aritmética más manejable, sin alterar en nada la estructura del problema. Entre ellas distinguimos las estrategias que afectan a los dígitos más significativos (primeros dígitos) como el redondeo o el truncamiento. Y la sustitución en la que se usa números compatibles u otros más fáciles de manejar. Se sustituyen por números divisores o múltiplos. TRASLACIÓN Se produce un cambio sobre las operaciones que supone una modificación en la estructura del problema, como el cambio en el orden de las operaciones o el cambio de una operación por otra equivalente. Por ejemplo, para sumar 9.437 + 4.815 + 7.241 + 3.210 = (9.437 + 3.210) + (4.815 + 7.241) = 12.000 + 12.000. Otro ejemplo, 1.074 x 98.491 es aproximadamente igual a 103 x 104 = 103 +4 = 107 = 10.000.000. COMPENSACIÓN La compensación consiste en reducir el error producido en un sentido, al aproximar uno o varios datos, equilibrándolo con un error en sentido contrario, actuando bien sobre datos diferentes o bien sobre el resultado. Ya hemos visto en el caso de los primeros dígitos como hacerlo con la suma y la resta. La idea clave de la compensación no es nunca independiente, sino que se produce en el transcurso de una reformulación o traslación.

TEMA 10 ASPECTOS CLAVE DEL TEMA

- Conocer las etapas del proceso de medir. El proceso procede secuencialmente desde la percepción a la comparación y después a la aplicación de un estándar de medida (o referente) y sigue las etapas de: papel de percepción en la medición, papel de la comparación, búsqueda de un referente y la medición como un sistema.

Percepción. La percepción es el comienzo de la medida. Muchas veces, como docentes, nos limitamos a hacer que los alumnos midan sin previamente hacer palpable sensaciones sobre el significado de la medición. Actividad: comparar la masa de las mochilas.

Comparación. Una vez que ya hemos percibido algún atributo medible de un objeto, el paso natural es la comparación. Esto no requiere ninguna habilidad numérica, es más, los niños sin saber leer o escribir y sin conocer «el número» puede comparar medidas.

Búsqueda de un referente. Las comparaciones tienen un gran potencial cuando queremos comparar dos cualidades, pero cuando el número aumenta, se hace más difícil establecer una relación. Así, si tenemos que mi padre es más alto que yo y mi hermana es más alta que yo, ¿podemos estar seguros de quién es más alto: el padre o la hermana? Si ponemos a los niños delante de estos conflictos, llegarán a la necesidad de un referente o unidad, que primero será no estándar. Así podemos tener una cuerda y decir que mi padre mide 2 cuerdas y mi hermana 1 cuerda y media, y por tanto, el padre es más alto que la hermana.

La medición como un sistema. Una vez que ya contamos con referentes para la medición, podremos provocar en los niños una necesidad de homogeneizar esos referentes para que puedan comunicarse con cualquier persona de la misma manera. Así el padre medirá 180 centímetros y la hermana 135. Esto conduce de una manera natural al SI, Sistema Internacional de Unidades.

- Conocer la importancia de la estimación. Estimar es medir sin instrumentos, lo que llamamos «a ojo». Pero esto requiere unas destrezas en la medición bien afianzadas. Con ella los alumnos demostrarán haber comprendido el significado de cada magnitud y lo que representan las distintas unidades de medida. Un alumno no puede estimar correctamente si previamente no ha comprendido la medición, lo que no quiere decir que mida correctamente.

- Conocer el principio de conservación. Para Piaget, el aprendizaje se apoya en la acción, siendo el resultado de procesos de experimentación y manipulación de los objetos y materiales que rodean al niño. La teoría de Piaget se apoya en la idea de que los conocimientos se organizan y estructuran en lo que denomina esquemas

cognitivos, que van desarrollándose en el tiempo siguiendo determinadas etapas: Etapa sensomotora (0-2 años)

Etapa preoperacional (2-7 años)

Etapa de las operaciones concretas (7-11 años)

Etapa lógico formal (11-16 años)

Inteligencia práctica unida a la acción

Razonamiento intuitivo y trabajo con símbolos y representaciones

Razonamiento lógico y desarrollo de operaciones aplicables a situaciones reales y concretas

Razonamiento hipotético- deductivo, generalización mediante razonamiento inductivo y acción reflexiva

- Problemas y obstáculos en la enseñanza y aprendizaje de la medida. - El constante ejercicio de conversiones de unidades, expresando una medida en unidades sucesivamente distintas y de diferente orden de magnitud, que tiene como efecto la imposibilidad de fijar el orden de magnitud de los objetos más comunes, destruyéndolo en algunos casos e imposibilitando la consecución de un objetivo importante en medida: la estimación. - La costumbre habitual de dar las superficies dibujadas y no recortadas constituye un obstáculo didáctico que favorece la identificación perímetro/ superficie.

REALIDAD ESCOLAR Y LAS DIFICULTADES QUE PRESENTA ENTRE ALUMNOS Y PROFESORES

• La homogeneidad de las prácticas escolares. Centrándose en las actividades de tipo formal, escritura de una medida concreta o conversiones, mientras que la estimación y aproximación es algo residual.

• La limitación del aprendizaje del manejo de instrumentos, básicamente a la cinta métrica y la balanza y sin comprenderlos.

• Ignorancia de los alumnos sobre los métodos usuales de medición y sobre su elección.

• Incapacidad de los alumnos para distinguir entre magnitudes diferentes.

MATERIALES • Regletas • Cinta métrica • Alambres • Cuerdas, hilos, lanas,... • Barras de madera, bandas de cartón • Juegos de carpintería • Telares • Metrílogo • Cilindrómetro • Rueda métrica • Balanzas • Recipientes de distinta capacidad

• Recipientes de distinta forma • Reloj de arena • Calendarios

TEMA 11 ASPECTOS CLAVE DEL TEMA

- Aportaciones de Piaget al estudio de la geometría.

- Conocer el modelo de aprendizaje del matrimonio Van Hiele. - Ejemplos de visualización y razonamiento. - Conocer el fenómeno de la ostensión. - Materiales

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